2024-2025学年内蒙古部分学校高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年内蒙古部分学校高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z}，B={x|−1≤x<5}，则A∩B=(

)A.{1,3} B.{−1,1,3} C.{1,3,5} D.{−1,1,3,5}2.双曲线x22−yA.32 B.322 C.3.下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是(

)A.y=2x−3与y=2x+3B.y=x+1⋅x−1与y=(x+1)(x−1)

C.y=4.若复数z=1+i是方程z2+az+b=0的根，其中a，b∈R，则a+2b的值为(

)A.−4 B.−2 C.0 D.25.圆x2+y2+2x=1上的点到直线A.2 B.2−1 C.6.如图，这是一个正方体的平面展开图，将其还原成正方体后，下列直线中与直线AB平行的是(

)A.EF

B.EH

C.DH

D.CH7.在菱形ABCD中，设向量AB=a,AC//A.2a⋅bb2b−a 8.方程X1+X2A.C205组 B.C215组 C.C20二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知(x−12x)n的展开式中，各项的二项式系数之和为64A.n=6 B.各项系数之和为164

C.第3项的二项式系数最大 D.常数项为10.已知函数f(x)=23sinx+2cosx，则A.f(x)的图象关于直线x=π3对称

B.f(x)在[0,π3]上单调递增

C.f(x)在[0,π3]上的值域为[1,2]

11.已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(A.t=43 B.C的长轴长为4

C.|PF1|的最小值为2−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.样本数据8，6，2，7，8，9，10的极差为______．13.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a=7,b=5,sinA=32，则c=14.已知一个圆锥的母线长为6，则当该圆锥的体积取最大值时，该圆锥的侧面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在数列{an}中，a1=12，且1an+1−1an=2．

(1)求{an16.(本小题15分)

小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为12，取到白球的概率为12，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球n次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数n的概率为Pn．

(1)求P3；

(2)求P4；

(3)若小张在取球5次之内(含5次)可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=6，点D，E，F，H分别为AA1，AB，BC，CC1的中点．

(1)证明：D，E，F，H四点共面．

(2)证明：18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x+(lnx)sinx．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．

(2)证明：f(x)在(π2,5π2)上存在极小值．

(3)判断19.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=2px经过点Q(p3,22p)，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动．

(1)求C的方程．

(2)若直线AB的方程为y=x−2，求△ABF内切圆的半径r．

(3)设点E(3,1)，且EF平分参考答案1.B

2.B

3.D

4.D

5.A

6.A

7.A

8.C

9.ABD

10.ABD

11.ABD

12.8

13.8

14.1215.(1)在数列{an}中，a1=12，且1an+1−1an=2，

可得1a1=2，

所以数列{1an}是首项和公差均为2的等差数列，

所以1an=2n，得an=12n．16.(1)P3表示连续取球3次且3次都取到红球的概率，

所以P3=(12)3=18．

(2)P4表示连续取球4次，且前3次中有2次取到红球，第4次取到红球的概率，

所以P4=C32×(12)2×(1−12)×12=316．

(3)P5表示连续取球5次，且前X345P133所以E(X)=3×117.(1)证明：连接DH，EF，

因为D，E，F，H分别为AA1，AB，BC，CC1的中点，

所以易得DH//AC，EF//AC，

所以DH//EF，

所以D，E，F，H四点共面．

(2)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，

所以AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，

则AA1⊥AC，

又因为AB⊥AC，AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，

所以AC⊥平面ABB1A1，

因为DE⊂平面ABB1A1，

所以AC⊥DE，

连接A1B，

因为D，E分别为AA1，AB的中点，

所以DE//A1B，

因为AB=AA1，

所以易得四边形ABB1A1为正方形，则A1B⊥AB1，

所以DE⊥AB1，

因为AC∩AB1=A，AC，AB1⊂平面AB1C，

所以DE⊥平面AB1C.

(3)18.(1)因为f(x)=x+(lnx)sinx(x>0)，

所以f(1)=1；

又f′(x)=1+sinxx+(lnx)cosx，

所以f′(1)=1+sin1，

故所求切线方程为y−1=(1+sin1)(x−1)，即y=(1+sin1)x−sin1；

(2)证明：因为f′(x)=1+sinxx+(lnx)cosx(π2<x<5π2)的图象是一条连续不断的曲线，

又f′(π)=1+sinππ+(lnπ)cosπ=1−lnπ<0，

f′(2π)=1+sin2π2π+(ln2π)cos2π=1+ln2π>0．

所以f′(x)=1+sinxx+(lnx)cosx在(π2,5π2)上必存在一个异号零点x0，

即存在正数m，使得π2<x0−m，且当x∈(x0−m,x0)时，f′(x)<0，

当x∈(x0,x0+m)时，f′(x)>0，

所以f(x)在x=x0处取得极小值，即f(x)在19.(1)因为抛物线C经过点Q(p3,22p)，

所以2p⋅p3=(22p)2，

解得p=0或p=±2，

因为抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，

所以p>0，

则p=2，

故抛物线C的方程为y2=4x；

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2).

联立y=x−2y2=4x，消去y并整理得x2−8x+4=0，

此时Δ=48>0，

由韦达定理得x1+x2=8