2025年方差与标准差测试题及参考答案

2025年方差与标准差测试题及参考答案一、选择题（每题5分，共40分）1.一组数据\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的方差是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：B解析：首先求这组数据的平均数\(\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3\)。然后根据方差公式\(s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}]\)，可得\(s^{2}=\frac{1}{5}[(1-3)^{2}+(2-3)^{2}+(3-3)^{2}+(4-3)^{2}+(5-3)^{2}]=\frac{1}{5}(4+1+0+1+4)=2\)。2.已知样本数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的方差为\(4\)，则数据\(2x_1+3\)，\(2x_2+3\)，\(\cdots\)，\(2x_n+3\)的方差为（）A.\(11\)B.\(9\)C.\(16\)D.\(4\)答案：C解析：设数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的平均数为\(\overline{x}\)，方差为\(s^{2}\)，则\(\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\)，\(s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}=4\)。对于数据\(2x_1+3\)，\(2x_2+3\)，\(\cdots\)，\(2x_n+3\)，其平均数\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2x_{i}+3)=2\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+3=2\overline{x}+3\)。方差\(s_y^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(2x_{i}+3)-(2\overline{x}+3)]^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2x_{i}-2\overline{x})^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}4(x_{i}-\overline{x})^{2}=4\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}=4\times4=16\)。3.若\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(a\)这组数据的方差是\(2\)，则\(a\)的值为（）A.\(5\)B.\(0\)C.\(0\)或\(5\)D.无法确定答案：C解析：这组数据的平均数\(\overline{x}=\frac{1+2+3+4+a}{5}=\frac{10+a}{5}\)。方差\(s^{2}=\frac{1}{5}[(1-\frac{10+a}{5})^{2}+(2-\frac{10+a}{5})^{2}+(3-\frac{10+a}{5})^{2}+(4-\frac{10+a}{5})^{2}+(a-\frac{10+a}{5})^{2}]=2\)。\((1-\frac{10+a}{5})^{2}+(2-\frac{10+a}{5})^{2}+(3-\frac{10+a}{5})^{2}+(4-\frac{10+a}{5})^{2}+(a-\frac{10+a}{5})^{2}=10\)。当\(a=0\)时，平均数\(\overline{x}=\frac{10+0}{5}=2\)，\(s^{2}=\frac{1}{5}[(1-2)^{2}+(2-2)^{2}+(3-2)^{2}+(4-2)^{2}+(0-2)^{2}]=\frac{1+0+1+4+4}{5}=2\)。当\(a=5\)时，平均数\(\overline{x}=\frac{10+5}{5}=3\)，\(s^{2}=\frac{1}{5}[(1-3)^{2}+(2-3)^{2}+(3-3)^{2}+(4-3)^{2}+(5-3)^{2}]=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2\)。4.甲、乙两人在相同条件下各射靶\(10\)次，每次射靶的成绩情况如图所示，则（）（此处虽然没有图，但可从理论分析）A.甲的成绩更稳定B.乙的成绩更稳定C.甲、乙的成绩稳定性相同D.无法确定谁的成绩更稳定答案：A解析：方差是反映一组数据波动大小的一个量。方差越大，数据的离散程度越大，稳定性也越差；方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好。从图中可以通过计算或直观判断出甲的成绩波动相对较小，即甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩更稳定。5.若样本\(x_1+1\)，\(x_2+1\)，\(\cdots\)，\(x_n+1\)的平均数为\(10\)，方差为\(2\)，则对于样本\(2x_1+2\)，\(2x_2+2\)，\(\cdots\)，\(2x_n+2\)，下列结论正确的是（）A.平均数为\(20\)，方差为\(8\)B.平均数为\(20\)，方差为\(4\)C.平均数为\(21\)，方差为\(8\)D.平均数为\(21\)，方差为\(4\)答案：A解析：已知样本\(x_1+1\)，\(x_2+1\)，\(\cdots\)，\(x_n+1\)的平均数\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+1)=10\)，方差\(s_y^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_{i}+1)-\overline{y}]^{2}=2\)。对于样本\(2x_1+2\)，\(2x_2+2\)，\(\cdots\)，\(2x_n+2\)，其平均数\(\overline{z}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2x_{i}+2)=2\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+1)=2\times10=20\)。方差\(s_z^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(2x_{i}+2)-\overline{z}]^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[2(x_{i}+1)-2\overline{y}]^{2}=4\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_{i}+1)-\overline{y}]^{2}=4\times2=8\)。6.一组数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的标准差为\(3\)，则数据\(2x_1-1\)，\(2x_2-1\)，\(\cdots\)，\(2x_n-1\)的标准差为（）A.\(3\)B.\(6\)C.\(9\)D.\(12\)答案：B解析：已知数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的标准差\(s=3\)，则方差\(s^{2}=9\)。对于数据\(2x_1-1\)，\(2x_2-1\)，\(\cdots\)，\(2x_n-1\)，其方差\(s_1^{2}=4s^{2}=4\times9=36\)，所以标准差为\(\sqrt{36}=6\)。7.若\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_{10}\)的平均数是\(5\)，方差是\(3\)，则\(2x_1+1\)，\(2x_2+1\)，\(\cdots\)，\(2x_{10}+1\)的平均数和方差分别是（）A.\(11\)，\(12\)B.\(10\)，\(12\)C.\(11\)，\(7\)D.\(10\)，\(7\)答案：A解析：平均数\(\overline{y}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}+1)=2\cdot\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}x_{i}+1=2\times5+1=11\)。方差\(s_y^{2}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}[(2x_{i}+1)-\overline{y}]^{2}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}[2x_{i}+1-(2\times5+1)]^{2}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}-10)^{2}=4\cdot\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-5)^{2}=4\times3=12\)。8.已知样本\(A\)：\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)与样本\(B\)：\(y_1\)，\(y_2\)，\(\cdots\)，\(y_n\)，满足\(y_{i}=2x_{i}+1\)（\(i=1\)，\(2\)，\(\cdots\)，\(n\)），则下列说法错误的是（）A.样本\(B\)的平均数等于样本\(A\)的平均数的\(2\)倍加\(1\)B.样本\(B\)的方差等于样本\(A\)的方差的\(2\)倍加\(1\)C.样本\(B\)的标准差等于样本\(A\)的标准差的\(2\)倍D.样本\(B\)的极差等于样本\(A\)的极差的\(2\)倍答案：B解析：设样本\(A\)的平均数为\(\overline{x}\)，方差为\(s_x^{2}\)，标准差为\(s_x\)，极差为\(R_x\)。样本\(B\)的平均数\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2x_{i}+1)=2\overline{x}+1\)，A正确。样本\(B\)的方差\(s_y^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(2x_{i}+1)-\overline{y}]^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2x_{i}-2\overline{x})^{2}=4s_x^{2}\)，B错误。样本\(B\)的标准差\(s_y=\sqrt{s_y^{2}}=\sqrt{4s_x^{2}}=2s_x\)，C正确。设样本\(A\)中最大值为\(x_{max}\)，最小值为\(x_{min}\)，则样本\(B\)中最大值为\(2x_{max}+1\)，最小值为\(2x_{min}+1\)，极差\(R_y=(2x_{max}+1)-(2x_{min}+1)=2(x_{max}-x_{min})=2R_x\)，D正确。二、填空题（每题5分，共20分）1.已知一组数据\(2\)，\(4\)，\(6\)，\(a\)，\(7\)，\(9\)的平均数为\(b\)，且\(a\)，\(b\)满足关系式\(2a-3b=0\)，则这组数据的方差为______。答案：\(\frac{16}{3}\)解析：这组数据的平均数\(b=\frac{2+4+6+a+7+9}{6}=\frac{28+a}{6}\)。又因为\(2a-3b=0\)，即\(2a-3\times\frac{28+a}{6}=0\)，\(12a-3(28+a)=0\)，\(12a-84-3a=0\)，\(9a=84\)，\(a=\frac{28}{3}\)。\(b=\frac{28+\frac{28}{3}}{6}=\frac{\frac{84+28}{3}}{6}=\frac{\frac{112}{3}}{6}=\frac{56}{9}\)。方差\(s^{2}=\frac{1}{6}[(2-\frac{56}{9})^{2}+(4-\frac{56}{9})^{2}+(6-\frac{56}{9})^{2}+(\frac{28}{3}-\frac{56}{9})^{2}+(7-\frac{56}{9})^{2}+(9-\frac{56}{9})^{2}]=\frac{16}{3}\)。2.若一组数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的方差为\(4\)，则另一组数据\(3x_1-2\)，\(3x_2-2\)，\(\cdots\)，\(3x_n-2\)的标准差为______。答案：\(6\)解析：已知数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的方差\(s_x^{2}=4\)。对于数据\(3x_1-2\)，\(3x_2-2\)，\(\cdots\)，\(3x_n-2\)，其方差\(s_y^{2}=9s_x^{2}=9\times4=36\)，则标准差为\(\sqrt{36}=6\)。3.甲、乙两人在\(5\)次打靶测试中命中的环数如下：甲：\(8\)，\(8\)，\(7\)，\(8\)，\(9\)；乙：\(5\)，\(9\)，\(7\)，\(10\)，\(9\)。则这两人\(5\)次打靶测试成绩的方差\(s_{甲}^{2}\)______\(s_{乙}^{2}\)（填“\(>\)”“\(<\)”或“\(=\)”）。答案：\(<\)解析：甲的平均数\(\overline{x}_{甲}=\frac{8+8+7+8+9}{5}=8\)。\(s_{甲}^{2}=\frac{1}{5}[(8-8)^{2}+(8-8)^{2}+(7-8)^{2}+(8-8)^{2}+(9-8)^{2}]=\frac{1}{5}(0+0+1+0+1)=\frac{2}{5}\)。乙的平均数\(\overline{x}_{乙}=\frac{5+9+7+10+9}{5}=8\)。\(s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}[(5-8)^{2}+(9-8)^{2}+(7-8)^{2}+(10-8)^{2}+(9-8)^{2}]=\frac{1}{5}(9+1+1+4+1)=\frac{16}{5}\)。所以\(s_{甲}^{2}<s_{乙}^{2}\)。4.已知一组数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的方差是\(s^{2}\)，将这组数据中的每个数据都乘以\(k\)（\(k\neq0\)），得到一组新数据\(kx_1\)，\(kx_2\)，\(\cdots\)，\(kx_n\)，则新数据的方差是______。答案：\(k^{2}s^{2}\)解析：设原数据的平均数为\(\overline{x}\)，则\(\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\)，方差\(s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\)。新数据的平均数\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(kx_{i})=k\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}=k\overline{x}\)。新数据的方差\(s_y^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(kx_{i}-k\overline{x})^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}k^{2}(x_{i}-\overline{x})^{2}=k^{2}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}=k^{2}s^{2}\)。三、解答题（每题20分，共40分）1.为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取\(10\)株麦苗，测得苗高如下（单位：\(cm\)）：甲：\(12\)，\(13\)，\(14\)，\(15\)，\(10\)，\(16\)，\(13\)，\(11\)，\(15\)，\(11\)；乙：\(11\)，\(16\)，\(17\)，\(14\)，\(13\)，\(19\)，\(6\)，\(8\)，\(10\)，\(16\)。（1）分别计算两种小麦的平均苗高；（2）哪种小麦的长势比较整齐？解：（1）甲种小麦的平均苗高\(\overline{x}_{甲}=\frac{12+13+14+15+10+16+13+11+15+11}{10}=\frac{130}{10}=13(cm)\)。乙种小麦的平均苗高\(\overline{x}_{乙}=\frac{11+16+17+14+13+19+6+8+10+16}{10}=\frac{130}{10}=13(cm)\)。（2）甲种小麦的方差\(s_{甲}^{2}=\frac{1}{10}[(12-13)^{2}+(13-13)^{2}+(14-13)^{2}+(15-13)^{2}+(10-13)^{2}+(16-13)^{2}+(13-13)^{2}+(11-13)^{2}+(15-13)^{2}+(11-13)^{2}]\)\(=\frac{1}{10}(1+0+1+4+9+9+0+4+4+4)=\frac{36}{10}=3.6\)。乙种小麦的方差\(s_{乙}^{2}=\frac{1}{10}[(11-13)^{2}+(16-13)^{2}+(17-13)^{2}+(14-13)^{2}+(13-13)^{2}+(19-13)^{2}+(6-13)^{2}+(8-13)^{2}+(10-13)^{2}+(16-13)^{2}]\)\(=\frac{1}{10}(4+9+16+1+0+36+49+25+9+9)=\frac{158}{10}=15.8\)。因为\(s_{甲}^{2}<s_{乙}^{2}\)，所以甲种小麦的长势比较整齐。2.已知一组数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的方差是\(s^{2}\)，设\(y_i=ax_i