2024-2025学年云南省普洱市高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省普洱市高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列导数运算错误的是(

)A.(lnxx)′=1−lnxx2 B.(cosx)′=−sinx2.已知函数f(x)=(x−2025)(x−2026)，则f(x)的图象在x=2025处的切线方程为(

)A.2x+y−4050=0 B.x+y−2025=0

C.2x−y−4050=0 D.x−y−2025=03.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(

)A.120 B.60 C.30 D.204.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象可能是(

)A.B.

C.D.5.在(xy+yx)A.3 B.4 C.5 D.66.已知曲线f(x)=x3−x+3在点P处的切线与直线x+2y−1=0垂直，则P点的坐标为A.(1,3) B.(−1,3) C.(1,3)或(−1,3) D.(1,−3)7.如图，将标号为A、B、C、D、E的五块区域染上红，黄，蓝三种颜色，要求相邻区域不同色，共有不同的染色方法有(

)A.30种B.36种

C.27种D.18种8.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f′(x)−2f(x)=e2xx，且f(1)=e2A.有极大值无极小值 B.有极小值无极大值

C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值又无极小值二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，下列说法正确的是(

)A.从中取3个球，则不同的取法种数是C73

B.从中取2个球，则颜色不同的取法种数是10

C.从中取3个球，则颜色不同的取法种数是C52C210.已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)=f′(x0)，则称A.f(x)=1x B.f(x)=lnx C.f(x)=tanx 11.已知函数f(x)=x33−x2A.函数f(x)有两个极值点，则b<0

B.当b<0时，函数f(x)在(0,+∞)上有最小值

C.当b=−2时，函数f(x)有两个零点

D.当b>0时，函数f(x)在(−∞,0)上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=sin2x−xf′(0)，则f′(0)=______．13.若An4=12Cn314.已知函数f(x)=x2−alnx在(1,2)上单调递增，则a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)解不等式：A2x+14<140Ax3(x∈N)．16.(本小题15分)

从包含甲、乙2人的7人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？(结果用数字作答，否则无分)

(1)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；

(2)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；

(3)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．17.(本小题15分)

某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”A系列进行市场销售量调研，随机选择了一个商场进行调研，通过对该品牌的A系列一个阶段的调研得知，发现A系列每日的销售量f(x)(单位：千克)与销售价格x(元/千克)近似满足关系式f(x)=ax−4+10(x−7)2，其中4<x<7，a为常数．已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A系列15千克．

(1)求函数f(x)的解析式．

(2)若A系列的成本为4元/千克，试确定销售价格18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x3−3x．

(Ⅰ)过点P(2,−6)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程．

(Ⅱ)求f(x)的单调区间．

(Ⅲ)求f(x)在[−3,19.(本小题17分)

若函数f(x)=λlnx(λ>0)与函数g(x)=1−ax的图象在公共点处有相同的切线．

(1)当λ=1时，求函数f(x)与g(x)在公共点处的切线方程；

(2)求a的最小值；

(3)求证：当x>0时，x(1−λlnx)≤a．答案解析1.【答案】D

【解析】解：对于A选项：(lnxx)′=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，正确；

对于B选项：(cosx)′=−sinx，正确；

对于C选项：(xex)′=2.【答案】B

【解析】解：由题意，f′(x)=(x−2026)+(x−2025)，

则f′(2025)=−1，又f(2025)=0，

所以f(x)的图象在x=2025处的切线方程为y−0=−(x−2025)，即x+y−2025=0．

故选：B．

利用切点和斜率求得切线方程．

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．3.【答案】B

【解析】解：不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有A42=12种方法，

同理：b，c，d，e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，

∴恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5×12=60种．

故选：B．

4.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．

先根据函数f(x)的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案．【解答】

解：根据y=f(x)的图象可得，原函数的单调性是：当x<0时，增；

当x>0时，单调性变化依次为减、增、减，

故当x<0时，f′(x)>0；

当x>0时，f′(x)的符号变化依次为−、+、−，

结合所给的选项，

故选A．5.【答案】D

【解析】解：二项式(xy+yx)4展开式的通项公式为Tr+1=C4r(xy12)4−r(x12y)r=C4rx4−6.【答案】C

【解析】解：由曲线f(x)=x3−x+3，可得f′(x)=3x2−1，

直线x+2y−1=0的斜率为−12，

可得f′(xP)=3xP2−1=2，则3xP2=3，即xP=±1，

故P7.【答案】A

【解析】解：由题意将标号为A、B、C、D、E的五块区域染上红，黄，蓝三种颜色，要求相邻区域不同色，

可从A开始涂色，A有3种方法，B有2种方法，

①若E与B涂色相同，则C、D共有A22种涂色方法；

②若E与B涂色不相同，则E有1种涂色方法，

当C、E涂色相同时，D有2种涂色方法；当C、E涂色不相同时，C有1种涂法，D有1种涂色方法．

共有3×2×A22+3×2×1×(2+1×1)=30种涂色方法．

故选：A．

首先确定A的一种颜色，因为B、E不相邻考虑B、E同色问题；因为C、E不相邻考虑8.【答案】D

【解析】解：由f′(x)−2f(x)=e2xx，得f′(x)−2f(x)e2x=1x，

设函数g(x)=f(x)e2x，则g′(x)=f′(x)−2f(x)e2x=1x，则g(x)=f(x)e2x=lnx+c，c为常数，

所以f(x)=(lnx+c)e2x，又f(1)=e2，

则c=1，f(x)=(lnx+1)e2x，f′(x)=e2xx+2e2x(lnx+1)=e2x(2lnx+1x+2)．

设ℎ(x)=2lnx+1x+2，ℎ′(x)=2x−1x29.【答案】ABD

【解析】解：从中取3个球，则有C73种取法，A选项正确；

从中取2个球，则颜色不同的取法种数是C51C21=10，B选项正确；

从中取3个球，则颜色不同的取法种数是C52C21+C51C210.【答案】ABD

【解析】解：对于选项A：易知f′(x)=−1x2，

令1x=−1x2，

解得x=−1，

所以函数f(x)=1x有“巧值点”；

对于选项B：易知f′(x)=1x，

令lnx=1x，

作出函数y=lnx，y=1x的图象：

可知方程lnx=1x有解，有“巧值点”，故选项B正确；

对于选项C：易知f′(x)=(sinxcosx)′=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x，

令tanx=1cos2x，

即sinxcosx=1cos2x，

解得sin2x=2，无解，不存在“巧值点”，故选项C错误；

对于选项D：易知f′(x)=1−1x2，

令x+1x=1−1x2，

11.【答案】BCD

【解析】解：因为f(x)=x33−x22+bx+103，则f′(x)=x2−x+b．

对于A选项，函数f(x)有两个极值点，即方程f′(x)=x2−x+b=0有两个不等的实根，

此时，Δ=1−4b>0，则b<14，故A错误；

对于B选项，当b<0时，设f′(x)=0的两个不等的实根分别为x1，x2，且x1<x2，

由韦达定理可得x1x2=b<0，必有x1<0<x2，

当0<x<x2时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减，

当x>x2时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，

故函数f(x)在(0,+∞)上有最小值，故B正确；

对于C选项，当b=−2时，f(x)=x33−x22−2x+103，f′(x)=x2−x−2=(x−2)(x+1)，

令f′(x)=x2−x−2=(x−2)(x+1)=0，可得x=−1或x=2，

当x<−1时，f′(x)>0，此时函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递增，

当−1<x<2时，f′(x)<0，此时函数f(x)在区间(−1,2)上单调递减，

当x>2时，f′(x)>0，此时函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增．

所以，函数12.【答案】1

【解析】解：f′(x)=2cos2x−f′(0)，

所以f′(0)=2cos0−f′(0)，

所以f′(0)=1．

故答案为：1．

先求导，再令x=0，即可求解．

本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，是基础题．13.【答案】5

【解析】解：若An4=12Cn3，

则n(n−1)(n−2)(n−3)=12×n(n−1)(n−2)3×2×1，

化简得n−3=2，

解得n=5．14.【答案】a≤2

【解析】解：函数f(x)=x2−alnx，(x∈(1,2)).f′(x)=2x−ax，

∵函数f(x)在(1,2)上单调递增，∴f′(x)≥0在(1,2)上恒成立．

∴2x−ax≥0，x∈(1,2)⇔a≤2xmin2，x∈(1,2)．

令g(x)=2x2，则g(x)在(1,2)单调增函数．

∴g(x)<g(1)=2．

∴a≤2．

故答案为：a≤2．

由函数f(x)在(1,2)15.【答案】{4,5}；

证明见解析．

【解析】(1)由题意可得，2x+1≥4x≥3，所以x≥3，x∈N∗，

由A2x+14<140Ax3，得(2x+1)2x(2x−1)(2x−2)<140x(x−1)(x−2)，

化简得：4x2−35x+69<0，解得3<x<234，

又因为x∈N∗，所以x=4或x=5，

所以A2x+14<140A16.【答案】120；

120；

140．

【解析】(1)要求甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒，

第一步：甲乙捆绑看作一个整体，从3个位置安排一个位置有C31A22，

第二步：从剩下5人中，需两人排在两个位置，有A52，

所有共有：C31A22A52=120；

(2)要求甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒，

第一步，先从剩下5人中选2人排序，有A52，

第二步，甲乙两人从3个空中选2个空排序，有A32，

所以共有：A52A32=120；

(3)要求甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，

从5人中选2人加上甲乙4人的全排列有：C17.【答案】解：(1)由题意可知，当x=6时，f(x)=5，即a2+10=15，

解得a=10，

∴f(x)=10x−4+10(x−7)2，(4<x<7)

(2)商场每日销售A系列所获得的利润为ℎ(x)，

则ℎ(x)=(x−4)[10x−4+10(x−7)2]=10x3−10x2+1050x−1954，(4<x<7)，

即ℎ′(x)=30x2−360x+1050，

令ℎ′(x)=30x2−360x+1050=0，解得x=5或x=7(舍去)，

∴当4<x<5时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，

当5<x<7时，ℎ′(x)<0【解析】(1)由题意可知，当x=6时，f(x)=5，解得到a=10，即可求出函数的解析式；

(2))商场每日销售A系列所获得的利润为ℎ(x)，则ℎ(x)=10x3−10x218.【答案】(Ⅰ)切线方程为y=−3x或y=24x−54；

(Ⅱ)函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(1,+∞)，单调递减区间为(−1,1)．

(Ⅲ)f(x)max=f(−1)=2，【解析】解：(Ⅰ)由题f′(x)=3x2−3，设所求切线的切点为(a,a3−3a)，

则切线斜率：k=f′(a)=3a2−3=a3−3a+6a−2⇒a=0或a=3，

当a=0时，切点为(0,0)时，切线斜率为−3，则切线方程为y=−3x；

当a=3时，切点为(3,18)时，切线斜率为24，则切线方程为y−18=24(x−3)即y=24x−54；

综上，所求切线方程为