2024-2025学年江西省赣州市定南中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省赣州市定南中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}的通项公式为an=25−2n，在下列各数中，不是A.1 B.−1 C.3 D.22.设函数f(x)满足Δx→0limf(x0−Δx)−f(A.13 B.3 C.−133.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1=7，A.12 B.21 C.28 D.364.函数f(x)=2xf′(1)+x2，则f′(1)等于(

)A.−2 B.2 C.−1 D.15.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，TA.1110 B.417 C.11176.已知函数y=13x3−x2−3x+a,a∈RA.(−5,1) B.(−5,1] C.(−5,3) D.(−5,3]7.某泡沫双面胶加工车间的某一环节就是将一段长3πm、厚1mm的泡沫双面胶绕在一个直径为60mm的空盘芯上(盘芯厚度忽略不计)，则这段双面胶全部绕在空盘芯上时可以绕的圈数(满圈)为(    )(以双面胶外侧为准计算半径)A.30

B.31

C.32

D.338.关于x的不等式lnx−ax2+ax>0(a>0)的整数解个数为n(n∈N∗)时，a∈[pn,qnA.12 B.100101 C.2551二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列求导不正确的是(

)A.(cos2x)′=−sin2x B.(xex)′=ex

10.已知数列{an}的通项公式为anA.a6=19 B.a7>a611.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(2−x)，f′(x)为f(x)的导函数，且对于任意的x∈R，都有(x−2)f′(x)≤0，则(

)A.f(0)<f(4) B.f(−1)=f(5)

C.∀x∈R，f(x)≤f(2) D.∀x∈R，f(x)≥f(2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=13x13.设曲线y=e3x+1在x=014.若数列{Pn}满足P1=0，P2=1，Pn+2=Pn+2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}满足：a2=3，a7=13，Sn为其前n项和，n∈N∗．

(1)求数列{an}的通项公式16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x3−3x2−9x+1．

(1)求函数f(x)17.(本小题15分)

已知数列{an}中，a1=1，an=2an−1+1(n≥2)；数列{bn}为等差数列，且满足：b1=1，b8+2=18.(本小题17分)

已知函数f(x)=12ax2−(1+a)x+lnx(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a<0时f(x)≤b−ln(−a)−a恒成立，求实数b的最小值．

(3)当a=219.(本小题17分)

已知集合A={a1,a2,⋯,an,⋯}，B={b1,b2,⋯,bn,⋯}，{an}是公比为2的等比数列且a2+3，a3+1，a4−3构成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设{bn}是等差数列，将集合A∪B参考答案1.D

2.D

3.C

4.A

5.A

6.B

7.C

8.C

9.ABD

10.BC

11.BC

12.0

13.3x−y+2=0

14.1−15.(1)由等差数列{an}满足：a2=3，a7=13，

设公差为d，可得a1+d=3，a1+6d=13，

解得a1=1，d=2，

则an=1+2(n−1)=2n−1．

Sn=12n(1+2n−1)=n2；

(2)bn=n22n16.解：(1)定义域为R，

令f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)=0，得x=−1或3，

f′(x)<0⇒−1<x<3，f′(x)>0⇒x<−1或x>3，

所以f(x)的递减区间为(−1,3)，递增区间为(−∞,−1)，(3,+∞)；

(2)结合(1)知，当x变化时，f′(x)x

(−∞,−1)−1(−1,3)3

(3,+∞)

f′(x)+

0−

0+

f(x)

递增

f(−1)=4

递减

f(3)=−26递增所以f(x)的极小值为−26，极大值为4．17.(1)证明：当n≥2时，an=2an−1+1，即an+1=2(an−1+1)，

又a1+1=2≠0，故an+1≠0，故an+1an−1+1=2，

故{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，

所以an+1=2×2n−1=2n，所以an=2n−1．

(2)数列{bn}中，b1=1，b818.(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，导函数f′(x)=ax−(1+a)+1x=(x−1)(ax−1)x，

当a≤0时，由f′(x)<0，得x>1；由f′(x)>0，得0<x<1，

因此f(x)在(1,+∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

当0<a<1时，由f′(x)<0，得1<x<1a，由f′(x)>0，得0<x<1或x>1a，

因此f(x)在(1,1a)上单调递减，在(0,1),(1a,+∞)上单调递增，

当a=1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>1时，由f′(x)<0，得1a<x<1，由f′(x)>0，得0<x<1a或x>1，

因此f(x)在(1a,1)上单调递减，在(0,1a),(1,+∞)上单调递增，

当a≤0时，f(x)在(1,+∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

当0<a<1时，f(x)在(1,1a)上单调递减，在(0,1),(1a,+∞)上单调递增，

当a=1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>1时，f(x)在(1a,1)上单调递减，在(0,1a),(1,+∞)上单调递增．

(2)由(1)知当a<0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

则f(x)max=f(1)=−1−a2，

依题意，b−ln(−a)−a≥−1−a2，即b≥ln(−a)−1+a2恒成立，

令函数g(a)=ln(−a)−1+a2(a<0)，求导得g′(a)=1a+12=a+22a，

当a<−2时，g′(a)>0，当−2<a<0时，g′(a)<0，

所以函数g(a)在(−∞,−2)上递增，在(−2,0)上递减，

即g(a)max=g(−2)=ln2−2，因此b≥ln2−2，

所以b的最小值为ln2−2．

(3)由方程f2(x)+f(x)−mf(x)=2m+2⇔(f(x)−m−1)(f(x)+2)=0，

所以f(x)=m+1或f(x)=−2

当a=2时，由f′(x)>0，得0<x<12或x>1；由f′(x)<0，得12<x<1，

函数f(x)在(0,12),(1,+∞)上单调递增，在(12,1)上单调递减，

因为f(x)=x2−3x+lnx，所以f(1)=−2，f(12)=−54−ln2，

当x→0时，f(x)=x2−3x+lnx→−∞，

当x→+∞时，f(x)=x2−3x+lnx→+∞，

则当f(x)=−2时，由上可得此时方程f(x)=−2有两个解，

为了使得方程