2024-2025学年甘肃省张掖二中高一（下）期中数学试卷（A卷）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省张掖二中高一（下）期中数学试卷（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若1−2i=a+bi(i为虚数单位)，其a，b为实数，则a+b的值为(

)A.1 B.3 C.−1 D.−32.向量(AB−MB)−A.AM B.0 C.0 D.AC3.已知sina+3cosa=23A.−1625 B.−79 C.4.在△ABC中，AB=2，AC=3，cosA=−63，则△ABC的面积为A.3 B.23 C.35.已知函数f(x)=sinx+acosx的图象关于点(π6,0)对称，则f(x)的最大值为A.1 B.2 C.33 6.已知向量a、b满足|a|=1,|b|=3，且a与b夹角的余弦值为13A.−13 B.−28 C.23 D.137.设α∈(0,π2),β∈(0,π2)，且A.5π4 B.3π4 C.π38.设a=2sin42°cos42°，b=2tan32°1−tan232∘A.c<b<a B.c<a<b C.a<c<b D.a<b<c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列等式成立的是(

)A.sin15°sin75°=12 B.3−tan15°1+10.下面四个命题中正确的是(

)A.若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z−2

B.若z12<0，则z1是纯虚数

C.若复数z11.定义一种向量运算“⊗”：a⊗b=|a||b|sinθ,θ∈(0,π)|a−b|,θ∉(0,π)，其中a,A.若a⊗b=0，则|a|=|b|

B.若λ∈R，λ≠0，则λ(a⊗三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2,b=23,B=60°，则A=13.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)+sinωx(ω>0)在[0,π]上的值域为[14.已知cosβ=2cos(2α+β)，且α+β≠π2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

当实数m取什么值时，复数z=(m2−33m+6)+(m2−3m)i16.(本小题15分)

锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3且2c=2acosB+b．

(1)求A；

(2)求三角形ABC周长的取值范围；

(3)求三角形ABC面积的最大值．17.(本小题15分)

如图，在梯形ABCD中，已知AB=2CD，AD=CD=1，∠DAB=60°，点E、F分别在直线DC和BC上，且BF=23BC，DE=λDC，连接BD交AF于点P．

(1)设AP=tAF，用AB和AD表示AF，并求实数t的值；

(2)若AE⊥AF，求实数18.(本小题17分)

已知函数f(x)=cos(π2−2x)−23cos2x+3．

(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b19.(本小题17分)

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题：

(1)若△ABC是边长为12的等边三角形，求该三角形的费马点O到各顶点的距离之和；

(2)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ab=sinA，点P为△ABC的费马点．

(i)若ac=43，求PA⋅PB+PB答案解析1.【答案】C

【解析】解：1−2i=a+bi(i为虚数单位)，其a，b为实数，

则a=1，b=−2，

故a+b=−1．

故选：C．

根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解．

本题主要考查复数的运算，属于基础题．2.【答案】D

【解析】解：(AB−MB)−MA+MC−AM

=AB+3.【答案】B

【解析】解：∵sina+3cosa=2sin(a+π3)=2cos(π6−a)=234.【答案】A

【解析】解：因为AB=2，AC=3，cosA=−63，

所以

sinA=1−69=33，

可得△ABC的面积S=5.【答案】D

【解析】解：由题意，得f(π6)=12+32a=0，解得a=−33，

所以f(x)=sinx−33cosx=233sin(x−π6)，

故当6.【答案】A

【解析】解：因为|a|=1,|b|=3，且a与b夹角的余弦值为13，

所以(a+2b)⋅(27.【答案】D

【解析】解：因为sinβ=110，β∈(0,π2)，

所以cosβ=1−110=310，则tanβ=sinβcosβ=13，

则tan2β=2tanβ1−tan2β=231−19=34，

又tanα=18.【答案】B

【解析】解：a=2sin42°cos42°=sin84°，

b=2tan32°1−tan232∘=tan64°，c=1+cos168°2=cos84°，

因为b=tan64°>1>sin84°=a，a=sin84°>sin45°=22，c=cos84°<cos45°=22，

故c<a<b．

故选：B9.【答案】BD

【解析】解：sin15°sin75°=sin15°cos15°=12sin30°=14，A错误；

3−tan15°1+3tan15∘=tan60°−tan15°1+tan60∘tan15∘10.【答案】BD

【解析】解：A选项，取z1=i，z2=2i，z1z2=−2∈R，而z2−=−2i，z1≠z2−，故A选项错误；

B选项，设z1=a+bi，a，b∈R，z12=a2−b2+2abi，由z12<0，得ab=0a2−b2<0，

则a=0，b≠0，z1是纯虚数，故B选项正确；

C选项，取z1=−1211.【答案】BCD

【解析】解：对于A，若a⊗b=0，则由a⊗b的定义有|a||b|cosθ=0,θ∈(0,π)或|a−b|=0,θ∉(0,π)．

由于a,b是非零向量，则|a||b|sinθ≠0,θ∈(0,π)，所以|a−b|=0,θ∉(0,π)，所以|a−b|=0，即a−b=0，

所以a=b，即|a|=|b|，故A正确；

对于B，设有非零向量a，则a⊗a=0，(2a)⊗a=|2a−a|=|a12.【答案】30°

【解析】解：因为a=2,b=23,B=60°，

所以由正弦定理得：asinA=bsinB，

所以sinA=asinBb=2×322313.【答案】[1【解析】解：已知函数f(x)=sin(ωx+π3)+sinωx(ω>0)，

则f(x)=32sinωx+32cosωx=3sin(ωx+π6)，

又x∈[0,π]，

则ωx+π6∈[π6,ωπ+14.【答案】3−2【解析】解：由cosβ=2cos(2α+β)，且α+β≠π2+kπ(k∈Z)可知，cos[(α+β)−α]=2cos[(α+β)+α]，

即cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=2cos(α+β)cosα−215.【答案】m=0或m=3；

m=23；【解析】解：(1)由题意，m2−3m=0，解得m=0或m=3；

(2)由题意，m2−33m+6=0m2−3m≠0，解得m=23；

(3)复数z=(m2−33m+6)+(m2−316.【答案】(1)由正弦定理：2sin(A+B)=2sinC=2sinAcosB+sinB，

则2sinAcosB+2sinBcosA=2sinAcosB+sinB，

所以cosA=12，根据0<A<π2得：A=π3；

(2)由正弦定理：bsinB=csinC=asinA=2，所以b=2sinB，c=2sinC，

b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin(2π3−B)=3sinB+3cosB=23sin(B+π6)，

注意到0<B<π2,0<2π3−B<π2【解析】(1)利用正弦定理边换角并利用两角和的正弦公式展开化简即可得到答案；

(2)利用正弦定理得b=2sinB，c=2sinC，再将周长转化为三角函数值域问题即可；

(3)利用余弦定理和基本不等式即可得到bc的最大值，再利用三角形面积公式即可得到答案．

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．17.【答案】AF=23AB+23AD；t=34【解析】解：(1)在梯形ABCD中，已知AB=2CD，AD=CD=1，∠DAB=60°，

点E、F分别在直线DC和BC上，且BF=23BC，DE=λDC，连接BD交AF于点P，

如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，建立如图平面直角坐标系，

则A(0,0),B(2,0),C(32,32),D(12,32)，

根据平面向量的坐标运算可得AB=(2,0),AD=(12,32),BC=(−12,32)，

则BF=23BC=(−13,33)，根据平面向量的加法法则可得AF=AB+BF=(53,33)，

设AF=xAB+yAD=(2x+12y,32y)，

可得2x+12y=5332y=33，解得x=23y=218.【答案】解：(1)已知函数f(x)=cos(π2−2x)−23cos2x+3，

则f(x)=sin2x−23×1+cos2x2+3=sin2x−3cos2x=2sin(2x−π3)，

令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，则kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，【解析】(1)由已知可得f(x)=sin2x−23×1+cos2x2+3=sin2x−3cos2x=2sin(2x−π3)，令19.【答案】123；

(i)−4；

(ii)2+2【解析】解：(1)由△ABC为等边三角形，三个内角均小于120°，得费马点O在三角形内，

满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，且OB=OC=OA，如图，

过O作OD⊥AC于D，则CD=6，∠OCD=30°，OC=CDcos30∘=43，

所以该三角形的费马点O到各顶点的距离之和为OB+OC+OA=123；

(2)(i)由正弦定理得asinA=bsinB，而ab=sinA，sinA≠0，

则bsinAsinA=bsinB，即sinB=1，得B=π2，则△ABC的三个角都小于120°，

由费马点定义知，∠APB=∠BPC=∠APC=120°