结构稳定理论（第2版）课件 第2章 结构稳定计算的能量法

结构稳定理论授课教师|XXX授课内容22.1引言2.2铁摩辛柯能量法2.3势能驻值原理和最小势能原理2.4瑞利-里茨法2.5迦辽金法第2章稳定计算的能量法2.1引言3静力法求解构件稳定问题，是通过建立临界状态的平衡微分方程而求出临界荷载的精确解。但是，静力法需要求解微分方程，同时得到的稳定方程又是超越方程，求解十分困难。由于构件截面的变化或受力的复杂性，有时甚至要求解变系数平衡微分方程，往往不能得到闭合解，这就需要一些近似方法来求解。非等截面构件压力沿轴线变化的构件压杆的弹塑性屈曲问题具有变系数的平衡微分方程求解困难或无法求解2.1引言4近似方法：能量法

铁摩辛柯能量法

势能驻值原理和最小势能原理

瑞利-里茨法

迦辽金法当时，中性平衡状态2.2铁摩辛柯能量法5能量守恒原理：保守体系处于平衡状态时，贮存在结构体系中的应变能等于外力所作的功：铁摩辛柯能量法：用能量守恒原理解决结构弹性稳定问题受到扰动后：体系应变能增量

ΔEε

=外荷载作功增量

ΔW+扰动力所作功当时，不稳定平衡状态当时，稳定平衡状态求解临界荷载2.2铁摩辛柯能量法6以两端铰接轴心受压直杆为例来说明铁摩辛柯能量法：杆在中性平衡状态下弯曲后，上端下降δ，外力所作的功：取杆件的微段dx来研究：因为θ

角很小，故可取两端铰接的轴心受压直杆2.2铁摩辛柯能量法7以两端铰接轴心受压直杆为例来说明铁摩辛柯能量法：两端铰接的轴心受压直杆沿杆长积分，得到杆件上端下降量δ

为：外力功为：杆件由直线状态过渡到曲线平衡状态过程产生的弯曲应变能增量为：式中，y(x)是任一可能的挠度曲线，即满足位移边界条件的挠度曲线。根据ΔEε

=ΔW

得：2.2铁摩辛柯能量法8以两端铰接轴心受压直杆为例来说明铁摩辛柯能量法：两端铰接的轴线受压直杆由Fcr即为临界荷载：支承情况挠度曲线级数表达式2.2铁摩辛柯能量法9满足位移边界条件的挠度曲线级数表达式：2.2铁摩辛柯能量法10满足位移边界条件的挠度曲线级数表达式：支承情况挠度曲线级数表达式2.2铁摩辛柯能量法11满足位移边界条件的挠度曲线级数表达式：支承情况挠度曲线级数表达式支承情况挠度曲线级数表达式2.2铁摩辛柯能量法12满足位移边界条件的挠度曲线级数表达式：2.2铁摩辛柯能量法13例题2.1

采用铁摩辛柯能量法来求两端铰接轴心受压直杆的临界荷载。解1:假定，此式满足位移边界和力学边界条件。力学边界条件：

位移边界条件：

将代入ΔEε

和ΔW表达式，得到：2.2铁摩辛柯能量法14根据ΔEε=ΔW得：与精确值完全一致采用能量法的精度取于位移函数的选择2.2铁摩辛柯能量法15选择原则:形状合理，尽量与真实变形接近尽可能满足几何、力学边界条件，至少满足几何边界条件易积分，便于计算，如常选用多项式和三角函数解2:设位移函数为：位移边界：a=0b=-cl不满足力学边界条件2.2铁摩辛柯能量法16代入ΔEε

和ΔW表达式，得到：根据ΔEε

=ΔW得：比精确值大21%解3:仍假定位移函数为：ΔW计算不变ΔEε的计算采用，而非2.2铁摩辛柯能量法17根据ΔEε=ΔW得：比精确值大1.3%由于假定的y(x)不是真实的屈曲挠度曲线，y〞的误差更大2.3势能驻值原理和最小势能原理18虚位移原理：变形体处于平衡状态的充分必要条件是，对于与约束条件相协调的任意微小虚位移，外力虚功应等于内力虚功，即外力虚功内力虚功，始终为负值，应等于负的虚应变能外力势能

为总势能，应变能和外力势能之和。势能驻值原理：当体系处于平衡状态时，总势能一阶变分为零，或体系总势能为一驻值。2.3势能驻值原理和最小势能原理19势能驻值条件平衡状态平衡是否稳定，还要进一步考察Ep的高阶变分最小势能原理：对于稳定的平衡，给定任何虚位移，总势能的变化ΔEp总为正，因为只有干扰力作正功才可能偏离原来的平衡位置。因此，在稳定平衡状态，体系的总势能为最小。（a）稳定平衡（b）随遇平衡（中性平衡）（c）不稳定平衡刚体的平衡状态202.3势能驻值原理和最小势能原理当时，，为极小，属于稳定平衡；当时，，为极大，属于不稳定平衡。当时，，属于中性平衡；求临界荷载的两种方法：从中性平衡状态的荷载为临界荷载这一概念出发，由势能驻值原理，求临界荷载。从稳定平衡过渡到不稳定平衡的荷载为临界荷载这一概念出发，由最小势能原理，求临界荷载。简单，平衡条件更严密2.4瑞利-里茨法21瑞利－里茨法：建立在势能驻值原理基础上的近似方法，用求解代数方程式代替求解微分方程式。步骤：假定体系在中性平衡时，沿坐标轴x、y、

z方向的位移分量分别为：形状函数2.4瑞利-里茨法22将假定的形状函数代入势能方程Ep=Eε-W中，根据势能驻值原理得：由于是微小的任意值：求解临界荷载2.4瑞利-里茨法23例题2.3

采用瑞利－里茨法求解一端固定一端铰接轴心压杆的临界荷载。根据表2.1，位移函数只取前两项：位移函数的一阶、二阶导数分别为：压杆的应变能为：满足边界条件2.4瑞利-里茨法24外力势能为：压杆的总势能为：对系数α1、

α2

微分：2.4瑞利-里茨法25系数α1、

α2不全为零的条件是其系数行列式为零，得到稳定方程为：比精确值大3.7%2.5迦辽金法26瑞利－里茨法：迦辽金法：瑞利－里茨法的改进型，仍然利用势能驻值原理，直接写出微分方程。

假定形函数

写出势能方程容易利用势能驻值原理，对系数微分得到代数方程组失稳时系数不全为零，得到特征值方程组，求解临界荷载2.5迦辽金法27原理及步骤：以两端铰接轴心受压直杆为例在弯曲状态下的应变能和外力势能分别为：则总势能为:根据势能驻值原理，一阶变分得：利用分部积分：2.5迦辽金法28代入边界条件，简化得到：令L(y)=EIy(4）+Fy'',L(y)为轴压构件平衡微分方程的左端项：设轴心受压构件挠曲线方程为：变形曲线y的一阶变分为：2.5迦辽金法29代入形函数方程，得：由于是不等于零的任意微小量，其系数等于零上式才成立，于是得到迦辽金方程组为：求解临界荷载2.5迦辽金法30例题2.4

采用迦辽金法求