重难点解析京改版数学9年级上册期中试题及完整答案详解（历年真题）

京改版数学9年级上册期中试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题26分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、如图，已知中，，则的值为（

）A． B． C． D．2、如图，三角形ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，AB＝9，BD＝3，则CE的长等于（）A．1 B． C． D．23、将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点C落在边上的点D，折痕为．已知，若以点B、D、F为顶点的三角形与相似，那么的长度是（

）A．2 B．或2 C． D．或24、已知某条传送带和地面所成斜坡的坡度为1：2，如果它把一物体从地面送到离地面9米高的地方，那么该物体所经过的路程是()A．18米 B．4.5米 C．9米 D．9米．5、锐角α满足，且，则α的取值范围为（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°6、在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（

）A． B． C． D．二、多选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子一定成立的是（

）A．sinA=sinB B．cosA=sinB C．sinA=cosB D．∠A+∠B=90°2、在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，不能选择的关系式是（

）A．c= B．c= C．c=a·tanA D．c=3、如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（

）A． B．C． D．4、若反比例函数y＝的图象在每一个象限内y的值随x的增大而增大，则关于x的函数y＝（1+m）x+m2+3的图象经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5、如图，△ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，不能判定DE∥BC的是（

）．A． B．C． D．6、在同一平面直角坐标系中，如图所示，正比例函数与一次函数的图象则二次函数的图象可能是（

）A． B．C． D．7、下列说法中，正确的是（

）A．两角对应相等的两个三角形相似B．两边对应成比例的两个三角形相似C．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似D．三边对应成比例的两个三角形相似第Ⅱ卷（非选择题74分）三、填空题（7小题，每小题2分，共计14分）1、某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．2、二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_____．3、若，则________．4、如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为_____．5、对于任意实数，抛物线与轴都有公共点．则的取值范围是_______．6、如图，点A是反比例函数图象上一点，轴于点C且与反比例函数的图象交于点B，，连接OA，OB，若的面积为6，则_________．7、若二次函数的顶点在x轴上，则__________．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容：课题：测量古塔的高度小明的研究报告小红的研究报告图示测量方案与测量数据用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为35°，再用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离为30m．在点A用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为17°，然后沿AD方向走58.8m到达点B，测出古塔顶端的仰角为45°．参考数据sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，计算古塔高度(结果精确到0.1m)30×tan35°+1.6≈22.6(m)（1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程；（2）数学老师说小红的结果比较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．请你针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因．2、为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．3、已知，如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，与轴交于点，且经过点（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．（3）求的面积，写出时的取值范围．4、某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数表达式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？5、如图，Rt△ABO的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，C的坐标．6、受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A、B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）A型600900200B型8001200400根据市场行情，该销售商对A手写板降价销售，同时对B手写板提高售价，此时发现A手写板每降低5就可多卖1，B手写板每提高5就少卖1，要保持每天销售总量不变，设其中A手写板每天多销售x，每天总获利的利润为y（1）求y、x间的函数关系式并写出x取值范围；（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；（3）该销售商决定每销售一个B手写板，就捐a元给因“新冠疫情”影响的困难家庭，当时，每天的最大利润为229200元，求a的值．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据，可得答案．【详解】解：在中，由勾股定理，得，∴．故选D【考点】本题考查了锐角正切值的求法，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键．2、D【解析】【分析】通过△ABD∽△DCE，可得，即可求解．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝9，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD＝3，∴CD＝6，∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴，∴∴CE＝2，故选：D．【考点】本题考查了三角形的相似，做题的关键是△ABD∽△DCE．3、B【解析】【分析】分两种情况：若或若，再根据相似三角形的性质解题【详解】∵沿折叠后点C和点D重合，∴，设，则，以点B、D、F为顶点的三角形与相似，分两种情况：①若，则，即，解得；②若，则，即，解得．综上，的长为或2，故选：B．【考点】本题考查相似三角形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4、D【解析】【分析】如图，斜坡AB的坡度为1：2，可求出AC的长，再利用勾股定理求解即可.【详解】∵斜坡AB的坡度为1：2，∴AC=2BC=18米，∴AB=米.故选D.【考点】此题主要考查坡度的意义，需注意的是坡度是坡角的正切值，是铅直高度h和水平宽l的比，我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用α表示坡角，可知坡度与坡角的关系是．5、B【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答．【详解】解：∵，且，∴45°﹤α﹤90°∵，且∴0°＜α＜60°∴45°＜α＜60°．故选：B．【考点】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键．6、B【解析】【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．【详解】解：∵的顶点坐标为（0，0）∴将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），∴所得抛物线对应的函数表达式为，故选B【考点】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．二、多选题1、BCD【解析】【分析】根据互为余角的三角函数关系，可判断A、B、C；根据直角三角形的性质，可判断D．【详解】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，A、A≠B时，sinA≠sinB，故A错误；B、∵∠A+∠B=90°，∴cosA=sinB，故B正确；C、∵∠A+∠B=90°，∴sinA=cosB，故C正确；D、∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，故D正确；故选：BCD．【考点】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟记同角（或余角）的三角函数关系式是解题的关键．2、BCD【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=变形可判断A，在Rt△ABC中，∠C=90°，由cosA=和tanA=，可得可判断B、D，在Rt△ABC中，∠C=90°，由tanA=，可得，由勾股定理c=，可判断C．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinA=，∴c=，故选项A正确；在Rt△ABC中，∠C=90°，∵cosA=∴∵tanA=∴∴故选项B不正确；在Rt△ABC中，∠C=90°，∵tanA=∴∴c=故选项C不正确在Rt△ABC中，∠C=90°，∵tanA=∴∵cosA=∴∴故选项D不正确；不能选择的关系式是BCD．故选择BCD．【考点】本题主要考查解三角形，勾股定理，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解．3、AD【解析】【分析】根据在直角三角形中一个角的正切值等于其所对的边与斜边的比值进行构造直角三角形求解判断即可．【详解】解：A、如图所示，，∴，故此选项符合题意；B、如图所示，，∴，故此选项不符合题意；C、如图所示，，∴，故此选项不符合题意；D、如图所示，，，BD⊥AC，∴，∴，∴∴，故此选项符合题意；故选AD．【考点】本题主要考查了求正切值和勾股定理，解题的关键在于能够构造直角三角形进行求解．4、ABD【解析】【分析】先根据反比例函数y＝的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大可得出关于m的不等式，求出m的取值范围，然后推知函数y＝（1+m）x+m2+3的图象所经过的象限．【详解】反比例函数y＝的图象在每一个象限内y的值随x值的增大而增大，m+2<0，m<-2，1+m<-1，m2+3>7，函数y＝（1+m）x+m2+3的图象经过第一、二、四象限，故选：ABD．【考点】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的图象，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．5、BCD【解析】【分析】利用各选项给定的条件，结合再证明,可得,逐一分析各选项，从而可得答案．【详解】解：A、而则故A不符合题意；B、与不一定相似，则与不一定相等，不一定平行，故B符合题意；C、，而而不一定相等，故不一定平行，故C符合题意；D、与不一定相似，则与不一定相等，不一定平行，故D符合题意；故选：BCD．【考点】本题考查的是相似三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．6、BD【解析】【分析】根据正比例函数图象和一次函数图象可得，，然后分两种情况讨论：当时，；当时，，即可求解．【详解】解：根据题题得：当x=-1时，正比例函数与一次函数的图象相交，∴，，即，当时，，对于二次函数，当x=-1时，，即，且，故B选项正确；当时，，对于二次函数，当x=1时，，即，且，故D选项正确；故选：BD【考点】本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．7、ACD【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】A

“两角对应相等的两个三角形相似”是正确的；B

“两边对应成比例的两个三角形相似”是错误的，还需添上条件“且夹角相等”才成立；C

“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是正确的；D

“三边对应成比例的两个三角形相似”是正确的故选：ACD【考点】本题考查了相似三角形的判定定理，做题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．三、填空题1、1264【解析】【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．据题意：∴∵∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264【考点】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．2、（1，0）【解析】【分析】根据表中数据得到点（-2，-3）和（0，-3）对称点，从而得到抛物线的对称轴为直线x=-1，再利用表中数据得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（-3，0），然后根据抛物线的对称性就看得到抛物线与x轴的一个交点坐标．【详解】∵x=-2，y=-3；x=0时，y=-3，∴抛物线的对称轴为直线x=-1，∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-3，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）．故答案为（1，0）．【考点】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．3、【解析】【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．【详解】由可得，，代入．故答案为．【考点】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．4、2【解析】【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，当点P在x轴上方时，∴x2-1>0,∴PH=|x2-1|=x2-1，在Rt△OHP中，由勾股定理，得OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，∴OP=x2+1，∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，故答案为：2．【考点】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键．5、【解析】【分析】由题意易得，则有，然后设，由无论a取何值时，抛物线与轴都有公共点可进行求解．【详解】解：由抛物线与轴都有公共点可得：，即，∴，设，则，要使对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则需满足小于等于的最小值即可，∴，即的最小值为，∴；故答案为．【考点】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的综合是解题的关键．6、【解析】【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=||=-，S△BOC=||=-，利用AB=3BC得到S△ABO=3S△OBC=6，所以-=2，解得=-4，再利用-=6+2得=-16，然后计算+的值．【详解】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y=（x＜0）图象交于点B，而＜0，＜0，∴S△AOC=||=-，S△BOC=||=-，∵AB=3BC，∴S△ABO=3S△OBC=6，即-=2，解得=-4，∵-=6+2，解得=-16，∴+=-16-4=-20．故答案为：-20．【考点】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．7、-2或【解析】【分析】根据二次函数一般式的顶点坐标公式表示出顶点，再根据顶点在x轴上，建立等量关系求解即可．【详解】解：的顶点坐标为：∵顶点在x轴上∴解得：故答案为：或【考点】本题考查二次函数一般式的顶点坐标，掌握二次函数一般式的顶点坐标公式是解题关键．四、解答题1、（1）见解析，古塔的高度为26.8m；（2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，应该测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离【解析】【分析】（1）设，根据等腰直角三角形的性质可得，然后利用正切函数得出，求解，结合图形求解即可得出；（2）对比小红的测量方法，结合题意：用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离即可得出误差较大的原因．【详解】解：(1)设，在中，∵，∴，在中，∴，∴，∴，即m，∴m，答：古塔的高度为26.8m．(2)原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，应该测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离．【考点】题目主要考查利用正切函数解三角形的应用，理解题意，依据正切函数列出方程是解题关键．2、（1）；（2）最大利润为3840元【解析】【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；（2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．【详解】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0），则，解得：，∴当8≤x≤32时，y＝−3x＋216，当32＜x≤40时，y＝120，∴；（2）设利润为W，则：当8≤x≤32时，W＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072，∵开口向下，对称轴为直线x＝40，∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，∴x＝32时，W最大＝2880，当32＜x≤40时，W＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960，∵W随x的增大而增大，∴x＝40时，W最大＝3840，∵3840＞2880，∴最大利润为3840元．【考点】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．3、（1）；（2）顶点坐标是，对称轴是；（3）的面积为21，时，的取值范围是．【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案；（2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；（3）首先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式和图像得出答案．【详解】（1）∵二次函数的图象经过点、，∴，解这个方程组，得，∴该二次函数的解析式是；（2），∴顶点坐标是；对称轴是；（3）∵二次函数的图象与轴交于，两点，∴，解这个方程得：，，即二次函数与轴的两个交点的坐标为，．∴的面积．由图像可得，当时，，故时，的取值范围是．【考点】本题主要考查了待定系数法求函数表达式，求三角形面积，图像法求自变量求职范围，用配方法求抛物线顶点坐标和对称轴，求出函数表达式是解决问题的关键．4、（1