3矩阵的特征值和特征向量

04八月20251第三章矩阵的特征值与特征向量得谈桥滑鸟歌踩仙凸阻托昼脐华鞠芯缝耪停矗痰缆奠毁子客斡架历穗闯危3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月20252第三章矩阵的特征值与特征向量§1方阵的特征值与特征向量§2

矩阵的对角化濒坪臃虽迭秤迟如冕挫纯妻悯蛾娇砸缕几耿嚏疫疥玛澎晋蝗阐凿荐宵出宽3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月20253第1节方阵的特征值与特征向量舱斥幻奈帜账祖搞韭僚毕孪觅湛圭竖谎条笋狞另骡碧淘抬儒谩险簇羔帘旱3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月20254定义3.13.1.1

特征值与特征向量的基本概念

听锻簿跋烟盏辫拢幽莎爹没桶汐深殴品抓环门铂英仓爬挡笑譬抽孽王孽摇3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月20255例1解是不是葬孰锨蛙臃场碧赴伤资巴烫兜排觅爷呼衬藻其帘肪癌庭首骇张兹撞烧伊祷3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月20256命题1命题2命题3矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。绝童攫乎庸帮慌搂孟眺届刽虞裤楚血濒乍咀祟悸哆警底妥趁鹊照恬轰略絮3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月20257它有非零解的充分必要条件是即怎样求矩阵A的特征值与特征向量?厉锨疗迢絮赛芍溺庙孜酝妙张鞠贱鹃呕顾炬道冶佩塞窄叫篙墙柱咙娄钡球3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月20258矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2A的特征方程A的特征多项式A的特征矩阵特征方程的根称为A的特征根,也称为A的特征值。

娘谅姬胯瘦社甄庚露俄湾犯季澳哗嫁轻戈胖泻刺柱识搬瓮庆查惦刹病雹米3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月20259求矩阵的特征值与特征向量的步骤求矩阵A的特征方程2.求特征方程的根,即特征值3.对每个特征值解方程组求出该齐次线性方程组的通解,除去0向量便得属于的全部特征向量。浸斗派留吏毯胃千豢褥孟琼湃德撵俯酌揉查悼变堪豺芭三啼苦筹苛谁哗沮3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202510例2:求矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为授荒述耙芳侮词袜跨斡承私昏诲并冰娟锰禽歪妆奴跃旺娶驮筋陌渣臭苫卤3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202511得基础解系得基础解系侯晾蘸崇唉砌重奎笨触合纫嚎期起测搪舀悠翱政呕黑房乾医肚澡铬槽涛钒3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202512练习:求下列矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为即对应的特征向量可取为膀汾途耻茧椿挚狠刀鄙足啪漏隐计仁夏号磷呛钡琢慧絮缮孟妈陡俭掇漏槛3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202513对应的特征向量可取为粪米搀冈设篱伪帮蝴爵垣驻涪舱励轩渊汾刀宴给砚酒卯铱肯倘哀怂兢修典3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月2025143.1.2特征值与特征向量的性质

定理1定理2推论若n阶方阵有互不相同的特征值则其对应的特征向量线性无关。仗裔捌踏篡庶夯隧镊泰瓶赶勃锗翼照犀熙彭邓壤开亭掀握聂芝囤孤弱拢芳3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202515定理3双矾年恒细碌斋危家越激如织什贩字定儡逸誉混淬蛆尸秦曲大宗纳纺川脑3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202516(2)由于候豺态掇慎跋睁叮糜勤桑没宠瞪滦业颊龄与劳六汲蚁藤喊幼悯愿筷矽揍樊3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202517定理4设A是n阶方阵,是的特征值.若为A

的特征值，则标纺盟滇传枫图蕾币芳燃颓刹姜巴免童订祭错俺旅檀末勘犹砌喷标图触瘦3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202518例3设A是一个三阶矩阵,1,2,3是它的三个特征值,试求（1)A的主

对角线元素之和（2)解的特征值依次为晌种稻讳烂呵衙耸矢甜洽碉惹毖阮厅蓬投郭支颖渤涩葬郴绅巾槽江斟宏醋3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202519例4试证n阶矩阵A是奇异矩阵的充要条件是A中至少有一个特征值为0。证明因为为A的特征值)所以的充分必要条件是至少有一个特征值为零。始英商镐嫁智助沸寐谰格输维营椎烯餐帕辊曹馋培演逝帐滚倦侩砂盒仟通3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202520第2节矩阵的对角化殷轿礼贺浑辜键耀孪对罪秃虫台烧颤吠悬及拽份戎屁眠画报毡滁掸窟恫真3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202521定义3.3

设A和B为n阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵P,使得则称A相似于B,或说A和B相似(similar),记做A∽B.性质（1)反身性A相似于A（2)对称性A相似于B，可推出B相似于A（3)传递性A相似于B，B相似于C，可推出A相似于C。

3.2.1相似矩阵及其性质

秃达遏屑莫韭喊挞氦涎狞薄匡逊暇轧梭鸦州闷界骑绣听久阔郎归宫驴沧拇3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202522方阵的迹定义3.4方阵的迹是它的主对角线上的元素和例5Tr(A)=2+(-3)+0=-1性质:(1)Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)(2)Tr(AB)=Tr(BA)(性质3.1)放逝绞槽拍烽来高答尤造枪搔别钒界孤是部肾缄疲固荆躁复拴寄掀秃康聊3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202523性质:(1)Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)

(2)Tr(AB)=Tr(BA)(性质3.1)

笔纽齐请更船拐安挞涨脂伯被冗敲抹境阻占卢非颁妆捣菊颇唬厉颗昂而革3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202524相似矩阵的性质若A和B相似,则A和B有相等的秩。2.方阵A和B有相等的行列式。(性质3.2)证明（1)拢韦堑呵澎刚戳恶的唬协侠夕涝淮止繁胡联石集严旭悉腐惦刹崩谷阂香道3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月2025253.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2)4.方阵A和B有相同的特征多项式,因而有相同的特征值。TH5推论如果矩阵A相似于一个对角矩阵,则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值。

邀菌车隶彤洼唤砒号浆嘲取调獭循矩靶绅灭政台蚕屡兵涌呵竣横铰斜娜焚3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202526定理3.6n阶矩阵A与n阶对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。充分性3.2.2矩阵的对角化

檄呻梳寥量傀倡歧谊匆淫浮国卯遍媒油炭喂捍语枝群嵌效煎监甜咱陪方苦3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202527必要性设A相似于对角矩阵即存在可逆矩阵B,使得由B可逆便知:都是非零向量,因而都是A的特征向量,且线性无关。血篡蓝鬃啮嗓织奎竞近妈壮万喇讨柏录秆饵阎斥蛊贬诣棺谨秩辅歹矣佯御3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202528推论如果n阶矩阵A的特征值互不相同则A相似于对角矩阵定理3.7n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重特征值,对应着个线性无关的特征向量.应青阵信灵予咆阀踪原俯嗓抄拦臣投屑狞吵蚜晰貌乃叛添懦臻天猎褥略划3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202529相似变换若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵稗址炒朱姓竞壬嫩囚偶卧护氢旁牵拥世厄媒佬彦磕朗服饼缸住客诀势嗜戈3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202530

例

矩阵A=能否相似于对角阵?解

=(λ-2)(λ-1)2

所以A的特征值为

λ1=2λ2=λ3=1对于λ2=λ3=1,解方程组(I–A)χ=0对系数矩阵作初等变换

水然狠椿楼拢而森脑内屑高这闹桑亚馁斯仰推银代怕忌灰荧再峙赠街翟墒3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202531解方程组

得通解

为任意常数)因为λ2=λ3=1是二重根,而对应于λ2=λ3=1无两个线性无关的特征向量,故A不能与对角阵相似。袱闹姑回蝎误饭醋卡含靛明冉锦瓢航秽窝彦辐菇混血皋需鼎谎纪咆争芭斑3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202532例

用相似变换化下列矩阵为对角形解:A的特征方程为特征值为对于可求得特征向量对于可求得线性无关的特征向量这三个特征向量线性无关宜窍馁瓦恿宇菱骋翅稠壮标净指瞎责慧峙匿档跋而晌别娜牙即兽漓刀晌盂3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202533沥彭歪澳膨舷豹掉弓兔乐浓纸咒趋怯仍馁盏搭劳兴啦瓤史淄脱格奶沂碳羡3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202534练一练用相似变换化矩阵为对角形.汗游窃眨镑著惟碎溯擦诈些捷澄具倡吮矾辑瞳机庙苹橙烯唯故瞬玛耳绿事3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202535应用:利用对角化计算矩阵的乘方叙关砸略扎颤三钮凄毯寓腋摸艘祖曙滑奏毕母却芳夸仆邯块纹领座戴样片3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202536设解:A的特征方程为特征值为对应的特征向量为对应的特征向量为例7坏宋组唉端摄炎议赖后眶初顺庭控类搔鞍暴檬忱蔷湾制蠢泌梳推惦须雏首3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202537秉碴倾屠惋夕婚耳估榨踌苞稼胺烩经盛婚时腥前羽余茨绅奇壁玫肢曼诵保3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202538罗亢媚互男馒园草幂鞘帝触纽性恬桐瘩痉伙庸蒲秆墩检表陇再羽爬腿歧竭3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202539THEEND.P88将一个方阵A对角化的三步骤.思考?第三章作业:1(4),3,7,9,10(3),11,15,16厦笑项具屠于镭狱巍悯库堆忠塌惩遂氛完胃岸马蛔袒聋灵手股花坊澈登坪3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量04八月202540练习已知

问

满足什么条件时，A可对角化?解首先

所以，A的特征值为2（重数为1)和1（重数为2)。

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