2026《高考数学一轮复习微专题106讲》含答案37.代数学基本定理及应用

2026《高考数学一轮复习微专题106讲》含答案37.代数学基本定理及应用37.代数学基本定理及应用一．基本原理1.三次方程根与系数得关系（1）已知实系数多项式有三个根,设为（2）由三次方程根与系数的关系：2.复系数多项式的个复根为,则证明：由多项式的因式分解定理知道于是比较系数可以得到韦达定理.（注意：或者用排列组合方法亦可证明）.3.★一个非常重要的技巧：先猜（看）根，再分解.很多题目中（特别是多项式），命题人往往都会给到一个看得出来的零点，此时我们就可以做这样的因式分解，举个例子：求的零点.可以发现是方程的一个实数根,所以是多项式的一个因式,因此,设1),又通过展开整理,所以.对比系数可得：,解得.综上所述,原式，故而求得的零点.（凌晨讲数学）二．典例分析例1．已知函数有两个零点，则可设，由，所以，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理，设多项式函数，根据代数基本定理可知方程有个根，则（

）A． B． C． D．解析：由题意知：，；，.故选：C.例2．（多选题）代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它在代数学中起着基础作用．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）．若，记为方程的一个虚数根，则（

）A． B．C． D．解析：令，得或，由，得，所以，则，所以是的两个复数根，对于A，因为为方程的一个虚数根，即满足，所以，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，因为与互为共轭复数，所以，故C正确；对于D，由，得，若，则，若，则，综上：，故D正确.故选：ACD.例3．（多选题）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程，在复数集内的根为，，，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．解析：由题设知：，∴，∴∴，.故选：AC例4．我们把（其中）称为一元次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即，其中，为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，.（1）在复数集内解方程：；（2）设，其中，且.（i）分解因式：；（ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当时，.解析：（1）观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，即有解得，即，令，则，即该方程的根为：、；（2）（i）观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，则有，即，即；（ii）令，即，即，设，由，有，故函数必有两个不同零点，设，且，则，故，又，故，则方程的根有，且，故的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点的横坐标为，即.例5．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（1）若函数的对称中心为，求函数的解析式．（2）由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系．①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值；②若，函数的零点分别为，求的值.解析：（1）由为奇函数，则恒成立.即，整理得：恒成立，故，解得，故.（凌晨讲数学）（2）①若，则，由题有的三个实根为.设，展开得，故，则，又，故，综上：当时，的最大值为；②时，，由有，同时除以得，令，，，由题知是方程的三个根，则，展开得，，则.例6．材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，容易得到，设实系数一一元三次方程①，在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为，展开得：②，比较①②可以得到根与系数之间的关系：，阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：（1）对于方程在复数集内的根为，求的值；（2）如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，试找到根与系数之间的关系；（3）已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值.（凌晨讲数学）解析：（1）由阅读材料可知：，且有：；（2）由材料可知：一元四次方程可改写为展开得：，故可得：（3）由题有的三个实根为.设，展开得，故，则，又，故，综上：当时，的最大值为-3；下面我们来讨论代数学基本定理与因式分解技巧在三次函数中的应用，就以两道高考真题为例.例7．（2020年全国3卷）设函数，曲线在点处的切线与轴垂直．（1）求．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．解析：（1）因为，由题意，，即：，则．（2）（方法1.导数讨论）由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上单调递减，在，上单调递增，且，若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，即或.当时，，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当时，，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，所有零点的绝对值都不大于1.（方法2.三次方程因式分解）设是的一个零点，且，则．从而．令，由判别式，可知在R上有解，的对称轴是，所以在区间上有一根为，在区间上有一根为（当时，），进而有，所以的所有零点的绝对值均不大于1．例8.（2021年新高考2卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．（凌晨讲数学）（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．解析：（1）.（2）（方法1.求导讨论）设，因为，故，若，则，故.，因为，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，若，因为在为增函数且，而当时，因为在上为减函数，故，故为的一个最小正实根，若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则.若，则，故.此时，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，.（方法2.因式分解）注意到为函数的一个零点,那么，令则二次函数的对称轴为.注意到当时,,则的正实根,所以.当时,,则的正实根,所以.意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于38.平面向量一轮备考策略研究一．基础款，送分题例1．（2023年新高考1卷高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．解析：因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．例2．（2023年新高考2卷高考真题）已知向量，满足，，则__________．解析：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.例3．（2023年甲卷高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．解析：因为,所以,即,即,所以.设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.(2022新高考全国2卷)已知向量，若，则()A． B． C．5 D．6解析：,,即,解得．故选C．(2022新高考全国1卷)在中，点D在边AB上，．记，则()A． B． C． D．解析：因点D在边AB上，，所以，即，所以，故选：B．(2022年高考全国乙卷数学(理))已知向量满足，则()A． B． C．1 D．2解析：∵，又∵∴9，∴，故选：C．例7．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第13题)设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．解析：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．二．压轴题例8.（2023年全国乙卷）已知的半径为1,直线与相切于点,直线与交于两点,为的中点,若,则的最大值为（）A. B. C. D.解析：（方法1）如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得，当点位于直线异侧时，设，则：，，则，当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.（方法2：坐标法）建立平面直角坐标系,以为坐标原点,圆的方程为,与轴切于点.设过点的直线方程为交圆于,中点,由，得,由韦达定理得,由于，所以，当且仅当时,取等号,故选A.例9．（2017年2卷）已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是() B． C． D．解析：（方法1.几何法）设点为中点，可得，再设中点为，这样用极化恒等式可知：，在等边三角形中，，故取最小值当且仅当取最小，即，故.（公众号：凌晨讲数学）（方法2.坐标法）以中点为坐标原点，由于，，．设，，，，故，则其最小值为，此时，．例10.（2017年3卷）在矩形中，，点在以为圆心且与相切的圆上，若，求的最大值.解析：（方法1：等和线）如图，由等和线性质可知，，显然，当的平行线与圆在最上方相切时，取最大，显然此时，直线的方程为，故可取为点到直线的距离.由于的平行线与圆相切，故可得的方程为，那么取为点到直线的距离.这样就可得到.（方法2：坐标法）设,易得圆的半径，即圆C的方程是，，若满足题意则，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，则的最大值是3.感悟.在处理平面向量范围问题时，坐标法是通性通法，这一点需要注意，尽管我们在此处给了相关问题的实质背景，但是，不可否认坐标法的使用范围更为广阔！三.平面向量的四大进阶教程3.1等和线定理1.（三点共线向量结论）若三点共线，则当且仅当.2.等和线定理进一步，如图所示，若，由于点在直线上的任意性可知，点所动成的直线平行于直线，且直线上任意一点都满足，故称直线为等和线.此时相似于，因此，我们就可以取特殊情形，即过三点的直线分别垂直于，时，计算.除此，上述推导还告诉我们：对于不共线向量,若，则（1）点在直线外侧（不含点一侧）的充要条件是．（2）点在直线内侧（含点一侧）的充要条件是.3.2极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：.若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于，两式相减可得：.特别，在中，设，点为中点，再由三角形中线向量公式可得：(极化恒等式).3.3投影法计算数量积结论：如图1，，特别地，若点在线段的中垂线上时，.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，为的外心，可以证明：（1）.；，同理可得等.（2）.，同理可得等.（3）.，同理可得等.证明:例11.已知是的外心，，，则（

）A．10 B．9 C．8 D．6解析：如图，O为的外心，设为的中点，则,故,故选：A例12．在边长为4的菱形中，，为中点，为平面内一点，若，A．16 B．14 C．12 D．8解析：由可得：，故在中垂线上，由投影的定义可得：.再根据余弦定理可得：，故可得选B.4.向量隐圆例13.已知向量满足，且与的夹角为，则的