2025年广东省方程竞赛题库

2025年广东省方程竞赛题库本文借鉴了近年相关经典试题创作而成，力求帮助考生深入理解测试题型，掌握答题技巧，提升应试能力。一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若实数\(a\)满足\(a^2+2a+3=0\)，则\(a^3+4a+5\)的值为（）。A.0B.1C.2D.32.方程\(x^2-mx+n=0\)的两根分别为\(2\)和\(3\)，则\(m\)和\(n\)的值分别为（）。A.\(m=5,n=6\)B.\(m=5,n=5\)C.\(m=6,n=5\)D.\(m=6,n=6\)3.已知\(x\)是实数，且满足\(x^2+2x+3=0\)，则\(x^4+4x^2+7\)的值为（）。A.1B.2C.3D.44.方程\(2x^2-3x+1=0\)的根的情况是（）。A.两个不相等的实数根B.两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定5.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-4x+3=0\)的两个根，则\(a^2+b^2\)的值为（）。A.4B.5C.6D.106.方程\(x^2+px+q=0\)的两根之差的平方为4，则\(p\)和\(q\)之间的关系是（）。A.\(p^2-4q=4\)B.\(p^2-4q=-4\)C.\(p^2+4q=4\)D.\(p^2+4q=-4\)7.若\(x_1\)和\(x_2\)是方程\(x^2-2x+1=0\)的两个根，则\(x_1^3+x_2^3\)的值为（）。A.0B.2C.4D.88.方程\(x^2+mx-6=0\)的一个根是\(2\)，则\(m\)的值是（）。A.-1B.1C.-3D.39.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的两个根，则\(a^3+b^3\)的值为（）。A.5B.10C.15D.2010.方程\(x^2-6x+k=0\)有两个相等的实数根，则\(k\)的值是（）。A.3B.6C.9D.12二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）11.若方程\(x^2+mx+1=0\)的一个根是\(1\)，则\(m\)的值为。12.方程\(2x^2-7x+3=0\)的两根之积为。13.若\(x_1\)和\(x_2\)是方程\(x^2-3x+2=0\)的两个根，则\(x_1^2+x_2^2\)的值为。14.若方程\(x^2+px+q=0\)的两根分别为\(2\)和\(-3\)，则\(p\)和\(q\)的值分别为。15.方程\(x^2-4x+1=0\)的两根的平方和为。三、解答题（本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.(本小题满分12分)已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-4x+1=0\)的两个根，求\(a^2+b^2\)的值。17.(本小题满分12分)已知方程\(x^2-mx+1=0\)的一个根是\(2\)，求\(m\)的值及方程的另一个根。18.(本小题满分12分)已知\(x_1\)和\(x_2\)是方程\(x^2-3x+k=0\)的两个根，且\(x_1+x_2=5\)，求\(k\)的值及方程的另一个根。19.(本小题满分12分)已知方程\(x^2+px+q=0\)的两根之差的平方为4，求\(p\)和\(q\)之间的关系。20.(本小题满分12分)已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的两个根，求\(a^3+b^3\)的值。答案与解析一、选择题1.D解析：方程\(a^2+2a+3=0\)无实数根，因此\(a\)为虚数。设\(a=x+yi\)，则\(a^3+4a+5\)的实部为\(x^3-3xy^2+4x+5\)，虚部为\(3x^2y-y^3+4y+5\)。由于\(a\)为虚数，实部为0，虚部不为0，因此\(a^3+4a+5\)的值为3。2.A解析：根据根与系数的关系，\(m=2+3=5\)，\(n=2\cdot3=6\)。3.B解析：方程\(x^2+2x+3=0\)无实数根，设\(x=x+yi\)，则\(x^4+4x^2+7\)的实部为\(x^4-4x^2+7\)，虚部为\(4x^3y-4xy^3\)。由于\(x\)为虚数，虚部为0，实部为2。4.A解析：判别式\(\Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot1=1>0\)，因此方程有两个不相等的实数根。5.D解析：根据根与系数的关系，\(a+b=4\)，\(ab=3\)，则\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=16-6=10\)。6.A解析：设方程的两根为\(x_1\)和\(x_2\)，则\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=p^2-2q\)。由于两根之差的平方为4，即\((x_1-x_2)^2=4\)，则\(p^2-4q=4\)。7.A解析：方程\(x^2-2x+1=0\)的两根为\(x_1=x_2=1\)，则\(x_1^3+x_2^3=1^3+1^3=2\)。8.D解析：将\(x=2\)代入方程\(x^2+mx-6=0\)，得\(4+2m-6=0\)，解得\(m=1\)。9.C解析：根据根与系数的关系，\(a+b=5\)，\(ab=6\)，则\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=5(a^2-6+b^2)=5(25-12)=15\)。10.C解析：方程\(x^2-6x+k=0\)有两个相等的实数根，则判别式\(\Delta=0\)，即\(36-4k=0\)，解得\(k=9\)。二、填空题11.-2解析：将\(x=1\)代入方程\(x^2+mx+1=0\)，得\(1+m+1=0\)，解得\(m=-2\)。12.3解析：根据根与系数的关系，方程\(2x^2-7x+3=0\)的两根之积为\(\frac{3}{2}\)。13.7解析：根据根与系数的关系，方程\(x^2-3x+2=0\)的两根为\(x_1=1\)，\(x_2=2\)，则\(x_1^2+x_2^2=1^2+2^2=5\)。14.-1,-6解析：根据根与系数的关系，\(p=2+(-3)=-1\)，\(q=2\cdot(-3)=-6\)。15.17解析：根据根与系数的关系，方程\(x^2-4x+1=0\)的两根为\(x_1\)和\(x_2\)，则\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-2=14\)。三、解答题16.解：根据根与系数的关系，方程\(x^2-4x+1=0\)的两根\(a\)和\(b\)满足\(a+b=4\)，\(ab=1\)。则\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2\cdot1=16-2=14\)。17.解：将\(x=2\)代入方程\(x^2-mx+1=0\)，得\(4-2m+1=0\)，解得\(m=\frac{5}{2}\)。根据根与系数的关系，方程的两根\(x_1\)和\(x_2\)满足\(x_1+x_2=\frac{5}{2}\)，\(x_1x_2=1\)。则方程的另一个根\(x_2=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}\)。18.解：根据根与系数的关系，方程\(x^2-3x+k=0\)的两根\(x_1\)和\(x_2\)满足\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_2=k\)。已知\(x_1+x_2=5\)，则\(3=5\)矛盾，因此无解。19.解：设方程\(x^2+px+q=0\)的两根为\(x_1\)和\(x_2\)，则\(x_1+x_2=-p\)，\(x_1x_2=q\)。已知\((x_1-x_2)^2=4\