2024-2025学年甘肃省平凉一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省平凉一中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列求导运算中错误的是(

)A.(3x)′=3xln3 B.(2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinB−asinA=5csinC，cosA=12，则bcA.6 B.5 C.4 D.33.过点(−1,1)的直线l与曲线f(x)=x3−x2−2x+1A.不存在 B.−1 C.3 D.3或−14.设f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，其导函数为f′(x)，当0≤x≤3时，f(x)图象如图所示，且f(x)在x=1处取得极大值，则f(x)⋅f′(x)>0的解集为(

)A.(−3,−1)∪(0,1)

B.(−3,−1)∪(1,3)

C.(−1,0)∪(0,1)

D.(−1,0)∪(1,3)5.投掷3枚质地均匀的骰子，设事件A=“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件B=“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则P(B|A)=(

)A.12 B.34 C.146.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，∠A1AD=∠A1AB=πA.0

B.32

C.127.已知函数f(x)=ln(x2+1A.(13,+∞) B.(1,+∞) C.(−∞,8.如图，在菱形ABCD中，AB=433，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为22，若P，Q分别为线段BD，A.平面ABD⊥平面BCD

B.线段PQ的最小值为2

C.当AQ=QC，4PD=DB时，点D到直线PQ的距离为1414

D.当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设随机变量X的分布列为X1234P1m11则下列选项正确的是(

)A.m=14 B.P(|X−3|=1)=512

C.10.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在BD上，且BE=13BDA.线段EF是异面直线BD与CB1的公垂线段

B.异面直线AA1与BD的距离为12

C.点D1到直线EF的距离为14311.已知函数f(x)=x2x−1A.f(x)的定义域为R

B.f(x)是偶函数

C.f(x)是奇函数

D.对任意的x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，f(x)>−2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.向量a=(−1,x,4)与b=(2x,−8,y)共线，且方向相同，则x+y=______．13.某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类选修课的选修人数之比为6：3：1，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为______．14.已知f(x)=−1x+x,g(x)=x2−4x−3，若∀x1∈[−2,−1]，∃四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x2−10x+12lnx．

(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)求17.(本小题15分)

为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名．

(1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；

(2)设X表示选出的3人中外科医生的人数，求X的分布列，均值，方差．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥BC.点E在线段PC上．

(1)若3PE=EC，在PB上找一点F，使得E，F，A，D四点共面，并说明理由；

(2)求点A到平面PBC的距离；

(3)若直线AE与平面ABCD所成角的正弦值为3010，求二面角E−AD−B19.(本小题17分)

已知椭圆ω：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−2,0)，且a=2b．

(Ⅰ)求椭圆ω的方程；

(Ⅱ)设O为原点，过点C(1,0)的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M答案解析1.【答案】C

【解析】解：对A：(3x)′=3xln3，故A正确；

对B：(lnxx)′=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，故B正确；

对C：(sinx+lna)′=cosx，故2.【答案】A

【解析】【分析】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理与余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理，化简运算，得解．【解答】

解：由正弦定理及bsinB−asinA=5csinC得，b2−a2=5c2，

由余弦定理得，cosA=b2+c3.【答案】D

【解析】解：∵f(x)=x3−x2−2x+1，∴f(−1)=1，f′(x)=3x2−2x−2，

当(−1,1)为切点时，kl=f′(−1)=3；

当(−1,1)不为切点时，设切点为(a,a3−a2−2a+1)，a≠−1，

则f′(a)=3a2−2a−2，

∴切线方程为y−(a3−a2−2a+1)=(3a2−2a−2)(x−a)，

又切线过点(−1,1)，∴1−(a3−a2−2a+1)=(3a2−2a−2)(−1−a)，

整理得a4.【答案】A

【解析】解：由图可得：x∈(0,1)时，f(x)>0，f(x)单调递增，则f′(x)>0，所以f(x)⋅f′(x)>0，

x∈(1,3)时，f(x)>0，f(x)单调递减，则f′(x)<0，所以f(x)⋅f′(x)<0，

因为f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，

所以当x∈(−3,−1)时，f(x)<0，f(x)单调递减，则f′(x)<0，所以f(x)⋅f′(x)>0，

x∈(−1,0)时，f(x)<0，f(x)单调递增，则f′(x)>0，所以f(x)⋅f′(x)<0，

综上：f(x)⋅f′(x)>0的解集为(−3,−1)∪(0,1)．

故选：A．5.【答案】B

【解析】解：根据题意，因为每枚骰子朝上的点数有奇数1，3，5三个，偶数有2，4，6三个，

若3枚骰子朝上的点数之和为奇数，则3枚骰子朝上的点数为奇数+奇数+奇数或偶数+偶数+奇数，

共两种情况，

可得P(A)=C31C31C31+3C31C31C31C61C61C61=6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角，属于基础题．

利用两异面直线的方向向量结合向量夹角公式即可求解．【解答】

解：由题意，AA1⋅AB=AA1⋅AD=1×1×cosπ3=12，

AB⋅AD=0，又DC=7.【答案】A

【解析】解：g(x)=f(x)+1=ln(x2+1+x)−2ex+1+1=ln(x2+1+x)+ex−1ex+1，

由于x2+1+x>|x|+x≥0，所以g(x)的定义域为R，

g(−x)=ln(x2+1−x)+e−x−1e−x+1

=ln[(x2+1−x)(x2+1+x)x8.【答案】C

【解析】解：取BD的中点O，连接OA，OC，

∵在菱形ABCD中，AB=433,∠BAD=60°，

∴OA=OC=2，又AC=22，

∴OA2+OC2=AC2，所以OA⊥OC，

又易知OA⊥BD，OC⊥BD，

因为OA⊥OC，OA⊥BD，OC∩BD=O，

所以OA⊥平面BDC，

因为OA⊂平面ABD，

所以平面ABD⊥平面BDC，故A正确；

以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立坐标系，

则B(233,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),D(−233,0,0)，

当AQ=QC，4PD=DB时，Q(0,1,1),P(−33,0,0)，

PQ=(33,1,1),DP=(33,0,0)，

所以点D到直线PQ的距离为d=DP2−(PQ⋅DP|PQ|)2=147，故C错误；

设P(a,0,0)，设CQ=λCA=λ(0,−2,2)，可得Q(0,2−2λ,2λ)，

|PQ|=a2+(2−2λ)2+(2i)2=a2+8(λ−9.【答案】ABD

【解析】解：由分布列的性质可得13+m+14+16=1，解得m=14，故A正确．

因为P(|X−3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=14+16=512，故B正确．

因为E(X)=1×110.【答案】ACD

【解析】解：建系如图，

则B(0,0,0)，D(1,1,0)，C(1,0,0)，B1(0,0,1)，

D1(1,1,1)，E(13,13,0)，F(23,0,13)，

∴EF=(13,−13,13)，BD=(1,1,0)，

CB1=(−1,0,1)，ED1=(23,23,1)，ED=(23,23,0)，

对A选项，∵EF⋅BD=13−13=0，EF⋅CB1=−13+13=0，

∴EF⊥BD，EF⊥CB1，∴线段EF是异面直线BD与CB1的公垂线段，∴A选项正确；

对B选项，易知AC⊥BD，AC⊥AA1，

∴异面直线AA1与BD11.【答案】BD

【解析】解：当x=0时，2x−1=0，

所以f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，A错误；

因为f(x)=x2x−1+x2−2=x⋅2x+12(2x−1)−2，

所以f(−x)=−x⋅1+2−x2(2−x−1)−2=−x⋅1+2x2(1−2x)12.【答案】14

【解析】解：因为向量a=(−1,x,4)与b=(2x,−8,y)共线，且方向相同，

所以a=λb(λ>0)，

则(−1,x,4)=λ(2x,−8,y)，

即−1=2λxx=−8λ4=λy，解得x=−2y=16λ=14，

13.【答案】0.18

【解析】解：设这三门体育类选修课的选修人数分别为6a，3a，a，

则所求概率为P=0.2×6a+0.16×3a+0.12a6a+3a+a=0.18．

故答案为：0.18．

设这三门体育类选修课的选修人数分别为6a，3a，a14.【答案】(2+【解析】解：由题意得，f(x)在[−2,−1]上是增函数，所以f(x1)∈[−32,0]，

因为∀x1∈[−2,−1]，∃x2∈[1,a]，f(x1)<g(x2)成立，

所以f(x1)max<g(x2)max，即g(x2)max>0．

当1<a≤3时，g(x2)max=g(1)=−6<0，不满足题意，舍去；

15.【答案】解：(1)设数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，a1=1，

若a1，a2，a5成等比数列，可得1×(1+4d)=(1+d)2，

解得d=2或d=0(舍去)，

则an=1+2(n−1)=2n−1．

【解析】本题主要考查等差数列通项公式的求解，分组求和的方法，裂项求和的方法等知识，属于基础题．

(1)设数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，根据已知求出d，即得解；

(2)16.【答案】y=4x−13；

递增区间为(0,2)，(3,+∞)，递减区间为(2,3)，极大值−16+12ln2，极小值−21+12ln3．

【解析】(1)函数f(x)=x2−10x+12lnx，于是f(1)=−9，求导得f′(x)=2x−10+12x，

解得f′(1)=4，所以所求切线方程为y+9=4(x−1)，即y=4x−13．

(2)函数f(x)=x2−10x+12lnx的定义域为(0,+∞)，

求导得f′(x)=2x−10+12x=2(x−2)(x−3)x，

当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，当2<x<3时，f′(x)<0，

因此函数f(x)在(0,2)，(3,+∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减，

当x=2时，f(x)取得极大值f(2)=−16+12ln2，

当x=3时，f(x)取得极小值f(3)=−21+12ln3，

所以函数f(x)的递增区间为(0,2)，(3,+∞)，递减区间为(2,3)，

17.【答案】310；

分布列见解析，1，25【解析】(1)事件总数为C63=20，

其中外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名，

设事件A=“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，故有两种情况：

恰好选出1名外科医生和2名眼科医生和恰好选出2名外科医生，

用A1表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，A2表示“恰好选出2名外科医生”，

且A1，A2互斥，

因为P(A1)=C21C22C63=2×120=110X012P0.20.60.2将表格数据代入期望公式可得E(X)=0×15+1×35+2×15=1，

D(X)=(0−1)218.【答案】3PF=FB，理由见解析；

62；

【解析】解：(1)当3PF=FB时，E、F、A、D四点共面，理由如下：

证明：令3PF=FB，∵3PE=EC，

即PFFB=PEEC，∴EF/​/BC，

又∵AD/​/BC，∴EF/​/AD，

故E、F、A、D四点共面；

(2)取AD的中点O，连接OB，OP，如图所示：

∵△PAD为等边三角形，AD=2，

∴OP⊥AD，AO=1，OP=3，

又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，

∴OP⊥平面ABCD，

∵OB⊂平面ABCD，∴OP⊥O

B，

∵PB⊥BC，BC/​/AD，

∴AD⊥PB，

∵OP⊥AD，且OP⊂平面POB，PB⊂平面POB，OP∩PB=P，

∴AD⊥平面POB，

∵OB⊂平面POB，∴OB⊥AD，

在菱形ABCD中，AB=2，则OB=3，PB=PO2+OB2=6，

设点A到平面PBC的距离为ℎ，

则VA−PBC=VP−ABC，即13S△PBC⋅ℎ=13S△ABC⋅OP，

即13×12×2×6ℎ=13×12×3×2×3，

解得ℎ=62，

故点A到平面PBC的距离为62；

(3)由(2)得OA，OB