网络科学导论-复杂网络学习笔记

2013-07-17……2013-07-31课题学习进度。

第四章度相关性与社团结构

这一章主要我主要学习了描述网络的度相关性的几种不同的方法，包括联合概率分布，余平均度和同

配系数。另外简单了解了大规模网络社团结构分析的几个有代表性的算法。下面，我将本章内的一些重点概

念做了整理。

先回忆度分布和平均度这两个概念。PA表示网络中度为k的节点占整个网络节点数的比列，称为度分布;

<k)是平均度，表示网络中所有节点的度的平均值。

1、网络具有度相关性：指网络中两个节点之间是否有边相连与这两个节点的度值有关。否则，就称网

络不具有度相关性，或称网络是中性的。

2、复杂网络的社团结构:实际网络往往可以看作是由若干个社团构成的，每个社团内部的节点之间的连

接相对较为紧密，彳日是各个社团之间的连接相对比较稀疏。

3、联合概率分布：网络中随机选取的一条边的两个端点的度分别为j和k的概率，即为网络中度为j的

节点和度为k的节点之间存在的边数占网络总边数的比例：

P(j,k)=m(j,k)u(j,k)/2M,

其中，m(j,k)是度为j的节点和度为k的节点之间的连边数；如果j=k,那么u(j,k)=2,否则u(j,k)=i.

联合概率分布具有如下性质：

①对称性,即p(j,k)=p(kj),

②归一化，即Jjckmin,

③余度分布，即七,其中％”和牖皿分别为网络中节点的度的最小值和最大值。

P”(k)表示网络中随机选取的一个节点和随机选取的一个邻居节点的度为k的概率。

4、条件概率：网络中随机选取的一个度为k的节点的一个邻居的度为j的概率。它与联合概率P(j,k)

具有如下关系：

Pc(j|k)p(k)=P(j,k)

5、判断度相关性：一、用条件概率，如果条件概率Pqj|k)与k相关，那么就说明节点度之间具有相关性,

并且网络拓扑结构可能具有层析结构。如果条件概率&（j|k）与k无关，那么就说明网络没有度相关性。二、

计算度为k的节点的邻居节点的平均度,也称度为k的节点的余平均度，记为（kX假设节点i的阳个

邻居节点的度为%=1,2，…此可以计算节点i的余平均度，即节点i的木个邻居节点的平均度⑷而如下：

<knn>i=£:代

（k->（k）与条件概率和联合概率之间具有如下关系：

〈k崂（k）=£匕JPcMk）=£九内〃

其中，（如果网络中两个节点之间是否有边相连与这两个节点的度值无关，也就是说，网络中随机

选择的一条边的两个端点的度是完全随机的，存在此关系），如果代加〉（k）是k的增函数，那么就意味着

平均而言,独大的节点倾向于与度大的节点连接，从而表明网络是同配的；反之,如果《加〉（（<）是k的减

函数，那么就意味着平均而言，度大的节点倾向于与度小的节点连接，从而表明网络是异配的；如果网络不

具有度相关性,那么｛刖〉（k）是一个与k无关的常数。

6、网络是同配的：指对于度相关的网络，如果总体上度大的节点倾向于连接度大的荒点,那么就称网

络是度相关的，或称说网络是同配的。相反，如果总体上度大的节点倾向于连接度小的节点，那么就称网络

是度负相关的，或者称网络是异配的。

7、同配系数：用于刻画网络是同配还是异配的指标。网络是度相关的就意味着以株口为仅

之间不恒等，因此，可以通过两者之间的差的大小刻画网络的同配或者异配程度：

<jk>>（j><k）=4理（济-9必）

当网络为完全同配时，SA=力他,上面式子达到最大值，即为余度分布》的方差：

于是得到归一化的相关系数，也称为同配系数如下：

1

显然，re[-1,1]z如果r>0,那么网络是同配的，如果r<0,那么网络是异配的。卜|的大小反映了网络同配

或者异配的强弱程度。（已有研究表明，网络的同配或者异配对网络结构和行，如鲁棒性和传播等可能有显

著的影响。)从更为一般的角度看，同配就是指属相相近的节点倾向于互相连接。

8、模块度：是近年常用的一种衡量社团划分质量的标准，其基本想法是把划分社团后的网络与相应的

零模型进行比较，以度量社团划分质量。

9、一个与网络对应的零模型：指与该网络具有相同的性质(如相同的边数或者相同的度分布等)而在

其他方面完全随机的随机图模型。

10、基于模块度的社团检测算法：CNM算法，是一种基于贪婪算法思想的社团结构检测算法。

第五章节点重要性与相似性

这一章重点介绍了无向网络中判断节点重要性的几个常见的指标，包括度值、介数、k-壳等；另外，这

一章还学习了HITS算法和PageRank算法的基本思想，这两个算法最初是针对WWW中的网页排序而提

出的、可用于有向网络中节点重要性排序。最后，大概了解了了关于节点之间的相似性描述及其在链路预测

的概念。下面一一整理本章的重要知识点。

1、度中心性：一个节点的度越大就意味着这个节点越重要,一个包含N个节点的网络中，节点最大可

能的度值为N-1,为了便于匕瞰，对中心性指标作归一化处理，度为总的节点的归一化的度中心值定义为：

田

2、介数中心性：是一个用于通过测量经过某个节点的最短路径的数目来刻画节点重要性的指标，简称

ry三

介数(BCI具体的，节点i的介数定义为：B。三乙内工况，其中，仇为从节点5到节点t的最短路径的数

目，山，为从节点s到节点t的外，条最短路径中经过节点i的最短路经的数目。

一个包含N个节点的网络中，节点最大可能的度值为N-1,节点介数的最大可能值是星型网络中的中

心节点的介数值：因为所有所有其他节点对之间的最短路径是唯一的并且都会经过该中心节点，所以该节点

的介数就是这些最短路径的数目，即为

(N-1)(N-2)N2-3N+2

~2=^

基于上式，一个包含N个节点的网络中的节点i的归一化结束定义为

2yNt

BC=-2-3/V+2乙S工i工t亚

阳二廿六通户j

其中c为一比例常数，A=(㈣仍然是网络的邻接矩阵。记x=四"2.…%N]T,则上面的式子可写成如

下矩阵形式：

X=cAx,

上式意味着X是矩阵A与特征值C7对应的特征向量，故此称为特征向量中心性。

6、HITS算法：基本思想：每个网页的重要性有两种刻画指标——权威性和枢纽性。T殳的，一个页

面的权威性有指向该页面的其他页面的枢纽值来刻画：如果一个页面被多个具有高枢纽值的页面所指向，

那么该页面就具有高得权威性。另一方面，一个页面的枢纽值由它所指向的页面的权威值来刻画：如果一

个页面指向多个具有高权威值得页面，那么该页面就具有高得枢纽值。

7、PageRank算法：基本思想：WWW是一个页面的重要性取决于指向它的其他页面的数量和质量。

8、节点相似性与链路预测：刻画节点的相似性有很多种方法，最简单的直接的就是利用节点的属性。

节点相似性分析的一个典型的应月就是链路预测，它是指如何通过已知的各种信息预测给定的网络中尚

不存在连边的两个节点之间产生连接的可能性。这种预测包含了对未知链接，也称丢失链接的预测，也包

含了对未来链接的预测。

基于节点相似性进行链路预测的一个基本假设就是如果两个节点之箭的相似性越大，他们之间存在链

接的可能性就越大。

第六章随机网络模型

本章在简要介绍了完全规则的网络模型之后，重点介绍了几类典型的随机网络模型，首先介绍的是

具有任意给定平均度的ER随机图模型及其基本拓扑性质，接着介绍了具有任意给定度分布的广义随机图

配置模型。ER随机图和配置模型分别可以视为0阶和1阶零模型，他们起着参照系的作用：我们可

以通过与适当的零模型作比较来分析实际网络的拓扑性质及其演化特征。总的来说，这一张讲述了基于随

机重连而生成的与任一给定的网络具有任一给定阶次度相关特性的零模型。

一、规则网络

1、全局耦合网络：网络中的任意两个节点之间都有边直接相连。如：班级的所有同学便构成一个

全耦合网络。全耦合网络作为实际网络模型的局限性：大型实际网络都是稀疏的，它们的边的数目一

般至多是0(N)而不是O(N?l

在具有相同节点数的所有网络中，全耦合网络具有最多的边数、最大的聚类系数Cgc=l和最小

的平均路径长度Lg，=l.

2、最近邻耦合网络：网络中，每一个节点只和它周围的邻居节点相连。如：体育游戏或者跳舞等集

体运动是，所有人手牵手排成一个长队或者围成一圈。这类网络的一个重要特征就是网络的拓扑结构是由

节点之间的相对位置决定的，随着节点位置的变化网络拓扑结构也可发生切换。

3•(网络中三角形的数目)

最近邻耦合网络的聚类系数:二网络中联通三元组的数目

3»NY%

=N*4

3.(K-2)

最近邻耦合网络的平均路径长度1'"曲黄〃m/K]"N/2K。

3、星型耦合网络：它有一个中心节点，其余的N-1个点斗志与这个中心点连接，而它们彼此之

间不连接。如：公共服务器连接个人电脑。

星型耦合网络的聚类系数:,这是因为中心节点的N-1邻居节点之间互不相连，从而中心节点

的聚类系数为0.

2(N-1)

星型耦合网络的平均路径长度％。二2一两》2(N-8X

二、随机图

1、ER随机图具有两种形式的定义。

定义1:具有固定边数的ER随机图G(N,M):假设有大量的纽扣(N>>1)散落在地上，每次在随

机选取的一对纽扣之间系上一根绳。重复M次后就得到一个包含N个点，M条边的ER随机图。通常

我们希望构造的是没有重边和自环的简单图，因此，每次在选择节点对时应该选择两个不同的并且是没

有变连接的节点对。这样形成的随机图记为G(N,M1

ER随机图G(N,M)的构造算法：

(1)初始化：给定N个节点和戴天价的边数M.

(2)随机连边：

①随机选取一对没有边相连的不同节点，并在这对节点之间添加一条边。

②重复步骤①，直到在M对不同的节点对之间各添加了一条边。

定义2:具有固定连边概率的ER随机图G(N,p)在模型G(N,p)中不固定总的边数，而是把N个

节点中任意两个不同的节点之间有一条边的概率固定为po

ER随机图G(N,p)的构造箕法：

(1)初始化：给定N个节点以及连边概率pe[0,l]o

(2)随机连边：

①选择一对没有边相连的不同的节点。

②生成一个随机数re(0,1X

③如果r<p,那么就在这对点之间添加一条边；否则就不添加边。

④重复步骤①〜③，直至所有的节点对都被选择过一次。

三、广义随机图

配置模型：在配置模型中事先给定的是网络的度序列｛由，丸其中非负整数d为节点i

的度。关于度序列，给两个必要条件：

(1)由于网络中所有节点的度值之和等于网络中所有边数之和的两倍,'工必必须为偶数并且有

(2)<N-1,i=LZ...,N,等号只有当一个节点与其他所有节点都相连时才成立。

在上述条件的基础上少许加以推广，就可得到如下的充要条件：

定理：一个非负整数序列｛由，电，“av)是某个简单图的度序列的充要条件为：

(1)-I为偶数；

(2)对于每个整数九均有汇七科之口匕0+汇鼠+严而应为

配置模型构造算法：

(1)初始化：根据给定度序列确定N个节点的度值。

ywN

(2)引出线头：从度为先的节点i引出用个线头。共有4=ik=2M个线头，M为网络的边数。

(3)随机配对：完全随机地选取一对线头，把它们连在一起，形成一条边；再在剩余的线头中完

全随机地选取另一对线头连成一条边；以此进行下去，直至用完所有的线头。

四、随机重连与零模型

1、零模型：一般地，我们把一个实际网络既有相同的节点数和相同的某些性质A的随机网络称

为该实际网络的随机化网络。这里的〃某些性质A"可以是平局度、度分布、聚类系数等等，或者是

它们的某种组合。从统计学的角度看，〃具有性质A的网络G也具有某一性质P"是一个零假设，而

为了要验证这一零假设是否成立，就需要与原网络G具有相同规模和相同性质A的随机化网络作为

参照系，以判断性质P是否为这类随机化网络的典型特征。这类随机化网络模型在统计学上称为零模

型。

ER随机图可以视为介数晶氐的零模型。有时我们需要具有更多约束条件的零模型。按照约束条

件的从少到多，可以定义如下不同阶次的零模型：

(1)0阶零模型：即与原网络具有相同节点数N和边数M的随机化网络。

(2)1阶零模型：即与原网络具有相同节点数N和度分布P(k)的随机化网络。通常的做法是每

个节点的度值保持不变(即度序列保持不变X

(3)2阶零模型：即于原网络具有相同节点数N和二阶度相关特性P(k,k')的随机化网络。有

时也考虑与原网络具有相同同配系数的随机化网络。

(4)3即于原网络具有相同节点数N和三阶度相关特性P(kl,k2,k3)的随机化网络。

2、随机重连算法，给出了一个"当已经有了某个实际网络的拓扑数据，其中包含节点之间是如

何连接的完全信息，要生成一个与这个网络具有相同度序列的随机网络模型〃的方法。

基本思想：在原始网络数据的基础上，保持每个节点的度不变，但是使得连边的位置尽可能的

随机化，以得到一个具有给定序列的随机网络。

2013-08-012013-08-15课题学习进度。

第七章小世界网络模型

本章围绕与小世界网络模型有关的两个问题而展开。第一个问题是如何构建既具有聚类特性又具有

小世界性质的网络模型。本章将介绍由Watts和Strogatz提出的通过在规则网络上连边进行少许随机

重连而得到的WS小世界网络模型，以及随后由Newman和Watts提出的在规则网络上随机添加少许

连边而得到的NW小世界网络模型。同时也介绍了如何分析这两个模型的聚类系数、平均距离和度分布

性质。第二个问题是什么样的小世界网络才能实现有效搜索。即使你知道你与世界上随机选取的一个人

之间的距离也许并不大，但这并不意味着你就一定能轻易地找到连接你们两个人的最短路径。网络的可

搜索性失语网络结构关联在一起的。Kleinberg关于小世界网络可搜索性的研究是网络科学的另一个重

要突破，本章介绍了Kleinberg模型的仿真与理论分析及相关试验验证，并对其他模型做了简要介绍。

一、小世界网络模型

1、WS小世界模型：作为从完全规则网络向完全随机网络的过渡，只要在规则的网络中引入少许

的随机性就可以产生具有小世界特征的网络模型，现在常称为WS小世界模型。

WS小世界模型构造算法：

（1）从规则图开始：给定一个含有N个点的环状最近邻耦合网络，其中每个节点都与它左右相

邻的各K/2个节点相连，K是偶数。

（2）随机化重连：以概率p随机地重新连接网络中原有的每条边，即把每条边的一个端点保持

不动，另一个端点改取为网络中随机选择的一个结点。其中规定不得有重边和自环。

网络科学研究的一般范式

（1）建立模型：通过对规则网络的随机重连提出了WS小世界网络模型。

（2）仿真分析通过仿真揭示了当重连概率较小时可以得到既具有较短的平均路径长度又具有较

高的聚类系数的小世界网络。

（3）实际验证：验证了3个实际网络的平均路径长度和聚类系数。

（4）影响分析：通过仿真说明小世界特征对于网络动力学的影响。

2、NW小世界模型：NW模型是通过用“随机化加边"取代WS模型的构造中的"随机化重连”

而得到的。在NW模型中，原采的NK/2条边保持不变，力是在此基础上再随机添加一些边,为了便于

比较，这些添加的长程边数目的均值同样取为NKp/2。

NW小世界模型构造算法：

（1）从规则图开始：给定一个含有N个点的环状最近邻耦合网络，其中每个节点都与它左右相邻

的各K/2个节点相连，K是偶数。

（2）随机化加边：以概率p在随机选取的NK/2对节点之间添加边，其中规定不得有重边和自

环

二、拓扑性质分析

1、聚类系数

2、度分布

3、平均路径长度

三、Kleinberg模型与可搜索性

Kleinberg对二维NW小世界模型做了如下修改：

（1）假设每条边都是有向边。这对底层的规则网格没有影响，因为规则网格上的两个节点要么互

为邻居,要么互相都不是邻居。

（2）假设长程连接并不是完全随机地添加到原先的规则网格中。从每个节点都有q条邮箱的长

程连接指向网络中的其他q个节点。节点u有边指向节点v的概率口色与这两个节点之间的网络距离的

幕函数出〃同「“成正比,这里二0是一个参数。

二维网格上的Kleinberg模型构造算法：

（1）从规则网格开始：给定一个含有N='个点的最近邻耦合网络，它们分布在一个二维网格

上，使得每一行和每一列都恰好有77个节点。每个节点都通过有向边指向所有与该节点的网格距离不超

过p>=l的节点。

（2）随机化加边：对于每个节点，添加从该节点指向网络中其他q各节点的q条有向边，其中

节点u有添加边指向节点v的概率为

[d(u.v)]--

nuv

考虑二维Kleinberg网络模型上的搜索问题，假设每个节点采用的都是基于局部信息

的分散式算法。我们有：

（1）对于0〈二°〈2,存在一个与p,q,0相关但与N无关的常数以,平均传递步数都有一个下界

（2）当°二2时，当前新的持有节点只需把信件传递给一个在网格距离上最接近目标节点的邻居

节点，这种分散式算法的平均传递步数有一个上界C2（'ogN）j其中的是一个与N无关的常数。

（3）对于2,存在一个与p,q,°相关但与N无关的常数C。,使得对于任意的分散式算法，平均传

递步数都有一个下界CaN（2-a）/6-D。

说明：当心2时，分散式算法所需的平均传递步数至多是logN的多项式函数；而当a!=2时，分

散式算法所需的传递步数T至少是N的多项式函数，即

其中，c是与N无关的常数，并且

(2-。)/3,0««<2,

第八章无标度网络模型

这一章中讲的BA无标度网络模型的介绍也体现了复杂网络模型研究的一种范式：明确建模目的

构建简单模型t做出合理分析。接着介绍一个在20世纪60年代末就提出的有向无标度网络模型

--Price模型，该模型具有幕指数可调的幕律入度分布。BA模型则可以视为无向化的Price模型的一

个特例。本章还给出了Price模型和BA模型的计算机实现算法，并在此基础上导出了“富者更富"现

象的节点复制机理。人们在BA模型的基础上提出了多种多样的扩展和修正，第8章选介了其中两个模

型：适应度模型和局域世界演化模型。最后简要介绍了无标度网络的鲁棒性分析。

一、BA无标度网络模型

1、模型描述：ER随机图和WS小世界模型忽略了世纪网络的两个重要特征：一是网络的增长特性;

二是网络的优先连接特性。基于这可个被忽略的因素，便提出了BA无标度网络模型。

BA无标度网络模型构造算法

(1)增长：从一个具有瓶。个节点的连通网络开始，每次引入一个新的节点并且连到m个已存在的

节点上，这里m«mo。

(2)优先连接：一个新的节点与一个已经存在的节点i相连接的概率口1与节点I的度k之间满足如

下关系：

kt

rii二次

2、嘉律度分布

可以通过仿真和理论分析来研究，BA网络事都确实是具有幕律度分布的无标度网络。

二、Price模型

1、模型描述：Price有向网络模型构造算法

(1)增长：从一个具有瓶。个孤立节点的网络开始，每次引入一个新的节点并且通过m条有向边指

向m个已存在的节点上，这里m«瓶0。

(2)累计优势：一个新节点有边指向一个已经存在的入度为评的节点i的概率

in.

ki+a

L二小/+a)

2、幕指数可调的入度分布

3、幕指数可调的无向无标度网络

如果把Price模型中的每一条有向边都视为无向边，那么这样构成的无向网络中的节点i的度k与

Price模型中的节点i的出度m和入度点之间具有如下关系：k=d+m。因此，基于Price模型的入度

分布对应的无向网络的度分布为

pk〜（k-m+a）;y=2+a/m。

这样就得到了幕指函数在（2,8）范围内可调的具有幕律度分布的无向无向网络，

BA模型可以视为Price模型在取m=2时的特例：此时，由于*店+m,Price模型构造算法中

的优先连接概率公式即为BA模型构造算法中的公式。因此，如果把Price模型中的每条有向边都视为

无向边，那么Price模型即为BA模型。

4、优先连接机制的计算机实现

在计算机上实现Price模型和BA模型的关键是优先连接机制的有效实现。

Price模型的计算机实现算法

（1）给定一个具有％个节点的初始强联通网络。把每一条边所指向的节点的编号添加到数组

Array中。

（2）给定参数p£[O,l]，对于，执行如下操作：

①生成一个完全随机数£[0,1]；

②如果r<p,那么就完全随机地在数组Array中选择一个元素；

③如果r>=p,那么就完全随机地选择一个节点；

④执行步骤①-③m次后,添加从新加入节点指向选定的m个节点的m条有向边，并把这m个

节点的编号添加到数组Array中。

5、节点复制模型

在定成熟上，新加入节点倾向于模仿（复制）网络中已有节点的行为。这种节点复制模式导致"富

者更富〃：某个节点如果已经受到很多关注，那么今后就更有可能受到更多的关注。

节点复制模型构造算法

(1)增长：从一个具有四个孤立节点的网络开始，每次引入一个新的节点并且通过m条有向边

指向个已存在的节点上，这里m

mm<°0

(2)节点复制：给定一个参数p£[0,1],按照如下方式选择已有节点，并添加从新节点指向该已

有节点的有向边：

①生成一个随机数

②如果r<p,那么就完全随机地选择一个节点，然后再完全随机地选择该节点所指向的一个邻居

节点；

③如果r>=p,那么就完全随机地选择一个节点；

④执行步骤①-③m次后，添加从新加入节点指向选定的m个节点的m条有向边，并把这m个

节点的编号添加到数组Array中。

三、无标度网络模型的推广

本节重点介绍BA模型的两种推广：一种是考虑到节点之间具有不同的竞争能力的适应度模型，另

一种是基于局域世界优先连接的网络模型。

1、适应度模型

在许多实际的网络中，节点的度及其增长速度并非只与该节点的年龄有关，还与节点的内在属相相

关。如社会网络中，个人的交际能力、WWW网站的内容和科研论文的质量等，研究人员把这一内在的

性质称为节点的适应度，并据此在BA模型的基础上提出了适应度模型。

适应度模型构造算法：

(1)增长：从一个具有瓶。个孤立节点的网络开始，每次引入一个新的节点并且通过m条有向边指

向m个已存在的节点上，这里

(2)优先连接:一个新节点与一个已经存在的节点i相连接的概率口:与节点i的度k和适应度外之

间满足如下关系：

4ik(

适应度模型与BA无标度模型的区别在于：适应度模型中的优先连接概率与节点的度和适应度之

积成正比，而不是仅与节点的度成正比。

适应度模型可能具有如下几类不同的特征：

(1)无标度特征

(2)适者更富特征

(3)赢者通吃特征

2、局域世界演化网络模型

四、鲁棒性和脆弱性

无标度网络对随机节点故障具有极高的鲁棒性：与随机图相比，最大连通子图的相对大小在相对

高得多的f值时才下降到零而其平均路径长度的增长则要缓慢的多。无标度网络的这种对随机故障的

高度鲁棒性来自于网络度分布的极端非均匀性：绝大多数节点的度都相对很小而只有少量节点的度相

对很大。当f较小时，随机选取的节点都是度很小的节点，去除掉这些节点对整个网络的连通性不会

产生大的影响。然而，正是这种非均匀性使得无标度网络对蓄意攻击具有高度的脆弱性：只要有意识

地去除网络中极少量度最大的节点就会对整个网络的连通性产生大的影响。

第9章网络传播

将主要介绍，在把网络结构与经典传染病模型相结合的基础上,得到的一些与传统结果不一样的

有意义的结果的基本知识。包括几类经典的传染病模型、均匀网络与非均匀网络上的传播临界值分析、

几类免疫策略的比较、节点的传播影响力分析以及行为传播的实证研究等内容。

一、经典的传染病模型

在经典的传染病模型中，种群内的N个个体的状态可以分为如下几类：

(1)易染状态S。一个个体在感染之前是处于易染状态的，即该个体有可能被邻居个体感染。

(2)感染状态I。一个感染上某种病毒的个体就称为是处于感染状态，该个体还会以一定概率感

染其邻居个体。

(3)移除状态R。也称为免疫状态或恢复状态。当一个个体经历过一个完整的感染周期后,

该个体就不再被感染，因此就可以不再考虑该个体。

1、SI模型

假设一个易染个体在单位时间里与感染个体接触井被传染的概率为0。由于易染个体的比例为

S/N,时刻t网络中总共有I(t)个感染个体，所以易染个体的数目按照如下变化率减少：

dSsi

哈严,

相应地，感染个体的数目按照如下变化率增加：

diSI

左邛N,

以上两个方程即为完全混合假设下的SI模型的数学描述。

2、SIR模型

BS/

SIR模型第一阶段仍与SI模型