广东省东莞市某校2024-2025学年高三下册5月月考数学检测试卷（含详解）

/广东省东莞市某校2024−2025学年高三5月月考数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）A． B． C． D．53．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4．已知，则（

）A． B． C． D．5．己知直线与圆：相交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．6．甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（

）A．27种 B．36种 C．54种 D．72种7．已知，函数，在上没有零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知某正三棱柱外接球的表面积为，则该正三棱柱体积的最大值为（

）A．1 B． C． D．4二、多选题9．已知向量，，则（

）A． B．C．若，则 D．若，则10．从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走次时恰好为第一次回到点的概率为，恰好为第二次回到点的概率为，则（

）A． B．C．时，为定值 D．数列的最大项为11．如图，该几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则下列结论正确的是（

）

A．不存在点，使得平面B．存在点，使得平面平面C．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为D．不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为三、填空题12．已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分析，且，则估计该企业生产的1000个零件中合格品的个数为．13．设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为.14．已知数列，下列结论正确的是．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．四、解答题15．已知三个内角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若的面积，且，求的周长.16．在三棱锥中，平面平面平面.

（1）求证：；（2）若二面角的余弦值为，且，求.17．设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．18．已知和为椭圆：上两点.（1）求椭圆的离心率；（2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）.（i）若的面积为，求直线的方程；（ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值.19．某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2024年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有23的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2025年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率(1)从2024年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；(2)2025年的“清明文化节”拟定于本年度4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为45，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为14，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为13（i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率；（ii）求甲第n（n=1，2，⋯，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，并帮甲确定在2025年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于

参考答案1．【答案】B【详解】，，所以.故选B2．【答案】D【详解】，故.故选D3．【答案】C【详解】如图所示对于A，设平面为平面,平面为平面,为，则，则，故A错；对于B，设平面为平面,平面为平面,为，则，则，故B错；对于C，过作平面与平面交于直线，，则，，可得，则，故C正确；对于D，设平面为平面,为，为，则，则，故D错.故选C.4．【答案】B【详解】由得，即，解得，所以，故选B.5．【答案】B【详解】因为圆心为到直线的距离为：，所以=所以,即.故选B.6．【答案】C【详解】解：由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有种排法．故共有种不同的情况．故选C.7．【答案】B【详解】当时，，若无解，则或；当时，，若无解，则.综上，实数的取值范围是.故选B.8．【答案】A【详解】设外接球的半径为，则，解得.设正三棱柱的底面三角形的边长为，则该三角形外接圆的半径为，故该正三棱柱的高为，所以该正三棱柱的体积.由，解得.令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在时取得最大值，故，所以该正三棱柱体积的最大值为1.故选A.9．【答案】AB【详解】解：向量，A．，故正确，符合题意；B．，，则，所以，当时，，正确，符合题意；C．若，则，解得，故错误，不符合题意；D．若，则，解得，故错误，不符合题意；故选AB．10．【答案】ACD【详解】由题意得对于任意一次行走，到达其他三个点概率均为，若要行走次时恰好第一次回到点，则第1、2次均不到点A,所以，故A选项正确；若要行走次时恰好第二次回到点，则第2次必须回到点A，概率为，故B选项错误；若要行走次时恰好为第一次回到点，则次均未到达点A，所以，所以为定值，故C选项正确；当时，；当时，设第次第一次到达点A，第n次恰好第二次到达点A，由于第1次和第次的行走不用限制，所以此时概率为，所以，令，解得，所以，所以和为最大值，故D选项正确.故选ACD.11．【答案】BCD【详解】由题意，可将几何体补全为一个正方体，建立空间直角坐标系，如图所示，

设正方体棱长为2，则，，设.对于A选项，假设存在点，使得平面，因为，，，则，可得，因为，则，即当点与点重合时，平面，故A选项错误；对于B选项，由A选项可知，平面的一个法向量为，假设存在点，使得平面平面，则，，，则，可得，又因为，解得，即当点为的中点时，平面平面，故B选项正确；对于C选项，若存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，则直线与平面所成角的正弦值为，，所以，整理可得，因为函数在时的图象是连续的，且，，所以存在，使得，所以，存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，C选项正确；对于D选项，设平面的法向量为，，则，取，则，可得，假设存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，则，可得，即可得或，因为，则则，所以，故当时，方程和均无解，综上所述，不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，故D选项正确.故选BCD12．【答案】【详解】解：，且，，估计该企业生产的1000个该种零件中合格品的个数为．13．【答案】【详解】由椭圆定义可得，则有，即，，又，由，故，故.14．【答案】①③④【详解】，，故①正确；等价于，数列是以为首项，公比为2的等比数列，，故②不正确；若，则，则，以为首项，公差为3的等差数列，，则，故③正确；若，则，所以，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，，则，即得，故④正确.15．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由正弦定理可得，，得：.所以.又，且，所以.由，故.（2），所以.由余弦定理，.又.联立得：.所以.故的周长为.16．【答案】（1）见详解（2）【详解】（1）

如图，过作于.因为平面平面，平面平面平面所以平面.又平面，所以.又平面平面，所以.因为平面，且，所以平面，又平面，所以.（2）法1：过作于，连接，由（1）平面，平面，可得，因平面，，故平面，又平面，所以.

所以即为二面角的平面角，所以则.又由（1）平面，平面，则，因平面，平面，则.设，因为，，则，，所以，解得，则，从而.法2：由（1）可得.如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，

记二面角为，设，因为，所以，则，所以.设平面的法向量为，则即令，得，易知平面的一个法向量为，又，所以，解得，则，所以.17．【答案】(1)(2)答案见解析(3)3个【详解】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.18．【答案】（1）（2）（i）；（ii）见详解【详解】（1）由可知，求出，代入，得，，则，，可知椭圆的离心率为.（2）（i）由（1）可知椭圆的方程为，设，，过点的直线为，与联立得：.恒成立.所以，得，所以，直线的方程为：.（ii）由（i）可知，直线的方程为，令，得直线的方程为，令，得，记以为直径的圆与轴交于，两点，由圆的弦长公式可知，所以，为定值.19．【答案】(1)4；(2)（i）13（ii）Pn＝817+【分析】（1）由合计得分可能的取值，计算相应的概率，再由公式计算数学期望即可；（2）（i）利用互斥事件的加法公式和相互独立事件概率乘法公式求概率；（ii）由题意，求Pn与Pn-1的关系，通过构造等比数列，求出Pn【详解】（1）由题意，每位游客得1分的概率为23，得2分的概率为1随机抽取三人，用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3，4，5，6，PX=3=2PX=5=C则EX所以三人合计得分的数学期望为4；（2）第一天选择“单车自由行”的概率为45，则第一天选择“观光电车行”的概率为1若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为14若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为13，则后一天选择“单车自由行”的概率为2（i）甲第二天选择“单车自由行”的概率P=