河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期第二次联考数学试题含答案

南阳市六校2020年秋期六校第二次联考高二年级数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将答题卡交回。一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若，则下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．2．若抛物线的焦点坐标为，则的值为（）A． B． C．8 D．43．下列命题中为真命题的是（）A．命题“若，则”的逆命题 B．命题“，则”的否命题C．命题“若，则”的否命题 D．命题“若，则”的逆否命题4．已知命题：若，则函数的最小值为1；命题：若，则．下列命题是真命题的是（）A． B． C． D．5．等差数列中，已知，，求（）A．11 B．22 C．33 D．446．下列叙述正确的是（）A．若，则B．方程（，）表示的曲线是椭圆C．“”是“数列，，为等比数列”的充要条件D．若命题：，，则：，7．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的最小值为（）A． B． C． D．8．已知椭圆：（）的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交与，两点，若的周长为，则的方程为（）A． B． C． D．9．已知等比数列，，，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，如果，则（）A．9 B．6 C．7 D．811．已知椭圆（）与双曲线（，）有相同的焦点和，若是与的等比中项，是与的等差中项在，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．12．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知，是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A． B． C． D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则角的大小为__________．14．已知正项等比数列的公比为2，若，则的最小值等于__________．15．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆：上，则的最小值是__________．16．若椭圆：（）的上、下焦点分别为，，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，线段中点的纵坐标为0，则椭圆的离心率为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设，：函数的定义域为；：函数在区间上有零点．（1）若是真命题，求的取值范围；（2）若是真命题，求的取值范围．18．如图，是直角斜边上一点，．（1）若，求角的大小；（2）若，且，求的长．19．已知数列前项和为，点（）在函数的图像上．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求，若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．20．已知抛物线：经过点．（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．21．已知椭圆：（）的左、右焦点分别是，，点也为抛物线：的焦点．（1）若，为椭圆上两点，且线段的中点为，求直线的斜率；（2）若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，设线段，的长分别为，，求证：是定值．22．已知点，椭圆：（）的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（1）求的方程；（2）设过点的动直线与相交于，两点．当的面积最大时，求的方程．2020年秋期六校第二次联考高二年级数学参考答案1～5BBAAB6～10DCADD11～12DA13．14．15．616．17．【解析】（1）当是真命题时，在上有解即函数与函数，有交点又，的值域为的取值范围为（2）当是真命题时，由题意，在上恒成立，则，则，记当是真命题时，的取值集合为，则；记当是真命题时，的取值集合为，则．是真命题，的取值范围是．18．【解析】（1）在中，由正弦定理得：，由题意得：，，，，；（2），，，在中，，在中，由余弦定理得：，．19．【解析】（1）点在函数的图象上，．①当时，，①①－②得；；当时，，符合上式．（）．（2）由（1）得，．，数列单调递增，中的最小项为．要使不等式对任意正整数恒成立，只要，即．解得，即实数的取值范围为．20．【解析】（1）将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程为：，其准线方程为：．（2）很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立，消去可得：．故：，．设，，则，，直线的方程为，与联立可得：，同理可得，易知以为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，，即以为直径的圆经过轴上的两个定点，．21．【解析】抛物线：的焦点为，，故．椭圆：．（1）设，，则两式相减得，又的中点为，，．．直线的斜率为．（2）椭圆右焦点．当直线的斜率不存在或为0时，．当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，设，，联立方程得，消去并化简得，，．，同理可得．，为定值．22．【解