专题1.2直线的方程（举一反三讲义）数学苏教版2019选择性

专题1.2直线的方程（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】TOC\o"13"\h\u【题型1直线的点斜式方程及辨析】 2【题型2直线的斜截式方程及辨析】 3【题型3直线的两点式方程及辨析】 5【题型4直线的截距式方程及辨析】 6【题型5直线的一般式方程】 9【题型6直线一般式方程与其他形式之间的互化】 11【题型7直线过定点问题】 12【题型8直线与坐标轴围成图形的面积问题】 13知识点1直线的点斜式、斜截式方程1．直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：(2)点斜式方程的使用方法：①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.(2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1.2．直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数.(2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到.(3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.【题型1直线的点斜式方程及辨析】【例1】（2425高二上·天津·阶段练习）过点P3,−23且倾斜角为135°的直线方程为（

A．3x−y−43=0 B．x−y−3=0 C．【解题思路】由倾斜角得斜率，再由点斜式直线方程可得.【解答过程】由直线倾斜角为135°，则斜率k=−1，又直线过P3故所求直线方程为y+23=−x−故选：D.【变式11】（2425高二上·广东河源·期中）过点3,−2，倾斜角为30°的直线方程为（

）A．y−2=3x+3 C．y−2=33x+3【解题思路】根据倾斜角可得斜率，即可根据点斜式求解方程.【解答过程】直线倾斜角为30°，斜率k=tan30°=3故选：D.【变式12】（2425高二上·湖南·期中）若过点−1,1的直线l的倾斜角为α，且cosα=55，则lA．x−2y+3=0 B．x−2y−3=0C．2x−y+3=0 D．2x−y−3=0【解题思路】根据同角三角函数恒等式，可求得tanα的值，即为直线l【解答过程】由α∈0,π及cosα=所以l的斜率k=tan所以由点斜式方程得l的方程为:y−1=2x+1，即2x−y+3=0故选：C.【变式13】（2425高二上·天津·期中）已知直线l的倾斜角为60°，且经过点0,1，则直线l的方程为（

）.A．y=33x+1C．y=3x+1 【解题思路】由倾斜角可得直线的斜率，根据点斜式方程求解即可.【解答过程】因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率为3，又直线l经过点0,1，所以直线l的方程为y−1=3即y=3故选：C.【题型2直线的斜截式方程及辨析】【例2】（2425高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为60°，且过点P0,1，则直线的方程为（

）A．y=33x−1 B．y=33x+1【解题思路】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程.【解答过程】因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率k=tan又直线过点P0,1，所以直线的方程为y=故选：D.【变式21】（2425高二上·广东深圳·期中）已知直线l的倾斜角为120∘，在y轴上的截距是3，则直线l的方程为（

A．y=3x+3 C．y=−3x+3 【解题思路】代入直线的截距式方程即可.【解答过程】因为直线l的倾斜角为120∘，所以直线l的斜率k=又直线l在y轴上的截距是3，由斜截式方程得y=−3故选：C.【变式22】（2425高二上·全国·课后作业）已知直线l的倾斜角为120∘，在y轴上的截距是3，则直线l的方程为（

A．y=3x+3 C．y=−3x+3 【解题思路】求出直线l的斜率，利用斜截式可得出直线l的方程.【解答过程】由题意可知，直线l的斜率为tan120又因为该直线在y轴上的截距是3，故直线l的方程为y=−3故选：C.【变式23】（2425高二上·安徽·期中）纵截距为1且倾斜角为120°的直线方程为（

）A．y=−3x−1 C．y=−33x−1【解题思路】根据斜截式求得正确答案.【解答过程】倾斜角为120°，斜率为tan120°=−纵截距为1，所以直线方程为y=−3故选：B.知识点2直线的两点式、截距式方程1．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义：(2)两点式方程的使用方法：【注】(1)这个方程由直线上两点确定；2．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：(2)直线的截距式方程的适用范围：选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.(3)截距式方程的使用方法：①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.(2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距.【题型3直线的两点式方程及辨析】【例3】（2425高二上·全国·课后作业）经过点1,3，−2,4的直线方程为（

）A．x+3y−10=0 B．3x+y−10=0 C．x−3y+10=0 D．3x+y+10=0【解题思路】由直线的两点式方程求解即可；【解答过程】由题意得y−43−4=x+2故选：A．【变式31】（2425高二上·全国·课后作业）经过两点x1,yA．x−x1xC．y−y1x【解题思路】根据直线两点式方程可得答案.【解答过程】当经过x1,y1,所有直线均可以用x−x由于x1,x所以只有选项C满足包括与x轴、y轴平行的直线．故选：C．【变式32】（2425高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（

）A．y=kx+b B．y−C．xa+y【解题思路】利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可.【解答过程】对于选项A：y=kx+b是斜截式方程，故A错误；对于选项B：y−y对于选项C：xa对于选项D：y−y故选：D.【变式33】（2425高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点−3,−2，1,2，则下列不在直线l上的点是（

）A．−2,−1 B．−1,0 C．0,1 D．2,1【解题思路】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.【解答过程】由直线的两点式方程，得直线l的方程为y−−22−−2将各个选项中的坐标代入直线方程，可知点−2,−1，−1,0，0,1都在直线l上，点2,1不在直线l上．故选：D．【题型4直线的截距式方程及辨析】【例4】（2425高二上·重庆·期末）过A2,0、B0,3两点的直线方程是（

A．x2+yC．y=23x【解题思路】由截距式得到直线方程.【解答过程】由截距式可得直线方程为x2故选：A.【变式41】（2425高二上·河南·期中）过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程是（

）A．x+y−3=0 B．x−2y=0C．x+y−3=0或x−2y=0 D．x+y−3=0或x−y−1=0【解题思路】通过直线过原点，和不过原点两种情况讨论即可.【解答过程】当直线l过原点时，其方程是x−2y=0，符合题意;当直线l不过原点时，设直线方程为xa+y可得：2a+1a=1故选：C.【变式42】（2425高二上·江苏无锡·期中）经过点−2,4且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（

）A．y=x+6 B．y=2x+8C．y=−2x或y=x+6 D．y=−2x或y=2x+8【解题思路】设直线在x轴上的截距为a，分别在a=0，a≠0条件下利用待定系数法求直线方程即可.【解答过程】设直线在x轴上的截距为a，当a=0时，所求直线的方程可设为y=kx，因为直线y=kx过点−2,4，所以4=−2k，故k=−2，即直线方程为y=−2x，当a≠0时，可设直线方程为xa由直线xa+y−a=1所以a=−6，故直线方程为y=x+6.所以经过点−2,4且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是y=−2x或y=x+6.故选：C.【变式43】（2025高三·全国·专题练习）过点A1,4的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

A．x−y+3=0 B．x+y−5=0C．4x−y=0或x+y−5=0 D．4x−y=0或x−y+3=0【解题思路】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.【解答过程】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0，满足题意，又因为直线过点A1,4，所以直线的斜率为4−0所以直线方程为y=4x，即4x−y=0，当直线不过原点时，设直线方程为xa因为点A1,4所以1a+4所以直线方程为x−y+3=0，故所求直线方程为4x−y=0或x−y+3=0.故D项正确.故选：D.知识点3直线的一般式方程1．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.(2)一般式方程的使用方法：直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.2．辨析直线方程的五种形式方程形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率；②已知一点斜截式y=kx+b不能表示与x轴垂直的直线①已知在y轴上的截距；②已知斜率两点式不能表示与x轴、y轴垂直的直线①已知两个定点；②已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积一般式Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程3．求直线方程的一般方法(1)直接法直线方程形式的选择方法：①已知一点常选择点斜式；②已知斜率选择斜截式或点斜式；③已知在两坐标轴上的截距用截距式；④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.(2)待定系数法先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.【题型5直线的一般式方程】【例5】（2425高二上·湖南邵阳·期中）直线l经过点P0−2,3，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（

A．y=x+5 B．x−y+5=0 C．2x−y−3=0 D．3x+y+1=0【解题思路】首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程，最后化为一般式.【解答过程】因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率k=又直线过点P0−2,3，所以直线方程为y−3=x+2，整理得故选：B.【变式51】（2025高二上·全国·专题练习）过点(−3,0)和(0,4)，的直线的一般式方程为（

）A．4x+3y+12=0 B．4x+3y−12=0C．4x−3y+12=0 D．4x−3y−12=0【解题思路】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解.【解答过程】由直线过点(−3,0)和(0,4)，可得直线的截距式得直线方程为x−3整理得4x−3y+12=0，即直线的一般式方程为4x−3y+12=0.故选：C.【变式52】（2425高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式：(1)经过点0,2，且倾斜角为π3(2)经过点−2,3(3)经过点2,1，在x，y轴上有相等的截距．【解题思路】（1）由题知直线的斜率为k=3（2）根据斜率公式得直线斜率为k=−3，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可；（3）分截距为0和不为0两种情况求解.【解答过程】（1）因为直线经过点0,2，且倾斜角为π3所以直线的斜率为k=tanπ3所以直线的一般方程为3x−y+2=0（2）因为直线经过点−2,3和点−1,0，所以直线斜率为k=3−0−2−−1所以直线的一般式方程为3x+y+3=0；（3）当直线在x，y轴上截距都为0时，设直线方程为y=kx，则1=2k，得k=1设直线方程为y=12x当直线在x，y轴上截距都不为0时，由题设直线方程为xa因为直线过点2,1，所以2a+1所以直线的一般式方程为x+y−3=0,综上所述，所求直线为x−2y=0或x+y−3=0.【变式53】（2425高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程．(1)经过两点A5,7，B(2)经过点−4,3，斜率为−3；(3)经过点2,1，平行于y轴；(4)斜率为2，在x轴上的截距为1．【解题思路】（1）根据两点式写出方程转化为一般式方程；（2）根据点斜式写出方程转化为一般式方程；（3）根据点斜式写出方程转化为一般式方程；（4）根据点斜式写出方程转化为一般式方程.【解答过程】（1）由两点式，得直线的方程为y−73−7即x−y+2=0．（2）由点斜式，得直线的方程为y−3=−3x+4即3x+y+9=0．（3）由题意知，直线的方程为x=2，即x−2=0．（4）由点斜式，得直线的方程为y=2x−1即2x−y−2=0．【题型6直线一般式方程与其他形式之间的互化】【例6】（2425高二上·山东菏泽·阶段练习）如果AB<0,BC>0，那么直线Ax+By+C=0不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解题思路】将直线的方程化为斜截式，即可根据斜率和截距的正负求解.【解答过程】因为AB<0，故B≠0，故直线的斜截式方程为：y=−A因为AB<0,BC>0，故−A故直线经过第一象限､第三象限､第四象限，故选：B.【变式61】（2425高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程xa+yb=1化为斜截式方程为y=−2x+b，化为一般式方程为bx+ay−8=0A．−2 B．2 C．6 D．8【解题思路】将y=−2x+b化为一般式，结合条件有b2=a【解答过程】易知ab≠0，由y=−2x+b，得到2x+y−b=0，由已知一般式方程为bx+ay−8=0a>0，所以有b则b2=16，解得又a>0，a=1所以a=2,b=4，则a−b=−2，故选：A.【变式62】（2425高二上·贵州贵阳·阶段练习）写出下列直线的方程，并化为一般式方程．(1)经过点B(−2(2)经过两点P1【解题思路】（1）由斜率与倾斜角关系求出斜率，写出点斜式方程，再化为一般式；（2）由两点坐标求出斜率，写出斜截式方程，再化为一般式．【解答过程】（1）由已知直线的斜率为k=tan直线方程为y−2=33(x+（2）由题意直线的斜率为k=−3−1直线方程为y=2x−3，即2x−y−3=0．【变式63】（2425高二上·宁夏银川·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式：(1)斜率是3，且经过点A5,3(2)经过A−1,5(3)过点1,3且在两坐标轴上截距相等．【解题思路】（1）根据直线点斜式方程运算求解；（2）根据直线的两点式方程运算求解；（3）根据直线的截距式方程运算求解.【解答过程】（1）由点斜式得直线方程为y−3=3(x−5)，即（2）由两点式得直线方程为y−5−1−5=x−（3）当直线截距不为0时，由直线的截距式方程，设求直线方程为xa代入1,3得1a+3当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为y=3x，化为一般式为3x−y=0，综上，直线的方程为x+y−4=0或3x−y=0.【题型7直线过定点问题】【例7】（2425高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l:m+2x+m−1y+m−1=0，则直线A．−1,0 B．0,1 C．0,−1 D．1,0【解题思路】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点.【解答过程】直线l:m(x+y+1)+2x−y−1=0，由x+y+1=02x−y−1=0，解得x=0所以直线l恒过定点0,−1.故选：C.【变式71】（2425高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线l:mx−m+y−1=0过定点，则定点的坐标为（

）A．3,1 B．3,−1 C．1,−1 D．1,1【解题思路】将直线化为l:m(x−1)+y−1=0，即可得定点.【解答过程】直线可化为l:m(x−1)+y−1=0，则x=1时有y=1，即恒过定点1,1．故选：D.【变式72】（2425高二上·山西晋城·期中）已知直线l：λ−1x+y−λ=0（λ∈R）恒过定点，则该定点为（A．0,0 B．0,1 C．1,1 D．1,0【解题思路】将直线方程变形为x−1λ−x+y=0，令x=1【解答过程】直线l的方程可整理为x−1λ−x+y=0，令x=1时，y=1，则恒过定点1,1故选：C.【变式73】（2425高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数m，直线m+1x+y+3m=0恒过定点（

A．3,3 B．−3,3 C．−3,−3 D．3,−3【解题思路】分离参数，联立方程组可得解.【解答过程】直线m+1x+y+3m=0即mx+3令x+3=0x+y=0，解得x=−3即直线m+1x+y+3m=0恒过定点−3,3故选：B.【题型8直线与坐标轴围成图形的面积问题】【例8】（2025高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线5x+12y−1=0倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（

）A．5x+y−10=0                                                     B．C．x−2+y【解题思路】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可.【解答过程】5x+12y−1=0⇒y=−5所以直线5x+12y−1=0的斜率为负值，因此直线5x+12y−1=0的倾斜角为钝角，设直线l的倾斜角为α，则α∈(0,因为tan2α=2tanα1−tan设直线l的方程为y=5x+t，则直线l与坐标轴的交点分别为(−t5,0)由12|−t故直线l的方程可能是y=5x±10.，显然ABD不符合，y=5x±10⇒x−2+y故选：C.【变式81】（2425高二上·山西·阶段练习）直线l:(2−m)x+(2m+1)y+3m+4=0分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形AOB面积为5，则实数m的解有几个（

）A．

B．2 C．3 D．4【解题思路】确定直线斜率存在，分别令x=0、y=0得直线的横纵截距，求三角形AOB面积根据面积值解方程得m，即可得结论.【解答过程】由题可知，直线l:(2−m)x+(2m+1)y+3m