辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题的，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.角的终边与的终边关于轴对称，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称，所以.故选：D.2.伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为时针每转一周，故经过，时针的针尖转过的弧度数为，走过的路程约为．故选：C3.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为角的终边经过点，所以，，所以.故选：C.4.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由两边平方得，即，而，故.所以，而解得，所以，故选：A.5.将函数的图象向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数的图象向右平移个单位，所得函数解析式为，即，∵函数的图象关于轴对称，∴函数为偶函数，∴，故，∵，∴当时，.故选：D.6.已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（）A.函数的图象关于点中心对称B.函数的单调增区间为C.函数在上有2个零点，则实数的取值范围为D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【答案】D【解析】.根据图象可得：.由，所以.所以.对A：因为，所以是函数的对称中心，故A正确；对B：由，，.所以函数的单调增区间为，.故B正确；对C：因为，当时，.因为函数在上有两个零点，所以，故C正确；对D：因为，所以函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，故D错误.故选：D.7.在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，因为，所以，，所以因为，由正弦定理得,所以，即，所以,由，解得所以，所以的范围是.故选：B.8.已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由已知可知，由，解得，因为在上单调递增，所以，即，解得①，此时，解得；又因为在上，恒成立，所以，解得，由于，所以，解得②，此时，解得，又因为，所以当时，由①②可知，解得；当时，由①②可知解得，所以的取值范围为.故选:B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则（）A.若，则B.若，则C.若取得最大值，则D.若，则在上的投影向量为【答案】ABD【解析】对于A，若，则，则，解得，所以A正确；对于B，若，则，所以，解得，所以B正确；对于C，，当，即时，取最大值，所以C错误；对于D，若，则，所以在上的投影向量为，所以D正确.故选：ABD.10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.当时，函数的值域为C.当时，函数的单调递增区间为D.若，函数在区间内恰有2025个零点，则【答案】BD【解析】对于A选项，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，故函数的最小正周期为，A不对；对于B选项，当时，，令，则，，当时，；当时，；当时，.所以，，所以，当时，函数的值域为，B对；对于C选项，当时，，则，令，则，则外层函数，外层函数的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，则内层函数单调递增时，则函数为增函数，所以，；当时，则内层函数单调递减时，则函数为增函数，所以，.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，，C错；对于D选项，当时，，可得或，由于函数的最小正周期为，且，现在考虑函数在上的零点个数，由可得，由可得或，所以，函数在上的零点个数为，因为，故，D对.故选：BD.11.三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点P满足条件：时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是的布洛卡点，布洛卡角为，则（）A.当时，B.当且时，C.当时，D.当，时，【答案】ACD【解析】对于A选项，当时，是等腰三角形，，因为，，所以，又因为，所以，所以，即，A正确；对于B选项，当时，由A选项知，，因为，所以，设，则，因为，所以，所以，即满足，可得,在中，，由正弦定理得，所以，所以，联立，解得，B错误；对于C选项，当时，，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，相加得，即，C正确；对于D选项，已知，.先由余弦定理，所以，进而.设，则，.在中，由正弦定理；在中，.因为，，，.由正弦定理，，可得.在中，再用正弦定理，把代入得.展开，即，化简可得.D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则______．【答案】【解析】因则.又，则，.则；故答案为：.13.在中，内角的对边分别为a，b，c，已知，，且的面积为，则________.【答案】【解析】因为，由正弦定理得，即，又，所以．由的面积为，得，可得．在中，由余弦定理可得，又，，代入可得，所以，所以．故答案为：.14.已知向量与满足，且对，满足，则的最大值为________.【答案】【解析】已知，两边平方可得.展开得.移项整理得.因为对于，上式恒成立，所以二次函数的判别式.即，进一步化简得，即.因为一个数的平方是非负的，所以，即.可得.将代入上式得.令，设（），，令.将变形为.由基本不等式（当且仅当时等号成立），这里，，则.所以，即，当且仅当，时取等号.故最大值是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.解：（1）因为向量，且，所以，解得，所以.（2）因为，且，所以，解得.（3）因为与的夹角是钝角，则且与不共线，即且，所以且.16.已知函数．（1）将化简成的形式；（2）求函数的单调增区间；（3）若函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围．解：（1）.（2）由可得，，所以，函数的单调增区间为.（3）令，因为，所以.函数在区间上恰有一个零点，可转化为函数与的图象在区间上恰有一个交点，等价于函数与的图象在区间上恰有一个交点.作出函数在区间上的图象如下图由图象可知，当或时，函数与的图象在区间上恰有一个交点，即函数在区间上恰有一个零点.所以，的取值范围为：或17.在中，内角的对边分别是，记的面积为，且.（1）求角的大小；（2）若，，分别为的中线和角平分线.（i）若的面积为，求的长；（ii）求长的最大值.解：（1）因为，所以，所以，又因为，所以；（2）（i）由，得，由余弦定理得，所以，因为为的中线，所以，则，所以；（ii）由余弦定理得，所以，因为为的角平分线，所以，由，得，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，所以当时，取得最大值，即长的最大值为.18.已知，（1）若，，求的值；（2）在中，，求的最大值；（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由题意得，因为，所以，又因为，所以，则；（2）由得，因为，所以，即，则，因为，所以，即，即，故的最大值为；（3）由不等式变形得：令，则不等式可化为：，因为，所以，即，则原不等式又化为：，而，当且仅当时取等号，所以要使得原不等式恒成立的的取值范围是：.19.极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题.1.极化恒等式：，公式推导：；2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则；3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由.（1）如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值；（2）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围；（3）已知中，，且的最小值为