山东省聊城市、济宁市邹城市2024-2025学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省聊城市、济宁市邹城市2024-2025学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知空间两点，则两点间的距离是（）A.2 B.3 C.4 D.9【答案】B【解析】由题意，故选：B．2.若直线经过点，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，故选：D．3.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A选项，，共面；B选项，，共面；C选项，若存在，使得，则共面，与已知矛盾，所以假设错，不共面．D选项，，共面．故选：C．4.已知直线与圆相交于两点，则（）A. B.4 C. D.2【答案】A【解析】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，则弦的长，故选：A5.已知空间三点，则点到直线距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因，所以，，则，，所以点到直线的距离.故选：D.6.过两点的直线的倾斜角为，则（）A. B. C.或 D.2【答案】A【解析】由题意可得，，化简可得，解得或，当时，，两点重合，故舍去.所以.故选：A.7.在正三棱柱中，为棱的中点，与交于点，若，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】连接，取中点，连接，则，，所以是与所成的角或其补角，正棱柱中所有侧棱都与底面上的任意直线垂直，设，则，所以，，等边三角形中，，，，在等腰中，，,中，,所以与所成角的余弦值是，故选：B．8.若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的圆心，半径四边形中，，则，整理得，又，PC最小值即为圆心到直线的距离，则，故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.设直线的交点为，则（）A.恒过定点0,2B.C.的最大值为D.点到直线的距离的最大值为5【答案】ABD【解析】对于选项A，因为直线，即，令，解得，所以恒过定点0,2，故A正确；对于选项B，因为直线满足，所以，故B正确；对于选项C，联立两直线方程，解得，所以，则，令，则，所以，且在上单调递增，当时，，所以，故C错误；对于选项D，由A可知，直线恒过定点0,2，则点到直线的距离的最大值即为点到定点0,2的距离，即，故D正确；故选：ABD.10.直线的方程为，则直线的倾斜角的可能取值？（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】当时，直线的方程为，直线的倾斜角为，当时，直线的方程可化为，则直线的斜率，则或，则直线的倾斜角的取值范围为，综上，直线的倾斜角的取值范围为.故直线的倾斜角可能取值为，，.故选：ABC.11.已知正方体的棱长为2，点满足，其中，则（）A.存在唯一点，使得平面B.存在唯一点，使得平面C.当时，点到平面的距离的最小值为D.当时，三棱锥的体积的最小值为【答案】ACD【解析】以为原点，所在方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示：则对于A，因为，所以，，所以，又因为，，设平面的法向量为，则，所以，取，则，又因为平面，所以，所以，所以，唯一确定，故正确；对于B，因为，要使平面，则，所以，所以，故点不唯一，故错误；对于C，因为，所以三点共线，因为,设点到平面的距离为，则有，所以，设到的距离为，则，当与重合时，，所以，故C正确；对于D，因为，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，设到的距离为，因为，当点位于圆弧中点时，.所以，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.若实数满足方程，则的最小值为___.【答案】【解析】由实数满足方程，可得，则，则的最小值为.13.曲线围成的图形的面积是___________.【答案】【解析】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可，当，时，曲线方程为，表示的图形占整个图形的，而表示的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆，∴，故围成的图形的面积为：.14.已知正四棱柱为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是__________.【答案】【解析】为的中点，即为正四棱柱的中心，由对称性，为的中点，则，，，，所以，所以．四､解答题：本题共5小题，共77分；解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，长方体中，，设.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：连接，设，连接，如图：则，且，所以四边形平行四边形，所以平面平面故平面.（2）解：以为坐标原点，方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，.设平面的法向量n=x,y,z则，即，令，解得，，，设平面的一个法向量，则，即令，解得，.设平面与平面的夹角为，故平面与平面夹角的余弦值为.16.已知ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．（1）求顶点C坐标；（2）求直线BC的方程．解：（1）设，∵AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为．∴，解得．∴．（2）设，则，解得．∴．∴．∴直线BC的方程为，即为．17.已知直线经过直线的交点，且A3,2､两点到直线的距离相等.（1）求直线的一般式方程；（2）若点在直线的同侧，且为直线上一个动点，求的最小值.解：（1）由，解得，所以交点，①当所求直线与直线平行时，直线的斜率为，则所求直线的方程为，即；②当所求直线过的中点时，线段的中点坐标为1,0，则所求直线垂直于轴，故所求直线方程为，即；综上所述，所求直线方程为或.（2）因为点在直线的同侧，所以直线的方程为，设点关于直线的对称点为，则，解得，即点，因为，当三点共线时等号取到，故的最小值为.18.如图，在矩形中，，沿将折起，点到达点的位置，使点在平面的射影落在边上.（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：由点在平面的射影落在边上可得：平面，又平面，所以，又，且平面平面，所以平面，又平面，故.（2）解：作，垂足为，由已知得：且平面平面，从而平面，且平面，所以平面平面，又平面，平面平面，所以平面，即即为点到平面的距离，在直角三角形中，，所以，故点到平面的距离为.（3）解：在直角三角形中可得，，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，所以，从而，易知，设平面的一个法向量为n=x,y,z所以，解得：，又直线的方向向量为，因此可得故直线与平面所成角的正弦值为.19.在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）设为圆的动弦，且不经过点，记分别为弦的斜率.（i）若，求面积的最大值；（ii）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.解：（1）设圆的标准方程为，由已知可得：解得：，所以