山东省临沂市莒南县2024-2025学年高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省临沂市莒南县2024-2025学年高二下学期期中数学试题一、单选题1.设函数在处的导数存在，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D2.若，则=（）A.210 B.105 C.455 D.240【答案】B【解析】根据题意，由组合数的性质可得，所以.故选：B.3.随机变量，．若，则X在内取值的概率为（）A.0.9 B.0.8 C.0.3 D.0.1【答案】A【解析】因为随机变量，，所以，因为，所以.所以X在内取值的概率为.故选：A4.有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（）.A.32种 B.64种 C.96种 D.144种【答案】D【解析】2位老师不能分开，即将他们捆绑为一个整体，2位老师的顺序可交换，有种排法，老师不排在首尾，由于将2位老师看成一个整体了，与4名学生一共是5个位置在排列，2位老师不能选首尾的2个的位置，只能选中间的3个位置中的一个，2位老师选定后，剩下4名学生在4个位置全排列，所以有种排法，根据分步乘法计数原理，不同的排法一共有种.故选：D.5.已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可得，当时，在上恒成立，不存在极值点，不符合题意，舍去；所以必有，令，得，当时，；当x>-ln-a时，，即恰好有一个极小值点，符合题意，故a的取值范围是.故选：C.6.某单位计划从4名男职工和3名女职工中选2人在周末时间值班，则在周六值班的是男职工的条件下，周日值班是女职工的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设事件A为周六值班的是男职工，事件B为周日值班的是女职工，由题意可知，事件AB表示周六值班的是男职工，周日值班的是女职工，二者同时发生，一共有种符合条件的情况，总情况数有，所以，由条件概率的计算公式可知.故选：B.7.定义：为函数n阶导数，即对函数连续求n阶导数．例如,则,,,,…,若，则的展开式中的系数是（）A.8 B.28 C.56 D.70【答案】C【解析】由，可得，所以，所以，由此可归纳出求，求8阶导，展开式有9项，且每项的系数是组合数，所以的展开式中的系数是.故选：C.8.甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于甲，从中依次有放回的摸出n张，每次摸到数字卡牌的概率为，重复做次，所以，对于乙，从中一次性摸出n张卡牌，不放回，所以服从超几何分布.对于A，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等，如取，则，故A错误；对于B，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等，如取，则，故B错误；对于C，由二项分布期望公式可得，由超几何分布的期望公式可得，故C正确；对于D，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等，如取，则，，故D错误.故选：C.二、多选题9.已知的展开式共有8项，则（）A. B.无常数项C.含项的系数为92 D.所有项的二项式系数之和为128【答案】ABD【解析】对于A，因为的展开式共有8项，所以，故A正确；对于B，展开式通项为，设，此时无解，所以不存常数项，故B正确；对于C，令，解得，所以项的系数为，故C错误；对于D，展开式二项式系数和为，故D正确.故选：ABD10.已知是函数的一个极值点，则（）A. B.当时，C.是偶函数 D.当且时，【答案】ACD【解析】对于A，，由题意，是的解，则，解得，故A正确；对于B，因为，所以，函数的定义域为，，令，解得，令，解得或，故在上单调递减，又，则，故B错误；对于C，由，所以关于对称，则关于对称，即是偶函数，故C正确；对于D，，可得，又，则得，因在上单调递增，则故有，即，故D正确.故选：ACD11.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为．则（）A.B.若第3次传球后，戊开始加入传球训练，则C.若第2次传球后，球恰好在丁手中，他将球传出后便离开了，则D.若添加规定：当球在甲手中时，甲只能传给乙，乙再等可能传给其他人，则【答案】AC【解析】对于A，由题意可知第次传球后，球在甲手中的概率为，所以在其他人手中的概率为，因为每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他3人中的任意1人，所以第次传球后，球在甲手中的概率为，可以得到传球递推关系：，且，由此可算得，所以A正确；对于B，当传球3次后，球在甲手中的概率，而接下来，，所以B错误；对于C，第2次传球后，球恰好在丁手中，第3次传球丁传给甲、乙、丙的概率均相等为，故第3次传球后球在甲手中的概率，而接下来，，，所以C正确；对于D，添加的规定不影响传球递推关系：，所以，所以D错误．故选：AC.三、填空题12.的展开式中，系数最大的项是第________项．【答案】【解析】因为在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，而二项展开式共有项，中间项的二项式系数最大，所以第项的系数最大，故答案为：13.某人要经过一段有14级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的走法有______种．【答案】21【解析】考虑迈三级台阶的次数：迈0次三级台阶，即每次迈2级台阶，走7次，只有1种走法；迈1次三级台阶，还有11级，无法被2整除，不可能；迈2次三级台阶，还有8级，再迈4次2级台阶，一共要迈6次，所以有种走法；迈3次三级台阶，还有5级，无法被2整除，不可能；迈4次三级台阶，还有2级，再迈1次2级台阶，一共要迈5次，所以有种走法；迈5次三级台阶，已经超过14级台阶了，不可能，根据分类加法计数原理，不同的走法共有种.故答案为：21.14.已知曲线与gx=ax2+【答案】【解析】由题意可知在上分别存在两个点，使得在处的切线与在处的切线为同一条直线，因为，由同一条切线的斜率相等可得，由同一条切线的截距相等，可得，即，将斜率相等的表达式代入可得，即方程在上有解，令，则，令，得，当时，；当时，，且当时，；当时，，所以存在极大值同时也是最大值，所以的值域为，若方程在上有解，则，又，所以.故答案为：.四、解答题15.学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求：（1）若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？（2）若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？（3）若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？解：（1）选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从剩余8人中选5人，共有种选法．选调的志愿者中恰有2名教师，先选2名教师，再从8人中选4人，共有种选法．所以志愿者中有教师的选调方法为：种．（2）若每个社区中必有教师，则2名教师均需选用，再从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行分配，共有种分配方法．（3）选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，有分配时有三种情况：当高一高二各选1名学生时，种分配方法；当高一高二各选2名学生时，种分配方法；当高一高二各选3名学生时，种分配方法；则共有种分配方法.16.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）因为，定义域为，所以，因为，若时，在上单调递增；若时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）因为，恒成立，所以，则，令且，则，令，则，故在上单调递增，又，所以时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，所以，故实数a的取值范围为.17.将标记为A、B、C、D、E、F的6封信放入甲乙丙丁四个信箱中，要求每个信箱都不空．（1）求甲信箱中放入信件个数X的分布列和数学期望；（2）在A信件放入甲信箱的前提下，求B信件不放入甲信箱的概率．解：（1）X的所有可能取值为1，2，3，当时，四个信箱的放法有1,2,2,1和1,3,1,1两种放法：①6封信里选1封放入甲信箱，再选2封放入乙信箱，再选2封放入丙信箱，二者平均分配需要倍缩，最后1封放入丁信箱，后三个信箱为全排列，②6封信里选1封放入甲信箱，再选3封放入乙信箱，最后2封各1封放入丙丁信箱，后三个信箱为全排列，所以当时，放法总数为，同理可得当时，放入甲邮箱中两封信的放法总数，当时，放入甲邮箱中三封信的放法总数，因此，，，所以X的分布列为X123P数学期望．（2）在A信件放入甲邮箱的前提下，记甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，，由（1）同理可得，在A信件放入甲邮箱的前提下，B信件没放入甲邮箱，甲邮箱中信件个数是1，2，3时放法数为，，，由（1）同理可得，所以B信件不放入甲邮箱中的概率为．18.已知函数．（1）若，求函数在上的最值；（2）若无零点，求a的取值范围．（3）若，有两个实数根，，证明：解：（1）当时，，则，，由，得，由，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，∴，∵，，又4-ln3-ln4-15所以的最大值为，最小值为；（2）∵，，当时，在上无零点，符合题意；当时，恒成立，即在上单调递增，无极值；因为当时，，，所以，当时，，又在上单调递增，所以当时，函数在上必有零点，不合题意，舍去；当时，由，得，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，所以当时，有极小值，同时极小值也为最小值，因为当时，，，所以，当时，，若函数无零点，则fa=1令，，则，所以函数在上单调递减，又，由Fa>F1，得，则综上，a取值范围为；（3）由（1）得，当时，当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，因为有两个实根，所以不妨令，则，要证，即证x2>2-x又因为当时，单调递增，所以即证，因为，即证，令，所以，所以在上单调递减，故，即fx>f2-x,所以成立，即成立.19.某学校有A、B两家餐厅，王同学第1天随机选择去一家餐厅用餐，以后每天的用餐规律是：如果第1天去了A餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.7；如果第1天去了B餐厅，第2天去A餐厅的概率为0.8．（1）求王同学在前两天中至少有一天去B餐厅用餐的概率.（2）求王同学在第