山东省临沂市兰陵县2024-2025学年高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省临沂市兰陵县2024-2025学年高一下学期期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.2.若，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，故，故虚部为，故选：C3.已知向量，若，则（）A. B. C.4 D.9【答案】D【解析】由可得，解得.故选：D.4.若，则（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】故选：B.5.已知是单位向量，，则向量在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意以及投影向量定义得向量在上的投影向量是：.故选：B.6.若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，依题意，在第一象限，则，解得.故选：B.7.已知的内接三角形中，，则（）A.10 B. C.14 D.【答案】D【解析】如图，过点分别作，垂足分别为点，因，点为的外心，则，则.故选：D.8.著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，则，又，所以，由，得到，又，且，则，所以，故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（）A.周期为B.初相是C.该振子离开平衡位置的最大距离是20D.当时，振子第一次到达平衡位置【答案】ACD【解析】在函数中，，则周期，所以A选项正确.在函数中，初相，所以B选项错误.对于正弦函数，表示振子离开平衡位置的最大距离.在函数中，，则振子离开平衡位置的最大距离是，所以C选项正确.振子到达平衡位置时，，即，则（）.解这个方程可得：，因为，当时，，所以当时，振子第一次到达平衡位置，D选项正确.故选：ACD.10.设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（）A.B.若，且，则C.若，则的最大值为5D.若，则点的集合所构成图形的面积为【答案】BD【解析】对于A，设，则，而，当时必定不成立，故A错误；对于B，设且，由，可得，解得，即，故B正确；对于C，因，可设，则，则，故当时，取得最大值9，故的最大值为3，即C错误；对于D，由可知，点的集合构成以点为圆心，半径为1和的两同心圆所夹的圆环，其面积为，故D正确.故选：BD.11.记的内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（）A.若，则这样的三角形只有一个B.若，则为等腰直角三角形C.若为边上的中线，且，则D.若边上的高分别为，则最大角的余弦值为【答案】BCD【解析】对于A，由正弦定理得，则，得，因为，所以或，所以满足条件的三角形有2个，所以A错误；对于B，由，根据正弦定理得，当且仅当时等号成立，此时，，，又，∴，，，所以为等腰直角三角形，故B正确；对于C，因为为边上的中线，，又且，所以，即，故C正确；对于D，根据三角形的面积公式得，即，设，由于,故为最大的内角，由余弦定理得，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则_________．【答案】．【解析】因为向量，所以，即，所以，即，故应填．13.已知，则_______________．【答案】【解析】因为，，所以，，即，，两式相加得，所以．故答案为：14.已知函数，将的图像上所有的点向右平移个单位长度得到的图象，若是奇函数，且在上恰有2个解，则__________.【答案】【解析】由题意是奇函数，所以由三角函数奇偶性得，①，在上恰有2个解，即在上恰有2个解，因为时，，所以在上恰有2个解，所以由图象性质得，②，又，所以结合①②得只有当时符合.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明或验算步骤.15.已知复数满足：.（1）求复数；（2）求的值.解：（1）设，由，可得，即，则，解得或（此时方程①无意义，故舍去），所以.（2）由（1），可得，因，则.16.（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.解：（1），，.（2）又，，.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的表达式；（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求的值域以及取最大值时的值.解：（1）根据函数图象可得，，又，得，又.所以；（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到再向右平移个单位，得到∴.当时，.∴，∴即的值域为，当时，，得∴取最大值时的值为.18.已知的内角、、的对边分别为、、，且.（1）求角；（2）设是边上一点，平分，，求的值；（3）设为边的中点，，求的最大值.解：（1）由及正弦定理得，即，利用余弦定理可知，.因为，所以.（2）在中，，，所以，即，因为为角平分线，所以，所以，由余弦定理，得，则.因此.（3）由余弦定理，即，所以，解得，当且仅当时取等号，因为为的中点，所以，所以.，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为.19.如图，为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，记，设.（1）试用向量表示；（2）判断是否是定值，若是，求出该定值，若不是，说明