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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年山东省济南市济钢高级中学高二(下)期中数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若C20x=C203x−4A.2 B.4 C.6 D.2或62.已知事件A,B,若P(B)=47,P(AB)=37,则A.34 B.328 C.4213.已知y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,其图象如图所示,则以下选项中正确的是(
)A.x=0和x=2是函数y=f(x)的两个零点
B.函数y=f(x)的单调递增区间为(−∞,1)
C.函数y=f(x)在x=0处取得极小值,在x=2处取得极大值
D.函数y=f(x)的最大值为f(2),最小值为f(0)4.已知随机变量X~N(80,σ2),且P(X≥120)=0.21,则P(40<X<80)=A.0.21 B.0.29 C.0.71 D.0.795.已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在A.0或−7 B.−7 C.0 D.76.某次团员公益志愿活动中,需安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作,每个活动场地去2名志愿者,其中志愿者A去甲活动场地,志愿者B不去乙活动场地,则不同的安排方法共有(
)A.18种 B.12种 C.9种 D.6种7.已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X≥1)=23,P(X=3)=16,若X的数学期望E(X)=5A.19 B.16 C.194 D.8.将(6x−13xA.24 B.36 C.144 D.576二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.若(2x−1)10=a0+A.a1+a2+⋯+a10=1 10.已知函数f(x)=e2x−2ax−1,则下列说法正确的是A.若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,则a=1
B.若a=1,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
C.若a>e2,则函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为a−alna−1
D.若f(x)≥011.甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中,则此人继续投篮;若未命中,则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(
)A.第2次投篮的人是乙的概率为0.6.
B.前2次投篮的人都是甲的概率为0.3.
C.第2次投篮的人是甲的概率为0.6.
D.第i次投篮的人是甲的概率为13三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.如图,用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色,要求相邻的矩形涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有______.13.(x2+2)(114.如图,对于曲线G所在平面内的点O,若存在以O为顶点的角α,使得对于曲线G上的任意两个不同的点A,B,恒有∠AOB≤α成立,则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”,并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C:y=xex−1+1,x>0,116x2+1,x≤0(其中e是自然对数的底数),O为坐标原点,曲线C的相对于点四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)
一批产品共10件,其中3件是不合格品,用下列两种不同方法从中随机抽取2件产品检验:方法一:先随机抽取1件,放回后再随机抽取1件;方法二:一次性随机抽取2件.记方法一抽取的不合格产品数为ξ1,方法二抽取的不合格产品数为ξ2.
(1)求ξ1,ξ2的分布列;16.(本小题15分)
设函数f(x)=ln(ax+b),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x−2y+2ln2−1=0.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)−xx+1,求g(x)的单调区间;
(Ⅲ)求证:当x≥0时,有17.(本小题15分)
诗词大会的挑战赛上,挑战者向守擂者提出挑战,规则为挑战者和守擂者轮流答题,直至一方答不出或答错,则另一方自动获胜,比赛最多进行5轮(挑战者和守擂者依次答题一次为一轮),若第五轮挑战者答题正确则不论守擂者答对与否都认为挑战者获胜.赛制要求挑战者先答题,守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是12,且每次答题互不影响.(其中挑战者第五轮答对问题概率为13)
(1)若在不多于两次答题就决出胜负的条件下,则挑战者获胜的概率是多少?
(2)在此次比赛中,挑战者最终获胜的概率是多少?
(3)现赛制改革,挑战者需要按上述方式连续挑战全部6位守擂者,以(2)中求得的挑战者最终获胜的概率作为挑战者面对每个守擂者的获胜概率,每次挑战之间相互独立,若最终统计结果是挑战者战胜了不少于三分之二的守擂者,则称该挑战者挑战成功,反之则称挑战者挑战失败.若再增加118.(本小题17分)
已知函数f(x)=−x2+(a−2)x+a−3ex(x>0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)存在两个极值点x1,19.(本小题17分)
在数学探究实验课上,小明设计了如下实验:在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多种不同颜色的小球,一共有偶数个小球,现在从盒子中一次摸一个球,不放回.
(1)若盒子中有6个球,从中任意摸两次,摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为35.
①求红球的个数;
②从盒子中任意摸两次球,记摸出的红球个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
(2)已知盒子中有一半是红球,若“从盒子中任意摸两次球,至少有一个红球”的概率不大于1114,求盒子中球的总个数的最小值.
(3)在(2)的条件下,盒中球的总数为x,若“从盒子中任意摸两次球,恰有两个红球”奖励4x元,若“从盒子中任意摸两次球,恰有一个红球”奖励8+156x答案解析1.【答案】D
【解析】解:∵C20x=C203x−4,∴x=3x−4或x+3x−4=20,解得x=2或6,
2.【答案】A
【解析】解:P(A|B)=P(AB)P(B)=3747=33.【答案】C
【解析】解:根据图象可知,0<x<2时,导函数f′(x)>0,x<0或x>2时,导函数f′(x)<0,
则f(x)在(−∞,0)和(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增,
则当x=0时,f(x)取极小值,当x=2时,f(x)取极大值,故B错误,C正确,
由图只能确定函数f(x)的单调性以及极值点,无法确定具体的函数值,故AD无法确定.
故选:C.
由f′(x)的正负性可以确定函数f(x)的单调性以及极值点,可判断B
C,但因无具体的解析式,故无法确定具体的函数值,故AD无法确定.
本题考查导数的综合应用,属于中档题.4.【答案】B
【解析】解:已知随机变量X~N(80,σ2),且P(X≥120)=0.21,得μ=80,
则P(40<X<80)=P(80<X<120),
故P(40<X<80)=0.5−P(X>120)=0.5−0.21=0.29.
5.【答案】B
【解析】解:f′(x)=3x2+2ax+b,
∴f′(1)=3+2a+b=0,①,
f(1)=1+a+b+a2=10,②,
由①②得:a=4b=−11或a=−3b=3,
而要在x=1能取到极值,则△=4a2−12b>0,舍去a=−3b=3,
所以只有a=4b=−11
∴a+b=−7,
6.【答案】A
【解析】解:根据题意,分2类讨论.
第一类,B去甲活动场地,则A,B在一起,都去甲活动场地,将剩下4人分为2组,
安排在乙、丙两个活动场地即可,有C42C22=6(种)安排方法;
第二类,B不去甲活动场地,则B必去丙活动场地,在剩下4人中选出2人安排在乙活动场地,
再将剩下2人分别安排到甲、丙活动场地,有C42 A22=12(种)安排方法.
7.【答案】A
【解析】解:由题知P(X=0)=13,设P(X=1)=a,则P(X=2)=12−a,
因此E(X)=0×13X0123P1111则D(X)=13×(0−54)2+14×(1−548.【答案】C
【解析】解:二项式(6x−13x)6的展开式中,通项公式为Tr+1=(−1)rC6r⋅x2−r2,r=0,1,2,…,6,
令2−r2为整数,可得r=0,2,4,6,
展开式共有7项,其中有4个x的次数为整数的项,把展开式中的项重新排列,9.【答案】BD
【解析】解:对选项A,(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10,
令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a2+⋯+a10=1,
所以a1+a2+⋯+a10=0,故A错误.
对选B,因为(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+10.【答案】BCD
【解析】解:f′(x)=2e2x−2a.
则k=f′(0)=2−2a=2,解得a=0,故A选项错误.
当a=1时,f(x)=e2x−2x−1,f′(x)=2e2x−2.
当x∈(0,+∞)时,e2x>e0=1,则2e2x−2>2×1−2=0,即f′(x)>0.
根据导数与函数单调性的关系,当函数的导数大于0时,函数单调递增,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,故B选项正确.
f′(x)=2e2x−2a=2(e2x−a),令f′(x)=0,即e2x−a=0,解得x=12lna.
当a>e2时,12lna>1.
当x∈[1,12lna)时,e2x−a<0,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(12lna,+∞)时,e2x−a>0,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)在x=12lna处取得最小值,f(12lna)=e2×12lna−2a×12lna−1=a−alna−1,故C选项正确.
当a≤0时,e2x>0,则f′(x)=2e2x−2a>0,f(x)在R上单调递增.
当x→−∞时,e2x→0,f(x)→−∞,不满足f(x)≥0.
当a>0时,令f′(x)=0,得x=12lna.
当x∈(−∞,1211.【答案】ABD
【解析】解:记“第2次投篮的人是乙”为事件A,
“第1次投篮的人是甲”为事件B,则A=BA+B−A,
对于A选项,有P(A)=P(BA+B−A)=P(BA)+P(B−A),
=P(B)P(A|B)+P(B−)P(A|B−)=0.5×(1−0.6)+0.5×0.8=0.6,A选项正确;
对于B选项,P(BA−)=P(B)P(A−)=0.5×0.6=0.3,B选项正确;
对于C选项,P(A−)=P(BA−+B−A−)=P(BA−)+P(B−A−)
=P(B)P(A−|B)+P(B−)P(A−|B−)=0.5×0.6+0.5×0.2=0.4,C选项错误;
对于D选项,设第i次投篮的人是甲的概率为P(i)12.【答案】48
【解析】解:求不同的涂色方法有两类办法:
①若A,D同色,
则用4种颜色涂4个区域有A44种;
②若A,D同色,
则用3种颜色涂4个区域有A43种,
则不同的涂色方法共有A44+A43=48(13.【答案】3
【解析】【分析】先求得(1x2【解答】
解:因为(1x2−1)5的通项为Tr+1=C5r·(1x2)5−r·(−1)r=(−1)r14.【答案】π2【解析】解:当x>0时,过原点作y=xex−1+1的切线,
设切点A(x1,x1ex1−1+1),
y′=(x+1)ex−1,k1=(x1+1)ex1−1,
则切线方程为y−(x1ex1−1+1)=(x1+1)ex1−1(x−x1),
又切线过点(0,0),
所以−x1ex1−1−1=−x1(x1+1)ex1−1,
整理得x12ex1−1−1=0,
设g(x)=x2ex−1(x>0),
则g′(x)=(x15.【答案】解:(1)随机变量ξ1的可能取值为0,1,2,
且ξ1~B(2,310),
则P(ξ1=0)=Cξ012P49219随机变量ξ2的可能取值为0,1,2,且ξ2服从超几何分布,
且P(ξ2=0)=C30C7ξ012P771(2)E(ξ1)=E(ξ2).理由如下:由(1)知,方法一中E(ξ1)=2×310=【解析】(1)随机变量ξ1的可能取值为0,1,2,求出概率得到分布列;随机变量ξ2的可能取值为0,1,2,且ξ2服从超几何分布,求出概率,得到分布列.
(2)求解期望,推出16.【答案】解:(I)f′(x)=aax+b.
因为y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x−2y+2ln2−1=0,
所以有f′(1)=aa+b=12f(1)=ln(a+b)=ln2,
解得a=1b=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)有f(x)=ln(x+1),
所以g(x)=ln(x+1)−xx+1,定义域为(−1,+∞).
则g′(x)=x(x+1)2.
令g′(x)=x(x+1)2=0,解得x=0,
当x>0时,g′(x)>0,
当−1<x<0时,g′(x)<0,
所以g(x)=f(x)−xx+1的单调递增区间为(0,+∞);单调递减区间为(−1,0).
(Ⅲ)证明:令函数m(x)=f(x)−xe−x(x≥0),
所以m′(x)=1x+1−【解析】(Ⅰ)利用切线方程建立方程组求解;
(Ⅱ)由(Ⅰ)确定g(x)的解析式,再求导即可求函数单调区间;
(Ⅲ)构造函数m(x)=f(x)−xe−x(x≥0)17.【答案】13;
13;
【解析】(1)设事件A为“挑战者获胜”,事件B为“不多于两次答题就决出胜负”,则P(B)=12+12×12=34,
又事件AB为“不多于两次答题就决出胜负且挑战者获胜”,即只有“挑战者获胜,守擂者失败”这一种情况,
则P(AB)=12×12=14,P=P(A|B)=P(AB)P(B)=1434=13;
(2)挑战者和守擂者依次答题一次为一轮,
每一轮答题中两人都答对的概率为12×12=14,进行k轮后不分胜负的概率为(14)k,
则第k轮挑战者获胜的概率为(14)k−1⋅12⋅(
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