2024-2025学年吉林省延边州敦化实验中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省延边州敦化实验中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=−2+i，则(

)A.z的虚部为i B.|z|=5 C.z−=−2−i 2.已知平行四边形ABCD中，E是CD的中点，则BE=(

)A.AD−12AB B.AD+13.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A：B：C=1：1：4，则a：b：c=(

)A.1：1：3 B.2：2：3 C.1：1：2 D.1：14.若单位向量a，b满足|a+3b|=A.263 B.2335.如图，在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，若直线EH、GF相交于点P，则(

)A.点P必在直线AC上

B.点P必在直线BD上

C.点P必在平面ABC内

D.点P必在平面ACD内6.tan(−877.5°)=(

)A.−2−1 B.1−2 7.山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处(B,C,N在同一水平面上且三点共线)测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°，在A处测得木塔顶部M的仰角为30°，则可估算木塔的高度为(

)A.(15+452)m B.(45+152)m8.在△ABC中，点D满足AD−12CB=AC，|AD|=2，点EA.[−4,32] B.[−2,32]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于空间几何体的叙述错误的是(

)A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥

B.任何一个几何体都必须有顶点、棱和面

C.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D.一个棱柱至少有5个面10.已知a,b,cA.若a⋅c=b⋅c，则a=b

B.若|a+b|=|a−11.若z1，z2是复数，则下列说法错误的是(

)A.若|z1|=1，则1z1+z1∈R

B.若z13=z23，则z1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若向量a=(3,6),b=(−1,1)，则向量a在向量b13.在边长为2的菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，AM⋅AB=5，则AM⋅AN=14.已知某地区某天的温度(单位：℃)随时间t(单位：ℎ)的变化近似满足函数关系f(t)=28+Asin(π8t+3π4)(A>0)，t∈[0,24)，且这天的最大温差为8℃，则A=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(−2,3)，b=(k,2−k)．

(1)若a//b，求实数k的值；

(2)若a+2b与16.(本小题15分)

如图所示，O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图，其中O′A′=3，O′C′=1，B′C′=1．

(1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；

(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．17.(本小题15分)

函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)将f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间[−π1218.(本小题17分)

如图，在直角梯形OABC中，OA//CB，OA⊥OC，OA=2BC=2OC=2，M为AB上靠近点B的一个三等分点，P为线段BC上的一个动点．

(1)用OA和OC表示OM；

(2)设OB=λCA+μOP19.(本小题17分)

在△ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点．

(1)若CD=DB，证明：BC+2ACcos∠ACB=0；

(2)若∠ACD=π3，AD=3．

(i)求△ABC面积的最大值；

(ii)求BC的最小值．答案解析1.【答案】C

【解析】解：由z=−2+i，得z的虚部为1，故A错误；

|z|=(−2)2+12=5，故B错误；

由共轭复数的定义可知z−=−2−i，故C正确；

由虚数不能比较大小可知，D错误．

故选：C．

由已知可得z的虚部，即可判断2.【答案】A

【解析】解：利用已知条件：则BE=BC+CE=BC+123.【答案】A

【解析】解：△ABC中，A：B：C=1：1：4，

所以三个内角分别为30°，30°，120°；

则a：b：c=sinA：sinB：sinC

=12：12：32

=1：1：3．

故选：A．

根据三角形内角和定理与正弦定理，即可求得a：4.【答案】D

【解析】解：因为a，b为单位向量，|a+3b|=6，得a2+9b2+6ab=10+6a⋅b5.【答案】B

【解析】解：因为EH在面ABD上，

而GF在面BCD上，且EH、GF能相交于点P，

所以P在面ABD与面BCD的交线上，

而BD是面ABD与面BCD的交线，

所以点P必在直线BD上，

故选：B．

根据平面的基本性质公理，利用两个平面的公共点在两平面的公共直线上来判断即可．

本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．6.【答案】C

【解析】解：由题意可得tan(−877.5°)=−tan(2×360°+157.5°)=−tan157.5°=tan22.5°，

因为tan45°=2tan22．5°1−tan222.5∘=1，

所以tan222.5°+2tan22.5°−1=0，

解得tan22．5°=2−17.【答案】D

【解析】解：因为sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=6−24，

在Rt△ABC中，AC=ABsin∠ACB=15sin15∘，

在△ACM中，∠ACM=180°−60°−15°=105°，∠MAC=30°+15°=45°，

则∠AMC=180°−∠ACM−∠MAC=30°，

由正弦定理，得MCsin∠MAC=ACsin∠AMC，

所以MC=ACsin∠MACsin∠AMC=15sin158.【答案】D

【解析】解：因为AD−12CB=AC，所以AD−AC=12CB，

即CD=12CB，所以点D为BC的中点，

所以EB+EC=2ED，

所以EA⋅(EB+EC)=2EA⋅ED=−2|9.【答案】ABC

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，A错误；

对于B，球没有顶点和棱，B错误；

对于C，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，C错误；

对于D，棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确．

故选：ABC．

根据空间几何体的定义和特点逐个选项判断即可．

本题考查棱锥、棱台、棱柱的结构特征，注意棱锥、棱台、棱柱的定义，属于基础题．10.【答案】BCD

【解析】解：对于A，由a⋅c=b⋅c，所以|a|cos〈a,c〉=|b|cos〈b,c〉，不一定有a=b，故A错误；

对于B，因为|a+b|=|a−b|，两边同时平方得：a2+2a⋅b+b2=a2−2a⋅b+b2，解得a⋅b=0，所以a⊥b，故B正确；

对于C，因为|11.【答案】BCD

【解析】解：A选项，设z1=a+bi，a，b∈R，由|z1|=1，

得a2+b2=1,z1+1z1=a+bi+1a+bi=a+bi+a−bia2+b2=2a∈R，故A选项正确；

B选项，当z1=1,z2=−12+32i时，满足z13=z2312.【答案】(−3【解析】解：向量a=(3,6),b=(−1,1)，

所以向量a在向量b上的投影向量的坐标为：

a⋅b|b|⋅b|13.【答案】132【解析】【分析】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，属于基础题．

由平面向量的线性运算将AM,AN用表示出来，由AM⋅【解答】

解：因为边长为2的菱形ABCD中，

M，N分别为BC，CD的中点，

所以AM=AB+BM=AB+12BC=AB+12AD，

AN=AD+DN=AD+1214.【答案】4

6

【解析】解：对于函数f(t)=28+Asin(π8t+3π4)(A>0)，其最小正周期T=2ππ8=16<24，最大值为A+28，最小值为−A+28，

因为这天的最大温差为8℃，

所以(A+28)−(−A+28)=2A=8，解得A=4；

令f(t)≥30，则4sin(π8t+34π)+28≥30，即sin(π8t+34π)≥12，

因为t∈[0,24)，所以π8t+3π415.【答案】−4；

k=−4或k=94【解析】解：向量a=(−2,3)，b=(k,2−k)．

(1)a//b，可得−2(2−k)−3k=0，解得k=−4；

(2)a+2b与2a−b垂直，

可得(a+2b)⋅(2a−b)=016.【答案】解：(1)平面四边形OABC的平面图如下图所示：

由上图可知，平面四边形OABC为直角梯形，

所以面积为(1+3)×22=4；

(2)旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，

由(1)可知几何体底面圆半径为r=2，圆柱母线长和高都为1，即ℎ1=l1=1，

圆锥的高为ℎ2=2，母线长为l2=2【解析】本题考查平面图形的直观图与斜二测画法，组合体体积和表面积的计算，属于基础题．

(1)根据题意画出平面四边形OABC的平面图，可知平面四边形OABC为直角梯形，计算面积即可；

(2)旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，结合(1)中数据即可求解．17.【答案】f(x)=2sin(2x+2π3)；

g(x)取到最小值为−2，取到最大值为【解析】解：(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，

由最值得A=2，

由相邻两个对称中心之间的距离得T2=π6−(−π3)=π2，则T=2πω=π，即ω=2，

此时f(x)=2sin(2x+φ)，

f(x)图象的一个最高点坐标为(−π12,2)，代入f(x)=2sin(2x+φ)得sin(−π6+φ)=1，

则−π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，即φ=2π3+2kπ(k∈Z)，

又因为0<φ<π，所以k=0,φ=2π3，

故函数的解析式为f(x)=2sin(2x+2π3)；

(2)将f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图象，

由题意得g(x)=2sin[2(x+π3)+2π3]=2sin(2x+4π3)=2sin(2x−2π318.【答案】解：(1)∵M为AB上靠近点B的一个三等分点，OA/​/CB，OA=2BC=2OC=2，

∴OM=OA+23AB=OA+23(−OA+OC+12OA)=23OA+23OC；【解析】(1)根据条件可得出OM=OA+23(−OA+OC+12OA)，然后进行向量的数乘运算即可用OA,OC表示出OM；

19.【答案】证明见解析；

(i)938【解析】(1)证明：因为D是AB边上靠近B的三等分点，

所以BD=13BA，即CD−CB=13(CA−CB)，化简得CD=13CA+23CB．

设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则|CD|=|DB|=13c，

因为CD2=(13CA+23CB)2，所以19c2=19b2+49a2+49abcos∠ACB，即c2=b2+4a2+4abcos∠ACB…①，

在△A