2024-2025学年河南省平顶山市高一下学期7月期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省平顶山市高一下学期7月期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=−1,0,2,4，B=−2,0,2,3，则A∩A.0 B.2 C.0,2 D.−22.已知i为虚数单位，则2−3i=(

)A.2 B.3 C.5 D.3.如图，用斜二测画法作出四边形ABCD的直观图为四边形A′B′C′D′，若A′B′//A.2 B.2C.4 D.44.cos160°cosA.32 B.12 C.−5.现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为(

)A.13 B.25 C.7156.已知正实数a，b满足a+2b=1，则2aA.8 B.6 C.4 D.27.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(5−x)=f(x)，当0≤x≤52时，f(x)=2x−1，则f(−14)=(

)A.−1 B.1 C.3 D.78.为测量河流对岸某“5G”信号塔的塔顶信号源A到地面的距离AB，甲设计了如下测量方案：如图，在河岸上选取一基准线PQ，且测得PQ=2m，在基点P，Q以及PQ的中点M处分别测得塔顶信号源A的仰角为α，β，δ(α<δ<β)，则AB=(

)

A.2msinαsinβsinδ二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知A，B是随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.5，则下列命题正确的有(

)A.A与B可能为互斥事件

B.若P(A∩B)=0.4，则A与B相互独立

C.若B⊆A，则P(AB)=0.5

D.若A10.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图，且点A3πA.ω=43 B.φ=π3

C.直线x=−π8是f(x)图象的一条对称轴11.如图，已知梯形ABCD是圆台OO1的轴截面，AD=10，CD=2，P，Q分别是弧AB和母线BC的中点，PB=22A.圆台OO1的体积为7π

B.异面直线DP与BC所成角的正弦值为147

C.AD⊥PB

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(4,0)，b=(x,1)，若a+2b⊥a13.已知a>0，且a≠1，函数f(x)={ax−1,x⩽11x−2a,x>1在14.已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，x，s12；n，y，s22.记总的样本平均数为ω，样本方差为s2，则s2=1m+nms12+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z的共轭复数为z，z在复平面内对应的点为(−1,−2)，(1)求复数z；(2)若zi是方程x2−ax−b=0(a，b∈R)的根，求16.(本小题15分)某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了200名学生的测试成绩(单位：分)，这200名学生的成绩分布在区间[40,100]内，并分成6组：第1组为[40,50)，频数10；第2组为[50,60)，频数20；第3组为[60,70)，频数30；第4组为[70,80)，频数50；第6组为[90,100]，频数30，绘制成如图所示的部分频率分布直方图．(1)请将频率分布直方图补充完整；(2)估计这200名学生成绩的70%分位数．17.(本小题15分)已知函数f(x)=ln(1)比较f(0)，f(2)的大小关系；(2)证明：函数f(x)的图象关于直线x=1对称；(3)若关于x的方程m2+3m=2f(x)−2ln218.(本小题17分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b=(1)求C；(2)已知CD为∠C的平分线，且CD交AB于点D(ⅰ)若CD=2，求AC+AD的取值范围；(ⅱ)若点E满足EB=AD=119.(本小题17分)如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=BC=2，∠ABC=120°，M，N，E分别为BC，AC(1)证明：平面MNE//平面PAB(2)若PA⊥PB，PA=PB，三棱锥P−ABC的外接球为球(ⅰ)证明：A，B，C，O四点共面；(ⅱ)求直线PO与平面PBC所成角的正弦值．

答案解析1.【答案】C

【解析】【分析】根据交集的定义可求A∩【详解】A故选：C．2.【答案】D

【解析】【分析】由复数模长公式直接计算即可．【详解】由题2−3i故选：D3.【答案】C

【解析】【分析】先由直观图的定义和性质得到四边形ABCD为边长为2的正方形即可求解．【详解】由题可得AB//DC//x轴且AB=DC=2，所以四边形ABCD为边长为2的正方形，所以四边形ABCD的面积为2×故选：C4.【答案】A

【解析】【分析】由130°=【详解】cos==−cos=sin故选：A5.【答案】D

【解析】【分析】我们需要先求出从这6名男志愿者中随机抽取的2人的所有情况数，再求出抽取的2名志愿者中有一男一女的情况数，利用古典概型公式即可求出．【详解】4名男志愿者用1、2、3、从这6名男志愿者中随机抽取的2人的基本事件有：1,2,1,3,其中抽取的2名志愿者中有一男一女的基本事件有：1,a,1,b,∴抽取的2名志愿者中有一男一女的概率815故选：D．6.【答案】A

【解析】【分析】利用基本不等式结合“1”的妙用，即可得到答案．【详解】因为a,b是正实数，则2a当且仅当ab=4ab即a=1故选：A．7.【答案】B

【解析】【分析】由f(x)是偶函数，结合f(5−x)=f(x)得到f(x)的周期为5，再由0≤x≤52时，【详解】∵f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(−x)=f(x)．又∵f(5−x)=f(x)，∴f(5−x)=f(−x)，∴f(x+5)=f(x)，∴f(x)的周期为5．∵当0≤x≤52∴f(−14)=f(1)=2×故选：B．8.【答案】A

【解析】【分析】设AB=x，先由三角函数得到AQ=xsinβ，AP=xsinα，AM=x【详解】由题意得PM=MQ=m，设AB=x，则在▵ABQ中，sinβ=AB同理可得AP=xsinα在▵PAMcos∠PMA=在▵QAMcos∠QMA=由于∠PMA+∠QMA=即m2即2m解得x=故选：A9.【答案】BCD

【解析】【分析】由题设结合独立事件、互斥事件的定义、概率公式与性质逐一分析即可判断．【详解】对于A，因为P(A)+P(B)=0.8+0.5=1.3>1，所以所以A与B不可能为互斥事件，故A错误；对于B，因为P(AB)=P(A)P(B)=0.8×所以若P(A∩B)=0.4，则A与B相互独立，故对于C，若B⊆A，则P(AB)=P(B)=0.5，故对于D，若A与B相互独立，则A与B相互独立，所以P(AB)=P(A∪B)+P(B)−P(AB)=1−P(A)+P(B)−P(A)P(B)=1−P(A)+P(B)−1−P(A)P(B)=1−0.8+0.5−0.2×故选：BCD10.【答案】AC

【解析】【分析】直接代入两点得到ω=43，φ=−π3即可判断AB；再代入计算f【详解】由图可知，3π8ω+φ=2kπ+π因为|φ|<π2，所以φ=−π由上可知，f(x)=2sin43所以直线x=−π8是f(x)因为x∈0,π，所以4则f(x)在0,π上的值域为−3故选：AC．11.【答案】ABD

【解析】【分析】对于A，求得圆台的高，根据圆台的体积公式计算即可判断；对于B，由题意可证CB//OD，则异面直线CB和DP所成的角为DO与DE所成角，通过计算可求DP，∠DOP=90对于C，连接点PO并延长，与圆交于另一点E，连接AE，DE，由BP//AE，可得∠DAE或其补角即是异面直线BP和AD所成的角．在▵对于D，延长DQ交AB的延长线于点F，连接FP，过D、Q分别作DH⊥AB、QM⊥AB，垂足分别为H、M，连接HP,OP,MP.通过计算证得PQ=12DF，结合Q是CB的中点，得DP⊥PF.【详解】对于A，因为P是弧AB的中点，所以▵PAB是等腰直角三角形，所以PC=PB=22，AB=4.作圆台的轴截面如图所示，作CG所以AH=AB−CD2=因为上底面圆的面积为π，下底面圆的面积为4π，则圆台的体积为V=13(π+4π+对于B，取AB中点O，连接OD，OP，由P为弧AB中点可得OP⊥过点D作DH⊥AB，连接则OH=OA−AH=1，且OB=CD=2，且OB//则四边形BODC为平行四边形，所以CB//OD，则异面直线CB和DP所成的角为DO与DE所成角，即为又DH=3，PH=所以DP=在▵ODP中，OD=CB=10，OP=2则∠DOP=90°，则sin∠ODP=对于C，连接点PO并延长，与圆交于另一点E，连接AE，DE，由BP//AE，可得∠DAE或其补角即是异面直线BP又由AE=2有cos∠DAE=(10)对于D，延长DQ交AB的延长线于点F，连接FP与圆台的底面圆周的交点为N，过D、Q分别作DH⊥AB、QM⊥AB，垂足分别为H、由选项A，B知AH=1，DH=3，DP=因为Q是CB的中点，则BF=DC=2，QM=1HF=AB−AH+BF=5，MF=所以DF=PQ=由PQ=12DF，Q是CB所以∠DPH即为平面DPQ与平面ABP所成二面角的平面角．tan∠DPH=DH故选：ABD．12.【答案】−2

【解析】【分析】先根据向量线性运算求得a+2【详解】∵a=(4,0)，b=(x,1)由a+2b⊥∴4(4+2x)=0，解得x=−故答案为：−2．13.【答案】23【解析】【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果．【详解】因为函数f(x)={ax−1,x⩽1∵{0<a<1a∴实数a的取值范围为2故答案为：2314.【答案】3

【解析】【分析】设这7个样本数据为x1,x2,...,x7，且x1≤x2≤...≤x7，x1【详解】设这7个样本数据为x1,xx1,x2,x3的均值为x，方差为s则3x+4y7=2⇒x14−4y3，所以17所以当x1=x故答案为：315.【答案】解：(1)由题可得z=−1−2i，所以z=−(2)由(1)可得zi=−1+2则2−i所以a=2+i+

【解析】(1)由题意求出复数为z即可求复数z；(2)由方程的两复数根结合韦达定理即可求解．16.【答案】解：(1)由题可得第五组为[80,90)，频数为200−(10+20+30+50+30)=60，所以第五组的频率为60200=0.3，所以频率分布直方图如图所示：(2)设这200名学生成绩的70%分位数为x，因为前4组频率之和为10×前5组频率之和为10×所以这200名学生成绩的70%分位数落在第5组[80,90)内，所以x−8010=0.7−0.550.3⇒x=85，所以这

【解析】(1)求出第五组的频率和频率组距(2)先求出这200名学生成绩的70%分位数所在区间范围，再列出方程即可求解．17.【答案】解：(1)由题可得f(0)=ln(2)证明：因为f(x+2)=lnf(−x)=ln所以f(x+2)=f(−x)，所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称；(3)因为方程m2令t=e2x−2>0，则因为g′(t)=2t+1−1t=t−1所以g(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞所以g(t)≥g(1)=2ln又当t→+∞时g(t)=所以m2+3m≥−2⇒

【解析】(1)直接计算f(0)，f(2)即可得解；(2)计算f(x+2)=f(−x)即可得证；(3)令t=e2x−2>0，由题得m218.【答案】解：(1)因为a+b=c2+ab，所以所以由余弦定理得cosC=又C∈0,π(2)(ⅰ)在▵ACD中，由正弦定理得AD即ADsin所以AD+AC=因为A∈0,π3，所以所以1tanA2(ⅱ)因为EB=AD=14AB，所以所以ACBC=AD又CD→CE→所以CD=3所以CD→=所以cos∠DCE=

【解析】(1)先将题设转化得到a2(2)(ⅰ)先在▵ACD中由正弦定理得到AD=3sinA,AC=2sin2π3−A19.【答案】解：(1)因为M，N，E分别为BC，AC，PC的中点，所以MN//AB,ME//BP，因为MN,ME在平面PAB外，所以MN//平面PAB，ME//平面PAB，又MN∩ME=M，所以平面(2)(ⅰ)证明：取AB中点H，连接PH，因为PA⊥PB，PA=PB，所以因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC