第1课时　周期性、奇偶性与对称性

.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时周期性、奇偶性与对称性基础过关练题组一正、余弦(型)函数的周期性1.(教材习题改编)函数f(x)=cos-2x-A.2πB.π2C.πD.2.(易错题)设ω为实数,函数f(x)=3sinωx+π3的最小正周期为π2,则ω的值为()A.2B.±4C.4πD.±4π3.(多选题)下列函数中,最小正周期为π且为偶函数的是()A.f(x)=|cosx|B.f(x)=sin2xC.f(x)=sin2x+π2D.4.函数y=2sin12x-5.已知函数y=12sinx+12|sin(1)画出该函数的简图;(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.题组二正、余弦(型)函数的奇偶性6.下列函数中,图象关于原点对称的是()A.f(x)=2x-12xB.f(x)=2cosC.f(x)=x2+2xD.f(x)=x3sinx7.设函数f(x)=sin(x+θ),则“cosθ=0”是“f(x)为偶函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知函数f(x)=asinx+bx+1,若f(-1)=2,则f(1)=.

题组三正、余弦(型)函数图象的对称性9.函数f(x)=sinx-πA.x=π6B.x=π3C.x=210.若函数f(x)=cos2x-π3的图象关于直线x=t对称,A.π6B.π3C.511.设函数f(x)=sinmx-π6,若点7π3,0是函数f(x)A.1314B.67C.112.已知函数f(x)=cosωx+π3(ω>0)图象的一条对称轴为直线x=π3,一个对称中心为点π12A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值1能力提升练题组一正、余弦(型)函数的周期性、奇偶性与图象的对称性1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期为4π,且f(x)≤fπ3恒成立,则f(x)图象的一个对称中心是()A.-2π3C.2π32.(多选题)已知函数y=2sin2x-πA.函数的最小正周期为πB.将函数图象向左平移5π6个单位长度后C.函数图象的一个对称中心是5D.函数图象的一条对称轴是直线x=113.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的相邻两个零点之间的距离是π6,且直线x=π18是f(x)图象的一条对称轴,则fπ12=4.已知函数f(x)=2cosπ3x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)=题组二函数周期性、奇偶性与图象的对称性的综合运用5.函数f(x)=(1-x26.函数f(x)=1-(x-π)·sinx在区间-3πA.0B.2πC.4πD.6π7.若函数f(x)=log2x+2x,x>0,A.43,7C.43,8.(多选题)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则()A.f(-3)=-2B.函数f(x)是周期函数C.不等式f(x)>0的解集是{x|4k<x<4k+2,k∈Z}D.当关于x的方程f(x)=mx恰有两个不同的解时,m=29.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:∀x∈R,都有f(3+x)=-f(x),且f(10)≤-2,f(-4)=m2-3m,则实数m的取值范围为

答案与分层梯度式解析5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时周期性、奇偶性与对称性基础过关练1.C2.B3.AC6.A7.C9.D10.A11.A12.A1.CT=2π|ω|=22.B由题意可得2π|ω|=π2,则ω=易错警示研究三角函数的性质时,若x的系数含有参数ω,需对ω的正负进行分类讨论.3.AC对于A,定义域为R,因为f(-x)=|cos(-x)|=|cosx|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,因为y=|cosx|的图象是把y=cosx的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,并保留原x轴及其上方的图象得到的,所以y=|cosx|的最小正周期为π,所以A正确;对于B,定义域为R,因为f(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,所以B错误;对于C,定义域为R,f(x)=sin2x+π2=cos2x,最小正周期为π,因为f(-x)=cos(-2x)=cos2x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,对于D,易知f(x)的最小正周期为2π12=4π,所以D错误.4.答案4π解析T=2π5.解析(1)y=12sinx+12|sin=sinx,x∈[2kπ,2k(2)由图象知该函数是周期函数,函数的最小正周期是2π.6.A图象关于原点对称的函数是奇函数.对于A,易知f(x)=2x-12x=2x-2-x的定义域为∵f(-x)=2-x-2x=-f(x),∴f(x)=2x-12x为奇函数,A对于B,f(x)=2cosx+1的定义域为R,∵f(-x)=2cos(-x)+1=2cosx+1=f(x),∴f(x)=2cosx+1为偶函数,B错误;对于C,∵f(-x)=x2-2x,∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),故f(x)=x2+2x既不是奇函数也不是偶函数,C错误;对于D,f(x)=x3sinx的定义域为R,∵f(-x)=(-x)3sin(-x)=f(x),∴f(x)=x3sinx为偶函数,D错误.故选A.7.C若f(x)=sin(x+θ)为偶函数,则θ=kπ+π2(k∈Z),因此cosθ=0,反之亦然,所以“cosθ=0”是“f(x)为偶函数”的充要条件.故选C8.答案0解析设F(x)=f(x)-1=asinx+bx,则F(x)的定义域为R,F(-x)=-asinx-bx=-F(x),故F(x)是奇函数,∵f(-1)=2,∴F(-1)=f(-1)-1=2-1=1,∴F(1)=-F(-1)=-1,∴f(1)=F(1)+1=-1+1=0.一题多解由函数f(x)=asinx+bx+1得f(-x)+f(x)=asin(-x)+b(-x)+1+asinx+bx+1=(-asinx+asinx)+(-bx+bx)+2=2,所以f(1)+f(-1)=f(1)+2=2,解得f(1)=0.9.D令x-π3=π2+kπ,k∈Z,得x=5π6+kπ,k∈Z,故f(x)的图象的对称轴方程为x=5π6+kπ,k∈Z.结合选项可知10.A因为函数f(x)=cos2x-π3的图象关于直线x=t对称,所以2t-π3=kπ,k∈Z,解得t=kπ结合选项知选A.考场速决把各选项中t的值代入cos2t-π3,11.A∵点7π3,0是函数∴7π3m-π6=kπ,k∈Z,则m=37k+1分别令k=-1,0,1,2,得m=-514,114,12,131412.A∵函数图象的对称中心到对称轴的最短距离是T4,∴π3-π12≥T又T=2πω,∴2πω≤π,∴ω能力提升练1.A2.AD5.B6.C7.B8.BC1.A依题意得2解得ω又|φ|<π2,所以φ=π3,所以f(x)=sin令12x+π3=kπ,k∈Z,解得x=-2π3令k=0,可得x=-2π所以函数f(x)=sin12x+π3的图象的一个对称中心为2.AD对于A,y=2sin2x-π3+3的最小正周期T=2π对于B,将函数图象向左平移5π6个单位长度后,所得图象对应的函数为y=2sin2x+5π6-π对于C,函数y=2sin2x-π3+3的图象的对称中心的纵坐标应为3,对于D,当x=11π12时,y=2sin2×11π12-π3+3=2sin3π2+3=1,为最小值,所以直线x=11故选AD.3.答案3解析由函数f(x)的相邻两个零点之间的距离是π6可得f(x)的最小正周期为π6×2=π3,则ω=由直线x=π18是f(x)图象的一条对称轴,可得6×π18+φ=kπ+π2,k∈Z,则φ=kπ+π6又0<φ<π2,所以φ=π6,则f(x)=sin6x+π6,则f4.答案0解析易得f(x)的最小正周期为2ππ3=6,f(1)=1,f(2)=-1,f(3)=-2,f(4)=-1,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=0,∵2022=6×337,∴f(1)+f(2)+…+f(2022)=0×337=0.5.B由题可得f(x)=(1-x2)cos且其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=[1-(-x)2所以函数f(x)为偶函数,故排除C,D选项;又当x∈(0,1)时,1-x2>0,sinx>0,所以f(x)>0,故排除A选项.故选B.6.C当x=π时,f(π)=1;当x≠π时,令f(x)=0,则sinx=1x易知y=sinx的图象关于点(π,0)对称,y=1x-π的图象也关于点(π,0)对称,作出两函数的图象由图象可知,y=sinx(x≠π)与y=1x-π的图象在区间-3π2∴函数f(x)在区间-3π2,7π27.B当x>0时,令log2x+2x=0,易得x=12又因为f(x)有4个零点,所以当-π≤x≤0时,f(x)有3个零点,因为-π≤x≤0,所以-πω+π3≤ωx+π3≤因此有-3π<-πω+π3≤-2π,解得73≤ω<103.8.BC因为f(x+2)=-f(x),所以f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),即f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数,故B正确.f(-3)=f(1)=2,故A错误.当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],则f(-x)=2-x又f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-2-x,x∈因为f(x+2)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以f(-x)=f(x+2),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以当x∈(1,2]时,2-x∈[0,1),则f(x)=f(-x+2)=22−x,当x∈(2,3]时,2-x∈则f(x)=f(-x+2)=-2-(2-x)=-2作出函数f(x)的图象,如图所示.由图知在一个周期[-1,3]上,f(x)>0的解集是(0,2),所以在整个定义域上,f(x)>0的解集是{x|4k<x<4k+2,k∈Z},故C正确.当m=2时,方程f(x)=mx即f(x)=2x,结合图象可知方程f(x)=2x有