2025年吉林省业水平考试暨第四次统（一模）拟联考数学试卷

/2025年吉林省业水平考试暨第四次统（一模）拟联考数学试卷一、选择题

1.−2025A.2025 B.−2025 C.12025 D.−

2.如图是由5个相同的小立方体组成的立体图形，它的左视图是（

）A. B. C. D.

3.下列运算错误的是（

）A.x−2⋅x−2=x−4 B.

4.若x=3是关于x的一元一次方程4x−m+1=0A.10 B.11 C.12 D.13

5.在菱形ABCD中，已知AB=5,BD=8,AC与BD相交于点O，点E为OD上一点，将△ADE沿着AEA.125 B.2.5 C.3 D.

6.如图，AB是⊙O的直径且AB=2，弦CD与AB相交于点E，连接BC，BD．若∠A.π6 B.π3 C.2π3二、填空题

7.已知m−3xm−

8.如图，已知△ABC≅△FDE，AD=2

9.某银行二年定期储蓄的年利率是2.25%，小杰的父亲取出二年到期的本利和共26125

10.如图，在平面直角坐标系中，点A3,0，P是y轴正半轴上的一个动点，△ABP是等腰直角三角形，∠BAP=90∘，C是点

11.如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABC=5∠BAD，以点B为圆心的EF⌢与三、解答题

12.先化简，再求值：1−2a

13.如图1．线段AE和BD相交于点C，连接AB,DE．四张卡片除正面分别写着如图（1）若小明第一次抽到卡片③后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明△BCA（2）若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明△ABC

14.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的A、B两种书籍．若购买2本A种书籍和3本B种书籍需用160元；若购买6本A种书籍与购买7本B种书籍的费用相同．求每本A种书籍和每本B种书籍的价格各为多少元．

15.如图，图1，图2均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，E均在格点上．在图1，图（1）在图1中作四边形ABCD，使得四边形ABCD是中心对称图形；（2）在图2中作△ABC的中位线EF，点F为AC中点，并求出EF

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=−12x+3（1）求反比例函数的表达式；（2）若y1>y

17.为保护“低头族”的视力与颈椎，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得面板DE长为24cm，CD为6cm（厚度忽略不计）．当面板DE绕点C转动时，面板与桌面即水平方向的夹角α满足30∘≤α≤70∘时，保护视力的效果较好．当α从30∘变化到70∘的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？（结果精确到

18.某公司为检验员工职业技能水平，对员工进行行业技能测试，测试满分为30分，成绩分为四个等级：A（优秀，分数范围x≥26），B（良好，分数范围22≤x<26），C（及格，分数范围18≤x<22），图表1：图表2：成绩平均分成绩中位数优秀率及格率202320m图表3：成绩平均分成绩中位数优秀率及格率22232380（1）求m的值．（2）若该公司成绩排名（从高到低）第10名员工的成绩为24分，请你计算出排名为第11名员工的成绩．（3）若该公司部分员工有科研技术奖励分值，分值为10分，将科研技术奖励分值重新算入成绩后，员工进修情况会发生变化，请求出至少有多少名员工有科研技术奖励分值．

19.某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度ycm与生长时间x（1）分别求出当0≤x≤15与15≤（2）当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为多少厘米？（3）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？

20.如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB、BC上，DF⊥CE于点O，点G，H分别在边AD、BC上，1问题解决：①写出DF与CE的数量关系：

；②GHCE的值为

2类比探究，如图②，在矩形ABCD中，ABBC=k（k为常数），将矩形ABCD沿GH折叠，使点C落在AB边上的点E处，得到四边形EFGH交AD于点P，连接CE交GH于点O．试探究GH3拓展应用，如图③，四边形ABCD中，∠BAD=90∘，AB=BC=6，AD=CD=4，

21.如图1，在△ABC中，AB=AC=15，BC=24，点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发沿AB方向向终点B运动，同时，点Q以每秒2个单位长度的速度，从点B（1）当t为何值时，PQ∥（2）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△PCQ的面积等于6？若存在，请求出t（3）如图2，E是AC的中点，连接BE，与PQ交于点O，是否存在某一时刻t，使得PQ⊥BE？若存在，请求出

22.在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为0,3，2,0，顶点为M的抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=−x2+bx+c（3）当t≤x≤t+（4）平移抛物线y=−x2+bx+c

答案与试题解析2025年吉林省业水平考试暨第四次统一模拟联考数学试卷一、选择题1.【正确答案】A【考点】求一个数的绝对值本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可．解：−2025的绝对值是−故选：A．2.【正确答案】A【考点】简单组合体的三视图本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形即可得到答案．解：从左面看到的图形如下：故选：A．3.【正确答案】B【考点】积的乘方运算整数指数幂的运算同底数幂的乘法同底数幂的除法运算本题考查了同底数幂的乘除法，单项式除以单项式，积的乘方，负指数幂，掌握相应的运算法则是关键．根据相关计算法则分解计算出每个选项中式子的结果即可得到答案．解：A、x−B、2xC、−2xD、y−故选：B．4.【正确答案】D【考点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把x=3代入方程计算即可求出解：把x=3代入方程得：解得：m=故选：D．5.【正确答案】D【考点】利用菱形的性质求线段长翻折变换（折叠问题）等腰三角形的判定与性质勾股定理的应用本题考查了菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形和折叠的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得AD=AB=5,OD=12BD=4,AC⊥BD，解：∵在菱形ABCD中，AB=∴AD=AB∴OA设DE=x，则∵点E为OD上一点，∴0由折叠的性质得：AF=∴AB∴∠AFB又∵AD∴∠DAF∴∠ADB∴AE在Rt△AOE中，OA解得x=∴DE故选：D．6.【正确答案】C【考点】求弧长本题主要考查了求弧长．连接OC，根据OC=OB，可得∠BCO解：如图，连接OC，∵OC=OB∴∠BCO∴∠BOC∵直径AB=∴半径为1，∴BC⌢的长度为故选：C二、填空题7.【正确答案】1【考点】求一元一次不等式的解集一元一次不等式的定义本题考查了一元一次不等式的定义及计算，掌握一元一次不等式的定义列式求解是关键．根据一元一次不等式得到m−解：已知m−3x∴m∴m−2=1∴m=3或m∴m故1．8.【正确答案】5【考点】全等三角形的性质本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，即可得到答案．解：∵AD=2∴AB∵△ABC∴FD故9.【正确答案】25000【考点】利率问题本题考查百分数的运算，掌握利息的计算公式是解题的关键．利用“本利和=本金×(1+利率解：26125÷故25000．10.【正确答案】4【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）根据矩形的性质与判定求线段长过点B作BM⊥x于点M，BN⊥y轴于点N，证明△ABM≅△PAO得PO解：如图，过点B作BM⊥x于点M，BN⊥∵△ABP是等腰直角三角形，∴AP=AB∴∠PAO∵∠OPA∴∠OPA∴△ABM∴PO=∵A∴OA∴BM∵∠BNO∴四边形ONBM是矩形，∴ON∵∠BCN∴∠CBN∴CN∴PC故4．11.【正确答案】15【考点】切线的性质扇形面积的计算含30度角的直角三角形利用菱形的性质求线段长过点B作BG⊥AD于点G，由圆的切线的性质得到BG为半径，然后根据菱形的性质以及已知条件得到∠A=30解：∵菱形ABCD的周长为24，∴BA=BC过点B作BG⊥AD于点∵以点B为圆心的EF⌢与AD∴BG∵AD∴∠A∵∠ABC∴6解得：∠A=30∴BG∴S故154三、解答题12.【正确答案】1a−【考点】分式的化简求值本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=解：1===1当a=3时，原式13.【正确答案】2（2）1【考点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）根据概率公式计算概率列表法与树状图法（1）先判断能得到△BCA（2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．（1）解：∵AB∴当∠B=∠D当∠A=∠E当BC=CE时，无法得到∴从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明△BCA≅△DCE（2）由题意，画出树状图如图：共12种等可能的结果，由1可知，要证明△ABC≅△EDC∴P14.【正确答案】每本A种书籍的价格为35元，每本B种书籍的价格为30元【考点】二元一次方程组的应用——销售问题本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设每本A种书籍的价格为x元，每本B种书籍的价格为y元，根据购买2本A种书籍和3本B种书籍需用160元；若购买6本A种书籍与购买7本B种书籍的费用相同，列出方程组，解之即可．解：设每本A种书籍的价格为x元，每本B种书籍的价格为y元，由题意可得：2x+解得：x=∴每本A种书籍的价格为35元，每本B种书籍的价格为30元．15.【正确答案】（1）图见解析（2）图见解析，EF【考点】与三角形中位线有关的求解问题在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形勾股定理与网格问题利用平行四边形的性质证明（1）根据平行四边形是中心对称图形以及网格的特点作平行四边形ABCD即可．（2）先根据网格的特点作平行四边形ABCD，连接BD，交AC于F，则F为AC的中点，连接EF，再根据三角形中位线的性质结合网格、勾股定理求解即可．（1）解：四边形ABCD如下图：（2）解：中位线EF如下图：∴EF16.【正确答案】（1）y2（2）x<−2或【考点】一次函数与反比例函数的交点问题（1）先根据一次函数的解析式确定m、n的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答；（2）直接根据函数图象即可解答．（1）解：∵一次函数y1=−12x∴m=−1∴m=4∴A点坐标为−2,4，把A−2,4代入∴反比例函数为y2（2）解：观察图象，若y1>y2，则x的取值范围是17.【正确答案】7.9cm．【考点】解直角三角形的相关计算解直角三角形的应用-其他问题本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．过点C作CN∥l，过点E作EH⊥解：如图，过点C作CN∥l，过点E作EH⊥∴∠EHC=∵DE=24cm∴CE当∠ECH=30当∠ECH=70∴∴当α从30∘变化到70∘的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约18.【正确答案】（1）85（2）22（3）至少有4名员工【考点】求条形统计图的相关数据利用平均数做决策统计表利用中位数求未知数据的值（1）由图表1，可知及格人数为17，从而计算及格率即可得到答案；（2）由题意，结合中位数的求法列方程求解即可得到答案；（3）根据题意，分析数据即可得到答案．（1）解：如图所示：∴D（不及格，分数范围x<18）的人数是3人，则及格人数为4∴及格率m=（2）解：由题意，成绩分为四个等级：A（优秀，分数范围x≥26），B（良好，分数范围22≤x<26），C（及格，分数范围如图所示：优秀成绩的有4人，良好成绩的有7人，则成绩中位数23是第10名与第11名成绩的平均数，∵该公司成绩排名（从高到低）第10名员工的成绩为24分，设排名为第11名员工的成绩为n，∴24+n答：排名为第11名员工的成绩为22；（3）解：该公司所在区域行业分数和成绩统计如图表3：成绩平均分成绩中位数优秀率及格率22232380而成绩分析如图表2：成绩平均分成绩中位数优秀率及格率202320m∵20∴C（及格，分数范围18≤x<22），∴员工进修情况要发生变化，即成绩平均分要不低于22分，则总分需要增加20×∵该公司部分员工有科研技术奖励分值，分值为10分，∴至少有4名员工有科研技术奖励分值，员工进修情况才会发生变化．19.【正确答案】（1）当0≤x≤15时，y与x之间的函数关系式为y=43x；当（2）70厘米（3）继续生长大约18天，开始开花结果【考点】一次函数的实际应用——其他问题（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）把x=30代入（3）把y=80代入（1）解：当0≤x≤15时，设y与把点15,20代入得：解得：k1∴当0≤x≤15时，y与当15≤x≤60时，设y与把点15,20，15k2+∴当15≤x≤60时，设y与（2）解：当x=30时，即当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为70厘米；（3）解：当y=80时，解得：x=33−即继续生长大约18天，开始开花结果．20.【正确答案】①CE=DF；②GH12【考点】全等三角形的应用勾股定理四边形综合题相似三角形的性质与判定1根据ASA证明△CBE≅△DCF，则可得CE=DF，再证明四边形DGHF2作GM⊥CB于M，先证△CBE∽△GMH，则可得CEGH=BCGM，再证四边形CMGD3过点C作CM⊥AD，交AD的延长线于点M，过点B作BN⊥根据SSS证明△ABD≅△CBD，则可得∠BAD=∠BCD=90∘，再证△MCD∽△NBC，则可得1①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC∴∠FCO∵CE∴∠CDO∴∠FCO∴△CBE∴CE故CE=②结论：GHCE理由：∵DF⊥CE∴DF∵FH∴四边形DGHF是平行四边形，∴GH∵CE∴GH∴GH2GHCE理由：如图2，作GM⊥CB于∵CE∴∠COH∴∠BCE+∠CHO∴∠BCE∴△CBE∴CE∵∠CMG∴四边形CMGD是矩形，∴GM∴CE∵ABBC=∴GH3如图③，过点C作CM⊥AD，交AD的延长线于点M，过点B作BN⊥∵∠BAD=90∘，∴四边形ABNM是矩形，∴∠M=∠N=90∵BC=AB，AD∴△ABD∴∠BAD∴∠BCN∵∠BCN∴∠MCD又∵∠M∴△MCD∴CD∴CN∵D∴16∴DM=4∴AM由2的结论可知：CEBF21.【正确答案】（1）t（2）存在，t（3）存在，t【考点】勾股定理的应用相似三角形的性质与判定由平行判断成比例的线段（1）由题意得AP=t，BQ=2t，再用t表示出BP，CQ且0<t≤（2）过点A作AF⊥BC于F，作PH⊥BC于H，易得△BPH∽△BAF，推出PHAF=BPAB，根据等腰三角形的性质和勾股定理得到AF（3）过点A作AF⊥BC于F，AM⊥BE于K，交BC于M，过点E作EN⊥BC于N，则AF∥EN，由E是AC的中点，得到EN=12AF=92，CN=12CF=6，推出BN=BC−CN=18，再利用勾股定理得到BE（1）解：由题意得：AP=t，∴BP=15∵15÷1∴0∵PQ∴BPAB=BQ解得：t=∴当t=203（2）解：存在某一时刻t，使得△PCQ的面积等于6理由如下：过点A作AF⊥BC于F，作PH⊥BC于则AF∥∴△BPH∴PHAF∵AB=AC∴BF∴AF∴PH9∴PH∵S∴12CQ⋅解得：t1=10∵0∴t∴当t=10时，（3）解：存在t=28559理由如下：如图2，过点A作AF⊥BC于F，AM⊥BE于K，交BC于M，过点E作则AF由2可知，AF=9，∵E是AC∴AE=EC=1∴BN在Rt△BEN中，∵S∴12∴AK在Rt△ABK中，∵∠BNE=∠BKM∴△BMK∴MKEN