“端点”效应与应用 讲义-2026届高三数学一轮复习（含答案）

全国卷五年四考的“端点”效应与应用

一.何为端点效应

端点效应的原理：

1.必要条件缩小范围：

①若/(x,a)20(。为参数)在口力](凡。为常数)上恒成立，则/(x)在区间端点处也成立,

If(G*°此法应用于区间端点值包含参数的情况.

②若/@a)N0(a为参数)在[a,"(a/为常数)上恒成立，且/(。)=0(或/'(〃)=0),则

尸(a)20或(/(。)<0).此法应用于区间端点的函数值为零的情况.

r1[/(«)=0ff(b)=0

③若/(x)NO(a为参数)在为常数)上恒成立，且，或,，则

'f(a)=0l/W=0

/"(a)20或.此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况.

2.充分性求结果：

求广(力判断以X)的单调性，然后表示/(%)的最小值/(x)min,使得/(x)min>0即可.

注意第2步一定要利用第一步中的参数的范围.

但是，有时候我们用端点效应得出的并非最终的答案，那么究竟何时才能用端点效应？下

面对一类函数做出详细分析.

二.相关理论背景四

定理1.若广(x)、F'\x)在[0,+oo)都有意义，F(0)=0,P'(x)》0,则对于任意交0,都有

R(x)》P(0)x恒成立(当且仅当x=0时等号成立).进一步，对于任意x20,都有

F(x)*恒成立，那么实数a的取值范围为(-*F(0)].

证明：设G(x)=F(x)-尸(0)x(x20),则G(0)=0,G'(x)=F'(x)-F'(0),故满足：

G"(x)=尸'(x)》0,即G(x)单调递增，G(x))0,则F(x)-广(0)x20(当且仅当x=0时

等号成立).从而,对于任意珍0,都有F(x)^Fr(O)x恒成立，对于任意x20,都有

F(x)*恒成立,故实数a的取值范围为(-9F(0)].

定理2.若尸(x),尸，(x),F"(x)在［0,+00)都有意义，F(0)=0,F'"(x)》0,则对于任意以0,

都有F(X)^1F"(0)X2恒成立(当且仅当x=0取等号).进一步，对于任意龙20,都有

恒成立，那么实数。的取值范围为1-oo,心尸'(0).

证明：设G(x)=F(x)-1R〃(0)/(x20),则G(0)=0,G'(x)=F\x)-F'\Q)x

那么就有：G'(0)=F(0),G〃(x)=尸'(乃—b〃(0),。'(0)=0,于是。"(％)=尸"。)》0,故

G〃(x)单调递增，G〃(x)》0(当且仅当x=0取等号)，G(x)单调递增，G(x)》0(当且仅当

x=0取等号)，对于任意的x20,F(x彦|Fr/(0)x2恒成立(当且仅当x=0取等号).于是，

对于任意珍0,都有为»》。/恒成立，那么实数。的取值范围为1—oo,心r〃(0).

上述定理不等号反向时亦然，此处不再赘述，具体可见相关参考文献.

三.定理应用，满足定理的两个案例

例1.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知函数〃x)=(l-ax)ln(l+x)r.

(1)当°=-2时，求的极值；

(2)当x»0时，“x)20恒成立，求”的取值范围.

例2.已知函数/(x)=ln—J+ax+b(x-l)3

2-x

(1)若b=0,且尸(x)NO,求。的最小值；

(2)证明：曲线y=/(x)是中心对称图形；

(3)若当且仅当1<X<2,求b的取值范围.

gch”、sinx(7i\

例3.已知/(x)=ax----------,x€0,—.

cosx<2)

(1)当〃=8时，讨论了(%)的单调性；

(2)若/(%)<sin2x,求〃的取值范围.

例4.已知函数/(x)=xe以—e"

(1)当〃=1时，讨论/(%)的单调性；

(2)当x>0时，求〃的取值范围；

(3)设几wN*,证明：/I+/1+...+>ln(n+1)・

Jl2.1J-)2.O,二2,M

四.定理失效(端点效应失效)

例5.(2020全国1卷)已知函数/(%)=—+以2一元.

(1)当。=1时，讨论/(%)的单调性；

(2)当入20时，/(x)>-x3+l,求。的取值范围.

已知含参函数g(x),在区间L+oo)上g(%)20恒成立，求参数范围.可采用下面方法进行

必要性探路：

⑴.求出函数的零点，即由g(Xo)=O,g'(Xo)=O解出/(可能不只一个)；

(2).求出参数的取值范围，即由g(Xo)=0,g'(Xo)20或g(/)=0,g<Xo)=0,

g”(x0)20,或g(x0)>0送'(%)20等求出参数的取值范围.

例6.已知函数/(x)=e*+ax2-x.

(1)当a=1时，讨论/(x)的单调性；

(2)当xNO时，/(%)>-x3+l,求。的取值范围.

★五.更多练习

1.(江苏省苏锡常镇2025届高三二模)已知函数/(x)=sinx,g(x)=e：aeR.

(1)若曲线y=/(x)在点。(0,0)的切线也是曲线y=g(x)的切线，求。的值；

(2)讨论函数/?(%)=—在区间(0,+oo)上的单调性；

g(x)

(3)若f(x)g(x)<x对任意尤e(0,+oo)恒成立,求。的取值范围.

2.(浙江省宁波市2025届高三二模)已知函数〃x)=ln(x+l)+"2_x(qeR).

(1)当a=l时，讨论“⑼的单调性；

(2)当尤20时，“X”。恒成立，求。的取值范围；

(3)求证：当时，1+*+(+…+1<21n(w+1).

3.已知函数/(x)=e，-1-asinx,若/1(x)20在［0,句上恒成立，求实数°的取值范围.

(提示：直接端点效应与必要性探路)

4.已知函数/(尤)=sinx-x+加(aeR).

(1)当。=0时，试比较“X)与0的大小；

(2)若恒成立，求。的取值范围.

(“内点”效应解题)

5.已知函数“无)=2(九一2)lnx+G?-1.

(1)当a=0时，求曲线_y=/(x)在点处的切线方程;

(2)若〃司20恒成立，求实数。的取值范围.

(这个你就得自己判断了)

全国卷五年四考的“端点”效应与应用

一.何为端点效应

端点效应的原理：

1.必要条件缩小范围：

①若/(x,a)20(。为参数)在口力](凡。为常数)上恒成立，则/(x)在区间端点处也成立,

If(G*°此法应用于区间端点值包含参数的情况.

②若/@a)N0(a为参数)在[a,"(a/为常数)上恒成立，且/(。)=0(或/'(〃)=0),则

尸(a)20或(/(。)<0).此法应用于区间端点的函数值为零的情况.

r1[/(«)=0ff(b)=0

③若/(x)NO(a为参数)在为常数)上恒成立，且，或,，则

'f(a)=0l/W=0

/"(a)20或.此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况.

2.充分性求结果：

求广(力判断以X)的单调性，然后表示/(%)的最小值/(x)min,使得/(x)min>0即可.

注意第2步一定要利用第一步中的参数的范围.

但是，有时候我们用端点效应得出的并非最终的答案，那么究竟何时才能用端点效应？下

面对一类函数做出详细分析.

二.相关理论背景四

定理1.若广(x)、F'\x)在[0,+oo)都有意义，F(0)=0,P'(x)》0,则对于任意交0,都有

R(x)》P(0)x恒成立(当且仅当x=0时等号成立).进一步，对于任意x20,都有

F(x)*恒成立，那么实数a的取值范围为(-*F(0)].

证明：设G(x)=F(x)-尸(0)x(x20),则G(0)=0,G'(x)=F'(x)-F'(0),故满足：

G"(x)=尸'(x)》0,即G(x)单调递增，G(x))0,则F(x)-广(0)x20(当且仅当x=0时

等号成立).从而,对于任意珍0,都有F(x)^Fr(O)x恒成立，对于任意x20,都有

F(x)*恒成立,故实数a的取值范围为(-9F(0)].

定理2.若广(x),F”(x),F"(x)在[0,+00)都有意义，F(0)=0,F"(x)》0,则对于任意以0,

都有F(X)^1F"(0)X2恒成立(当且仅当x=0取等号).进一步，对于任意龙20,都有

恒成立，那么实数。的取值范围为1-oo,心尸'(0).

证明：设G(x)=F(x)-1R〃(0)/(x20),则G(0)=0,G'(x)=F\x)-F'\Q)x

那么就有：G'(0)=F(0),G〃(x)=尸'(乃—b〃(0),。'(0)=0,于是。"(％)=尸"。)》0,故

G〃(x)单调递增，G〃(x)》0(当且仅当x=0取等号)，G(x)单调递增，G(x)》0(当且仅当

x=0取等号)，对于任意的x20,F(x彦|Fr/(0)x2恒成立(当且仅当x=0取等号).于是，

对于任意珍0,都有为»》。/恒成立，那么实数。的取值范围为1—oo,心r〃(0).

上述定理不等号反向时亦然，此处不再赘述，具体可见相关参考文献.

三.定理应用，满足定理的两个案例

例1.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知函数〃x)=(l-ax)ln(l+x)r.

(1)当°=-2时，求的极值；

(2)当x»0时，“x)20恒成立，求”的取值范围.

解析：(1)略

1—/JV

(2)ff(x)=-aln(l+x)+------1且，(0)=0,继续求导可得：

1+x

f'\x)=,/f，(o)=-a-l-a=-2a-l,若尸，(0)<0,即。〉—工时，存

在正数天,当xeQ%)时，尸(》)<0,故/'⑴在(0,%)递减，于是r(x)</'(0)=0,

则/(x)在(0,/)递减，则/(x)</(0)=0,与题干矛盾！

故尸'(0)=—2a—120,即。三一工，下证当aV—工时，x>0,/(x)>0.

22

由于x20,/(x)20+；x}n(l+x)-x,令g(x)=(l+gx]ln(l+x)-x,于是可得

j_J.

g，(x)Jn(l+x)+A-1'g.(x)=：^〉。，故g(x)在［0，+⑹递增,

2l+x2(x+l)

，g(x)2g(0)=0nae1—oo,一；.

例2.(2024年新课标全国I卷)已知函数/(x)=ln=J+ox+6(x-l)3

2-x

(1)若b=0,且尸(x)N0,求。的最小值；

(2)证明：曲线y=/。)是中心对称图形；

(3)若/(x)>-2当且仅当1<%<2,求b的取值范围.

解析：(1),(2)略.

(3)因为〃司>-2当且仅当l<x<2,故x=l为〃x)=-2的一个解，所以〃1)=-2即

a=-29先考虑1<%<2时，/(%)>—2恒成立.

此时〃力>一2即为In上+2(1-x)+“x-l)3>。在(1,2)上恒成立，设r=X一1e(0,1),贝！)

2-x

In罟-2/+初3>°在(0,1)上恒成立，设g(f)=ln吉一2t+历3je(0,l),则

，/、2”/、4/.•••4(1—+8/,,

g(t)=-~^-2+3bt2-,g(?)=--------+6bt,g(t)=----------j—+6b

\7l-t2(l-O2(17)4

2

注意到g(0)=0,g'(0)=0,继续求导g(0)=0,g'\0)=6b+S>Q=>b>--

根据前述定理可知，此时/(x)>-2在(1,2)上恒成立.当。<_1,则当0</</］<1时,

g'⑺<0故在“亚^］上g⑺为减函数，故g⑺<g(O)=O,不合题意，舍；综上，

〉-2在(1,2)上恒成立时b>-j.

例3.(2023年全国甲卷)已知/(%)=ox-■S^DX,xe|0,—

cosx\2)

(1)当〃=8时，讨论/(%)的单调性;

(2)若/(九)<sin2尤，求a的取值范围.

大力Wdm*sinx-sin2%<0在1上恒成立;令g(x)=/(x)-sin2x,则

解析：依题忌，ax----------z—

cosX

g'(x)=a+2-4cos2xH------.............—.

cos"xcos%

.232Q—1)⑵?+2/+3)

令cos-x=/e(0,1),贝！Ih(t)=a+2-4t-\-----3,故h'(t)=--------------------->0,

满足定理1,故可用端点效应.

例4.(2022新高考2卷)已知函数/(x)=xe"-e'.

(1)当。=1时，讨论AM的单调性；

(2)当x>0时，/U)<-1,求a的取值范围；

(3)设nEN*,证明：J+,1+…+——■>+1).

VF+lV22+2Jn2+n

由题知/'(%)=(ax+l)eax-ex,f'\x)=(a2x+2a)eax-ex,因为/(0)=-l,/'(0)=0,

所以/"(0)=2a—IWO,解得下面证明xe"'—-—1对a<g且x〉0恒成立.

只需证明一/<-1对％>0恒成立=%/——j—对尤〉0恒成立(令t=/>1,

—X

e2

则x=21n1)02hU<①对/〉1恒成立，设p«)=%-l-21n/«〉1),贝！j

tt

"«)=1+：—：=T匚〉0,所以p«)〉p(l)=0,故①式成立，则a的取值范围为

(11

-00,—

I2」

四.定理失效(端点效应失效)

例5.(2020全国1卷)已知函数/(%)=靖+以2-%.

(1)当〃=1时，讨论/(%)的单调性；

(2)当0时，/(x)>^-x3+1,求〃的取值范围.

x

解析:令/?(%)=e*+以2_x_i,其中〃(0)=0,〃，(0)=0,则/j(x)=e-3x+2a,

令/z"(0)=e°-3x0+2a=2a+120,则g.

事实上，/z“'(x)="-3x不满足定理2的内容，所以，本题用x=0处的端点效应解题是

无法利用定理2得到正确结果的.事实上，失败的原因就是函数在其他地方还有一个零点,

所以，在这种情况下，要确保端点效应依然有效，我们就需进一步使用下面的方法来寻求

必要性.

已知含参函数g(x),在区间［a,+00)上g(x)20恒成立，求参数范围.可采用下面方法进行

必要性探路：

⑴.求出函数的零点，即由ga0)=0,g'(Xo)=O解出/(可能不只一个)；

(2).求出参数的取值范围，即由8(%)=0送'(%)20或g(Xo)=O,g'(Xo)=O,

g”(Xo)20,或g(x0)>O,g'(xo)20等求出参数的取值范围.

例6.(2020全国1卷)已知函数/(x)=e*+a%2—x.

(1)当a=1时，讨论/(x)的单调性；

(2)当xNO时，/(x)>|x3+l,求。的取值范围.

_:

g(%o)-*--^o+谒-x0-1=0,

解析：设g(x)的零点为与.由<3可得

=

g'(%0)c*—XQ+2Q%O-1—C

、2

[312

QQ

——X+CLXQ_XQ_1-——XQ+2a—1,即cix^(X—2)=-x0(x0-3x0+2),

a%o(%o-2)=g%o(%o-2)(%0-1),(2〃一%+l)%o(%o-2)=0,

解得%=0或％=2.

7—*7_/

令/(0)20,/(2)20=〃2-^—,当〃之^^时，/(x)=e、+G:2-x>ex+7-e-x2-x.

4

只需证明e'+^^x2-x>-x3+l(x>0)①式成立.

42

»x(e?—7)/+4x+2d+4.(e—7)+4x+2/+4

①式-----L---------------<4，令/?(%)=-----L---------------(x>0)，

exex

,(13-e2)x2+2(e2-9)x-2x3-x[2x2-(13-e2)^-2(e2-9)1

〃(x)=~~=

fd)[2x+(e=9)],所以当x[o,*i]时，旗尤)<0/(x)单调递减；

exL2J

当xe192。,2],〃(x)>0,/i(x)单调递增；当xe(2,+co),〃(x)<0,〃(x)单调递减.

从而m(x)]max=max{//(0),〃(2)}=4,即h(x)<4,①式成立.所以当a2±1时，上，+1

42

7一口2

恒成立.综上a2人上.

4

★五.更多练习

1.(江苏省苏锡常镇2025届高三二模)已知函数/(x)=sinx,g(x)=e：aeR.

(1)若曲线y=/(x)在点。(0,0)的切线也是曲线y=g(x)的切线，求a的值；

(2)讨论函数〃(％)==在区间(0,+oo)上的单调性；

g(x)

(3)若/(x)g(x)<x对任意xe(0,+s)恒成立，求。的取值范围.

2.(浙江省宁波市2025届高三二模)已知函数/(x)=ln(x+l)+"2-x(aeR).

(1)当」=1时,讨论〃尤)的单调性;

(2)当尤20时，恒成立，求。的取值范围；

(3)求证：当"eN"时，1+余+亳+…+1<2-(〃+1).

3.已知函数/(力=0%-1-〃sinx,若/⑺NO在[0,句上恒成立,求实数〃的取值范围.

(提示：直接端点效应与必要性探路)

4.已知函数/(x)=sinx-x+ox2(aeR).

(1)当“=0时，试比较〃x)与0的大小；

(2)若恒成立，求。的取值范围.

(“内点”效应解题)

5.已知函数/'(九)=2(尤一2)如龙+小2-1.

(1)当a=0时，求曲线y=〃x)在点(1,〃功处的切线方程;

(2)若/(x"0恒成立，求实数。的取值范围.

(这个你就得自己判断了)

练习参考答案：

1.解析：(1)/0)=85%左=((0)=1,，/(乃在点。(0,0)处的切线方程为丁=工.

设y=x与y=g(x)切于尸(Xo，e-),g'(x)=ae：k=ae妣，因此可得：

ae叽=11

<=>〃=—.

e叽=/e

7z\%—1»xe"%—ct^ax(x—1)tz+1—ax

(2)xh(x)=——，〃rz⑴=--------5——-------------

e奴(产)产

①当-1VaV0时，:工〉0,二.hf(x)>0,h(x)在(0,+oo)上单调递增；

②当〃<一1时，令〃⑴=o=%="+i

a

且当0<x<3时，〃(x)<0,/z(x)单调递减，X〉四时，"(x)〉0,/z(x)单调递增

aa

③当a〉0时，令〃(x)=Onx=S,且当0<x<但时，"(x)〉O,/i(x)单调递增;

aa

当无〉"I时，h\x)<0,/z(x)单调递减

a

(3)sinx<x,即©公$111%—%<0对\/%£(0,+8)恒成立.

令F(x)=e公sinx-x,F\x)=〃e以sin%+e公cos%—1=(〃sin%+cosx-e")

令9(x)=asinx-\-cosx-e-ax,(p\x)=acosx-sinx+ae一如，/'(0)=2a<Q^a<Q.

下证充分性，当440,元〉0时，尸(x)=e"[sin%---J

x

令G(%)=sin%------«sin%-x<0,.,.尸(％)<0恒成立，符合，综上：〃的取值范围为

e"

(一8,0]・

2.解析：(1)由题设〃无)=ln(x+l)+尤2-尤，贝[J-(无)=_1^+2尤一1=必&誓且x>-l,

•X十_LJiII

当-r(x)>。，即在(一i,-'上单调递增，

当-；<x<0,((无)<0,即/(尤)在(-go)上单调递减,

当x>0,r(x)>0,即“X)在(0,+8)上单调递增;

(2)由题设/(力=士+2办-1,令g(x)=尸(x),贝!jg'(尤)=一号讲+2。，

对x20时，/⑺之。恒成立，且/(。)=-(0)=0,只需g'(0)=T+2a20,即。同，

另一方面，心；时，g'(x)-±+24一日双

所以g。)=尸(力在[0,+向上单调递增，贝!I尸(力学尸(0)=0,

所以〃x)在[0,+8)上单调递增，贝！)/(尤)2/⑼=。，满足题设，

综上，a^―；

(3)由(2)取a=1，在(0,+8)上“x)=ln(x+l)+^■-x>0,

令工=7，左wN*,贝!1ln[4+l)>)—，即2[ln(Z+1)-In左]〉———,

k)K2kk

所以£2［ln(Z+l)-1放］>£与4，贝！)1+±+,…+和」<21n(n+l),得证.

k=ik=ik23n

xnx

3.解析：由题意，注意到/(0)=0,f'^x)=e-acosx9XG［O,^］,f^x)=e+asinx,

令/(。)=1-

当时，ex-l>0,tzsinx<0,所以=-l-〃sin%20,满足题意；

当0<〃41时，f'\x)=ex+tzsinx>0,所以;(x)在［0,句上单调递增,结合/,(0)=1-«>0

知/x(x)>0,从而“力在［0,句上单调递增，又"0)=0,所以〃力20恒成立,满足题意；

当〃>1时，f'\x)=ex+«sinx>0,所以尸(x)在［0,»］上单调递增，

结合（（0）=1-a<0,尸〔口=/>0可得/。）在［0《］上有唯一的零点七,

且当0V尤<x0时，/（x）<0,所以〃x）在［0,*上单调递减，

又/（0）=0,所以当XE（O,%o）时，/（x）<0,从而“力20不能恒成立，不合题意;

综上所述，实数。的取值范围为（-8』.

4.解析：(2)由于/(%)=sin%•%+如2,贝!|—(%)=cosx+2ax—1

2

,fsinx-x+(2x=01sinx…八7_

令<=>cosx+1=-----=%=(2k+1)%,keZ

COSX-1+2(2%=0x

且x=(2左+1)乃要满足上述方程组，故令/(乃)20na24