2021-2025年高考数学试题分类汇编：导数及其应用（选填题）8种常见考法归类解析版

五年真题(2021-2025)

专集05导微及其成用（送礁盘J

8种召见考派忸类

五年考情-探规律

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01求在曲线上一点处的切线方程

2024•全国甲卷2023•全国甲卷

2022•新高考全国I卷2022•新高考全国H卷

•全国甲卷

知识1导数的2021

几何意义考点02已知切线（斜率）求参数

（5年5考）2025•全国一卷2024•新高考全国I卷

考点03求过一点的切线方程

2022•新高考全国II卷2022•新高考全国I卷

2021.新高考全国I卷

考点04利用导数研究函数的单调性

2023•新课标II卷2023•全国乙卷1.构造函数利用导数求函数单调

2022•新高考全国I卷2022.全国甲卷性从而进行比较大小，利用导数求

2021•新高考全国II卷2021•浙江函数的极值点以及最值问题收高

知识2导数在2021•全国乙卷考必考题型

研究函数中的考点05利用导数研究函数的极值2.零点含参问题的讨论是导数综

作用2025•全国二卷2024•新高考全国I卷2024•上海合题型的重难点

（5年5考）2023•新课标I卷2023•新课标II卷

2022•全国乙卷2021•全国乙卷

考点06利用导数研究函数的最值

2023•上海2022•全国甲卷2022•全国乙卷

2022.新高考全国I卷2021•新高考全国I卷

考点07利用导数研究函数的零点

知识3导数在2024•新课标H卷2024•全国甲卷2023•全国乙卷

函数中的其他2021•北京

应用

（5年4考）考点08利用导数研究方程的根

2025•上海

，分考点•精准练

考点01求在曲线上一点处的切线方程

7x-1

L（2。2】•全国甲卷・高考真题）曲线y=0在点（T-3）处的切线方程为——

【答案】5x-y+2=o

【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.

【详解】由题，当x=—l时，丫=-3,故点在曲线上.

2(x+2)-(2x-1)5

求导得:所以以l-i=5.

(x+2)2(x+2)2，

故切线方程为5x-y+2=0.

故答案为：5x-y+2=0.

2.（2023•全国甲卷•高考真题）曲线y=三在点处的切线方程为（）

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—XH------

424424

【答案】C

【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方

程即可求解.

【详解】设曲线y=工在点（舟处的切线方程为y-；=4T，

x+1I2

因为y=——,

x+1

e%(x+l)-exxex

所以y=

(彳+1)2(X+If'

所以%=炉岛弋

所以＞一"|=:（1）

所以曲线＞=工在点处的切线方程为y=

x+lI2J44

故选：C

3.（2024•全国甲卷•高考真题）设函数=则曲线y=在点（0,1）处的切线与两坐标轴所

围成的三角形的面积为（）

【答案】A

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点(0」)处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得

其面积.

,(e、+2cosx)(l+x2)-(eX+2sinx).2x

［详解］/x一K'

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

贝U/⑼=1---------八/--------」=3，

(1+0)

即该切线方程为yT=3x,即y=3无+1,

令彳=0,则y=l,令y=o,贝=

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=gxlx1_1

3"6■

故选：A.

4.【多选】(2022・新高考全国回卷•高考真题)已知函数/(x)=/-x+l,则()

A.f(x)有两个极值点B.有三个零点

C.点(0,1)是曲线>=/(元)的对称中心D.直线y=2尤是曲线>=/(元)的切线

【答案】AC

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的

几何意义判断D.

【详解】由题，r(x)=3x2-l,令尸(x)>0得x>#或^〈一］,

令r(无)<0得一且<x〈且，

33

所以f(x)在(-夕-辛),(*,+8)上单调递增，(-?,当)上单调递减，所以x=±¥是极值点，故A正

确；

因/(-g)=l+,>0，”g)=l-书>0，/(-2)=-5<0,

所以，函数在「8,上有一个零点，

当xN3时，/(x)>/f^|>0,即函数在严+/上无零点,

3I3JI3J

综上所述，函数/(%)有一个零点，故B错误;

令h(x)=x3-x,该函数的定义域为R，h[-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-/i(x),

则九。)是奇函数，(0,0)是〃(x)的对称中心,

将6。)的图象向上移动一个单位得到了(无)的图象,

所以点(0,1)是曲线>=/(尤)的对称中心，故C正确;

令尸(x)=3f-l=2,可得x=±l,又/⑴=/(-1)=1,

当切点为(1,1)时，切线方程为y=2无-1,当切点为(-U)时，切线方程为y=2x+3,故D错误.

故选：AC.

5.【多选】(2022•新高考全国回卷•高考真题)已知函数f(x)=sin(2x+e)(0<9<7r)的图像关于点(三,()］中

心对称，则()

A.在区间单调递减

兀11兀

了(%)在区间有两个极值点

B.12,12

7兀

C.直线是曲线y=/(x)的对称轴

6

D.直线y=立-x是曲线>=/(尤)的切线

2

【答案】AD

【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出.

2兀.(4Kj.4K兀7

【详解】由题意得：fsinI+°J=0,所以+(p=ku,kGZ,

3

4兀

即0=——十左兀,左£Z,

2兀(2兀

又0＜夕(兀，所以％=2时，^=—,故/(x)=sin[2x+

对A,当时571，2x+ge2兀3兀

，由正弦函数y=sin"图象知y=/(x)在上是单调递减;

12T5T

兀11兀2x+®e兀5兀

对B,当xe时,,由正弦函数y=sin"图象知》=/(犬)只有1个极值点，由

n'~vi32'T

-2兀3兀口5兀5兀

+—=-,解得九二五即尤一石为函数的唯一极值点;

77r977r7兀

对C,当x=2时，2尤+4=3-/O=0,直线尤=：不是对称轴;

6366

对D,由V=2cos|2x十年二一1得：cosf2%+^-

~~2

解得2%+臼27r=军27r+2析或2%+2臼7r=把4TC+2E,左$Z,

3333

、71

从而得：x=kn^ix=—+k7i,k^Z,

所以函数y=/(x)在点［山处的切线斜率为k=(。=2cosy=-1,

切线方程为：y-=-(%-0)BPy-x-

故选:AD.

考点02已知切线(斜率)求参数

6.(2025・全国一卷•高考真题)若直线＞=2无+5是曲线y=e*+x+a的切线，贝!］。=.

【答案】4

【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利

用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点(%,%)与。的方程组，解之即可得解.

【详解】法一：对于y=e，+x+a,其导数为y'=e，+l,

因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2,

令V=e"+1=2,即=1,解得％=0,

将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2x0+5=5,

所以切点坐标为(0,5),

因为切点(0,5)在曲线＞=/+%+〃上，

所以5=e°+0+a,即5=1+。，解得a=4.

故答案为：4.

法二：对于丁=d+%+〃，其导数为了=/+1,

假设》=2%+5与丁=6"+%+〃的切点为(%0，%),

e%+l=2

则＜%=2%o+5,解得a=4.

x

y0=e0+x0+a

故答案为：4.

7.(2024•广东江苏•高考真题)若曲线y=e、+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+l)+。的切线，贝IJ

a二.

【答案】In2

【分析】先求出曲线y=e*+x在(0,1)的切线方程，再设曲线y=In(x+1)+a的切点为(％,In(5+1)+a),求

出y',利用公切线斜率相等求出与,表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.

【详解】由y=e"+x得y'=e"+l,y|x=0=e°+l=2,

故曲线y=e'+%在（0,1）处的切线方程为y=2x+l；

由y=ln（x+l）+a得y=——,

设切线与曲线y=ln（x+l）+。相切的切点为&』11宙+1）+々），

由两曲线有公切线得>'===2,解得/=-4，则切点为+

尤o+l22）

切线方程为y=2^x+—^+<2+In—=2x+1+a—In2,

根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案为：In2

考点03求过一点的切线方程

8.（2022,新高考全国回卷•高考真题）曲线y=ln|》|过坐标原点的两条切线的方程为,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【分析】分x>。和x<0两种情况，当x>。时设切点为（Xo，lnx°）,求出函数的导函数，即可求出切线的斜

率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出与,即可求出切线方程，当x<0时同理可得；

【详解】［方法一］:化为分段函数，分段求

分x>。和x<0两种情况，当x>。时设切点为（Xo，lnx°）,求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而

表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出与,即可求出切线方程，当x<0时同理可得；

解：因为y=ln|x|,

当x>0时y=lnx,设切点为（％,In%）,由y'='，所以*个,=」,所以切线方程为>-山尤0=’（左-/），

X/玉）

又切线过坐标原点，所以Tnxo='（f。），解得x0=e,所以切线方程为厂1=［尤-e）,即y=L；

xoee

当x<0时y=ln（-x）,设切点为,由y=工，所以*日=,，所以切线方程为

X

y-ln（一占）=-'-（尤一%1）,

石

又切线过坐标原点，所以Tn（-xJ=:（一占），解得％=-e,所以切线方程为y-l=：（x+e）,即y=-：x；

故答案为：y=-x；y=--x

ee

［方法二］:根据函数的对称性，数形结合

当x>0时y=lnx,设切点为由炉=工，所以所以切线方程为丫-足七,

X玉)玉)

又切线过坐标原点，所以一吊毛=’(一%)，解得x0=e,所以切线方程为y_i」(x_e),即y=L；

%oee

因为y=ln[1是偶函数，图象为：

4

所以当无<0时的切线，只需找到y=L关于y轴的对称直线y=即可.

ee

9.(2022・新高考全国回卷•高考真题)若曲线y=(x+a)e，有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围

是.

【答案】(e,T)U(0,y)

【分析】设出切点横坐标％,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于修的方程，

根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】0y=(%+a)e*,0y'=(x+1+a)eT,

设切点为(毛,%),则%=(1+a)e与沏线斜率左=(xo+l+a)e、％,

切线方程为：y-(%+a)e&=(%+1+°卜阳

回切线过原点，0-(^+<7)6^=小+1+<7)6%(一〜)，

整理得：Xg+ax0—a=0,

团切线有两条，回A=<32+40>0,解得。<-1或。>0,

回。的取值范围是(Y>T)U(O,+8),

故答案为：(YOT)U(0,+°0)

10.(2021・新高考全国回卷•高考真题)若过点(。,6)可以作曲线y=e，的两条切线，则()

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定

结果；

解法二：画出曲线>="的图象，根据直观即可判定点(。8)在曲线下方和X轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线y=e'上任取一点尸卜,，)，对函数y=/求导得，=。1

所以，曲线y=e，在点尸处的切线方程为y—d=e'(x-。，即y=e'x+(l-，

由题意可知，点(a,匕)在直线y=e'x+(lT)d上，可得b=ae'=(a+l—f)e'，

令/«)=(a+lT)e',则/'(f)=(aT)d.

当时，/'(f)>0,此时函数/⑺单调递增，

当，>。时，［(/)<。，此时函数了“)单调递减，

所以，〃入、=%)=巴

由题意可知，直线y=b与曲线y=/(f)的图象有两个交点，则b</“)1mx=/，

当f<a+l时，/(0>0,当r>a+l时，〃。<0,作出函数/«)的图象如下图所示：

由图可知，当0<6<e"时，直线y=6与曲线y=的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y=e，的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,6)在曲线下方和x轴上方时才可以

作出两条切线.由此可知

故选：D.

【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性

进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.

考点04利用导数研究函数的单调性

1L(2。21•浙江•高考真题)已知函数外)”+3(x)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

A.y=/(x)+g(无)一9B.y=/(x)-g(x)-y

44

C.y=/(x)g(x)D.>=

f(x)

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】对于A,y=/(x)+g(x)-1=%2+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B,j=/(x)-g(x)-1=%2-sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C,y=/(x)g(x)=(尤卜inx贝y'=2xsinx+12+；卜osx

当x=/时，y'+[+'与图象不符，排除C.

422(164)2

故选：D.

12.(2021•新高考全国回卷•高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(x)：

①〃石彳2)=/(%)/(X2)；②当xe(0,+co)时，/'0)>0；③,(x)是奇函数.

【答案】〃力=/(答案不唯一，〃x)=/("eN*)均满足)

【分析】根据幕函数的性质可得所求的/(彳).

【详解】取/(%)=/，则〃=(卒2)4=只石="再)/(%2),满足①,

/,(x)=4%3,x>0时有r(x)>0,满足②，

「(》)=4/的定义域为尺，

又广(一句=心=_尸(力,故广⑺是奇函数，满足③.

故答案为:/(x)=x4(答案不唯一，〃尤)=针(女")均满足)

13.(2023•全国乙卷•高考真题)设。<0,1),若函数〃尤)=优+(1+”)*在(0,+e)上单调递增，则a的取值

范围是.

【答案】［与b］

【分析】原问题等价于r(x)=a1na+(l+ayin(l+a)20恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可

由右侧函数的单调性可得实数。的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数0的

ln(l+Qv)

取值范围.

【详解】由函数的解析式可得/(%)=优1114+(1+〃)"111(1+〃)20在区间(0,+8)上恒成立,

>一京看在区间(°，+")上恒成立，

贝ij(1+a)，ln(l+a)>-axIna

故［一)…一黑f),故叩+a)>。，

故即+l)f即y+1)丁，故叵工

［0<a<l［0<«<12

结合题意可得实数。的取值范围是］与LiJ.

故答案为：［存

14.(2023・新课标回卷•高考真题)已知函数/(x)=ae'-Inx在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值为().

A.e2B.eC.e-1D.

【答案】C

【分析】根据广(力=。^-L20在(1,2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出.

X

【详解】依题可知，/(无)=改'-」却在(1,2)上恒成立，显然a>0,所以xe-L

xa

设g(x)=xe、,xe(l,2),所以g，(x)=(x+l)e，>0,所以g⑺在(1,2)上单调递增,

g(x)>g(l)=e,故即即a的最小值为e，

ae

故选：C.

3111

15.(2022•全国甲卷•高考真题)已知。=一,Z?=cos-,c=4sin-,贝！J()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

11

【分析】由zc=4ta,结合三角函数的性质可得c>。；构造函数/⑺=cos%+]%2Tx£（0,+动,利用导数可

得人>a,即可得解.

【详解】[方法一]:构造函数

因为当工£[0,曰）,x<tanx

C1r

故7=4tan：>l,故7>1,所以c>b；

b4b

、1

设/(x)=cos尤+耳厂-1,%e(0,+oo),

f'(x)=-sinX+X>0,所以f(x)在(0,+oo)单调递增,

故d；］>/(0)=0,所以cos］2>0,

所以6>“，所以c>b>a,故选4

［方法二］:不等式放缩

因为当尤e［o,］J,sinx<x,

111门Y

取％=一得：cos-=l-2sin2->l-2-=—,故

84832

11r~r.(1),(7l\.14

4sin—+cos—=V17sin^—+,其中J,sin=—7=,cos(p-—j=

、“，.11/TZ*.171711

当4sm—+cos—=，17时，一+夕=一，及(p=-------

444224

,,.141.1

止匕时sin—=cos。=~i=,cos—=sin°=-^=

乂114・1〃・1.

^TCOS-=-T=<-7==sin-<4sm-,故b<c

4{17,1744

所以力>4,所以C>Z?>Q,故选A

［方法三］:泰勒展开

3102s27110.2520.254

设％=0.25,贝lj〃=一=1一？—,/?=cos—----------1--------

322424!

.1

.1sin710.2520.254、|生,日,“一

c=4Asin-=—j—-----+,计算得c>Z?>a,故选A.

4

［方法四］:构造函数

因为£=4tan,，因为当x£(0,=］,sinx<%<tanx,所以tan』>工,即f>1,所以c>/?；设

b4V2J44b

/(x)=cosx+|-x2-l,xe(0,+oo),f'(x)=-smx+x>0,所以/(x)在(0,+◎单调递增，则>/(0)=0,

131

所以cos-------->0,所以6>a,所以c>>>4,

432

故选：A.

［方法五］:【最优解】不等式放缩

因为£=4tan1,因为当xe(0,g］,sinx<尤<tan尤，所以tan^>,,即£>1,所以0>人；因为当

b4I2J44b

xe(0,g］,sinx<x,^x=-^cos-=l-2sin2->l-2f->|,故6>o,所以c>6>a.

I2j848(8J32

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe，《］,sinx<x<tanx放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

16.(2022•新高考全国回卷•高考真题)设。=0.1e1H,6=，c=-ln0.9,贝lj()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】构造函数/(x)=ln(l+x)-无，导数判断其单调性，由此确定4c的大小.

【详解】方法一：构造法

1Y

设/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因为/(x)=^-------1=---,

il+x1+x

当xe(-l,0)时，f'(x)>0,当xe(0,+oo)时/'(x)<0,

所以函数/(%)=ln(l+x)-x在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/(g)</(0)=0,所以皿个一3<0,故g>lnT=-ln0.9,即6>c,

所以/(-京)</(。)=。，所以In^+^vO,故N<e]。，所以上小。<上,

10101010109

故。<6,

设g(x)=xe*+ln(l-x)(0<x<l),则8口)=(彳+1)]+—=~+\

令//(%)=e*，-1)+1,〃'(x)=ex(%2+2%-1),

当0〈尤〈加-1时，h'(x)<0,函数/i(x)=e'(d-1)+1单调递减,

当血-1Vx<1时，〃(元)>0,函数/i(x)=e，(尤2-1)+1单调递增,

又〃(0)=0,

所以当0cx<0-1时，依无)<0,

所以当O<x<0-1时，g'(x)>0,函数g(x)=xe"+ln(l-x)单调递增，

所以g(01)>g(0)=0,即O.le">—In0.9,所以。>c

故选：C.

方法二：比较法

解：a=0.1e°」，b=-^~,c=-ln(l-0.1),

1—(J.1

①lna-lnZ)=0.1+ln(l-0.1),

令fM=x+ln(l—x),xG(0,0.1],

1—Y

贝=-=--<0,

l-x1-x

故f(x)在(0,0.1]上单调递减，

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina—In匕v0,所以a<b；

②«-c=O.leol+ln(l-O.l),

令g(x)=xex+ln(l—x),xG(0,0.1],

贝Ig,(x);xe'+/_-1-=0+x)(lx)/l,

、)l-xl-x

令k(x)=(l+x)(l-x)ex-1,所以kr(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0』上单调递增，可得气尤)>左(0)>。,即g'(X)>0,

所以8(%)在(。，。」]上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

17.(2021•全国乙卷•高考真题)设a=21nL01,6=lnl.O2,C=7H)4-1.则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c,b与c的大小关系，

将0.01换成x,分别构造函数/'(x)=21n(l+x)-&Z嬴+l,g(x)=ln(l+2x)—而耳+1,利用导数分析其在

o的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合y(o)=o,g(o)=o即可得出。与c,b与c的大小关系.

【详解】［方法一］：

a=21nl.01=In1.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=Z?,

所以8va；

下面比较。与。涉的大小关系.

记〃x)=21n(l+x)—+则”0)=0,f'(x)=———=

V71+x旧石(1+尤)而五

由于1+4%—(1+X)2—2x—x2=x(2—x)

所以当0<x<2时，l+4x-(l+尤)’>0,即Jl+4x>(1+x),

所以〃x)在［。，2］上单调递增，

所以/(0.01)>〃0)=0,即21nL01>^O?-l,即。>。；

.,、I----/、o92+4x-1-2%)

令g(x)=ln(l+2x)-后备+1,贝Ug(O)=O,g'(x］=—————、f,

1+2x，l+4x(1+2x)Jl+4x

由于l+4x-(l+2%y=-4X2,在x>0时，1+4X-(1+2X)2<O,

所以g'(x)<0,即函数g(x)在［0,+回上单调递减，所以g(0.01)<g(0)=。，即lnl.02<C5?-l,即0<c；

综上，b<c<a,

故选：B.

［方法二］:

lA

令/(x)=ln-^―J-X-1(X>1)

<o,即函数/(X)在(i,+8)上单调递减

、)尤2+1

/(Vl+0.04)</(l)=0,.\Z?<c

令g(%)=21n［%I?］-%+1(1<%<3)

g，(x)=(x］)m)>0,即函数g(x)在(1,3)上单调递增

g(\/l+0.04)g(1)=0,/.ac

综上，b<c<a,

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，

利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

考点05利用导数研究函数的极值

18.(2025•全国二卷•高考真题)若x=2是函数/(*)=(无一D(x-2)(x—a)的极值点，贝lj/(0)=

【答案】T

【分析】由题意得/''(2)=。即可求解。，再代入即可求解.

【详解】由题意有/(x)=(xT)(x—2乂x—a),

以/'(x)=(x_a)(x_l)+(x-1乂彳-2)+(x-。乂彳-2),

因为2是函数/(元)极值点，所以/'(2)=2-。=0,得a=2,

当〃=2时，/(x)-2(x—2)(x—l)+(x—2)2=(x—2)(3x—4),

当xe1-双野，/'(尤)>0J(x)单调递增，当xe2)-(x)<0,单调递减，

当x«2,+“)/(x)>0,/(%)单调递增，

所以尤=2是函数〃x)=(x-l)(x-2)(x-a)的极小值点，符合题意；

所以/(O)=Tx(-2)x(刘=-2a=4

故答案为：—4-

19.(2021•全国乙卷,高考真题)设。力0,若0为函数外力二4》-0兴了一与的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【分析】

先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对a进行分类讨论，

画出/(K)图象，即可得到。力所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若a=6,则〃另=4(%-"为单调函数，无极值点，不符合题意，故”儿

.・・/(X)有。和6两个不同零点，且在了=。左右附近是不变号，在x=b左右附近是变号的.依题意，。为函数

/(,'•)=«(,v-«)2(.V-h)的极大值点，，在x=。左右附近都是小于零的.

当a<0时，由x>b,/(x)<0,画出的图象如下图所示：

当a>0时，由x>b时，/(%)>0,画出“X)的图象如下图所示:

综上所述，成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

20.(2022•全国乙卷高考真题)已知x=X］和x=/分别是函数/(x)=2/-ex2(a>0且awl)的极小值点

和极大值点.若占〈尤之，则。的取值范围是.

【答案】

【分析】法一：依题可知，方程21na•优-2e尤=0的两个根为玉,々，即函数y=Ina.优与函数>=ex的图

象有两个不同的交点，构造函数g(x)=lnad,利用指数函数的图象和图象变换得到g(x)的图象，利用导

数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】［方法一］：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为/'(x)=21na•优-2er,所以方程21nad-2ex=0的两个根为现，马，

即方程InGiZ=ex的两个根为玉，了2，

即函数y=与函数y=ex的图象有两个不同的交点，

因为看,9分别是函数/(x)=2a'-ex2的极小值点和极大值点，

所以函数〃尤)在(-00,占)和(％,+s)上递减，在(占,马)上递增，

所以当时(t,%)(孙+8),f'(x)<0,即>=6图象在"山人山上方

当xe(再，当)时,/(左)>0,即丁=5图象在y=lnad下方

a>l,图象显然不符合题意，所以。<a<l.

令8(3)=11>。，。£，则gTxhlrPa.a'Ovacl,

设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(%,lna-*),

则切线的斜率为8’(为)=吩<7.十,故切线方程为拓=11?，

贝I］有-Ina-a'。=-/1112人。*,解得毛=土，则切线的斜率为底。,。*=eln%，

因为函数y=lna•优与函数y=ex的图象有两个不同的交点,

又0<4<1,所以

e

综上所述，。的取值范围为

［方法二］:【通性通法】构造新函数，二次求导

r(x)=21na-a*—2ex=o的两个根为x”尤2

因为再，尤2分别是函数/(x)=2/-ex?的极小值点和极大值点，

所以函数/(x)在(T，E)和(%,+8)上递减，在(%,9)上递增，

设函数g(x)=/'(x)=2(a'lna-"),贝(J=2/(lna)2-2e,

若则g'(x)在R上单调递增，此时若广(%)=0,

则/'(%)在(-8,%)上单调递减，在(方,+8)上单调递增，此时若有无=%和X=%分别是函数

〃尤)=2，-#(4>0且4N1)的极小值点和极大值点，则外>々，不符合题意；

若0”<1,则g'(x)在R上单调递减，此时若广(而)=0,则/(X)在上单调递增，在(%,+8)上单

调递减，令乳%)=0,则泊=院产，此时若有尤=占和》=%分别是函数/(力=2优-ed(a>。且"1)的

极小值点和极大值点，且占<%，则需满足/伉)>0，/'"。『，』""。『(m-引〉。，即

,xAna>1ln«=^na=In—>1,所以

Ina(Ino)e

【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做"，是该题

的最优解；

法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于

通性通法.

21.【多选】(2025・全国二卷高考真题)已知/(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，〃x)=(d-3)e'+2,

贝I()

A./(O)=0B.当x<0时，=-(x?-3)e-'-2

C.，(x)N2当且仅当岔D.x=—1是/(x)的极大值点

【答案】ABD

【分析】对A,根据奇函数特点即可判断；对B,利用/0)=-/(-力代入求解即可；对C,举反例

即可；对D,直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.

【详解】对A,因为定义在R上奇函数，则/(。)=0,故A正确；

对B,当x<0时，一无>0,则/■(幻=一〃一力=一[((一4一3卜-，+2]=-(/—3)葭—2,故B正确；

对C,f(-l)=-(l-3)e-2=2(e-l)>2,故C错误；

对D,当x<0时，/(x)=(3-x2)e-%-2,贝I]f'(x)=-(3-/)片"—2*片"=(d-2%-3)片"，

令/'(x)=0,解得x=—l或3(舍去)，

当xe(F,-l)时，尸(无)>0,此时〃x)单调递增，

当xe(-L,0)时,尸(幻<0,此时〃元)单调递减，

则x=-l是f(x)极大值点，故D正确；

故选：ABD.

22.(2024•广东江苏•高考真题)设函数〃x)=(尤-1)2(尤-4),则()

A.x=3是/(x)的极小值点B.当0<x<l时，/(%)</(x2)

C.当1<尤<2时，-4</(2A:-1)<0D.当一1<尤v0时，f(2-x)>f{x}

【答案】ACD

【分析】求出函数/'(X)的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数/■(%)在

(1,3)上的值域即可判断C；直接作差可判断D.

【详解】对A,因为函数〃x)的定义域为R,ffij/,(^)=2(x-l)(%-4)+(%-l)2=3(%-l)(%-3),

易知当x«l,3)时，/'(x)<0,当x4-e,l)或xe(3,+⑹时，/(x)>0

函数”X)在上单调递增，在。,3)上单调递减，在(3,+⑹上单调递增，故x=3是函数“X)的极小值

点，正确；

对B,当0cx<1时，x-x2=x(l-x)>0,所以1>彳>/>0,

而由上可知，函数“X)在(0,1)上单调递增，所以“X)>/(/),错误；

对C,当l<x<2时，l<2x-l<3,而由上可知，函数在。,3)上单调递减，

所以即-4</(2xT)<0,正确;

对D,当_[<彳<0时，/(2-x)-/(x)=(l-x)2(-2-x)-(x-l)2(x-4)=(x-l)-(2-2x)>0,

所以，(2-尤)>/(尤)，正确;

故选:ACD.

23.(2024・上海•高考真题)己知函数/(%)的定义域为R,定义集合M=卜。卜eR,xe(-双龙。),/(x)</(x0)),

在使得M=[T』]的所有/(x)中，下列成立的是()

A.存在/O)是偶函数B.存在fO)在尤=2处取最大值

C.存在了。)是增函数D.存在/Q)在x=-l处取到极小值

【答案】B

【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合M与已

知条件矛盾；D选项由集合M的定义找到矛盾.

【详解】对于A选项：x<x°时，f(x)<f(x0),

当毛=1时，x0e[-l,l],任意的/(力<〃1)恒成立，

若“X)时偶函数，此时/⑴=/(-1)矛盾，故A选项错误；

对于B选项：若/(x)函数图像如下：

当尤<-1时,/(x)=-2,TVxVl时，/(x)e[-l,l],当尤>1,/(x)=l,

团存在了(x)在x=2处取最大值，故B选项正确；

对于C选项：在x<-l时，若函数严格递增，则集合M的取值不会是[-1』，

而是全体定义域，故C选项错误；

对于D选项：若存在了(X)在x=T处取到极小值，则在》=-1在左侧存在％=",/(«)>/(-1),与集合M

定义矛盾，故D选项错误.

故选：B

24.【多选】(2023•新课标回卷•高考真题)已知函数〃元)的定义域为R,〃W)=y2〃x)+x2〃y),则().

A."0)=0B./(1)=0

C.是偶函数D.x=0为的极小值点

【答案】ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC,举反例〃x)=0即可排除选项

D.