2021-2025年高考数学试题分类汇编：函数概念与基本初等函数18种常见考法归类解析版

“五年真题（202L2025）

专集04击微懒含鸟去中初等善撤

18种召见考彼归类

五年考情-探规律

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01求函数值

2024•新高考I卷2024•上海2023•北京

2021•浙江

考点02函数的定义域

2022•北京

知识1函数及

考点03函数的值域

其表示

2025•北京2023•上海2022•上海

（5年5考）

考点04函数解析式

2025•北京

1.函数的周期性单调性与奇偶性的

考点05函数的图象

综合应用是高考的重难点方向，特

2025•天津2024•全国甲卷2023•天津2022•天津

别是新高考新题型以后，它们与抽

2022•全国甲卷2022•全国乙卷2021•浙江

象函数的结合将是未来一个重要

考点06判断或证明函数的单调性方向

2023•北京2021•全国甲卷2.函数的综合应用作为压轴题，一

考点07根据函数的单调性求参数值般会是同构，构造函数比较大小，

2024•新IWJ考I卷2023•新课标I卷函数的综合性质应用等

2023•全国乙卷2021•上海

知识2函数的考点08比较函数值的大小关系

2025•全国一卷2024•北京2024•天津2023•天津

基本性质

2023•全国甲卷2022•新高考全国I卷

（5年5考）

2022•全国甲卷2022•天津

考点09根据函数的单调性解不等式

2024•上海2022•上海

考点10函数的最值

2025•天津2024•新课标H卷2023•北京

考点11函数奇偶性的定义与判断

2024•天津2024•上海2023•新课标I卷

2023•上海2021•全国乙卷

2021•新高考全国II卷

考点12由奇偶性求参数

2024•上海2023•全国甲卷2023•全国乙卷

2023•新课标H卷2022•上海2022•全国乙卷

2021•新高考全国I卷

考点13函数奇偶性的应用

2025•全国一卷2025•全国二卷2022.新高考全国

I卷2021•全国甲卷2021•全国甲卷

考点14函数的周期性

2022•新高考全国II卷2021•新高考全国II卷

考点15函数的对称性

2005•天津2024•新高考全国I卷

2024•新课标II卷2023•全国乙卷

2022•全国乙卷2021•上海

考点16指对数的运算

知识3指对函2024•全国甲卷2022•北京2022•天津

数的运算及实2022•浙江

际应用考点17对数的实际应用

（5年4考）2025U匕京2024U匕京2023•新课标I卷2022U匕

京

考点18函数的零点

知识4函数的2025•天津2024•新高考全国I卷2024•天津

零点2024•全国甲卷2024•新课标II卷

（5年5考）2023•新课标I卷2023•天津2022•北京

2022•天津2021•北京

，分考点•精准练八

考点01求函数值

1.（2023•北京・高考真题）已知函数〃x）=4'+log2X,贝

【答案】1

【分析】根据给定条件，把x=g代入，利用指数、对数运算计算作答.

【详解】函数/（x）=4*+log2X,所以/（；）=£+题，=2-1=1.

故答案为：1

2.(2024・上海•高考真题)已知则〃3)=.

【答案】73

【分析】利用分段函数的形式可求/(3).

【详解】因为/(尤)=］：'：；°，故/⑶=6，

故答案为：73.

3.(2021.浙江.高考真题)已知aeR,函数一：">。若丹/(佝］=3,贝l］a=________.

\x-3\+a,x<2,L\/J

【答案】2

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于。的方程，解方程可得。的值.

【详解】上网=〃6-4)="2)=|2_3|+。=3,故0=2,

故答案为：2.

4.(2024•广东江苏•高考真题)已知函数/(x)的定义域为R,〃%)>"X-1)+/(》-2),且当天<3时/(幻=心

则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C.7(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【分析】代入得至IJ/⑴=1,/(2)=2,再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

【详解】因为当x<3时/(尤)=x,所以/⑴=1"(2)=2,

又因为/(无)>f(x—1)+/(尤一2),

贝U”3)>/(2)+/(I)=3,/(4)>/⑶+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(H)>/d0)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知f(20)>1000,则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用"1)=1,/(2)=2,再利用题目所给的函数性质

/(%)>/(%-1)+/(%-2),代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

考点02函数的定义域

5.（2022・北京•高考真题）函数f（x）=L+Vi二7的定义域是.

X

【答案】（口,0）5。山

【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；

【详解】解：因为/X=—+所以c,解得XVI且xwo,

故函数的定义域为（F,O）D（O』

故答案为：（TO,0）U（0,1]

考点03函数的值域

6.（2025・北京・高考真题）已知函数/（x）的定义域为D,贝『"（x）的值域为R”是“对任意MeR,存在％e。，

使得|〃％）|＞川”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.

【详解】若函数的值域为R,则对任意MeR,一定存在使得=

取玉=玉，则+，充分性成立；

取/（尤）=2*,D=R,则对任意AfeR,一定存在无小。，使得/（%）=陷+1,

取玉=玉，则但此时函数/（X）的值域为（0,+8）,必要性不成立；

所以“/⑺的值域为R”是“对任意MeR,存在七w。，使得|〃/）|＞加”的充分不必要条件.

故选：A.

7.（2022・上海・高考真题）设函数/（x）满足=定义域为。=。+8），值域为4若集合

｛引＞=/（尤）,xe[0,a]｝可取得A中所有值，则参数。的取值范围为.

【答案】[^，+到，

【分析】由》=＜可得》=■」，可判断当X...”时，—当0,,x〈好匚时，一匚＞垦1；从

x+122X+122X+12

而可得A=｛y|y=/（x）,xe[0,a]｝时，参数。的最小值为避二1,从而求得.

2

【详解】令户工得，.好匚或彳=41二1（舍去）；

x+122

i1

当x...-------时，x+1”逐—12，故对任意x...--------，

2---------------+12

2

都存在x°e[O,与1],士=x。，故/。)=了(%),

厂r_J_i_V5-

>

故4=｛，1y=/(x),xe[O,弓为｝,而当0,,》<告^时，7+i>/5-1+1

故当A=｛y|y=/(x),xe[O,甸｝时，参数。的最小值为或二1,

2

故参数a的取值范围为[与1,+8),

故答案为：[铝，+s).

(2Xr>0

8.(2023.上海.高考真题)已知〃无)=.,则〃尤)的值域是____；

[l,x40

【答案】U+8)

【分析】分段讨论的范围即可.

【详解】当x>0时，根据指数函数的图象与性质知/(x)=2，>l,

当x<0时，f(x)=l.

综上：y=/(x)的值域为U+s).

故答案为：口,+°°).

考点04函数解析式

9.(2025•北京・高考真题)关于定义域为R的函数/。)，给出下列四个结论：

①存在在R上单调递增的函数使得/W+/X2x)=-X恒成立；

②存在在R上单调递减的函数使得〃力-/(2对=%恒成立；

③使得“X)+/(-%)=cosx恒成立的函数/(%)存在且有无穷多个；

④使得=cosX恒成立的函数/(X)存在且有无穷多个.

其中正确结论的序号是.

【答案】②③

【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.

【详解】对于①，若存在在R上的增函数“X),满足/(X)+〃2X)=T,

贝"(0)+/(2x0)=4,即"0)=0,

故x>0时，/(4x)>/(2x)>/(x)>0,故/(4尤)+/(2》)>/。)+/(2万)，

故-2x>-x即尤<0,矛盾，故①错误；

对于②，取〃x)=r,该函数为R上的减函数且〃x)-〃2x)=x,

故该函数符合，故②正确；

对于③，取〃司=；

cosx+mx,mG

此时/(x)+/(—x)=cosx,由机eR可得/(x)有无穷多个，

故③正确；

对于④，若存在了(X),使得/(%)-/(-力=cosX,

令x=0,贝iJO=cosO,但cosO=l,矛盾，

故满足“X)-〃f)=COSX的函数不存在，故④错误.

故答案为：②③

考点05函数的图象

10.(2025.天津.高考真题)已知函数y=〃x)的图象如下，则/(尤)的解析式可能为()

C./（幻=捍

D•/⑺F

1-X

【答案】D

【分析】先由函数奇偶性排除AB,再由x«0,l)时函数值正负情况可得解.

【详解】由图可知函数为偶函数，而函数〃"=币和函数〃力=而为奇函数，故排除选项AB；

又当尤e(O,l)时1-->0,/一1<0,止匕时y^)=_N_>0,y(x)=J^-<0，

由图可知当无e(O,l)时，/(%)<0,故C不符合，D符合.

故选：D

11.(2022.天津.高考真题)函数、」『一”的图象大致为()

X

­-/J-

7\

cD-7

0T1X/

【答案】A

【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在（y8。）上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选

项.

【详解】函数y=的定义域为{巾*0},

且〃-小…一忙--小），

—XX

函数/（X）为奇函数，CD选项错误；

又当XV。时，/（x）=E—11<0，B选项错误.

故选：A.

12.（2023・天津・高考真题）已知函数〃元）的部分图象如下图所示,则/（X）的解析式可能为（）

广

JL

D.

X2+2x2+1

【答案】D

【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,+8)上的

函数符号排除选项，即得答案.

【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且/(-2)=/(2)<0,

5sin(-x)5sinx

由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除;

(-x)2+l-x2+l

5(ex-e-%)5(e'+eT)

当x>0时>0、>0,即A、C中(0,+◎上函数值为正，排除;

尤2+2X2+2

故选：D

13.函数卜inx在区间［-2.8,2.8］的图象大致为()

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/⑴>0,可排除D.

【详解】f(r)--Y+⑹"—ex)sin(—x)=—x2+(e*—efsin尤=/(尤)，

又函数定义域为［-2.8,2.8］,故该函数为偶函数，可排除A、C,

.兀e1111

又〃1)=T+sinl>-1+fe--sin—=——1----->--------->0,

622e42e

故可排除D.

故选：B.

14.(2022•全国乙卷.高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是(

y

2sinx

D.y=

x2+1

【答案】A

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设〃尤）=（^,则/（1）=。，故排除B;

、儿7/、2xcosx

设0<cosx<l,

所以〃（尤）=故排除C;

x+1尤%I

设g（x）=3管,贝iJg（3）=^^>0,故排除D.

故选：A.

717T

15.（2022.全国甲卷.高考真题）函数y=（3，-3-Dcosx在区间-的图象大致为（）

2

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】令〃x)=(3-3T)cosx,xe-j,j,

则/(-%)=(3-"-3工)cos(-x)=-(3-3T)cosx=-/(x),

所以为奇函数，排除BD；

又当时，3*-3T>0,cosx>0,所以〃x)>0,排除C.

故选：A.

16.(2021•浙江•高考真题)已知函数/(x)=/+；,g(无)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

C.、=/(元)g(x)D.>=粤2

/(x)

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】对于A,y=/(x)+g(x)-(=f+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B,y=/(x)-g(x)-sin无，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C,y=/(x)g(x)=(/+；］sinx,贝ijy，=2xsinx+［x2+；,osx,

当x=［时,y'=--+f77+7^1x>1与图象不符，排除C.

T"乙乙、IxjI"J乙

故选：D.

考点06判断或证明函数的单调性

17.(2023•北京・高考真题)下列函数中，在区间(。,+s)上单调递增的是()

A.f(x)=-lnxB./(x)=:

C./（%）=--D.f（x）=

X

【答案】c

【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.

【详解】对于A,因为y=lnx在（0,+巧上单调递增，y=-x在（0,+“）上单调递减，

所以〃x）=-lnx在（0,+巧上单调递减，故A错误；

对于B,因为y=2,在（0,+“）上单调递增，y=:在（0,+a）上单调递减，

所以〃尤）=（在（°，+e）上单调递减，故B错误；

对于c,因为>=:在（0,+。）上单调递减，旷=一*在（0,+e）上单调递减，

所以=在（0,+。）上单调递增，故C正确；

对于D,因为/（£|=3切=3岂6，/（1）=3M=3°=1,/（2）=3IM=3,

显然"乃=3斤”在（0,+e）上不单调，D错误.

故选：C.

18.（2021・全国甲卷•高考真题）下列函数中是增函数的为（）

A./（x）=-xB.〃尤）=图C./（x）=x2D./（X）=A/X

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A,外"=-*为尺上的减函数，不合题意，舍.

对于B,〃尤）=[£|为尺上的减函数，不合题意，舍.

对于C,在（7）,0）为减函数，不合题意，舍.

对于D,〃x）=私为R上的增函数，符合题意，

故选：D.

考点07根据函数的单调性求参数值

19.（2024•广东江苏.高考真题）已知函数/（无）=广：2ga，x<°在R上单调递增,则a的取值范围是（

[6*+111（元+1）,尤20

A.（-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+<»）

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为“X)在R上单调递增，且x»0时，"x)=eX+ln(x+l)单调递增，

-------->0

则需满足2x(-1),解得

-a<e°+In1

即。的范围是［TO］.

故选：B.

20.(2023•新课标I卷•高考真题)设函数F(X)=2M，Y)在区间(0,1)上单调递减，则。的取值范围是()

A.(-8,-2］B.［-2,0)

C.(0,2］D.［2,+oo)

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2”在R上单调递增，而函数〃x)=2代")在区间(0,1)上单调递减，

2

则有函数y=x(x")=(尤--?在区间(0,1)上单调递减，因此■|N1,解得/2,

所以。的取值范围是［2,+oo).

故选：D

21.(2023•全国乙卷•高考真题)设aw(O,l),若函数〃x)="+(l+a)”在(。,+巧上单调递增，则a的取值

范围是.

【分析】原问题等价于/'(0=。'：111。+。+。)'111(1+0)2()恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可

+>Ina

由右侧函数的单调性可得实数。的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数。的

IQ)ln(l+a)

取值范围.

【详解】由函数的解析式可得尸(x)="Ina+(1+a)*In(1+a)20在区间(0,+8)上恒成立,

则(1+a)'ln(l+a)>-axIna,即［詈［上一31la)在区间(°'+引上恒成立，

故］詈［…一就T而。+闫1,2),故ln(l+a)>0,

+N-InaA/5-1

故即故二----<a<lf

0<Q<10<a<l2

结合题意可得实数。的取值范围是[七一,1)

「6-11

故答案为：箕一，1・

.7

22.(2021・上海考真题)已知函数于(九)=J|%+a|-a-口.

(1)若a=l,求函数的定义域；

(2)若若f(以)=。有2个不同实数根，求。的取值范围；

(3)是否存在实数。，使得函数了(%)在定义域内具有单调性？若存在，求出，的取值范围.

【答案】(1)xe(-«,-2]U[0,+»)；(2)ae(0,；)；(3)[一。一[.

【分析】(1)解绝对值不等式lx+ll-120即可得答案；

(2)利用/(*=。有两个不同的实数根，转化为依+a-a=(冰+4有两个根，利用换元法可求实数。的

取值范围；

(3)分xN-a与了<-。两类情况，结合复合函数的单调性可得使得函数在定义域内具有单调性的。的

取值范围.

【详解】解：(1)f(X)=yj\x+l\—1—X,Ix+11—1>0,解得X£(—8,—2]U[0,+OC)；

所以函数的定义域为X£(f°,-2]U[0,+oo).

(2)由题知a-小=a有2个不同实数根,

所以ax+a—a=(ax+af,

设依+a=，之0,JJt-a=1有2个不同实数根，

・・・整理得〃="/，120有2个不同实数根，同时

(3)当X之-a,f(x)=J\x+a\-a-x=y/x-x=-(y/x--)2+—,在[g,+8)递减,

244

此时需满足一以之!，即-!时，函数/(%)在1-a,+oo)上递减；

44

当x<—a,f(x)=J|%+a|-a—x=J-%-2a—x,在(—8,—2a]上递减，

---6?<--<0,

4

：.-2a>-a>G,即当aW-工时，函数/(x)在(一叫-。)上递减；

4

综上，当时，函数/(彳)在定义域R上连续，且单调递减.

4

所以。的取值范围是「叫-;

【点睛】本题第二问解题的关键在于利用换元法，将问题转化为a=r-产，£20有2个不同实数根，进而求

解，第三问解题的关键在于分类讨论求解.

考点08比较函数值的大小关系

23.(2023・全国甲卷・高考真题)已知函数〃尤).记1力=于:,c=于％，贝I]()

\7\)\7

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.

【详解】令g(x)=-(x-l)2,则g(x)开口向下，对称轴为x=l,

因为当T_1-¥="石一；M(A/6+V3)2-42=9+672-16=672-7>0,

FKI、I6।（1若]«+迅4„^/6V3

所以丁一1一1一--=——------>0>W-—―1>1--

2（2）2222

由二次函数性质知g（曰）<g吟），

因为1—1—,Jfn（>/6+A/2）2—42=8+4^/3—16=4^^—8=4（^/3—2）<0,

即告一1<1一日，所以gC|）>g（¥）,

综上，g（孝）<g（半）<g（¥），

又y=e尤为增函数，故avcvb,^b>c>a.

故选：A.

24.(2024•北京•高考真题)已知(4%),(%，%)是函数y=2'的图象上两个不同的点，贝U()

A.iog2A±A<A±^B.iog2A±2k>A±^

222222

C.log?%；%&+%D.log?，；%>&+龙2

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设%<%,因为函数y=2"是增函数，所以0<2』<2*,即

9X19X2I----------西+%2,,,,再+丁2

对于选项AB：可得>，2西？”=2,即江匹>22>0,

22

再+巧.

根据函数y=logzx是增函数，所以Iog2&|&>log22k=土产，故B正确，A错误；

对于选项D：例如再=0,兀2=1,则％=1，%=2,

可得log?咤匹=l°g2|«°』)，即故D错误；

对于选项C：例如X［=-1,X2=-2,则%=；,%=；，

nT^log2=log2j=log23-3e(-2,-1),gplog2>-3=x,+x2,故C错误，

2X2

故选：B.

25.(2022・全国甲卷•高考真题)已知y"=10,0=10"'-11,6=8"'-9,则()

A.a>Q>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知根=log910>l，再利用基本不等式，换底公式

可得根lOg89>〃2,然后由指数函数的单调性即可解出.

【详解】［方法一］:(指对数函数性质)

由9W10可得利=1嗨1。=^>1,W1g91g11<pg9^lgHJ=J<1=(1g10)\所以黑，

即所以a=i(r_n>io3"-11=0.

又Ig81gio<「g8；gio)=(等)<(坨9)2,所以瑞，Bpiog89>m,

所以6=8"'-9<8i喻9-9=0.综上，a>0>b.

［方法二］:【最优解】(构造函数)

由9"'=10,可得m=log910e(U.5).

根据。力的形式构造函数/0)=--工-1(工>1),则/(x)=mx"-l,

令尸(x)=0,解得,=一占,由加=log910e(l,1.5)知x°e(0,l).

/(x)在(1,+s)上单调递增，所以/(10)>/(8),即a>b,

又因为/(9)=9皿°-10=。,所以。>0>6.

故选：A.

【点评】法—：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用。力的形式构造函数/。)=/-彳-15>1),根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该

题的最优解.

26.（2025•全国一卷•高考真题）若实数尤，y,z满足2+Iogz尤=3+log3y=5+logsZ,则x,y,z的大小关

系不可能是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.y>》>zD.y>z>x

【答案】B

【分析】法一：设2+log2X=3+log3y=5+log5Z=»i,对机讨论赋值求出x,y,z,即可得出大小关系，利用

排除法求出；

法二：根据数形结合解出.

【详解】法一：设2+log2X=3+log3y=5+log5Z=/w,所以

令m=2,则x=l,y=3T=；,z=5-=卷，此时x>y>z,A有可能；

令m=5,则x=8,y=9,z=l,止匕时y>x>z,C有可能；

令相=8,则尤=2,=64,y=35=243,z=53=125,出:时V>z>x,D有可能；

故选：B.

m23m5

法二：设2+log2X=3+log3y=5+log5Z=7〃，所以，x=2~,y=T~,z=5~

根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，

作出函数y=2"2,y=3A3,y=5T的图象，以上方程的根分别是函数y=2-2,y=3一,y=5A5的图象与直线

27.（2024・天津•高考真题）设。=4.2",6=4.2%c=log420.2,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.

【详解】因为y=4.2*在R上递增，且-0.2<0<0.2,

所以0<4.2"<4.2°<4,20-2,

所以0<4.29-<1<4.2叫即0<。<1<6,

因为y=log4,2x在(0,+oo)上递增,且0<0.2<1,

所以log短02<log淳1=0,即c<0,

所以c<a<6,

故选：D

28.(2023・天津・高考真题)设a=1.01°5,己=LOI0',’=0.6°，,则。，瓦c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根据对应基、指数函数的单调性判断大小关系即可.

【详解】由y=L0F在R上递增，贝0=1.0仪<6=1.01。.6,

由y=产在［0,+8)上递增，则a=1.01。$>c=O.605.

所以6>a>c.

故选：D

29.(2022・天津・高考真题)设°=2%6=(,,c=log21,则的大小关系为()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【分析】利用幕函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出。、6、。的大小关系.

【详解】因为2°，>0=log21>log21,故a>6>c.

故选：D.

30.(2022・新高考全国I卷•高考真题)设。=0.1e°」,6=Lc=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】构造函数/(x)=ln(l+x)-无，导数判断其单调性，由此确定”,6,C的大小.

【详解】方法一：构造法

TSf(x)=ln(l+x)-x(x>-1),=—i—-1=--^,

1+x1+x

当xe(-l,0)时，f'(x)>0,当xe(0,+oo)时/'(x)<0,

所以函数/(%)=ln(l+x)-x在(0,+s)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以〃》</(。)=。，所以lng-1<0,故|>111午=一1110.9,即6>c,

所以/(一本)</(°)=°，所以ln；7+77<°，故=<八。，所以上/。<七,

10101010109

故avb,

设g(x)=xe、+ln(l-x)(O(尤<1),则g'(x)=(x+1)e%+—史上，

、'x-1x-\

4-/?(%)=ev(x2-l)+l,/zV)=ex(%2+2%-l),

当0〈尤<0-1时，h'(x)<0,函数加x)=e'(Y-1)+1单调递减，

当行-时，h'(x)>0,函数以尤)=„一1)+1单调递增,

又砥)=0,

所以当O<x<0-1时，〃(x)<0,

所以当0cx<0-1时，g'(x)>。，函数g(x)=xe'+ln(l-x)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°」>-lnQ9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：a=0.1e°l,b=-^~,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①ln<2-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令/(x)=x+ln(l—x),xG(0,0.1],

贝Ir«=i--=T^<O,

l-xl-x

故/(x)在(o,o.l]上单调递减，

可得f(0-1)</(0)=0,即Ina—InbvO,所以a<b；

②a-c=O.le°」+ln(l-0.1),

令(x)=xex+ln(l—x),xG(0,0.1],

则g'(X)二心+靖_」一二("力(17)°”1,

v7l-xl-x

令k(x)=(l+x)(l-x)ex-1,所以kr(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0』上单调递增，可得左(九)>左(0)>。,即g'(X)>0,

所以g。)在(0,0.1]上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a〉c.

故c<a<b.

考点09根据函数的单调性解不等式

31.(2024・上海•高考真题)若y(x)=log/(a>0,arl).

(1)产〃力过(4,2),求〃2x-2)</(x)的解集;

⑵存在x使得〃x+l)、/(依)、/(x+2)成等差数列，求a的取值范围.

【答案】⑴{尤|l<x<2}

(2)a>1

【分析】(1)求出底数。，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；

(2)存在x使得/(x+1)、〃依卜〃x+2)成等差数列等价于"=2匕+：]」在(0,+8)上有解，利用换

元法结合二次函数的性质可求a的取值范围.

【详解】(1)因为〉=/(司的图象过(4,2),故log“4=2,故/=4即a=2(负的舍去)，

而/(x)=log2X在(O,+e)上为增函数，故/(2x-2)</(x),

故0<2%-2<%即1<%<2,

故”2x—2)</(x)的解集为{x[l<x<2}.

(2)因为存在x使得/(x+1)、/(词、〃x+2)成等差数列，

故2/(ar)=/(x+l)+/(x+2)有解，21oga(ar)=loga(x+1)+loga(x+2),

因为<7>0,o片1,故x>0,故a?/=(R+I)(X+2)在(0,+e)上有解,

由。2=三±孚心=i+3+g=2pL+。]一，在(0,+8)上有解，

I4J8

令f=，e(0,+8),而y=2(r+11-"在(0,+e)上的值域为(1,+8),

故片>1即a>1.

32.(2022・上海•高考真题)/(%)=log3(a+x)+log3(6-x)

⑴若将函数/(x)图像向下移加机>0)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数a,机的值.

(2)若a>-3且awO,求解不等式/(x)</(6-x).

[答案](1)0=_2,机=1

(2)答案见解析.

「log式a+3)+log.(6-3)-m=0

【分析】(1)由题知〃>-6,再根据题意得।4J3t解方程即可得答案；

[logs(〃+5)+log3(6-5)-m=0

lax>6a

(2)根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为卜〃<x<6的解集，再分类讨论求解即可.

0cx<〃+6

[x+a>0[x>—a

【详解】⑴解：函数/(%)的定义域满足乙八，即乙，

[6-x>0[x<6

所以，要使函数的定义域非空，则一”<6,即a>-6.

若将函数/(x)图像向下移加〃7>0)后得到的解析式为：

g(x)=/(x)-m=log3(a+x)+log3(6-x)-m,xe(-a,6).

所以(3,0),(5,0)在函数g(x)的图像上，即P°g3[一:二心=：,

解得：a=-2,m=l,

所以，a=-2,m=l

(2)解：由题知a£3,0)U(0,+°0),

f(x)=log3(tz+x)+log3(6-x)=log3[(a+x)(6-x)],xG(-a,6)

/(6-x)=log3(d+6-x)+log3x=log3[X(6Z+6-X)],XG(0,«+6)

因为函数y=iog3兀在(。,+8)上单调递增，

所以/(x)</(6-%)等价于(a+x)(6-x)Kx(a+6—x),展开整理得：2axN6a,

lax>6a

所以，不等式的解集为-。〈尤<6的解，

0<%<。+6

所以，当a«-3,0)时，不等式的解为—a<%(3；

当a£(0,+a))时，不等式的解为3W%v6.

综上，当ae(-3,0)时，不等式的解为｛x|-a<x<3｝；当ae(0,”)时，不等式的解为｛乂34》<6｝.

考点10函数的最值

33.(2025•天津•高考真题)若a,6eR,对Vxe[-2,2],均有(2a+6)f+法-。-1V0恒成立，则2a+b的最

小值为

【答案】T

【分析】先设r=2a+b,根据不等式的形式，为了消。可以取工=-;，得到此Y,验证f=T时，。力是

否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.

【详解】设仁2a+6,原题转化为求才的最小值，

原不等式可化为对任意的-24兀42,tx2+(t-2a)x-a-l<0,

不妨代入兀=-；，得5-;一〃一1W0,得.2-4,

当/=-4时，原不等式可化为-