2023-2024学年四川省成都市龙泉驿区九年级上学期数学期中试题及答案

2023-2024学年四川省成都市龙泉驿区九年级上学期数学期

中试题及答案

A卷（共100分）

第I卷选择题（共32分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有

一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A,x+2y-lB.x=2x3-3

c1,

C."2=0D.3xH----=1

X

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

【详解】解：A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、是一元二次方程，故本选项符合题意；

D、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项

的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程.

2.己知£则区它的值为（）.

b5b

2372

A.—B.—C.—D.一

5553

【答案】C

【解析】

【分析】根据比例的性质计算即可；

【详解】：/二，

b5

.a+b5+27

•・-:-=----=一；

b55

故答案选C.

【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键.

3.如图，矩形A3CD的对角线相交于点。，下列结论一定正确的是（）

A.AC平分/氏4。B.AB=BC

C.AC=BDD.AC1BD

【答案】C

【解析】

【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可.

【详解】解：由矩形A3CD的对角线相交于点。，

根据矩形的对角线相等，

可得AC=5D.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的性质.

4.如图，_ABC与位似,点0是它们的位似中心，且位似比为1：2,贝UA6C与

的周长之比是（）

1

D

A.1：2B.1：4：C.1：3D.1：9

【答案】A

【解析】

【分析】根据位似图形是相似图形,位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即

可求解.

【详解】解：_ABC与.”打位似

/.AABCS&DEF

'：ABC与J）石尸的位似比是1:2

，_ABC与JyEF的相似比是1:2

/.ABC与J郎的周长比是1:2

故选：A.

【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质.

5.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷

开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该

款汽车这两月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是（）

A.16（1-%）2=23B.23（l-x）2=16

C.23—23（1—无7=16D.23（1—2x）2=16

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用.根据题意正确的列方程是解题的关键.

由题意知，4月份的售价为23（1—%）,5月份的售价为23（1—进而可列方程.

【详解】解：依题意得，23（1—九『=16,

故选：B.

6.如图，四边形A3CD的对角线AC,BD交于点0,且Q4=0C,OB=OD,下列说

法错误的是（）

;

A.若4?工3。，则43。。是菱形B.若则A3CD是矩形

C.若AC430且AC=6。，则ABCD是正方形D.若NABC=90。，则ABCD是正

方形

【答案】D

【解析】

【分析】先根据平行四边形的判定证明A3CD是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、

矩形及正方形的判定逐一判断即可.

【详解】解：；Q4=0C,OB=OD,

四边形A3CD是平行四边形，

若AC180,则四边形A3CD是菱形，故A选项不符合题意；

若人。=%>,则四边形A3CD是矩形，故B选项不符合题意；

若AC180且AC=8。，则四边形A3CD是正方形，故C选项不符合题意；

若NABC=90°,则四边形A3CD是矩形，故D选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握

相关定理是解题的关键.

7.若关于x的一元二次方程丘2一2彳+3=0有两个实数根，则k的取值范围是（）

A.k<—B.左W—C.k<—且左W0D.kW—

3333

且上w0

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答.

【详解】解：：入2一2x+3=0为一元二次方程，

••.左w0,

V该一元二次方程有两个实数根，

A=（-2）2-4A;X3>0,

mk<-,

3

.•.左V，且左wo,

3

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大

于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0.

8.如图，在4ABe中，AB=AC=6,。在8c边上，ZADE=ZB，CD=4,若△ABD

的面积等于9,则△CDE的面积为（）

BD

A.4B.2C.3D.6

【答案】A

【解析】

【分析】过点。作D拉工A3于M，过点E作EN_LBC于N,首先根据等腰三角形的性

质及三角形外角的性质，可证得,再根据三角形的面积公式，可求得

=3,根据相似三角形的性质，可求得EN=2,据此即可求得.

【详解】解：过点。作ZWIAB于过点E作ENLBC于N,

AB=AC=6,

/B=NC,

ZADE=/B，ZADC=ZB+ZBAD=ZADE+ZCDE,

：.ZBAD=ZCDE,

:△ABD^ADCE.

,ABDM

"~DC^~EN，

△AB。的面积等于9,

-ABDM=-x6xDM=9,

22

:.DM=3,

,6_3

"4"EV'

：.EN=2.

.•.△CDE的面积为：gcD.EN=gx4x2=4,

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，三

角形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键.

第II卷非选择题（共68分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

9.已知关于x的方程f+2%+。一1=0的一个根是1,则另一根是.

【答案】-3

【解析】

b

分析】根据一元二次方程根与系数玉+x,=—-,带入即可求出答案.

a

,b

【详解】解：：玉+九2=,一个根是1，

a

,2

l+x2=,

解得x2=-3,

故答案是：-3.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，准确记住公式是解题关键.

10.若^二1=：，且1+2y+3z=40,则3x+4y+5z的值为.

【答案】76

【解析】

【分析】利用设左法，进行计算即可解答.

【详解】解：设;=?=：=4，

234

x=2k,y=3女，z=4女，

:x+2y+3z=40,

2k+6k+12k=40,

20左=40,

k=2,

:.x=4,y=6,z=8.

3x+4y+5z=3x4+4x6+5x8

=12+24+40

=36+40

=76,

故答案为：76.

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设左法是解题的关键.

11.如图，Rt/VLBC中，ZACB=90°,CD±AB,AB=9,BC=6,则5D的长为

【解析】

【分析】由题意，证明_CDBS'ACB,得到处=生，然后代入数据，即可得到答案.

BCAB

【详解】解:

ZACB=90°,CD±AB,

:.NCDB=ZACB=90P,

NB=NB,

CDBs-ACB,

BDBC

一拓一瓦’

AB=9,BC=6,

zr2

:.BD=—=4

9

故答案为：4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关

键.

12.将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形

ABCD中，对角线AC=6,BD=8,则纸条重叠部分的面积为.

缶7c

【答案】24

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质.熟练掌握菱形的判定与

性质是解题的关键.

证明四边形A3CD是平行四边形，如图，作AEL3C于E，AELCD于尸，由等宽可得

AE=AF,由28。*4石=工。。><4^，可得3C=CD,证明四边形A3CD是菱形，根

22

据了菱形.CD=gACx30，计算求解即可•

【详解】解：由题意知，AD//BC,AB//CD,

，四边形A3CD是平行四边形，

如图，作AEL3C于E，AFLCD于产，由等宽可得=

BE/C

：.-BCxAE=-CDxAF,即8

...四边形A3CD是菱形,

S菱形ABC。=—ACxBD=24,

故答案为：24.

13.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E,分

别以点c,E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线BP交AD的延长线

2

于点F,NCBE=60°,BC=6,则BF的长为

【答案】6A/3

【解析】

【分析】利用基本作图得到6E=5C=6,BF平分NCBE,则NCB/=/口=30。，再

根据平行四边形的性质和平行线的性质证明/尸=N£B尸=30。，所以BE=FE,过E点作

EHLBF于H,如图，则助=m，然后利用30°的三角函数值即可求出8H，从而

得到BF的长.

【详解】解：由作法得5£=5。=6,BF平分/CBE,

又：/CBE=60°,

ZCBF=ZEBF=-NCBE=30°,

2

四边形ABCD为平行四边形，

:.AD//BC,

:.ZF=NCBF,

ZF=ZEBF=30°,

:.BE=FE,

如图，过E点作EHLBF于H,

VBE=FE,EH±BF，

：.BH=FH,

在RtAB£H中，cosNEB"=—=cos30°=—,

BE2

:.BH=—BE=—x6=343,

22

BF=2.BH=60.

故答案为：6^3.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结

合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行四边形的性质、

等腰三角形的判定及性质以及解直角三角形的应用.

三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）

14.用适当方法解下列方程：

（1）4尤2一1=0；

（2）X2-6X-3=0-

【答案】（1）引=—，x2=—

22

（2）%=3+2^/3,X2=3—2A/3

【解析】

【分析】本题考查了直接开平方法、公式法解一元二次方程.熟练掌握直接开平方法、公式

法解一元二次方程是解题的关键.

（1）利用直接开平方法解一元二次方程

（2）利用公式法解一元二次方程即可.

【小问1详解】

解:4无2-1二0,

2_1

X一,

4

解得，%=一,%=—；

222

【小问2详解】

解：x2-6x-3=0，

A=(—6『—4x1x(-3)=48,

•••XI,2="『二3±2百,

解得，菁=3+2^/^,x2=3—2y/3-

15.如图，已知0是坐标原点，A,B的坐标分别为(3,1),(2,-1).

(1)画出.0AB绕点0顺时针旋转180°后得到的OCD-,

(2)在y轴的左侧以0为位似中心作,OAB的位似三角形OEF,使一OEF与一OAB的相

似比为2:1；

(3)直接写出线段CD与线段所的位置关系与数量关系.

【答案】(1)见解析(2)见解析

(3)CD//EF,CD=-EF

2

【解析】

【分析】(1)根据旋转的性质作图即可，Q旬与OCD关于点0成中心对称；

(2)根据位似进行作图即可；

(3)由中心对称、位似的性质，判断作答即可.

【小问1详解】

解：如图1,OCD即为所求；

图1

解：如图1,。即即为所求;

【小问3详解】

解：由中心对称、位似的性质可知，CD//EF,CD=-EF.

2

【点睛】本题考查了作旋转图形，中心对称的性质，位似作图，位似的性质.正确作图是解

题的关键.

16.为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园A3CD（如图），生态园一面

靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成.生态园的面积能否为40m2?如果能，请

求出A5的长；如果不能，请说明理由.

墙

AB

生态园

D'--------------------'C

【答案】AB长为8米或10米

【解析】

【分析】设AB=x米，则AD=3C=；（18—x）米，根据矩形生态园A3CD面积为40m2,

建立方程，解方程，即可求解.

【详解】解：设=x米，则4。=5。=3（18-工）米，根据题意得，

gx（18-x）=40,

解得：西=8,%=10,

答：AB长为8米或10米.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键.

17.如图，在,ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，连接DE,且NADE=NACB.

(1)求证：4ADEsaACB.

(2)若40=250,AE=4,AC=9,求BD的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）BD的长是指

【解析】

【分析】（1）根据两角对应相等两个三角形相似即可得证；

ADAE

（2）根据相似二角形的性质可知=,设BD=x,则AD=2x,AB=3x,从而列出方

ACAB

程解出x的值.

【小问1详解】

证明：VZADE=ZACB,ZA=ZA,

/.ADE.ACB

【小问2详解】

解：由（1）可知，ADEACB,

.ADAE

"ACAB-

设BD=x,则AD=2x,AB=3x,

VAE=4,AC=9,

•空—士

••一,

93x

解得x=#（负值舍去），

ABD的长是逐.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参

数构建方程解决问题.

18.探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.

如图1,将矩形纸片A3CD折叠，使点C的对应点C始终落在对角线AC上，点B的对应

点记为8',折痕与边ABCD分别交于点E,F.

【初步感知】

(1)如图2,当点C与A重合时，连接CE,四边形是哪种特殊的四边形，并证明;

【深入探究】

(2)如图3,当AB=8,AD=4,点"，C,D在同一条直线上时，求C尸的长.

【答案】(1)菱形，证明见详解(2)CF=3

【解析】

【分析】(1)根据折叠的性质得出Cr=ARZBEF=ZB'EF,BC=B'A,ZB=ZB',

根据角的和差推出ZCEF=ZAEF，根据矩形的性质得出AB|CD,ZB=90°,结合平

行线的性质及等腰三角形的判定定理推出CE=CF,利用AAS证明,BECWB'EA,根据

全等三角形的性质得出EC=EA,则AE=CF,根据“一组对边平行且相等的四边形是平

行四边形”推出四边形AECE是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”即

可推出四边形AECF是菱形；

(2)设所与3。交于点M,过点C作。'KLCD于K,根据折叠的性质得出

/B'C'F=/BCF=NCMF=NCMF=90。,C'F=CF,CC=2CM,根据相似三角

形的判定与性质得出也=竺，根据矩形的性质及勾股定理求出AC=46，则

CDAC

CM=^-CF,根据题意推出二C'CKS_ACD,根据相似三角形的性质推出

5

CK=^CF,CK=*F,根据勾股定理求出CZ>2=g"2—1|§。/+64,根据点

B'，C,D在同一条直线上，推出NECD=90°,根据勾股定理求解即可.

【详解】解：当点C'与A重合时，四边形是菱形，理由如下:

由折叠性质得C/=ARZBEF=ZB'EF,BC=B'A,ZB=ZB',

又NBEC=NB'EA,

：.NCEF=ZAEF,

•.•四边形A3CD是矩形,

/.ABCD,ZB=90°,

ZAEF=ZCFE,

：.ZCEF=ZCFE,

：.CE=CF,

VZBEC=ZB'EA,ZB=ZB',BC=B'A,

...一BE8B'EA,

EC=EA,

：.AE=CF,

•/AECF,

...四边形AECF是平行四边形，

•/EC=EA,

.••四边形3EDP是菱形；

解：如图3,设防与3D交于点M,过点C作C'KLCD于K,

由折叠得：ZB'C'F=ZBCF=Z.CMF=Z.CMF=90°,CF=CF,CC=2CM,

ZCMF=ZCDA,

又ZMCF=NDCA,

：.ACFM^ACAD,

.CM_CF

'，~CD~~AC，

在四边形A3CD是矩形中，AB=8,AD=4,NADC=90°,

CD=AB=8,

•*-AC=y/CD2+AD2=4A/5,

CMCF

8

：.CM=^-CF，

5

•/CK±CD,

NCKC'=90。=/ADC,

又NC'CK=ZACD,

：..C'CKs一ACD,

.CCCKC'K

"AC~CD~AD'

•/CC'=2CM,

.2cMCKC'K

,,4非―8—4

84

ACK=~CF,C'K=-CF,

55

,•*C'K2+DK2=C'D-，

•,.!|CF2+^8-|CF^=C'D2

：.CD2=—CF2-—CF+64

55

；点B'，C,D在同一条直线上，

NFC'D=180°-ZB'C'F=90°,

；•CF"+C'D2=DF2,

：.CF2+yCF2-CF+64-（8-CF）2

.•.b=3或CF=0（舍去），

ACF=3.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三

角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质等，涉及知识点多，综合性强，难度较大.

B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

19.三张纸牌，正面分别写着-1,0,2,背面都写着m,那么在摸牌游戏中使/=o

有实数根的概率为.

2

【答案】|

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，简单的概率计算.熟练掌握一元二次方程根

的判别式是解题的关键.

由题意知，A=l2-4m>0）解得，/<,，由T,0能使尤2+%+m=0有实数根，根据

4

简单的概率公式计算求解即可.

【详解】解：•••/+》+m=（）有实数根，

A=I2—4m>0，

解得，加<4，

4

,0能使x2+x+m=0有实数根，

2

/.在摸牌游戏中使x2+x+m=0有实数根的概率为I，

,2

故答案为：—.

20.若％夕是方程/一4%—2=0的两根，贝1储—2a+2£=一.

【答案】10

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，以及已知式子的值求代数式的值,

先把0，/代入炉―4x—2=0,结合£+〃=—彳=4化简即可作答.

【详解】解：•••£,£是方程V—4%—2=0的两根，

-4

a2—4a—2=0>a+/3=——=4

故。2一4。=2

即储一2。+2，=/-4a+2a+2，=2+2x4=10

故答案为：10

21.如图，矩形A3CD中，AB=6,AD=8,且有一点P从B点沿着往D点移动，

若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作A。的垂线交AD于F点，则EF的长度最

小为

【解析】

【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需

要熟练掌握并灵活运用.连接AP、EF,依据？PF±AD,ZA=90°,可得四

边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求斯的最小值转化成针的最小值，再

结合垂线段最短，将问题转化成求Rt_B4。斜边上的高，利用面积法即可得解.

详解】解：如图，连接AP、EF,

•：PELAB,PFLAD,

：.ZAEP=ZAFP=9Q°.

•.•四边形A3CD是矩形，

AZ£L4T>=90°.

四边形尸尸为矩形.

：.AP=EF.

/.要求EF的最小值就是要求AP的最小值.

点P从B点沿着BD往D点移动，

.,.当虞）时，AP取最小值.

下面求此时AP的值，

在RLB4。中，

VZBAD^9Q°,AB=6,AD=S,

BD=y/AB2+AD2=10>

■/S=—ABxAD=—APxBD,

ABRDn22

“nABxAD24

，AP=-----------=——.

BD5

24

尸的长度最小为：y,

24

故答案为：.

22.如图，ABC中，ZBAC=30°,AB=6,AC=10,分别以A3,AC为边向两侧

构造正方形ABGb,ACDE,连接CE,BF，EF；现取四边形8CE产四边的中点〃，

I,J,K，则四边形HUK的面积为.

【答案】49

【解析】

【分析】连接EC，BF交于点、P，设正与AC交于点T，过点尸作出，84交8A的

延长线于先证.A3E和△AFC全等，得BE=CF,ZAEB=ZACF,再证

BELCF,由此可证四边形印JK为正方形，然后求出NK4M=60°,进而在RtAAEM

中求出AM=5,EM=56，在Rt.BEN中由勾股定理求出£B=14,进而得m=7,

据此可求出四边形的面积.

【详解】解：连接EC,BF交于点P，设BF与AC交于点T,过点产作府1.R4交5A

的延长线于如图所示：

四边形ABGb和四边形ACDE均为正方形,

.-.AB=AF=6,ZBAF=90°,AE=AC=10,NC4E=90°,

ZBAC=30°,

ZCAF=ABAC+ZBAF=120°,ZBAE=ZBAC+ZCAE=120°,

:.ZBAE=ZCAF,

在，ABE和KFC中，

AB=AF

<NBAE=NCAF,

AE=AC

.-.△ABE^AAFC(SAS),

:.BE=CF,ZAEB=ZACF,

在RtZXAET中，/E4T=90°,贝UNAEB+NATE=90°,

ZAEB=ZACF,ZATE=ZCTP,

ZACF+ZCTP=90°,

ZCPT=180°-(ZACF+ZCTP)=90°,

即5ELCF,

H,I,J,K分别为BC，CE,EF,FB的中点，

二印为△CBE的中位线，区为,EBE的中位线，

:•HI〃BE，HI=-BE,JK//BE,JK=-BE,

22

BI//JK,BH=JK,

；・四边形"UK为平行四边形，

又・〃为-砂C的中位线，

IJ//CF,IJ=-CF,

2

BE=CF,BF±CF,

:.IJLHI,IJ=HI,

•••平行四边形HIJK为正方形，

ZfiAE=120°,

Z.EAM=180°-NBAE=60°,

EM^LAM,

:.ZAEM=30°,

在RtAAEN中，ZAEM=30°,AE=AC=10,

:.AM=~AE=5,

2

由勾股定理得：EM=^AE2-AM2=5A/3-

Rt6£肘中，BM=AB+AM=6+5=11,EM=5上,

由勾股定理得：EB=y/BM2+EM-=14-

:.HI=-EB=7,

2

-v——4。

,•0四边形HWK~nl一.

故答案为：49.

【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和

性质，直角三角形的性质，勾股定理等，准确识图，熟练掌握正方形的判定和性质，三角形

的中位线定理，全等三角形的判定和性质，灵活利用含有30°角的直角三角形的性质和勾股

定理进行计算是解决问题的关键.

23.定义：如果两个实数m,n满足m+八,加〃均为整数，则称m,n为一组“齐整数”.现

y—4x+1

有一组“齐整数"x，且x,y满足〈/,则％?+/的值为_____.

yX=4y+t

【答案】14或8或18或9

【解析】

【分析】本题主要考查了分解因式的应用，先把已知条件中的方程组的两根方程相减，然后

把所得结果分解因式，求出肛(x+y)=4=22,根据刀,丁都是整数，分三种情况讨论，

求出尤+y和孙的值，再利用完全平方公式求出答案即可.解题关键是熟练掌握常见的几

种分解因式的方法，注意利用分类讨论的数学思想.

【详解】解：•••]£，=4"+’,

yx=4y+t

33

xy-yx=4x-4yf

xyf^x2-y2)=4(x-y),

y)(x+y)=4(x-y),

xy(x+y)=4=22,

①当孙=x+y=2时，x,y是方程—2々+2=0的两根，

A="4ac=(-2『-4xlx2=T<0,方程无解；

②当孙=1,x+y=4时，x,V是方程—4〃+1=o的两根，

D=/-4ac=(-4『-4仓。1=12>0,方程有解；

③当孙=4,x+y=l时，x,V是方程—〃+4=0的两根，

A=/—4ac=(―Ip-4xlx4=-15<0,方程无解；

④当孙=%+y=-2时，刘V是方程a?+2〃—2=0的两根，

A="—4ac=22—4x1x(—2)=12>0,方程有解；

⑤当孙=-1,x+y=-4时，x,V是方程4+4〃—i=o的两根，

A=/_4ac=42_4xlx(―1)=20>0，方程有解；

⑥当孙=—4,X+y=-1时，刘V是方程"+〃—4=0的两根，

A=Z?2-4ac=12-4xlx(^4-)=17>0,方程有解；

综上可知：孙=1,x+y=4或孙=%+y=-2或呼=-1,%+y=-4或

xy=-4,x+y=-l

.,・当孙=1,x+y=4时，

则公+/=(%+»一2孙=16-2=14；

当*=%+y=-2时，

则％2+y2=(x+y)2-2冲=4+4=8；

当呼=-1,%+y=—4时，

则+y2=(%+y)2一2孙=16+2=18；

当呼=-4,%+'=-1时,

则尤2+/=(%+y)-_2xy=1+8=9；

综上可知：f+y2的值为*或8或18或9.

故答案为：14或8或18或9.

二、解答题(本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上)

24.某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，若按每件1100

元出售，平均每天可售出30件；若每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣

专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？

【答案】每件皮衣定价为1050或950元

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用.根据题意正确的列方程，并正确的解方程是解题

的关键.

设每件皮衣定价为x元，依题意得，(%-750)^30+11(^~%x10J=12000,计算求解即

可.

【详解】解:设每件皮衣定价为x元，

依题意得，(x-750)f30+11(^~Xxl0j=12000,

整理得，龙2—2000%+997500=0，

(%-1050)(%-950)=0,

解得，西=1050,x2=950,

.••每件皮衣定价为1050或950元.

25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+4的图象与x轴交于点A,与y轴交于

点B,与直线CD交于点—g，a),C点坐标为(0,2).

(1)求直线CD的函数表达式；

(2)平面内存在点F,使得以A,B,D,F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F

的坐标；

(3)直线A3在E点左侧部分上有一点P,y轴右侧有一动直线/y轴交AB于M,作直线

交1于N,是否存在点P使得无论直线1如何运动始终有APDE与，PMN相似，若存

在请求出P点坐标，若不存在请说明理由.

【答案】(1)y=--X+2

2

⑵点F的坐标为(-8,4)或(8,4)或(0,-4)

(3)存在点P,尸(-8,-4)

【解析】

【分析】⑴求出后[-+1],用待定系数法得直线CD的函数表达式为y=—gx+2；

(2)求出A(-4,0),5(0,4),设E(p,q),由、=—；x+2可得。(4,0),分三种情

—4—p+4

况：①若AB,。尸为对角线，则石厂的中点重合，有，②ARBD为对

[4=4

—4+〃=4-4+4=0

角线，贝叫；，③AD,为对角线，贝U八”,分别解方程组可得答案；

q=410=4+q

(3)过P作尸于H,过H作KT〃x轴，过D作DKLKT于K,过P作PT_LKT

于T,由。A=OB,直线"V轴交AB于M,作直线交1于N,可得

APMN=ZOBA=45°,故，PDEsPMN有NPDE=/PMN=45°,APDH是等腰

直角三角形，即可证.PHT经,PT=HK,TH=DK,设

-—n+2-(m+4)=4-n

P(m,m+4),H[nj—^n+2得《解方程组可得

i

n-m=--n+2

2

P（-8,-4）.

【小问1详解】

（4148

解:把E[一]，aj代入y=x+4得。=_§+4=§,

'''£H'5）

设直线CD的函数表达式为y=kx+b,

将C点坐标（0,2）,E1-•1，■1]代入得、=区+6：

4=2

<48，

-lk+b=-

I33

解得

[b=2

，直线CD的函数表达式为y=—+2；

【小问2详解】

解：在y=x+4中，令x=0得y=4,令y=O得x=-4,

.•.A(Y,0),5(0,4),

..1°

•y-----x+2

2

当y=0时，0=—」x+2,贝!]x=4

2

可得。（4,0）,

设万(p,q),

①若AB为对角线，则ABOb的中点重合,

[-4=p+4

4=4

p=—8

解得《

a=4

AF（-8,4）；

②AF,5D为对角线,

-4+p=4

则＜

q=4

p=-8

解得

9二4

/.F（8,4）；

③A£）,BE为对角线,

-4+4=p

则＜

0=4+q

p=0

解得＜

a=—4

/.F(0,-4)；

综上所述，点F的坐标为（-8,4）或（8,4）或（0,-4）；

【小问3详解】

解：存在点P,使得无论直线1如何运动始终有△/¥）“与4PMN相似，理由如下：

过P作PHLCD于H,过H作KT〃x轴，过D作DKLKT于K,过P作尸TLKT于T,

如图：

•.•A(T,O),6(0,4),

OA=OB,

NOB4=45。，

:直线/y轴交AB于M,作直线P£)交1于N,

/PMN=ZOBA=45。，

由」PDEs_PMN可知,ZPDE=ZPMN=45°,

APDH是等腰直角三角形，

PH=DH,

ZPHT=90°-ZKHD=ZHDK,

：NT=/K=90。，

APHT^HDKQAAS)

APT=HK,TH=DK,

设P(m,m+4),H\n,----n+2\,

­：0(4,0),

n-m=——〃+2

2

m=-8

解得《

n=-4-

：.P(-8,-4)

【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，等腰直角三角形,

全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段

的长度.

26.如图，在菱形ABCD中，NB=120。，点E是边上一动点，连接AE,以AE为边

在直线AE的左侧作菱形AEFG,使得菱形AEFG^菱形ABCD.

图1

(1)如图1,连接G。，我们感觉，在点E的运动过程中，A3E与△AOG始终保持全

等关系，请说明理由.

(2)如图2,连接AECF,AF交CD于H；

(I)在点E的运动过程中，8和。下有何位置关系，请说明理由；

BE

(II)当H为CD中点时，求——的值；

CE

(3)如图3,连接GO,DF,当A3=6,ZkEDG是直角三角形时，求菱形但G的边

长.

【答案】(1)证明见解析

(2)(I)CD±CF,理由见解析；(II)-

3

(3)2而或6石

【解析】

【分析】(1)由菱形AEFGs菱形ABCD,可得AB=ADAE=AG,ZBAD=ZEAG,

则NBAE=ZDAG,进而可证AABE空ADG(SAS)；

(2)(I)如图2,连接AC,ZDCA=ZBCA=30°,由菱形AEFGs菱形A3CD,

ApAEAFAC

可得一=—,NFAE=NCAB,则——=——，ZFAC=ZEAB,证明

ACABAEAB

AACF^AABE,则/FCD=NACF—NDC4=90°,进而可得CD_LCb；(II)如图

2,作AK上CD交CD延长线于长，"，。。交4尸于心，证明.DHL空CHF(ASA),

则"=CF,设DH=CH=m,则48=5。=8=的＞=2m，ZDAK=30°,

1LL

DK=-AD^m=DH,由勾股定理得，KA=6m，则AC=2岛2，证明

HLD^^HAK,则”=也==，解得DL=虫"，由△ACFS/^SE,可求

KAKH22

BE=-m,则"=』7篦，然后求解0£的值即可；

22CE

（3）由题意知，分NFDG=90。，ZFGD=90°,ZDFG=90°,三种情况求解；①当

NFDG=90。时，如图3,连接A