2024-2025学年河南省鹤壁市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年河南省鹤壁市高二(下)期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，记X是硬币落地时正面向上的次数，则E(X)=()

A.4B.3C.2D.1

2.已知集合A={1,2,3,5,7,9},B={x\x+2eA},则AnB=()

A.{1,2,3}B.{3,5,7}C.{1,3,5,7}D.{357,9}

3.过点P(l,l)可以作圆C：%2+丫2一2%=。的切线的条数为()

A.0B.1C.2D.无数条

4.设等差数列｛斯｝的前n项和为Sn,若S4—a5=2La3=11,贝必】。=()

A.25B.28C.29D.32

5.设M是抛物线川=2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，若NxFM=最\MF\=4,则p=()

3

A.2B.|C.4D.1

6.已知函数/(%)=sin(3%+以a>0),若/⑺=0且/(%)在区间(0,兀)内恰有2个零点，则3=()

23172311

A*B.不C.-D.-

7.有三个储水点，分别储存着15L、20L、25L水.小明每次使用一个容积为5L的水桶从这三个储水点取水并

带回家倒入水缸中储存，且每次取水必须将水桶装满.若要将这60L水全部取完，小明前往这三个储水点的

不同顺序的种数为()

A.55440B.41320C.32770D.27720

2

8.在△ABC中，内角力、B、C的对边分别为a、b、c.若AC边上的高为力b,则噜的最大值为()

A.2+/13B./17C.4D.343

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设复数2=。+6，w=b+山，a,贝!1()

A.===B.\w+z\=\w-z\

wz

C.|z+w|=|z—w\D.\zw\=\zw\

10.如图，在棱长为1的正方体ABC。中，P是线段4G上的动点，则下列说法正确的是()

A.异面直线&D与当久所成的角为g

B.&P的最小值为苧

C.若AG_L平面&PD,贝1］3都=近

D.三棱锥4-PDB的体积的最大值为,

24B

11.用［制表示不超过x的最大整数，设函数f(x)=第(久>0),则下列说法正确的是()

"匕］

2

A./(2)=|

B./(%)<2

C.若neN*且n〉1,则/⑴在伽,n+1)上的值域为(1——J,l+匀

(n+l)n

D.若neN*且n>1,则方程/(x)=1在(1,死)内有(n-1)个根

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若方程卫=1表示焦点在x轴上的椭圆，则tcma的取值范围是

13.对某小区内有小孩的家庭进行调查，发现各家小孩都没有超过3个，且其中有1个小孩、2个小孩、3个

小孩的家庭占比分别为|、假设生男生女是等可能的，从该小区任选一个有小孩的家庭，则此家庭中

有女孩的概率为

aL-U

14.已知函数/'(久)=2e*T-a%若当久>0时，/(x)>2,则实数a的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

某研究机构调查了青年人与老年人的睡眠情况，称睡眠时间少于8%为“睡眠不合格”，睡眠时间不少于8%

为“睡眠合格”.下面是统计数据：

青年组老年组

睡眠合格睡眠不合格睡眠合格睡眠不合格

人数15352010

平均睡眠时长8.8/16.4/18.4/16h

(1)求调查的所有人睡眠合格的概率;

(2)求调查的所有人的平均睡眠时长;

(3)根据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为青年人与老年人的睡眠合格率有差异？

n(ad-bc)

附：X

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.005

3.8416.6357.879

16.(本小题15分)

已知双曲线—，=1(6>0)的左顶点为4右焦点为F.过点F且垂直于式轴的直线与E交于B,C两

点，其中B位于第一象限，且4B1AC.

(1)求E的方程；

(2)过点尸且斜率为4的直线/与E交于M,N两点，求ABMN的面积.

17.(本小题15分)

如图，在四面体4BCD中，△4BD为等边三角形，BC1BD,BD=BC=2,且cos/ADC=孕.

(1)求证：平面2BD上平面BCD；

(2)若点E满足玩=4DE,求平面ZCD与平面ABE夹角的余弦值.

18.(本小题17分)

已知函数f(x)=£^,%i=1,xn=f(久„_力(neN*,且nN2),记yn=；.

(1)求久2、K3；

(2)证明｛力｝是等差数列，并求｛%｝的通项公式;

n

(3)令小皿=2n3n+2),求数列｛mn｝的前n项和匕.

19.(本小题17分)

已知函数/'(x)=alnx—ex,g(x)=eax—ex+(a—l)(Znx+x).

(1)若/(x)的图象在点处的切线方程为y=ex+b,求a+b的值;

(2)若/(x)在其定义域上不具有单调性，求实数a的取值范围；

(3)若/(久)与g(久)的图象恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围.

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：由二项分布的定义可知，X〜8(4,},

1

所以E(X)=4x2=2.

故选：C.

由题意可得X〜8(4,今，利用二项分布的期望公式可求得E(X)的值.

本题主要考查了二项分布的期望公式，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：•.T={1,2,357,9},

B={x\x+2€4}={-1,0,1,3,5,7},

•••由交集定义得力CB={1,3,5,7}.

故选：C.

求出集合B,利用交集的定义可求得集合anB.

本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由题意点p(l,l),圆C：x2+y2-2x-0,

可得F+I2-2x1=0,

故点P在圆C上，

因此过点P只能作一条圆C的切线.

故选：B.

判断点P与圆C的位置关系，即可得出结论.

本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题.

4.【答案】D

【解析】解：根据题意，数列{的J是等差数列，设其公差为d,

若S4_。5=21,a3=11，贝!1户4_。5：：*+2:=21,解得5,d=3,

Q=%,+2d=11

因此a九=3几+2,

则由0=32.

故选：D.

根据给定条件，列出关于首项的=2、公差d的方程组，求出数列通项公式即可.

本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的通项公式，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：设M是抛物线必=2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，，//

不妨设点M在第一象限，过点M作MNlx轴，/VI

因为=?\MF\-4,V/

olFN~

则|FN|=|MF|cos与=4x：=2,\

\MN\=|MF|sin^=4xj=2^3,

易知点尸©,0),

结合图形可知+2,20)，

将点M的坐标代入抛物线方程得2p©+2)=(20)2=12,

整理得p2+4p-12=0,

因为p>0,

解得p=2.

故选：A.

不妨设点M在第一象限，过点M作MNlx轴，求出点M的坐标，代入抛物线方程，结合p>0可求得p的

值.

本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题.

6.【答案】B

【解析】解:因为/'(兀)=sin(兀3+.)=0,

所以3兀+^=kn(k6Z),结合3>0,可得3=k-去(keN*),

当0<x<兀时，7<a)x+7<兀3+

666

因为/(%)在区间(0,")内恰有2个零点，

贝吃71<7TC0+7-3兀，解得4<6)<

6o6

1117

结合3=/c—z(keN*),取々=3,得3=3—/

o66

故选：B.

根据/'(兀)=0，结合正弦函数的零点求出3=k-1(keN*),根据3久+的取值范围，结合/'(%)在区间

(0,兀)内恰有2个零点，得出关于3的不等式，求出3的取值范围，进而可得正数3的值.

本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数的零点与方程的根等知识，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：将分别储存着15L、20L、25L水的三个储水点记为甲、乙、丙，

问题相当于把3个甲、4个乙、5个丙进行排序，

排序的方法有此2x仁x用=220x126=27720种.

故选：D.

将分别储存着15Z,、20L,25L水的三个储水点依次记为甲、乙、丙，问题相当于把3个甲、4个乙、5个丙

进行排序，结合组合计数原理以及分步乘法计数原理可求得结果.

本题主要考查了简单的排列组合问题，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：根据三角形面积公式得SAABC=IacsinB=|x|b2,即炉=3acsinB,

由余弦定理得庐=a2+c2—2accosB,所以=(a+c)2—2ac(l+cosB),

整理可得墨=3sinB+2cosB+2=V^L3sin(B+<p)+2</13+2,

7

其中0为锐角，且汝九"=子

因为0<8<故0<8+夕<兀+仍故当B+R=卯寸，即当8=]—9时，("；：)取最大值，+2,

止匕时=tan《一哨==箫=肃=1,

故妇2的最大值为2+713.

ac

故选：A.

由三角形的面积公式可得出接=3acsinB,再结合余弦定理可得出炉=a2+c2-2accosB,变形得出

妇2=3sinB+2cosB+2,利用辅助角公式以及正弦型函数的有界性可求得丝及的最大值.

acac

本题考查了解三角形，属于中档题.

9.【答案】ACD

【解析】解：对于4刍=警=然缥=甘=3

wb—ai{b—ai)ia+bi

吆=缥="华抖=i,故A正确；

za—bi{a—bijib+ai

对于B,\w+z\=|(a+b)+(a+b-)i\=y/~2\a+b\,

\w-z\=|(6—a)+(a-6)i|=V~2|a—b\,故8错误；

对于C,\z+w\=\(^a+b')—(a—b)i\=J(a+b)2+(a—b~)2,

\z-w\=|(a—b)+(a+b)i|=J(a-b)?+(a+6)2,故C正确；

对于。，|zw|=|z||w|=|zw|=|z||w|=故」正确.

故选：ACD.

利用复数的除法法则计算可判断4;利用复数的加法法则与模的计算可判断BC；利用复数的模的计算可判

断D.

本题考查复数的四则运算与复数的模，属于基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：对于4连接/C、DrC,

在正方体ABC。—7I1B1GD1中，A1B1//CD,ArBr—CD,

••・四边形力/iCD为平行四边形，A[D"B\C,

.•.异面直线&D与B/i所成的角为ND/iC或其补角，

•••8也=81。=。1。，.•.△BiAC是等边三角形，因此4。/母=或故选项A正确;

对于B,连接&P、显然&P的最小值在4P14C]时取到，

AA11平面41clu平面AA±1ArCr,

AA-^=1,

由勾股定理可得AC]=y/AAl+A^=<3)

由等面积法可得4止=丝野=2浮=¥，，4/的最小值为¥，故B正确;

"1V333

对于C,在41P的条件下，连接PD、ADr,如下图所示：

•••C1D1_L平面ArDu平面力4也£),ArD1。也，

•••力。1nC/i=必，AD〉C/iu平面ac/i，ArD1平面aC/i，

VACXU平面ac/i，ArD14C1；

当4iP_LAQ时，由于=力i，ArP,A±DC.^^AIPD,AC11平面AiPD,

由B选项可知，此时4P=苧，

2

••■AP-yjAAl-A±P=F=gacp

因此，若4G1平面&PD,贝1|3都=宿，故C正确；

对于。，连接肛&B,

••,CCi_L平面力BCD,BDu平面力BCD,•••BD1CC1；

ACClCC]=C,AC>CC^u平面ACC1，；.BD_L平面ACC],

•••4clu平面4CQ,ACr1BD,

由C选项可知，ACr1ArD,•••ArDC\BD=D,A±D,BDu平面AiBD,

.­.4cl1平面力iBD,

・•・当P与点Cl重合时，点P到平面4B0的距离最大,

此时Vp-AlBQ—Kli-PBD取最大值,

111

XXX

3-2-6-

;^A-ArBD=3^LABD'

3

%厂4遇0=^ABCD-A1B1C1D1—^A^ABD=I-4X-=-,

，•%-BPQ=^P-ArBD的最大值为主故。错误.

故选：ABC.

利用异面直线所成角的定义计算可判断力选项；

分析可知当&P，口寸，&P取最小值，结合等面积法可判断8选项；

证明出4C11&D,结合线面垂直的判定定理可知当&P14C1时，4的，平面41PD,结合勾股定理可判断

C选项；

推导出261平面&BD,求出三棱锥&-PDB的体积的最大值，可判断D选项.

本题考查立体几何综合问题，属于难题.

11.【答案】BD

【解析】解：对于4/(2)=空L李芸，故A错误；

对于8,当X>0时，有/(%)=雪<坐?=l+f，

%+匕]%+匕]计匕]

111

当0<汽<1时，->1,所以[工]之1,从而%+[-]>1,

所以0<*<1，

x+[x]

所以/(%)<2；

当%>1时，%+[1]>1,

1

所以。〈丽<1,

所以f(x)<2；

所以总有/(©<1+；=2,故B正确；

对于C,设X=几十厂，其中几是久的整数部分，丁E[0,1),

则/(%)=-=马+W

J、'XXXL

根据二次函数的图象与性质可知在[n,n+1)上单调递减，

1

因而/co在伽,几+1)上的最大值为1+4'

当%趋向于几+1时，/(%)趋向于+—J=1------

九+1(九+1)0+1)

故/(%)在［九,九+1)上的值域为(1—(［1)211+A］，故C错误；

对于。，根据C的分析可知，/(%)在每个区间［几,几+1)(n>1)内单调递减，

且1G(1-(二、2'1+

(n+1)n

即在区间［2,3),［3,4),…，内都恰有一个x,使得f(x)=1,共有(n-2)个,

在区间(1,2)内，/(x)=T=§+1,且单调递减，其值域为G，2),

故/(%)=1在区间(1,2)内也有1个根，

从而在区间(1,71)内共有(几-1)个根，故D正确.

故选：BD.

利用取整函数的定义计算可判断4；

]

f(x)W1+,分类讨论求解判断小

设X=n+「，其中n是x的整数部分，rG［0,1),再利用二次函数的性质可求值域判断C；

利用C的结论运算求解判断以

本题考查了取整函数的定义及性质，考查了分类讨论思想及二次函数的性质，属于中档题.

12.【答案】(1,+8)

【解析】解：因为方程乙+二2=1表示焦点在x轴上的椭圆，

sinacosa

所以sina>cosa>0,所以tcma=@">1.

cosa

故答案为：(1,+8).

由椭圆的方程及同角三角函数的基本关系得到答案.

本题主要考查椭圆的方程及同角三角函数的基本关系，属于基础题.

13.【答案】g

【解析】解:令4="选出的家庭有i个小孩"，i=l,2,3,B="选出的家庭中有女孩

2

则P(B|4)=iP(BIA2)=1-(1)=l，

P(8M3)=1-弓)3=,

P(4)=P02)=I2-P(4)=I

所以p⑻=(4)P(BA)=|x|+|x|+^|=g

故答案为：

记事件4：选出的家庭有®=1,2,3)个小孩，记事件8：选出的家庭中有女孩，求出「(封4)0=1,2,3)的

值，再利用全概率公式可求得P(B)的值.

本题考查条件概率与全概率公式，属于中档题.

14.【答案】(—8,1]

【解析】解：先取x=l,代入/(X)得/(1)=2—a+e「a,

由/(久)22(x>0),则/'(1)22,即2-a+ei”

构造函数t(a)=2—a+e1-a,求导t'(a)=—1—e1-a,

因e1一。>0,故t'(a)<0,t(a)单调递减，

又t⑴=2,所以t(a)22时,a<1,

再证当a<1时,/(%)>2(%>0)恒成立，

pl-Cl-1

因为a<1,%>0,则/(%)=2ex-1—ax+>2ex-1—%

令m(X)=2e%T—x+-(x>0),求导m'(%)=2ex-1—1—

设?1(%)=2ex-1-1—昼，求导"(%)=2ex-1+/

因久>0,ex~r>0,>0,故九'(%)>0,九(%)即M(x)单调递增，

又7n'(l)=0,则当久6(0,1),m^x)<0,zn(%)递减；xE(1,+QO),m^x)>0,zn(%)递增，

所以771(%)7n讥=m(l)=2,即771(%)>2,故/(%)>771(%)>2.

故答案为:(一8,1].

先通过特殊值％=1缩小a的范围，再构造函数证明此范围下/(%)22恒成立，从而确定a的取值范围.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值，及通过特殊值法与构造函数法求解参数取值范围.

15.【答案】

1O

7.3；

可以认为.

【解析】(1)根据题意可知，共调查了15+35+20+10=80人,

睡眠合格的人数为：15+20=35,则睡眠合格的概率为叁=[；

15x8.8+35x6.4+20x8.4+10x6

(2)平均睡眠时长为l==7.3(h)；

80

(3)零假设为：青年人与老年人的睡眠合格率没有差异,

2X2列联表如下：

睡眠合格睡眠不合格合计

青年组153550

老年组201030

合计354580

80x(15x10-35x20)2_1936

则,2=u10.243>6.631=%o.oi

50x30x35x45—189

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断/不成立，故可以认为青年人与老年人的睡眠合格率有差异.

(1)求出调查的总人数以及睡眠合格的人数，即可求出调查的所有人睡眠合格的概率；

(2)结合表格中的数据可求出调查的所有人的平均睡眠时长；

(3)零假设为：青年人与老年人的睡眠合格率没有差异，完善2x2列联表，计算出22的观测值，结合临界

值表可得出结论.

本题考查了独立性检验，属于基础题.

16.【答案】

27AA10

26,

【解析】(1)因为双曲线*2—，=1(6>0),

所以4(-1,0),

设F(c,0)(c>0),

因为直线BC与x轴垂直，

所以直线BC的方程为x=c,

将久=c代入双曲线的方程中，

解得y=+b2,

因为力BVAC,

所以△ABC是等腰直角三角形，

此时炉=1+c,

即C?—1=1+C,

解得c=2(负值舍去)，

所以炉=c2—1=3,

则双曲线的E的方程为/一[=1;

(2)由(1)可得尸(2,0),

设y=|(x-2),MQi，%),N(x2)y2),且无…如

(1

y=-(x-2)

联立《2，消去y并整理得26/+4久一31=0,

/—「=1

V3

由韦达定理得%1+%2=-%1%2=—爱，

ioZO

1

所以S"MN=S^MFB—S^NFB=-\BF\\x1-x2\.

由(1)得,\BF\=3,

又|久1-%2I=J01+久2尸—4%1犯="+片Xr=耳”

所以以小=13X噌=筌・

(1)直线BC的方程为x=c,由已知可得所=1+c,进而求解即可得E的方程;

(2)求得匕y=1(x-2),设可(亚必)，与双曲线联立方程组可得%i+上=一1，xix2=

211

—记'根据SABMN=2旧尸|%，可求面积.

本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题.

17.【答案】证明见解析；等.

【解析】(1)证明：由题可知CD=VBC2+BD2=2/2,

因为△4BD是等边三角形，所以力。=AB=BD=2.

由余弦定理得力C=VAD2+CD2-2AD-CDcos^ADC=2/2.

所以4B2+BC2=8=4。2,因此BC1AB.

又因为BC1BD,AB,BDu平面4BD,ABCiBD=B,所以BC1平面4BD,

又BCu平面BCD,

故平面ABD_L平面BCD.

(2)记BD的中点为。，CD的中点为F,连接。4OF,

所以。F〃BC,又BC1BD,所以。F1BD,

因为△ABD为等边三角形，所以。41BD,

又因为BC_1_平面48。，OAu平面2BD,所以BC1。4,

又BCCBD=D,BC,80u平面BCD,

所以。A1平面BCD,

又。Fu平面BCD,0A1OF,所以。D,OF,。4两两垂直，

故以。为坐标原点，OD,OF,。4所在直线分别为为y,z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,如图,

贝14(0,0,宿)，。(1,0,0)，5(-1,0,0),C(—1,2,0),

BE=BA=(1,0,0，

设平面&BE的法向量为元=(x,y,z),

则佟e=°,gp[3x+^=°可取元=7,-3d).

(BA-n=Olx+6z=0')

DA=(-1,0,AA3)，CA=(l,-2,73)>

设平面AC。的法向量为沅=(a,瓦c),

则但？，元，则[奥,沅=。，即「a+/c：O,

(CZ1m(CZ-m=0(a—2b+V3c=0

可取记二

m%一一m-n-7V217

因为cos<>=鬲而=声同=一''

故平面4CD与平面ABE夹角的余弦值为要.

(1)利用余弦定理可求得力C=2，1，进而利用勾股定理的逆定可证利用线面垂直的判定定理可

得BC1平面ABD,可证结论；

(2)记BD的中点为0,CD的中点为F,连接04,OF,可证得。。，OF,。4两两垂直，进而建立空间直角坐

标系，利用向量法求得平面AC。与平面48E夹角的余弦值.

本题考查线面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题.

18.【答案】%2=“3=2;

证明见解答，%=号：

4n+1-4

%=彳^+展2口.

Oy

【解析】(1)因为人久)=定，%1=1,xn=

所以乂2=fOl)=〃1)=言=£

22x|i

久3=/(刀2)=/(§)=三=2；

33+2

(2)证明：因为与=〃久“_】)=色号，

人?1-1十乙

所以J_=磬T=2+，，

xn^xn—l2xn—l

因为%i=a，所以％=+即%1一%1-1=2'

1

又因为=1,所以=—=1,

所以数列｛%｝是以1为首项，T为公差的等差数列，

所以%=1+：(7?-1)=亨.

(3)由(1)知，%=亨，

所以nin=2n(%+271)=亨.2皿+4n,

71

设数列｛4巧、｛殍＜｝的前几项和分别为耳、Tn,则匕=5n+7；,

L=|x2+|x22+…+扛2“T+亨x2"①，

则2七=|x22+|x23+…+卜2"+亨x2几+1②，

-1

1吐14n+1

①②得23+1-n1

-2++2++-2+2n+

7k2-(222n2-2

=2+2n—2—亨•2n+1=-n-2n,则七=n•2”.

S-4+42+…+4』旷=中，

4n+1-A

所以数列｛坊｝的前几项和匕=Sn+七=餐?+联2”.

(1)利用递推公式可得出久2、町的值；

(2)由已知条件得出马=卫吟，结合等差数列的定义可证得结论成立，确定数列｛拓｝的首项和公差，即可

求出数列｛拓｝的通项公式；

(3)求得Mn=殍•2兀+4",利用错位相减法结合分组求和法可求得

本题考查等差数列的定义，错位相减法及分组求和法的应用，属于中档题.

19.【答案】0.

(。,+8).

(0,;).

【解析】(1)因为函数/(无)=a"尤―/，所以导函数一/，所以「(l)=a—e=e,那么a=

2e.

因为