2024-2025学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷

2024-2025学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。）

1.（4分）第33届夏季奥林匹克运动会上，中国体育健儿展现了强大的中国自信与中国力量，共获得40

枚金牌.下列体育运动图标中（）

A.自由式小轮车B.游泳C,乒乓球D,网球

2.（4分）已知实数机、〃在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）

_____I111A

m01n

A.m+3>〃+3B.-3m<-3nC.mn<0D.m-n>0

3.（4分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（）

A.6a2b2=3ab*2abB.x（x-2）=/-2x

C.X2+2X+1（X+2）+1D.x2-9=（x+3）（x-3）

22

4.（4分）若根-"=2,则代数式皿-工的值是（）

mm+n

A.-2B.2C.-4D.4

5.（4分）下列说法正确的是（）

A.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相平分的四边形是平行四边形

6.（4分）若关于尤的分式方程正有增根，则根的值是（）

x+1x+1

A.-1B.-2C.1D.2

7.（4分）如图，在△ABC中，ZBAC=U0°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A3，C,若点

夕恰好落在边上（)

c

B

A.10°B.15°C.20°D.25°

8.（4分）如图，在AABC中，AB=10,点。、E分别是边A3、AC的中点，点尸是线段。E上的一点,

若NA尸3=90°,则线段族的长为（）

A

--------------------，

A.2B.3C.4D.5

9.（4分）如图，在边长为2的菱形ABC。中,分别以点A,以大于行研的长为半径作弧，作直线

交AD于点E,则CE的长为（）

DC

7^7

/6/

AB

<

A.VGB.VG_IC.V2+ID.2亚

10.（4分）在矩形A3C。中，AB=3,8C=4,CO上的动点，且AE=CF（）

Ai----------------------\D

:

A.10B.2V7C.N13D.V73

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。填空题请直接填写答案）

11.（4分）若分式」一有意义，则实数x的取值范围是

x-2

12.（4分）分解因式：-4〃=.

13.（4分）正六边形A8CDM和正方形ABG”如图所示摆放，连接CG,则图中/BCG的度数为

14.（4分）如图，点A坐标为（1,5）,点。为坐标原点,连接A2,若四边形0A8C的面积为15

15.（4分）如图，在菱形ABC。中，ZABC=120°,沿MN将△AMN折叠，点A恰好落在边BC的中点

E上.若AB=2.

三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

16.（7分）（1）因式分解：j^y-2xy2+y3；

（2）解方程：，=/-.

x+2x-3

17.（7分）解不等式组[3（X[2）>¥^,并写出它的所有正整数解.

[x-l>3x-7②

18.（7分）如图，在口48。。中，点E,BC上，且A£=CR3。相交于点O,求证：OE=OF.

19.（8分）先化简，再求值：（冬-其中x=2.

X-1x+1X

20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2,2）,3（-1,4）,C（-4,5）

（1）若△ABC经过平移后得到△AiBiCi,已知点Ci的坐标为（1,3）,请作出△4BC1；

（2）若△4B1C1和222c2关于原点。成中心对称，画出AA222c2；

(3)在x轴上找一点Z),使得△ACD的面积等于△A8C的面积，直接写出点。的坐标.

尸分另I］是02,连接AE、CE、AF.CF.

(1)求证：四边形AEC「是平行四边形;

(2)若四边形AECT是矩形，ZBAC=90°,AB=2«，求8c的长.

22.(10分)在2025年5月份举办的第九届世界无人机大会上，众多企业展示了新型无人机，其中A、B

两款无人机备受关注.已知A款无人机比B两款无人机每架多5万元

(1)求A、B两款无人机的单价各是多少？

(2)某企业打算购买A、8两款无人机共12架，且A款无人机的购买数量不少于8款无人机购买数量

的2倍，求该企业购买多少架A款无人机时花费最少？最少费用是多少万元?

23.(10分)【阅读材料】当a>0,b>0时,

(五-瓜)2〉o，.'.a-2-/a•Vb+^^oVab

【获得结论】

当a>0,6>0时，a+b>2^ab；

当且仅当。=b时，等号成立，即a+b=24;

这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用.

【应用举例】

例如：在x>0的条件下，l>J.l,当且仅当1即x=l时，」，最小值

x+2xX1>2>XX

XVX+XXX

为2.

【解决问题】

(1)函数y=x+9(x>o)，》的最小值为，此时，X=.

X

(2)当x>0时，3xB的最小值为，此时，彳=.

X

(3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为200Z的长方形的生物园，其中生物园的一面AD靠墙(墙

足够长)，其它三面用篱笆围成，当这个矩形花园的宽AB为机时，所用的篱笆的总长度最

短，最短为米.

墙

生物园

BC

24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=fcc+4(ZWO)(3,0),与y轴交于点8,直线BC：

y=2x+4与x轴交于点C.

(1)求直线的解析式和线段AB,AC的长.

(2)在线段8C上有一动点尸(不与点3,C重合)，过点P作尸轴于点。，PELAB于点E,PE

为邻边作oPDFE.

①求口POPE的周长.

②当。尸DFE为菱形时，直接写出点尸的坐标.

25.(12分)综合与实践课上，老师给出定义:对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形同学们以此

开展了以下的数学活动.

图1

(1)如图1构造一个四边形ABC。，使得BC=DC“垂美四边形”.(填“是”或“不

是")

(2)如图2,分别以RtA4C8的直角边AC和斜边A8为边向外作正方形ACFG和正方形连接

CE、BG、GE,并请说明理由.

(3)在(2)的条件下，正方形ACFG的边长为2,求GE的长.

2024-2025学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案ACDDDBCBAD

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。）

1.（4分）第33届夏季奥林匹克运动会上，中国体育健儿展现了强大的中国自信与中国力量，共获得40

枚金牌.下列体育运动图标中（）

A,自由式小轮车B,海泳C,乒乓球D,网球

【解答】解：选项8、C、。均能找到一个点，所以是中心对称图形；

选项A不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合；

故选:A.

2.（4分）已知实数相、"在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）

I111A

m01n

A.m+3>n+3B.-3m<-3nC.mn<0D.m-n>0

【解答】解：观察数轴可知：相

A.•>"<“，.•.此选项的判断错误；

8.；相<〃，.•.此选项的判断错误；

C.'：m<5,：.mn<0,故此选项符合题意；

D.\'m<0,.\m-n<4,故此选项不符合题意；

故选：C.

3.（4分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（）

A.6a2b2—3ab,2.abB.x（尤-2）—x2-lx

C.J?+2x+l=x（尤+2）+1D./-9=（尤+3）（尤-3）

【解答】解：6//；4=3必.2"中等号左边是单项式，则A不符合题意，

x（X-7）=/-2x是乘法运算，则8不符合题意，

X5+2X+1=X（尤+3）+1中等号右边不是积的形式，则C不符合题意，

7-7=（尤+3）（x-3）符合因式分解的定义，则。符合题意，

故选：D.

22

4.（4分）若根--=2,则代数式皿-工，型■的值是（）

mm+n

A.-2B.2C.-4D.4

【解答】解：原式=/"n）（m-n）.巫

mm+n

=2（m-n）.

当m-〃=3时.原式=2X2=4.

故选：D.

5.（4分）下列说法正确的是（）

A.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相平分的四边形是平行四边形

【解答】解：（A）对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误.

（8）对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故8错误.

（C）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C错误.

故选：D.

6.（4分）若关于x的分式方程」有增根，则机的值是（）

x+1x+1

A.-1B.-2C.1D.2

【解答】解：

x+1x+1

方程两边同时乘（x+1）,得加-x-4=2x,

解得：X=QL

7

•••分式方程有增根，

.*.x+l=O,艮|3x=-3,

•••色=-2,

3

解得：m=-2.

故选：B.

7.（4分）如图，在△ABC中，N3AC=110°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C,若点

次恰好落在BC边上（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【解答】解：在△A3C中，

VZBAC=110°,ZC=25°,

.\ZB=180°-110°-25°=45°,

・・・△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AVC,若点8'恰好落在8C边上,

：.AB'=ABf

：.ZAB'B=ZB=45°,

：.ZBfAB=180°-45°-45°=90°,

：.ZBfAC=ZBAC-AB=U0°-90°=20°.

故选：C.

8.（4分）如图，在△ABC中，A5=10,点。、E分别是边A3、AC的中点，点尸是线段OE上的一点,

若NA尸B=90°,则线段■的长为（）

D.5

【解答】解：・・,点。、后分别是边A5

・•・£）£1是△ABC的中位线，

VBC=16,

：.DE=yBC=6.

2

VZAFB=9Q°,。是AB的中点,

尸=1_AB=4,

2

:.EF=DE-DF=8-5=5.

故选：B.

9.（4分）如图，在边长为2的菱形42CD中，分别以点A,以大于玄前的长为半径作弧，作直线MN,

交AD于点E,则CE的长为（

c.V2+1D.2V2

：.AE=BE,

VZB=135°,

AZA=45°,

：.ZEBA=ZA=45°,

AZA£B=90°,

:AB=2,

：.BE=AE=y/2>

:四边形ABC。为菱形,

：.AD//BC,

：.ZEBC=ZAEB=90°,

・•・CE=在2+（如严述.

故选：A.

BC=4,CD上的动点，S.AE=CF(

c.2A/13D.V73

【解答】解：连接。E,

:四边形ABC。是矩形,

：.AB=CD,

'：AE=CF,

：.BE=DF,

：.四边形BEDF是平行四边形，

:.DE=BF,

要求8F+CE的最小值，即求。E+CE的最小值，

作。点关于A2的对称点，连接。'C交AB于E,

则DE+CE=。'E+CE=CD'的值最小，

：AB=3,BC=4,

：.CD=AB=1,DD'=2AD=8,

•'•CD=VDD?5<D2=V86+32=^73>

即BF+CE的最小值为依，

故选：D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。填空题请直接填写答案）

11.（4分）若分式」一有意义，则实数X的取值范围是XW2.

x-2

【解答】解：・."-2W0,

故答案为：xW2.

12.（4分）分解因式：/-4〃=a（。-4）.

【解答】解：〃2-4Q=Q（Q-2）.

故答案为：a（〃-4）.

13.（4分）正六边形48。。即和正方形486”如图所示摆放,连接。6,则图中/8。6的度数为15°

【解答】解：・.•多边形ABC。斯是正六边形，

：.AB=BC,/ABC=」62）义180。

4

:多边形A8G8是正方形，

：.AB^BG,NABG=90°,

:.BC=BG,ZCBG=360°-120°-90°=150°,

/BCG=NBGC=180°-150°=15°,

2

故答案为：15°.

14.（4分）如图，点A坐标为（1,5）,点。为坐标原点，连接A2,若四边形042c的面积为15（4,

OA//BC,OA=BC,

所以四边形OABC是平行四边形.

又因为点A坐标为（1,5）,

所以3AB=15,

则48=3,

所以点B坐标为（4,5）.

故答案为：（4,5）.

15.（4分）如图，在菱形A8CO中，ZABC=120°,沿MN将△AWN折叠，点A恰好落在边BC的中点

E上.若A8=21.4.

【解答】解：作交CB的延长线于点“，则/”=90°

VZABC=120°,

AZHBM=180°-ZABC=60°,

：.ZBMH=9Q°-NHBM=30°,

：.BM=2BH,

;.MH=FBH，

•.,四边形ABC。是菱形，AB=5,

：.BC=AB=2,

:.BE=LBC=\,

4

由折叠得EM=AM=2-BM=5-2BH,

'：Mffi+EH1=EM2,且EH=1+BH,

24

：.（近BH）+Cl+BH）6=（2-2BH）,

解得出/=0.3,

：.AM=1-2X0.7=14,

：.ME=3A,

故答案为：13

三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

16.（7分）（1）因式分解：/厂2盯2+,3；

（2）解方程：工=，-.

x+2x-3

【解答】解：（1）原式=y（/-2xy+/）

=y（x-y）2；

（2）原方程去分母得：％-3=5x+4,

解得：x=-7,

经检验，％=-6是原方程的解.

17.（7分）解不等式组13（X[2）>2^+5®并写出它的所有正整数解.

.x-l>3x-7②

【解答】解：解不等式①得X、-1,

解不等式②得尤<3,

...原不等式组的解集为-3Wx<3,

它的所有正整数解为1，7.

18.（7分）如图，在nABCD中，点E,2C上，且AE=CEBD相交于点O,求证：OE=OF.

【解答】证明：：四边形42。是平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC,

：.ZODE=ZOBF,

'：AE=CF,

:.DE=BF,且/DOE=/BOF,

'△DOE义ABOF（44S）,

：.OE=OF

19.（8分）先化简，再求值：（避工-^―）•-_—,其中x=2.

x-1x+1X

【解答】解：原式=(维-」_)•(x+l)(X-1)

X-1x+8X

—2x.(x+1)(x-7)_x.(x+1)(x-7)

X-1Xx+1X

=3(x+1)-(x-5)

=3x+3-x+3

=2x+4,

当x=8时，

原式=2X2+2=8.

20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-2,2),B(-1,4),C(-4,5)

(1)若AABC经过平移后得到△A181Q,已知点G的坐标为(1,3),请作出△ALBCI；

(2)若△A18C1和232c2关于原点O成中心对称，画出△人2比。2；

(3)在工轴上找一点。，使得△AC。的面积等于△ABC的面积，直接写出点。的坐标.

(3)延长交x轴于点Di,

此时△ACD1的面积等于△ABC的面积，

可得点。3的坐标为(-3,0)；

过点B作AC的平行线，与x轴相交于点。6,

此时△AC02的面积等于AABC的面积，

设点。2的坐标为(m,3),

•档X8X6=：X6X[m-(-l)]+7-X4X8-

242

解得777=—,

3

...点。8的坐标为(&,7).

3

综上所述，点D的坐标为(-3且，0).

7

21.(9分)如图，在nABC。中，对角线AC,点E,尸分别是。2,连接AE、CE、AF,CF.

(1)求证：四边形AECP是平行四边形;

(2)若四边形AEC尸是矩形，/BAC=90°,AB=2«，求BC的长.

【解答】(1)证明：..•四边形A8CD是平行四边形,

：.OA^OC,OB=OD,

:点E,F分别是。8,

OE=1OB-OF得OD，

：.OE=OF,

四边形AECF是平行四边形；

(2)解：：四边形AEC「是矩形，

C.AC^EF,OA^OC,

：.OA=OE,

OE=yOB-OA^-OB-

.•.OB=2CM,

VZBAC=90°,AB=2«，

：.OAi+AB2=OB2,

•1•0A2+(2V3)3=(20A)2;

：.OA=2,

：.AC=2OA=4,

-­BC=VAB6+AC2=V12+16=276.

22.(10分)在2025年5月份举办的第九届世界无人机大会上，众多企业展示了新型无人机，其中A、B

两款无人机备受关注.已知A款无人机比B两款无人机每架多5万元

(1)求A、B两款无人机的单价各是多少？

(2)某企业打算购买43两款无人机共12架，且A款无人机的购买数量不少于B款无人机购买数量

的2倍，求该企业购买多少架A款无人机时花费最少？最少费用是多少万元？

【解答】解：(1)设A款无人机的单价为。万元，则8款无人机的单价为(a-5)万元.

根据题意，得配=型_,

aa-5

解得a=20,

经检验，。=20是所列分式方程的根，

20-7=15(万元).

答：A款无人机的单价为20万元，B款无人机的单价为15万元.

(2)设该企业购买无架A款无人机，则购买(12-无)架2款无人机.

根据题意，得尤22(12-x),

解得尤N8,

设总花费W元，则W=20x+15(12-X)=3x+180,

V5>0,

W随x的增大而增大，

.•.当x=8时W值最小，W最小=5X2+180=220.

答：该企业购买8架A款无人机时花费最少，最少费用是220万元.

23.(10分)【阅读材料】当a>0,b>0时，

(Va-Vb)二。-2«•Vb+^^O-s/ab

【获得结论】

当a>0,b>0时，a+b>2Vab；

当且仅当。=6时，等号成立，即a+b=2"/^；

这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用.

【应用举例】

例如：在x>0的条件下，xd》2\x，，：.xd)2,当且仅当x=—,即％=1时，x+工，最小值

XVXXXX

为2.

【解决问题】

(1)函数y=x+9(X>O)，丫的最小值为6,止匕时，X=3.

X

(2)当x>0时，3xB的最小值为—，此时，尤=_我—.

X

(3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为200m2的长方形的生物园,其中生物园的一面AZ)靠墙(墙

足够长)，其它三面用篱笆围成，当这个矩形花园的宽AB为10〃，时，所用的篱笆的总长度最短,

最短为40米.

墙

AD

生物园

BC____

【解答】解：(1)由题意，当％>0时豆，

xVx

；.x+旦24±即尤=3时S有最小值.

XXX

故答案为：6；3.

(2)由题意，当x>6时，；3x^Jx①,

.♦•3x』》2diW我,当且仅当2x=2&时，7xB有最小值五•

XXX

故答案为：3近；近.

(3)由题意，,.,&8=X米29&米，

•••篱笆的总长度=4x+型&.

，2x+迎■240型即x=10时驷■有最小值.

XXX

答：当这个矩形花园的宽A8为10机时，所用的篱笆的总长度最短.

故答案为：10；40.

24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=fcc+4(左=0)(3,