2024-2025学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷（含详解）

2024-2025学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题：（本大题共6题，满分18分）

1.（3分）一次函数y=3x-6+l的图象在y轴上的截距是（）

A.1B.-b+1C.b+\D.|-6+1|

2.（3分）经过点且平行于y=-2x的直线不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（3分）下列事件中，是随机事件的是（）

A.13个人中至少有两个人的生日是同一个月份

B.标准大气压下温度低于-5摄氏度，纯净水结成了冰

C.袋中装有8个黄球，3个绿球，2个白球，从中任取一球，然后放回袋中，混合均匀，再取一球.如

此反复4次，4次全部取到绿球

D.将长度分别为2c■、3cm、6c〃z的三根小木条作为三条边，能围成一个三角形

4.（3分）如果关于x的一元二次方程"2=6无实数根，那么实数。、6可以满足的条件是（）

A.4=6片0B.a<0<bC.a>b>0D.a<b<0

5.（3分）已知向量&、B满足则（）

A.a=bB.a=-bC.allbD.以上都有可能

6.（3分）双曲线y=!与直线卜=履（左>0且左wl）在一、三象限分别相交于/、C两点，与直线y在

xk

一、三象限分别相交于3、。两点，那么四边形N8CD的形状一定是（）

A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.非矩形和菱形的任意平行四边形

二、填空题：（本大题共12题，满分36分）

7.（3分）方程/=2的根是—.

8.（3分）方程匚'=0的根是—.

x—2

9.（3分）方程五=一％的根是.

10.（3分）已知方程4=4-3,如果设4=那么原方程变形为关于〉的整式方程是—.

X—1XX—1

11.（3分）计算：AB-AC+BC=

12.（3分）如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四

边形ABCD中ZBCD的度数是度.

13.（3分）某商品购买价100元，第一年使用后折旧20%,第二、三年折旧率相同.在第三年末它折旧

后的价值是20元，求该商品第二、三年折旧率为

14.（3分）如果/（再，%）、3（%，%）是函数〃x）=-x+l图象上不同的两点，那么（网-马）（乂-%）的计

算结果—.（填”>0”、“<0"、“=0"或“不能确定”）

15.（3分）某博物馆有4,B,C三个大门，其中/,3两门可进可出，C门只进不出.上午小海随机

选择一个大门进馆，参观结束后，随机选择一个可出的大门出馆，那么这次参观他在同一个大门出入的概

率为•

16.（3分）如图，已知正方形N2C。边长为1,如果将边沿着过点/的直线翻折后，边N3恰巧落在

对角线NC上，折痕交边于点E,那么8E的长是.

17.（3分）如图，△4BC中，ZACE=ZECB,AELEC,9是边的中点，AE=3,EC=4,BC=1,

那么FE的长是—.

18.（3分）如图，△/BC中，ABAC=90°,ZABC=30°,将△48C绕点4旋转到△NOE（点。与点8

对应），且使直线/D//3C,直线。E交直线8C于点G,那么NE/G的度数为度.

A

三、解答题：（本大题共8题，满分66分）

19.（6分）解无理方程：x-y/x-2=4.

20.（6分）解方程组：-=0①.

[x-y=l®

21.（6分）在平面直角坐标系中，已知直线弘=-x+3分别交x轴、y轴于/、8两点（如图所示），直线

y2=ax+a{a>0）交x轴于点C.

（1）点/、3的坐标，并求出直线为位于x轴上方所有点的横坐标的取值范围；

（2）现将直线为平移，使其经过点3,交x轴于点。，如果BD=B4,求a的值.

22.（8分）小王送外卖比送快递每单多赚2元钱.某段时间内，他送快递赚了1200元，送外卖赚了1500

元.已知快递比外卖多送了100单，求送快递每单赚多少钱？

23.（8分）操作

现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们

对角线的交点重合.现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分

始终形成四边形.

（1）重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由.

（2）重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？

请直接填写：最小面积。加，最大面积cmL

24.（10分）从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段（10〜16时），相邻班次之间的间隔时间均为6

分钟；高峰时段（7〜10时和16〜19时），相邻班次间隔时间分钟）随时刻x（时）变化而变化，分别可

以近似看成是，关于x的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图象

如图所示）.

（1）请分别将每天7〜19时三个时段，相邻班次的间隔时间;（分钟）关于某一时刻x（时）的函数解析

式填入表内.

（2）游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时

间为相邻班次间隔时间的一半（即；），然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商

场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟.如果游客在上午7〜12时之间到达火车站（火车站

到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由.

25.（10分）平行四边形48c。中，E、尸分别在3c上，联结/尸、BE交于点G,联结CE、DF

交于点H,四边形EGbH是矩形.

（1）如图1,联结GH,如果GH///O,求证：①AE=ED；®AD=2AB；

（2）如图2,若AE=CF=a,BF=DE=b,S.a<b,又EF=AB,用含0、6的代数式表示的长.请

直接写出结果：AB=—.

图1图2

26.(12分)如图1,四边形48c。中，AD//BC,AD<BC,且48=40,ZB=2ZACB.

(1)求证：四边形4SCD是等腰梯形；

(2)如图2,设/C、3。相交于点K,点E在上，班=/。，联结KE,求证：NCDK+NCEK=180°；

参考答案

一、选择题（共6题，满分18分）

1.（3分）一次函数y=3x-6+l的图象在y轴上的截距是（）

A.1B.-6+1C.b+1D.|-/>+11

解：由题意，次函数为y=3x-6+l,

.,.令x=0,贝！Jy=-6+1.

一次函数y=3x-6+l的图象在/轴上的截距是-6+1.

故选：B.

2.（3分）经过点且平行于y=-2x的直线不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：由题意，•••所求直线平行于y=-2x,

.•.可设所求直线为y=-2x+6.

又•••所求直线过（-1,-1）,

2+Z?——1.

b=-3.

所求直线为y=-2x-3.

,该直线经过第二、三、四象限.

经过点（-1,-1）且平行于y=-2x的直线不经过第一象限.

故选：A.

3.（3分）下列事件中，是随机事件的是（）

A.13个人中至少有两个人的生日是同一个月份

B.标准大气压下温度低于-5摄氏度，纯净水结成了冰

C.袋中装有8个黄球，3个绿球，2个白球，从中任取一球，然后放回袋中，混合均匀，再取一球.如

此反复4次，4次全部取到绿球

D.将长度分别为2cw、3cm、6czM的三根小木条作为三条边，能围成一个三角形

解：A.选项事件是必然事件，不符合题意；

B.选项事件是必然事件，不符合题意；

C.选项事件是随机事件，符合题意；

D.选项事件是不可能事件，不符合题意.

故选：c.

4.（3分）如果关于x的一元二次方程ax?=b无实数根，那么实数。、6可以满足的条件是（）

A.a=b^0B.a<0<bC.a>b>0D.a<b<0

22

解：ax=b,方程为ax-b=0f

△=02-4<2x（-/?）=4ab,

•.•一元二次方程=b无实数根，

4ab<0,

在选项4、8、。中，仅5选项符合上述条件.

故选：B.

5.（3分）已知向量2、B满足|小=出|,贝！1（）

A.a=bB.a=-bC.a//bD.以上都有可能

解：若向量值、B满足|之|二|3],

可得：a=b,或d=—B,或G/区，

故选：D.

6.（3分）双曲线y=」与直线丁=履（左>0且左。1）在一、三象限分别相交于4、C两点，与直线>=▲%在

xk

一、三象限分别相交于3、。两点，那么四边形N8CD的形状一定是（）

A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.非矩形和菱形的任意平行四边形

解：,双曲线>=,与直线>（后>0且左片1）在一、三象限分别相交于/、C两点，与直线y在一、

xk

三象限分别相交于8、。两点，

OA=OC,OB=OD,

二.四边形ABCD是平行四边形，

由「，解得「=一7，

y=kxy=

:.AU，4k）,C（上,-巧,

kk

同理3（4，—）,D（-4k,--）,

kk

OA=OB=k+—J

k

OA=OC=OB=OD,

二.四边形45C。是矩形，

•••/C和过一、三象限，

「.4。与不会垂直，

四边形45CQ不会是菱形和正方形，

故选：A.

二、填空题：（本大题共12题，满分36分）

7.（3分）方程/=2的根是—正—.

解：=V=2,

/.X=次，

故答案为：蚯.

2

8.（3分）方程Y二-4^=0的根是x=-2

x-2——

方程两边同时乘（％-2）,得％2_4=0,

解得：x=±2,

经检验，x=2是分式方程的增根，x=-2是分式方程的解.

故答案为：x=-2.

9.（3分）方程«=的根是—x=0—.

解：两边平方得：

解得n=0或%=1,

经检验，x=l是原方程的增根，x=0是原方程的解，

二.原方程的解为x=0;

故答案为：x=0.

10.（3分）已知方程4=4-3，如果设4=»，那么原方程变形为关于y的整式方程是

X—1XX—1

3y2=4了一1一.

解：已知方程3%二=4-Y2--1，

X-1X

设—=y,

x2-l

则原方程化为“=4-工，

y

整理得：3y2=4y-1,

故答案为：3y2=4y-l.

11.（3分）计算：AB-AC+BC=_Q

解：AB-AC+BC=（AB+BC）-AC=AC-AC=O.

故答案为0.

12.（3分）如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四

边形ABCD中NBCD的度数是60度.

解：根据正六边形内角和定理可知（6-2）x180。=720。，

720°+6=120°，

故答案为：60.

13.（3分）某商品购买价100元，第一年使用后折旧20%,第二、三年折旧率相同.在第三年末它折旧

后的价值是20元，求该商品第二、三年折旧率为_50%_.

解：设该商品第二、三年折旧率为X,

由题意得：100(1-20%)(1-=20,

整理得：（1-X）2=0.25,

解得：X[=0.5=50%,x2=1.5（不合题意，舍去）.

即该商品第二、三年折旧率为50%.

故答案为：50%.

14.（3分）如果/（再，%）、5（%,%）是函数〃x）=r+l图象上不同的两点，那么（%-%）（%-%）的计

算结果_<0_.（填“>0”、“<0"、"=0”或“不能确定”）

解：由题知，

因为一次函数解析式为y=-x+1,

则y随x的增大而减小.

当国>%时，M<%,

®|（x1-x2）（y1-j2）<0；

当尤1<%时，%>%，

则（西-苫2）（%-%）<0；

综上所述，则（X[-%）（％-%）<0♦

故答案为：<0.

15.（3分）某博物馆有4,B,C三个大门，其中/,3两门可进可出，C门只进不出.上午小海随机

选择一个大门进馆，参观结束后，随机选择一个可出的大门出馆，那么这次参观他在同一个大门出入的概

率为_:

解：列表如下:

AB

AQ,4)

B(瓦/)(B,B)

C(C,A)(C,B)

共有6种等可能的结果，其中这次参观他在同一个大门出入的结果有2种,

71

这次参观他在同一个大门出入的概率为-=

63

故答案为：I.

16.（3分）如图，已知正方形N2CO边长为1,如果将边沿着过点N的直线翻折后，边N3恰巧落在

对角线/C上，折痕交边3c于点E,那么3E的长是—及-1

解：已知正方形边长为1,将边N3沿着过点/的直线翻折后，边恰巧落在对角线NC上，设点

8的对应点为点歹，连接如图,

在直角三角形N8C中，由勾股定理得：AC=^l2+i2=42,

由折叠的性质得：BE=EF,

■：S,RC=-ABxBC=-ABxBE+-ACxEF,

“BC222

\xl=BE+41BE,

BE=4I-\,

故答案为：V2-1.

17.（3分）如图，△4BC中，NACE=NECB,AELEC,9是边的中点，AE=3,EC=4,BC=1,

那么FE的长是].

解：如图，延长NE,交BC于H,

•••AE±EC,

ZAEC=HEC=90°，

AE=3,EC=4,

AC=s]AE2+CE2="+42=5,

在△/EC和△HEC中,

ZAEC=NHEC

CE=CE

NACE=ZHCE

△AEC=△HEC(ASA),

AE=EH,HC=AC=5,

:.BH=BC-HC=1-5=2，

■：AF=FB,AE=EH,

.•.FE是△488的中位线,

:.FE=-BH=],

2

故答案为：1.

ZBAC=90°,ZABC=30°,将^ABC绕点/旋转到△ADE（点。与点B

对应），且使直线40//3C,直线。E交直线BC于点G,那么NEAG的度数为15或105度.

（点。与点8对应）,当点。与点/的左侧时，如图1,

图1

ZDAE=ABAC=90°,ZZ）=ZABC=30°,AD=AB,

•・•ADIIBC,

NDAB=/ABC=30°,ZD=/MGB=30°,

/.Z.DAM=/D=ZABC=ZMGB=30°,

:.MD=MA,MB=MG,

AD=AB=DG,

・・•ZD=30°,

NDAG=1（180°-ZD）=75°,

.•.NE4G=90°-75°=15°；

将绕点N旋转到△/£>£（点。与点8对应），当点。与点/的右侧时，如图2,延长氏4交EG于

点〃,

图2

:./DAE=NBAC=90。,ZADE=ZABC=30°,AD=AB,

•・•AD//BC,

ADAM=/ABC=30°,ZMDA=ZMGB=30°,

/.ADAM=AMDA=/ABC=ZMGB=30°,

:.MD=MA,MB=MG,

AD=AB=DG,

•・,ZADE=30°,

ZDAG=-ZADE=15°,

2

Z^G=90°+15°=105°；

综上所述，NE/G的度数为15。或105。.

故答案为：15或105.

三、解答题：（本大题共8题，满分66分）

19.（6分）解无理方程：x-\Jx-2=4.

解：移项得：x—4=y/x—2，

两边平方得：x2—8x+16=x—2,

解得x=3或x=6,

经检验，x=3是原方程的增根，x=6是原方程的解,

，原方程的解为x=6.

2x2-5xy-3y2=0@

20.（6分）解方程组:

x-y=1②

解：由①得：x=y+l③,

把③代入①得：2(y+1)2-5y(y+1)-3/=0,

••・［23+1)+力［。+1)_3力=0,

二.3歹+2=0或-2y+1=0,

21

解得必=-—，y?=~

32

当必=-2时，x,=――+1=—

333

当y二工时，x2=—+1=—;

2222

13

X［二­

.•.原方程组的解为3或,

21

21.（6分）在平面直角坐标系中，已知直线必=-x+3分别交、轴、》轴于/、B两点（如图所示），直线

y2=ax+a{a〉0）交工轴于点C.

（1）点4、8的坐标，并求出直线％位于工轴上方所有点的横坐标的取值范围;

（2）现将直线外平移，使其经过点5,交工轴于点。，如果5。=胡，求a的值.

y

0\Ax

解：(1)由题意，,直线必=-x+3分别交工轴、》轴于4、3两点，

令必=0,则x=3,故4为(3,0)；令x=0,贝1」必=3,故8为。3).

又二•直线%=办+。交工轴于点。,

.•.当、=一1时，％=0,则C(—1,0).

•二。〉0,

直线%="+。的图象从左到右逐渐上升.

.•・直线％位于X轴上方所有点的横坐标的取值范围为X>-1.

(2)由题意，设平移后直线％=QX+6,

BD=BA,且。在％轴上，

.•.结合/为(3,0),则。为(—3,0).

•・,平移后经过B、D两点,

[~3ci+6=0

,,16=3

...4=1.

22.(8分)小王送外卖比送快递每单多赚2元钱.某段时间内，他送快递赚了1200元，送外卖赚了1500

元.已知快递比外卖多送了100单，求送快递每单赚多少钱？

解：设送快递每单赚x元钱，则送外卖每单赚(x+2)元钱，

由题意得：幽-幽=1。。，

xx+2

解得：西=3,x2=—8,

经检验，玉=3,%=-8都是原方程的解，但％2=-8不符合题意，舍去，

答：送快递每单赚3元钱.

23.(8分)操作

现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放(如图所示)，使它们

对角线的交点重合.现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分

始终形成四边形N8CD.

(1)重叠部分四边形/BCD是什么形状的四边形？请说明理由.

(2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？

请直接填写：最小面积25cm2,最大面积cm2.

解：(1)四边形是菱形，

理由：过点/作4£_L5C于£,于产，

・・•两条纸条宽度相同，

...AE=AF,

•/ABI/CD,AD/IBC,

二.四边形是平行四边形,

vS"=BC,AE=CDAF,

又：AE=AF,

BC=CD,

二.四边形/BCD是菱形；

(2)v宽为5厘米,

NE=/b=5厘米，

设==x厘米，

菱形N8C。的面积=5x,

5>0,

菱形4BC。的面积随x的增大而增大,

V长为25厘米，

5•尤,25,

.•.当x=5时，菱形48CD的面积最小为5x5=25（平方厘米）,

当x=25时，菱形/3CD的面积最大为5义25=125（平方厘米）,

24.（10分）从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段（10〜16时），相邻班次之间的间隔时间均为6

分钟；高峰时段（7〜10时和16〜19时），相邻班次间隔时间t《分钟）随时刻x（时）变化而变化，分别可

以近似看成是，关于x的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图象

如图所示）.

（1）请分别将每天7〜19时三个时段,相邻班次的间隔时间I（分钟）关于某一时刻x（时）的函数解析

式填入表内.

时段峰段/（分钟）关于X（时）的函数解析式

7〜10时高峰段

10〜16时非高峰段

16〜19时高峰段

（2）游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时

间为相邻班次间隔时间的一半（即；），然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商

场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟.如果游客在上午7〜12时之间到达火车站（火车站

到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由.

t（分钟N

解：（1）7〜10时，设r=Ax+6,

9左+6=5

10左+6=6

t=x—4；

10〜16时，t=6；

16〜19时设，=mx+n,

fl6m+«=6

[17m+〃=5

解得：『二1,

=22

t——x+22,

故答案为：t=x—49£=6,t=—x+22；

(2)①游客在上午7〜10时之间到达火车站.

乘地铁到商场需要时间为：-+7+10,

2

I.-+7+10>19,

2

Z>4,

当1>4时，]>8,

时，选择出租车能尽快抵达商场；

II.-+7+10=19,

2

Z=4,

当£=4时，、=8,

%=8时，选择地铁和出租车抵达商场用时相同;

III.-+7+10<19，

2

Z<4,

当/<4时，x<8,

;.7<x<8时，选择地铁能尽快抵达商场；

②游客在上午10〜12时之间到达火车站.

乘地铁到商场需要时间为：1+7+10=3+7+10=20（分），

乘出租车直接到达商场用时14分，

20>14,

.•.选择出租车能尽快抵达商场.

综上：7<x<8时，选择地铁能尽快抵达商场；

x=8时，选择地铁和出租车抵达商场用时相同；

8<x<12时，选择出租车能尽快抵达商场.

25.（10分）平行四边形48c。中，E、尸分别在3c上，联结/尸、BE交于点、G,联结CE、DF

交于点H,四边形EGbH是矩形.

（1）如图1,联结G/Z,如果G////4D,求证：①AE=ED；②4D=24B；

（2）如图2,若4E=CF=a,BF=DE=b,S.a<b,又EF=AB,用含°、6的代数式表示的长.请

直接写出结果：AB=”

图1图2

【解答】（1）证明：①连接跖，如图1所示：

图1

•.•四边形EGFH是矩形，

:.FD//BE,AF/1EC,

BPGE//HD,AGI/EH,

又•：GHIIAD,

GH//AE,GH/1ED,

二.四边形AGHE及EGHD都是平行四边形,

AE=GH,ED=GH,

AE=ED；

②由①得，E为4D中点，

■.•四边形/BCD是平行四边形,

AD//BC,AD=BC,

•••GHHAD,

GHIIBC,

同理可得尸为3C中点，

AE=BF,

■：AE/1BF,

四边形N3PE为平行四边形,

■.・四边形EGFH是矩形，

ZEGF=90°,即/尸_