2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷（含解析）

2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数.若收入10元记作+10元,

则支出10元记作（）

A.+10元B.-10元C.0元D.+20元

2.社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则.下列标志是中心对称图形的是（）

3.下列计算正确的是（）

A.（3x）2=9x2B.5%-2%=10%

C.%6+%2=%3D.（%—2）2=X2—4

4.将一个含30。角的三角尺和直尺按如图摆放，若乙1=50。，则42的度数是（）

A.50°

B.60°

C.70°

D.80°

5.为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物

体不同方面的形状.如图中飞机的俯视图是（）

十主视方向

6.如果关于％的分式方程胃+若=2无解，那么实数小的值是（）

第1页，共30页

A.m=1B.m=-1

C.m=1或TH=-1D.THH1且?nW—1

7.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的

概率是（）

A-BD.1

-2-l4

8.神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900

名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座

位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

9.如图，在菱形力BCD中，乙4=60。，48=4,动点E从点A出发沿边力B-BC匀速

运动，运动到点C时停止，过点E作4。的垂线在点E运动过程中，垂线/扫过菱形

（即阴影部分）的面积为y,点E运动的路程为无（x>0）.下列图象能反映y与x之间函数

10.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图象与久轴交于两点（一1,0）,（%i，0）

且2</<3,下列结论：

（Dabc>0；②2a+c<0；③4a-b+2c<0；④若nt和n是关于工的一元二次方

程a（x+l）（x—%i）+c=0（a40）的两根，且m<n，则n>2；

rC

于式的不等式a%+bx+c>-—x+c（aH0）的解集为0<%其中正确结论

xi

的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

第2页，共30页

二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。

11.中国年水资源总量约为27500亿爪3,人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位.将

27500用科学记数法表示为.

12.若代数式高+(%-2025)°有意义，则实数x的取值范围是.

13.已知圆锥的底面半径为40cm,母线长为90on,则它的侧面展开图的圆心角为度.

14.如图，在UMBCD中，BC=24B=8,连接力C,分别以点A,C为圆心，E/

大于2AC的长为半径作弧，两弧交于点E,F,作直线EF,交力。于点M,交BC

于点N,若点N恰为BC的中点，贝的长为

15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-1的图象与反比例函数y=

£(k40)的图象在第二象限内交于点力，与％轴交于点B,点C坐标为(0,3),连接力C,

BC,若4C=BC,则实数k的值为.

16.等腰三角形纸片ABC中，AB=AC,将纸片沿直线Z折叠，使点A与点B重合，直线/交力B于点D,交直线4C

于点E,连接BE,若力E=5,tan^AED=p则△BEC的面积为______.

4

17.利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案.如图，在平面直角

坐标系中，点A的坐标为(2,0),以。力为边作Rt4044i，使NOA41=90°,

44。41=30°,再以。41为边作RtaOAiAz，使/。4M2=90°,

乙41。4=30。，过点力，&作弧@2，记作第1条弧；以。&为边

作Rt△。424，使43=90°,^A2OA3=30°,再以。&为边作

OA3A4,使4。4344=90°,N43。44=30°,过点42,人3,44作弧

记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点。的距离最小的点的

坐标为.

三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.(本小题10分)

(1)计算：＜9-|1-72|+2sin45°-(1)-2；

(2)分解因式：2x3-8x.

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19.(本小题5分)

解方程：%2-lx12.

20.(本小题8分)

国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动,某校响应号召，

计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学

生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球

类运动项目”问卷调查(每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项)，将这部分学生的问卷进行

整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图.

(1)填空：m=;

(2)请补全条形统计图；

(3)扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为度；

(4)若该校有3000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？

21.(本小题10分)

如图，△4BC内接于。0,AB为。。的直径，点。在4B的延长线上，连接CD,NBCD=乙4,过点B作BE1AD,

交CD于点E.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若点B是4。的中点，且BE=3,求。。的半径.

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22.(本小题10分)

2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合.为满足学生的好奇心和求知欲，

某校组织科技活动“机器人走进校园”，4/热情瞬间燃爆.校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A,B,

C三个互动区，机器人甲、乙分别从力，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速

度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟(与师生热情互动)后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器

人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同

时到达C区.机器人甲、乙距B区的距离y(米)与机器人乙行进的时间x(分)之间的函数关系如图所示.请结合图

象信息解答下列问题：

(1)力，C两区相距米，a=；

(2)求线段EF所在直线的函数解析式；

综合与实践

在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何

模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”.

(1)【几何直观】如图1,△力BC中，ABAC=90°,AB=AC,在△ABC内部取一点D,连接AD,将线段4D

绕点力逆时针旋转90。得至IJ线段2D',连接BD,CD',贝!ICD，与的数量关系是；^AD”与乙ADB

的数量关系是;

(2)【类比推理】如图2,在正方形4BCD内部取一点E,使NCED=90。，将线段CE绕点C逆时针旋转90。得

到线段CE',连接E'B,延长E'B交DE的延长线于点凡求证：四边形CEFE,是正方形；

(3)【深度探究】如图3,矩形4BCD中，AB=3,8c=4,在其内部取一点E,使"ED=90。，将线段CE

CG4

绕点逆时针旋转。得到线段，，延长至点使，连接延长交的延长线于点

C90CECE'G,7CEF=?3GB,G8DEF,

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连接力F,若4F=2,贝!|BF=；

(4)【拓展延伸】在矩形力BCD中，点E为BC边上的一点，连接力E,将线段力E绕点4逆时针旋转60。得到线段

AE',连接DE',若2D=372，AB=<6.则DE'的最小值为.

综合与探究

如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+加:+3(a<0)与无轴交于点4(一1,0),C(6,0),与y轴交于

点、B,连接BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线BC下方抛物线上的点，连接P8,PC,当SgBc=24时，求点P的坐标；

(3)点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG,若NCBG=45。，则点G的坐标为；

(4)如图2,作点B关于x轴的对称点D,过点。作x轴的平行线I,过点C作CE12,垂足为点E,动点M,N分

别从点。，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线。C方向匀速运动，动点N以每秒2个单位

长度的速度沿射线ED方向匀速运动(当点N到达点。时，点M,N都停止运动)，连接MN,过点。作MN的垂

线，垂足为点尸，连接CF,贝UCF的取值范围是.

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答案解析

1.【答案】B

【解析】解：“正”和“负”相对，所以，若收入10元记作+10元，则支出10元记作—10元.

故选:B.

在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义

的量.

2.【答案】D

【解析】解：力、B、C中的标志不是中心对称图形，故/、B、C不符合题意

D、此标志是中心对称图形，故。符合题意.

故选：D.

把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称

图形，由此即可判断.

本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义.

3.【答案】A

【解析】解：A.(3X)2=9X2,此计算正确，符合题意；

B.5x-2.x=10x2,此计算错误，不符合题意；

C.%6-%2-%4,此计算错误，不符合题意；

D.(x-2)2=x2-4x+4,此计算错误，不符合题意；

故选：A.

根据积的乘方、单项式乘单项式、同底数幕的除法、完全平方公式逐一求解即可.

本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握积的乘方、单项式乘单项式、同底数幕的除法的运算法

则及完全平方公式.

4.【答案】C

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【解析】解：如图所示,

由题意，Z5=90°-30°=60°,

•••直尺的对边平行，

z3=z.1=50°,z.2=z.4,

Z4=18O°-Z3-Z.5=70°,

z2=z4=70°,

故选：C.

利用平行线的性质可得到N3的度数，再根据平角的定义得出N4的度数，利用平行线的性质即可得到N2的

度数.

本题主要考查了平行线的性质，关键是运用两直线平行，同位角相等.

5.【答案】A

【解析】解：如图中飞机的俯视图为选项/的图形.

故选：A.

根据从物体上方向下看得到的视图为俯视图，由此得解.

本题考查了三视图，掌握从上面看几何体得到的图形就是几何体俯视图是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：方程去分母，得：mx-x-2(l-x),

整理，得：(m+l)x=2,

原方程无解，

•••逊式方程无解，贝1J：爪+1=0,解得：m=-1,

皴■式方程有增根，贝!I：%-1=0,解得：x=l,

把x=1代入(m+1)久=2,得：m+1-2,解得：m—1,

综上：根=1或根=-1,

故选：C.

分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解.需将原方程化简，分别讨论这两种情况对

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应的zn值即可.

本题考查分式方程的解，注意正确计算.

7.【答案】D

【解析】解：画树状图如下:

开始

共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，

•••2只雏鸟都是雄鸟的概率是

4

故选：D.

画树状图，共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，再由概率公式求解即可.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，

适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

8.【答案】B

【解析】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，

由题意得：45%+60y=900,

整理得：x=20-

1•1x、y均为正整数，

（X—162（久=12f（x=8f］比=4

ly=3或1y=6或=9或=12'

•••租车方案有4种，

故选：B.

设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45

座和60座两种客车（两种客车都要租），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论.

本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键.

9.【答案】A

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【解析】解：当点E在AB上时，如图,

•••N4=60°,I1AD,

^AEF=30°,

...AF=^AE=如EF=VAE2-AF2=?x，

1„„11<373

•••y=-zAF-EF=---x­—x=2

LZZZo

・・.此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C,D选项;

当点E在BC上且[与40相交时，作如图，

v/-A=60°,BHLAD,

・•.Z.ABH=30°,

AH=-AB=2,BH=AB2-AH2=2<3»

••-y=S&ABH+S矩形BEFH2x2眉+2>[3(x-4)=2cx_6门,

・•,此时图象为直线一部分；

当点E在8C上且Z与CD相交时，如图，

第10页，共30页

Z.C=Z-A=60°,11BC,CE=AB+BC—x=8—%,

・•.EF=CE-tan60°=V~3(8—%),

•••S&CEF=-EF=|(8-x)--/3(8-x)=苧(8-x)2>

y=S菱形ABCD一SACEF=人。,BH—苧(8—x)2=4x2y/~3—亨(8—x)2=--^-x2+8A/-3X—24A/-3(

此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除8选项；

故选：A.

分三种情况：点E在2B上时，点E在BC上且[与力。相交时，点E在BC上且I与CD相交时，分别计算出阴影部

分面积的表达式，即可求解.

本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质

等，求出不同阶段y与久的解析式是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：•••抛物线开口向上，

a>0.

,•,抛物线与y轴交于负半轴，

二当x=0,则y=c<0.

又r抛物线与x轴交于(-1,0),(久1，0),且2</<3,

1<—1+%]<2.

・•・对称轴是直线乂=匚卢=—*>0.

22a

Z)>0.

abc>0,故引昔误.

由图象可得，当％=2时，y=4a+2b+c<0,

第11页，共30页

又・.•当％=—1时，y=。—b+c=o,

•••b=a+c.

.•.4a+2b+c=4a+2a+2c+c=6a+3c<0.

2a+c<0,故②正确.

且对称轴是直线％=吟=一4>0,

2222a

22a

a>0,

•••a<—b<2a.

・•・2a+b>0.

2a+a+c>0,即3a+c>0.

・•・4a—b+2c=4a-a—c+2c=3a+c>0,故@@误.

2

由题意，•・,二次函数y=ax+bx+c(aH0)的图象与%轴交于两点(一1,0),(xlf0),

•••y=ax2+b%+c=a(x+1)(%—jq).

•・,当汽=0时，y=c,

y=-c与y=c关于%轴对称.

如图所示，

••・y=ax2+b%+c=a(x+l)(x—勺)=—c时，即+l)(x—%。+c=0,结合图象可得m<-1,n>2,

故@正确.

由题意，y+c过(o,c),(xlto),

・•・可以作图如下.

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y.

-i\o力3工

••・关于比的不等式a/+bx+c>--^x+c（a丰0）的解集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的

人1

自变量的取值范围.

・•・关于％的不等式a/+b%+c>-^-x+c（a。。）的解集是0VX<勺，故⑤正确.

人1

综上，正确的有②④③共3个.

故选:B.

依据题意，由抛物线的图象开口向上，图象与y轴交于负半轴，及与x轴交于两点（-1,0），（久1,0），且2V久1<

3,再结合二次函数的性质，进而逐个判断即可得解.

本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练

掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.

11.【答案】2.75x104

【解析】解:27500=2.75X104.

故答案为：2.75x104.

科学记数法的表示形式为ax10八的形式，其中1W|a|<10,n为整数.确定兀的值时，要看把原数变成a

时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，n是正数；当原数

的绝对值<1时，n是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10皿的形式，其中13回<10,〃为整数，

表示时关键要正确确定a的值以及几的值.

12.【答案】乂〉3且久K2025

【解析】解：•••代数式/+。—2025）°有意义，

x-3>0且久—2025丰0,

x>3且％牛2025.

故答案为：%>3且乂力2025.

第13页，共30页

由代数式有意义的条件可得：久-3>0且刀-202540,求解即可得到答案.

本题考查了代数式有意义的条件，掌握分式有意义的条件与零指数幕的底数不能为零是解题的关键.

13.【答案】160

【解析】【分析】

本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关

系：

(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；

(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.

圆锥的底面半径为40c?n,则底面圆的周长是807U7H,圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧

面展开图的扇形弧长是SOTicm,母线长为90on即侧面展开图的扇形的半径长是90cm.根据弧长公式即可计

算.

【解答】

解：根据弧长的公式？=黑得到：

loU

解得n=160度.

故答案为160.

14.【答案】473.

【解析】解：设MN交力C于点。,

由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线,

.•.点。为AC的中点，乙CON=90°.

•••点N为BC的中点，

ON为△ABC的中位线，

ON//AB,

：.^LCAB=乙CON=90°.

•••BC=2,AB=8,

第14页，共30页

AB=4,

AC=VBC2-AB2=V82-42=4V3.

故答案为：4<3.

设MN交4c于点0,由作图过程可知，直线EF为线段力C的垂直平分线，可得点。为力C的中点，NC0N=90。,

进而可得ON为△4BC的中位线，可得。N//AB,则“AB="ON=90。，再根据勾股定理可得AC=

VBC2-AB2=V82-42=473.

本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理、勾股定理，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题.

15.【答案】-6

【解析】解：当y=0时，0=—久一1,解得乂=一1,

点B的坐标为（-1,0）,

•••点C坐标为（0,3）,

•••BC=VOB2+0C2=VI2+32=710,

设点力坐标为（zn,-m—1）,

•••AC2—（jn-0）2+（—m—1—3）2=2m2+8m+16,

•••AC=BC,

：.AC2=BC2,

2m2+8m+16—10,

解得根1=-3,m2-1（不合题意，舍去），

m――3,

二点4坐标为（一3,2）,

2Q——k—,

解得k-6,

故答案为：-6.

求出点B的坐标为（-1,0）,设点a坐标为（m,一小一1）,根据AC=BC,得到2nl2+8爪+16=10,解方程

并进一步即可得到点4坐标为（-3,2）,利用待定系数法即可求出实数k的值.

此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据=和勾股定

理列方程是解题的关键.

16.【答案】号或影

第15页，共30页

【解析】解：如图,

BH

•・・将纸片沿直线/折叠，使点4与点B重合,

/.DELAB,AD=BD,AE=BE=5,

・•.匕ADE=90°,

tanZ.AED=黑=:，

DE4

设ZD=3%,DE=4%,

•••AE=5x=5,

•,•%=1,

AD=BD=3,DE=4,

AB=AC=6,

・•.CE=1,

.SMBE_)x6x4_5

•.----------——,

S/1CBESACBE1

_12

''△CBE=-5~»

如图，

•・・将纸片沿直线/折叠，使点4与点B重合,

第16页，共30页

/.DELAB,AD=BD,AE=BE=5,

・•・^ADE=90°,

A厂八AD3

tanZ-AED=—=

DE4

设/。=3%,DE=4%,

•••AE=5%=5,

AD=BD=3,DE=4,

AB=AC=6,

・•・CE=11,

...S^ABE_)x6x4_5

SACBES^CBE11

_132

综上所述48EC的面积为半或早,

故答案为：费或早.

根据折叠的性质得到DEI4B,AD=BD,AE=BE=5,设/。=3%,DE=4%,得到ZE=5%=5,求得

AB=AC=6,根据三角形的面积公式即可得到结论.

本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关

键.

17.【答案】（-加04048,，?4048^乂、/^）

【解析】梅相根据题意可知：。4=2,

…OA2c2

°&=右而=逅=2*遍，

2

°42==2xaX房=2X借)2

°43=关条=2X信)2X哥2X(Q

04n=2X（另产，

•.•点A,a,42作弧02为第1条弧，

点4,A3,44作弧尺局为第2条弧,

第17页，共30页

••Z4048A5050组成第2025条弧,

•.第2025条弧上与原点。的距离最小的点为4048,

711clic?4048?4049

••。44048=2X(^=)=2X^2024=^2024,

•,Z-AOA1=30°,Z-ArOA2=30°,Z-A2OAI,=30°,Z.A3OA4=30°,...»

••12次操作循环一周,

••4048+12=337…4,

,•Z-AOA^,Q^Q=120°,

过点/4048作/4048”_LX轴于点M,如图所示:

y

->

A

・•・ZMOX4048=180。-120°=60°,

124049240487~32的4924048XA/r3

°M=%048Xcos60°=2X32024=32024'44048“=°”4048XS讥60°=—X22024=—^2024-'

2404824048x6

^^4048(一32024，~32024-)

・•・第2025条弧上与原点。的距离最小的点的坐标为（一募，弓募昆）.

2M4824048X/3^

故答案为:(―32024，~32024―。

2=

分别求出°&=9=j=2><房，。力黑=2*点乂卷=2X（W）2,OA3=^=2X

（房）2x房=2X（W）3,…，得出。4n=2x（总产，根据题意得出第2025条弧上与原点。的距离最小的

点为力4048，求出。A4048=2X=2X：2024=^2024,根据=30。，Z.A1OA2=30。，NAZOAS=

30°,乙43。44=30°,得出NAOA4048=120°,然后求出结果即可.

本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键.

第18页，共30页

18.【答案】一5；

2x(%+2)(%—2).

【解析】(1)6-11-721+2sin45。—(1)-2

=3-(/2-l)+2x^--9

=3-72+1+72-9

=-5；

(2)2x3-8%

=2x(/—4)

=2x(x+2)(x—2).

(1)先根据算术平方根、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幕的运算法则计算，再合并即可；

(2)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可.

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，实数的运算，正确计算是解题的关键.

19.【答案】=4,久2=3.

【解析】解：整理得：X2-7%+12=0,

因式分解得:(比一4)(%-3)=0,

所以比一4=0或x—3=0,

解得Xi=4,x2=3.

先移项，再将左边因式分解，进一步求解即可.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分

解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

20.【答案】24；

见解答；

86.4；

960人.

【解析】(1)样本容量为：18+36%=50,

故m=100=24,

故答案为：24；

(2)篮球人数为：50-12-18-4=16,

补全条形统计图如下：

第19页，共30页

故答案为：86.4；

(4)3000XIIX100%=960(A).

答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有960人.

(1)用排球的人数除以36%可得样本容量，再用足球的人数除以样本容量即可求出租的值；

(2)用样本容量分别减去其它三个球类的人数可得篮球人数，再补全条形统计图即可；

(3)用360。乘足球对应的百分比即可得到答案；

(4)用样本估计总体进行计算即可.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信

息是解决问题的关键.

21.【答案】见解析；

O。半径为3，！.

【解析】(1)证明：连接。C,

：是O。的直径，

•••^ACB=90°.

NA+A.ABC=90°.

OB=OC,

•••Z-ABC=Z-OCB,

乙BCD=Z-A,

••・(BCD+乙OCB=90°,

BPzOCD=90°,

第20页，共30页

E

•••OC1CD,

•・•。。为。。的半径，

・•.CD是。。的切线；

(2)解：•・•点B是/。的中点,

.・.BD=AB=20C.

•・•OB=0C,

0D=OB+BD=3。。,

.QC_1

'0D=3f

BE1AD,

••・乙DBE=90°,

又•・•乙OCD=90°,

.cBEOC1

"血=而=而=?

DE=3BE=9,

在R3DBE中，

BD=VDE2-BE2=V92-32=6/1，

OC=

即O。半径为3，］.

(1)连接OC,根据圆周角定理得到乙4cB=90。,根据等腰三角形的性质得到N4BC=乙OCB,求得N0CD=90°

根据切线的判定定理得到结论；

(2)由点B是4D的中点，得到BD=4B=20C.求得。D=OB+BD=30C,得到卷=，根据三角函数的定

义得到DE=3BE=9,根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确地添加辅助线是解题的关键.

第21页，共30页

22.【答案】240,7.5；

y=15%-135(9<x<15)；

7分或11分或13分.

【解析】(1)由图象可知，A,8两区相距150米，B,C两区相距90米，则4C两区相距

150+90=240(米)，

机器人甲到达B区时所用时间为150-20=7.5(分)，

,,,a—7.5.

故答案为：240,7.5.

(2)机器人乙到达B区时所用时间为90+10=9(分)，

•••E(9,0),

机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90+(15-9)=15(米/分)，

则>=15(%-9)=15%-135,

线段EF所在直线的函数解析式为y=15x-135(9<%<15).

(3)当0W%W7.5时，当机器人甲、乙相距30米时，得20%+10久+30=240,

解得尤=7,

当9WXW12时，当机器人甲、乙相距30米时，得15%—135=30,

解得x=11,

当12<久315时，机器人甲的速度为90+(15—12)=30(米/分)，则y=30(久一12)=30%-360,当

机器人甲、乙相距30米时，得15%-135-(30比一360)=30,

解得比=13,

•••机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米.

(1)由图象直接可得A,B两区的距离和B,C两区的距离，从而求出4C两区的距离，再由时间=路程+速度

求出机器人甲到达B区时所用时间，即a的值即可；

(2)由时间=路程+速度求出机器人乙到达B区时所用时间，从而得到点E的坐标，根据速度=路程+时间求出

EF段的速度，再由路程=速度x时间求出线段EF所在直线的函数解析式即可；

(3)分别讨论机器人甲在B区左侧时、机器人乙到达B区并开始返回时至机器人甲在B区停留结束时、机器人

甲从B区出发至到达C区三个时间段内机器人甲、乙相距30米时对应x的值即可.

本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键.

23.【答案】相等(或CD'=BD)；相等(或乙4D7C=4ADB)

见解析；

第22页，共30页

37218

~55；

/6

T,

【解析】（1）解：•••将线段力。绕点力逆时针旋转90。得到线段4。

."DAD'=90。，/，

•••NB4C=90°,

•••^BAC-^DAC=^DADf=ADAC,^^DAB=ADzAC,

又：AB=AC,

・•.△DABgAD'AC（SAS）,

CD'=BD,/.ADzC=Z.ADB-,

故答案为：相等（或CD，=BD）;相等（或NAD，C=N4DB）；

（2）证明：••・四边形A8CD是正方形，

：.4CB=90°,BC=DC.

•••CE绕点C逆时针旋转90。得到CE，，

:.乙ECE'=90。，CE=CEr.

•••乙DCB=/.ECE'=90°,

：.4CB-乙BCE=乙ECE/-乙BCE

即4>CE=NBCE，.

BCE7以△DCE（S力S）.

."BE'C=乙DEC=90°.

•••/.CED+/-CEF=180°,

；.XEF=90°,

.­.乙BEzC=乙ECE'=乙CEF=90°.

••・四边形CEFE，是矩形.

又；CE=CE',

••・四边形CEFE，是正方形；

（3）解：：CE绕点C逆时针旋转90。得到线段CE',

,.乙ECE/=90。，CE=CEf,

..CG__4

••'CE/=V

第23页，共30页

,CG_4

''~CE

•・•四边形⑷?C。是矩形，AB=3,BC=4,

•••CD=AB=3,

,BC_4

"'CD~3"

.—CG=_—BC=_一4«

CECD3

•・•乙DCB=乙ECE/=90。，

:.乙DCB—乙BCE=^ECE'一乙BCE,BPzDCE乙BCE

••.△BCGs^DCE,

••・乙BGC=CDEC=9。。，

•・•乙CED+Z.CEF=180°,

・•・乙CEF=90°,

・••Z.BGC=乙ECG=乙CEF=90°,

・•・四边形CEFG是矩形，

如图，连接ZC,8。交于点。，连接。F,

•・•。是AC,BD的中点，

-1

在RgOB尸中，OF=”D,

1

/.OF=^AC=0A=OC=OD=OB,

.•.4F,B,C,。共圆，

・•・^AFC=90°,

•••AD=BC,

•••AD=BC，

•••Z.GFC=Z.ACD,

在Rg/BC中，AC=y/AB2+BC2=5^

第24页，共30页

•••cos^ACD=煞=I，

•••AF=2,

在RtZiAFC中，FC=VAC2-AF2=><21-

•••FG=FCcos/-CFG=^

BC=BC，

・•・Z-BFC=(BAC,

又・・•/,AFC=EG=90°,

•••Z-ACB=Z-FCG,

・•・Z.ACB-乙FBC=Z.FCG-乙FBC,即乙/CF=乙BCG,

Apor

・•・sinZ^CF=g=sin乙BCG=黑，

ACDC

,2_BG

,-5=~4~，

8

・•・BG二不

_3/218,

・•・BF=~55；

故答案为：手y；

(4)解：如图，连接AC,BD交于点。，

E'

•・•四边形/BCD是矩形，

/.Z.BAD=90°,AO=OB,

vAD=3/2,AB=

...AC=BD=ylAB2AD2=2遍，

・•・AO=OB=AB=V_6>

.•・△4。8是等边三角形，则/。48=60。,

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,线段2E绕点A逆时针旋转60。得到线段AE',

AE=AEf,^EAE/=60°,

.­.4OAB=Z.EAE'=60°,

•••^OAB-AOAE=Z.EAEz-^OAE,SPzFzAO=^EAB,

又071=BA,E'A=EA,

E'EAB(SAS),

/.AOEz=N4BE=90。，

E/在。E/上运动，且E'。1AC,

・・•当DE'_LOE'时，DE'取得最小值，

•••NAOB=60°,

,­.4AOD=120°,

又•.ZOE'=90。，

•••Z-EOD=30,

・•・当DE'_LOE'时，DE'=3OD=^BD=£，

242

故答案为：苧.

(1)根据旋转的性质可得ND4D/=90。，AD=AD7,进而证明NZMB=ND/AC,即可证明

ADAB^AD'AC(SAS'),根据全等三角形的性质，即可求解；

(2)根据正方形的性质，旋转的性质，同(1)证明△BCE，g△DCE(SAS),得出NBE，C=ADEC=90。，结

合CE=CE，，即可得证；

(3)同(2)的方法证明△BCGs^DCE,得出四边形CEFG是矩形，连接力C,BD交于点。，连接OF,根据直角

三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出点4F,B,C,。共圆，勾股定理求得AC,FC,进而解RtaFCG,

求得网=手，再证明N4CF=NBCG,根据正弦的定义，得出BG=:即可求解；

(4)连接AC,BD交于点。，证明△£1'4。2△EAB(SAS)得出乙4OE'=AABE=90%当DE/1OE，时，

DE'取得最小值，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解.