2025北京九年级（上）期末数学汇编：图形的旋转

2025北京初三（上）期末数学汇编

图形的旋转

一、单选题

1.（2025北京朝阳初三上期末）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（）

A.点AB.点BC.点CD.点。

2.（2025北京大兴初三上期末）如图，在AABC中，ZC4B=70°,在同一平面内，将AABC绕点A逆时

针旋转a得到公AB'C'，且CC//AB,则«的度数为（）

3.（2025北京海淀初三上期末）风能是一种清洁无公害的可再生能源.图1是风力发电机，它一般由风

轮、发电机、调向器、塔架和储能装置等构件组成.图2为风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片

Q1B绕点。顺时针旋转60。后到达Q4E处，则下列选项错误的是（）

图1图2

A.AB=ABB.OA^OA

B.C./BOB'=60°D.AB±AB'

二、填空题

4.（2025北京大兴初三上期末）如图，抛物线y=-f+4与x轴正半轴交于点A,点B为y轴上一点，将

线段AB绕点8逆时针旋转90。得到线段2C,若点C恰好落在抛物线上，则点C的坐标为

5.（2025北京西城初三上期末）如图，在平面直角坐标系x°y中，点3（2,0）,ZABO=90°,NA=30。，

将，ABO绕点。顺时针旋转c（0°<a<90。）得到CDO,若点A的对应点C恰好在x轴上，则点C的坐标

是，点8的对应点。的坐标是.

6.（2025北京东城初三上期末）如图，在△ABC中，Za4C=100°,将△ABC绕点A逆时针旋转a,得到

△ADE,ZE=60°.若点8,C,。恰好在同一条直线上，则。=

7.（2025北京东城初三上期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转42。得到AADE,点B的对应点。

恰好落在边BC上，则ZADE=.

8.（2025北京朝阳初三上期末）在正方形ABC。中，E为射线上一点（不与点A,8重合），将线段

DE绕点E顺时针旋转90。得到线段E尸，连接CP,作FGLCF交射线于点G.

（1）如图1,当点E在线段48上时，

①依题意补全图形，并证明/ADE=NFEG；

②用等式表示线段AE和EG之间的数量关系，并证明；

(2)已知/R=l,EFG能否是等腰三角形？若能，直接写出使EFG是等腰三角形的AE的长度；若不

能，说明理由.

9.(2025北京大兴初三上期末)在AA8C中，ABC=90,AB=CB,将边8C绕点8逆时针旋转

2c(0<a<45),得到线段8尸，连接CP,AP,过点8作"的垂线交AP于点E,交CP延长线于点”,

连接All.

(1)求的度数；

(2)用等式表示线段AM,BM,CM之间的数量关系，并证明.

10.(2025北京大兴初三上期末)如图，点A,点8在由边长为1的小正方形组成的3x3网格的格点上.

(1)将线段AB绕点A逆时针旋转90,画出旋转后的线段AB'；

(2)在网格格点上除点E外取一点C,使AA8C为等腰三角形，请标出所有满足条件的点C的位置.

11.(2025北京密云初三上期末)如图，在下面正方形网格中小正方形的边长为1,A,B,。都是格点

(小正方形的顶点)，将绕点。顺时针旋转90。得到，4月。，点A,点8的对应点分别为A，B-

(1)补全图形;

(2)求4A长；

0

（3）ZB{AO+AABXO=.

12.（2025北京平谷初三上期末）RtABC中，ZACB=90°,ZB=a,点。是AB边中点，点E是BC边

上一点（不与点8、点C重合），连接DE,将线段DE绕点。逆时针旋转2a,得到线段连接EF、

AF.

⑴如图1,若夕=30。，点下刚好落在BC边上，BE=1,则AF=,AC=

图1

⑵判断AF、3E和BC的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明.

图2图3

13.（2025北京密云初三上期末）如图，线段AB=10cm,点C是线段A3上一点（不与A,8重合）.将

线段CB绕点C按逆时针方向旋转90。得到线段CD.设BC=xcm,ACD的面积为ycm2.

（1），关于x的函数表达式为一，自变量x的取值范围是二

（2）在平面直角坐标系xOy中，画出（1）中函数的图象;

⑶当x=_cm时，ACD的面积取得最大值是_cm,

14.（2025北京丰台初三上期末）尸是正方形ABC。边BC上一点，连接PO,PA.将线段绕点P顺时

针旋转90。得到线段PE,将线段E4绕点P逆时针旋转90。得到线段PF,连接CE,BF.

(1)如图1,当点P为BC中点时，直接写出线段CE与线段即的数量关系；

(2)如图2,当点尸为线段上任意一点时，依题意补全图形，用等式表示线段CE与8尸的数量关系，并

证明.

15.(2025北京通州初三上期末)在AABC中，ZB=ZC=a(O°<a<45°),A〃_LBC于点。是线段

8C上的动点(不与点8,C,M重合)，将线段DM绕点。顺时针旋转2a得到线段DE.

图I图2

(1)如图1,如果点E在线段AC上，求证：ME±AC；

(2)如图2,如果。在线段上，在射线MB上存在点E满足D^=DC,连接AE,AF,EF,求证：

AE±FE.

16.(2025北京西城初三上期末)如图，△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点。是边AC上一点，连接

BD,将△DC3绕点C旋转得到△EG4,点E,C,3在同一条直线上，延长交AE于点F.

⑴求NB庄的度数；

(2)若/3DC=67.5。，求证：AF=EF.

17.(2025北京东城初三上期末)如图，在平面直角坐标系初丁中，点A,B,C的坐标分别为(-2,1),

(1,2),(2,1),将△A3C绕点尸逆时针方向旋转得到工A'3'C',点A的对应点A的坐标为(-2,-1),点B的

对应点？的坐标为(-3,2).

(1)点尸的坐标是；(填写正确的选项)

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,-1)

(2)画出旋转后的AB'C,并写出C'的坐标是；

(3)线段BA的延长线与线段Aff交于点M,直接写出ZBMA的度数.

18.(2025北京三帆中学初三上期末)如图，等边ABC,在BC边延长线上取点。，连接AD,将线段AD

绕点。顺时针旋转60。得到线段DE,连接CE,AE.

⑴求/ECD的度数；

⑵若AB=6,CD=2,求=E的长.

19.(2025北京三帆中学初三上期末)如图，在△ABC中，AB=AC,Z&4C=a(90°<a<120°),D为

BC的中点，E是线段CO上的动点(不与点C,。重合).连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转a得到

线段AF,连接跖交AC于点G,过点B作AC的平行线交EE的延长线于点H.

⑴求证：ZACF=NCBH；

(2)若M为线段FH的中点，连接。0,用等式表示线段。以与PG之间的数量关系并证明.

20.（2025北京门头沟初三上期末）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,将AABC绕

点C逆时针旋转得到，DEC,使点A的对应点。落在3C边上，点B的对应点为£,求线段8D,DE的

长.

参考答案

1.C

【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对应

顶点的距离都相等的点是解题的关键.观察图形可知，点c到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都

相等，再根据勾股定理进行验证即可.

【详解】解:如图，两个格点三角形分别为和-QR4,连接C4、CQ、CP、CB、CR,

设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1,

由勾股定理得CA=CP=CQ=Vl2+22=非，CB=CR==垃，

AB尸和aQRA的每一组对应顶点到点C的距离都相等，

••.两个格点ABP和的旋转中心是点C,

故选：C.

2.C

【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

由旋转的性质可得AC=AC',ABAB=ZCAC'=a,可得NACC=NAC'C=70。，即可求解.

【详解】解：

.•.NC4S=ZACC'=70°,

将^ABC绕点A逆时针旋转«得到△AB'C,

AC=AC,ZBAB=ZCAC'=a,

.-.ZACC,=ZAC,C=70o,

NC4C'=180。-70°一70。=40°=a,

故选：C.

3.D

【分析】本题主要考查旋转的性质，根据旋转的性质解答即可得出结论.

【详解】解：由旋转的性质可得：AB=AB，/309=60。，

而得不到AB_LA'3',

故选：D.

4.(-2,0)或(1,3)

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质.

过8作轴，CNLMN于■N,AMLMN于M,进而证明AC8N三A84W,求的C点的值

把C点的坐标代入解析式，即可求得C点坐标.

【详解】解：如图，过8作轴，CN1MN千N,AM，MN于M,

解得：％=2或尤=-2,

A(2,0),

由旋转的性质可得，AB=BC,/ABC=90。，

ZABM+ZCBN=90°,ZBCN+NCBN=90°

:.ZABM=ZBCN,

ZABM=/BCN,ZCNB=ZBMA=90,BA=BC,

:-CBN”BAM(AAS),

设BN=AM=t,CN=BM=2,

C(-1,2-r),

将C(f,2T)代入y=-f+4得，

解得，f=2或f=-1,

r.C点坐标为(-2,0)或(1,3).

故答案为:(-2,0)或(1,3).

5.(4,0)(1,-73)

【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，30度直角三角形的性质，旋转的性质，先由30度直角三角

形的性质得。4=203=4,AB=y/3OB=2y/3,再由旋转的性质得△ABO四△CDO,进而得

OC=OA=4,OD=OB=2,NA=NOCD=30。，/ABO=NO=90。，再由30度直角三角形的性质得

MD=^OD=\,OM=6MD=6,继而可得答案.

【详解】解：：点8(2,0),ZABO=90°,NA=30。，

/.OB=2,04=203=4,AB=43OB=2A/3,

如图，点A的对应点C恰好在x轴上，过点。作。V轴于点

由旋转的性质得/XABO2△80,

AOC=OA=4,OD=OB=2,ZA=NOCD=30。，ZABO=ZD=90°f

：.ZCOD=60°,NM8=30。，

：.MD=^OD=1,OM=6MD=6，

C(4,0),O(l,-⑹，

故答案为：(4,0),(1,-V3).

6.140

【分析】本题考查旋转性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，先根据旋转性质得到45=4),

ZACB=ZE=60°,NBAD=a,再利用三角形的内角和定理，结合等边对等角求得/A4D=140。即可.

【详解】解：由旋转性质得AB=A£),ZACB=ZE=60°,ZBAD=a,

：.ZADB=ZB=180°-ZBAC-ZACB=20°,

a=140。，

故答案为：140.

7.690/69度

【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关

键；

根据旋转的性质得=ZADE=ZB,然后根据等腰三角形的性质得=即可求出答案.

【详解】解：将△ABC绕点A顺时针旋转42。得到△ADE,

AD=AB,ZADE=NB,440=42°,

ZADB=ZB=I(180-ZBAD)=69°,

ZADE=69°.

故答案为：69°.

8.⑴①见解析，②AE=EG,证明见解析

(2)A£=2

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的

判定和性质等知识.

(1)①由NA=90。得出NADE+NA£D=90。，由NDEF=90。得出NAED+/FEG=90。，从而

ZADE=ZFEG；

②作CH，DE,交A。于X,交DE于R,可证得..，小如二"。。"，从而得出CH=DE,DH=AE,可证

得CH〃EF,从而得出四边形班CH是平行四边形，进而推出/Z)EH=/EFG,进而证得

DEH沿二EFG,从而DH=EG,进一步得出结果；

(2)可推出当点E在上时，EFG不能是等腰三角形；当点E在A5的延长线上时，作EHLCE于

H,当防=bG时，可推出E"=G//=；EG=gAE,从而得出AE=2AB=2.

【详解】(1)解：①如图1,

图1

四边形ABCD是正方形，

.-.ZA=90°,

:.ZADE+ZAED=9G0,

线段DE绕点、E顺时针旋转90°得到线段EF,

:./DEF=90°,

:.ZAED+ZFEG=90°,

:.ZADE=ZFEG-

②如图2,

图2

作CH交AD于X,交DE于R,

：.NDRC=90°,

..ZDCR+NRDC=90°,

.四边形ABCD是正方形，

.-.ZA=ZADC=90°,AD=CD,

:.ZADE+NCDR=90。,

:.NDCR=ZADE,

ADE^DC"(ASA),

CH=DE,DH=AE,

线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,

:.DE=EF,ZDEF=90°,

:.DE.LEF,CH=EF,

CH//EF,

，四边形EFCH是平行四边形，

:.ZHEF+ZCFE=18Q°,

Z.DEH+ZDEF+Z.CFG-NEFG=180°,

CF1FG,

:.ZCFG=90°,

ZDEH+900+90°-ZEFG=180°,

:.ZDEH^ZEFG,

由①知，ZADE=NFEG,

DEH^.EFG（ASA）,

:.DH=EG,

:.AE=EG-,

（2）解：如图2,

当点E在AB上时，

由（1）②得，ADEHmEFG,

:.EH=FG,/DHE=/EGF,

AE=EG,EH>AE,

:.FG>EG,

NDHE=ZA+ZAEH=90°+ZAEH>90°,

:.ZEGF>90°,

：.ZEGF>NFEG,

EF^FG,

.•.△£FG不能是等腰三角形，

如图3,

F

图3

当点£在A3的延长线上时,

作FH_L.CE于H,

ZA=ZFHE=90°,

ZADE=/EFG,DE=EF,

.._ADEqHEF(AAS),

:.FH=AE=EG,EH=AD=AB,

FG>FH,

FG>EG,

当EF=FG时，EH=GH=-EG=-AE,

22

AB=-AE,

2

AE=2AB=2，

.•.当AE=2时，EFG是等腰三角形.

9.(1)45°

(2)AM+CM=-J2BM,见解析

【分析】(1)作于点。由旋转得PB=CB,^]NPBQ=NCBQ=：NPBC,因为-ABC=90,

AB=CB,所以尸3=而于点£,贝ijNPBM=NABM=gNPBA,贝ij

ZMBQ=^ZABC=45,所以尸=90-ZMBQ=45；

(2)由==,得BQ=MQ,所以BM=0MQ,则=而尸。=CQ=：PC,

22

AM=PM,所以MQ=g(AM+CM),则可得结论.

【详解】(1)解：作30_LC尸于点。，则NBQM=90,

将边BC绕点2逆时针旋转2a(0<<z<45),得到线段BP,

:.PB=CB,

ZPBQ=ZCBQ=|ZPBC,

NABC=90,AB=CB,

:.PB=AB,

于点E,

ZPBM=ZABM=-NPBA,

2

ZMBQ=ZPBQ+ZPBM=|(NPBC+ZPBA)=；ZABC=45,

ZBMP=90-ZMBQ=45,

.•./BMP的度数是45.

(2)解：AM+CM=y/2BM,

证明：ZMBQ=ZBMP=45,

..BQ=MQ,

BM={BQ。+MQ2=eMQ,

:.PB=CB,BQ,CP于点。，

:.PQ=CQ=^PC,

PB=AB,于点E,

:.AE=PE,

BM垂直平分AP,

:.AM=PM,

:.MQ=PM+PQ

=AM+-PC

2

=AM+^CM-PM)

=AM+1(CM-AM)

=1(AM+CM),

:.AM+CM=y/2BM.

【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分

线的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.

10.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查作图-旋转变换、等腰三角形的判定，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的判定是解答本

题的关键.

(1)根据旋转的性质作图即可.

(2)结合等腰三角形的判定确定点C的位置，即可得出答案.

【详解】(1)解：如图，线段AB'即为所求.

(2)解：如图，点G，G,c3,C4均满足题意.

CL

⑵2石

(3)45

【分析】本题考查作旋转图形、勾股定理与网格问题，

(1)根据旋转的性质作图即可.

(2)利用勾股定理计算即可.

(3)在线段瓦。的延长线上取点C,根据网格的特点可得N4AO+NA4O=NAOC=45。，即可求解.

【详解】(1)解：如图，4瓦。即为所求.

(2)解：B,A=y/22+42=2A/5

(3)在线段瓦。的延长线上取点C,

由图可得，ZAOC=45°,

：.ZBjAO+ZABjO=ZAOC=45°.

故答案为：45.

12.⑴2,y/3

(2)BE+AF=BC,证明见解析

【分析】(1)由旋转可得：DE=DF,ZEDF=2a=60°,得到ADEF是等边三角形，推出

DE=EF=DF,NDEF=NDFE=60°,根据三角形的外角性质可推出/3=/BDE=30。，进而得到

ZBDF=90°,BE=DE,得到M=2BE=2,推出。尸垂直平分AB,得到A/=B尸=2,推出

ZG4F-300,可求出CF=gAF=l,最后根据勾股定理即可求解;

(2)连接CD,由直角三角形的斜边中线定理可得：BD=CD=AD9推出NB=N5CD=&,得到

ZADC=2a,由旋转可得：DE=DF,NEDF=2a,

推出N£Z»=NADC=2a,可得/EDC=NFDA,证明△•)石ZZkADF,得到CE=AF,即可证明.

【详解】(1)解：由旋转可得：DE=DF,ZEDF=2a=60°,

。斯是等边三角形，

DE=EF=DF,ZDEF=ZDFE=60°,

NB=a=30。，

ZBDE=Z.DEF-ZB=60°-30°=30°,

AZB=ZBDE=30°,

AZBDF=ZBDE+ZEDF=3Q0+60°=90o,BE=DE,

BE=DE=EF,DF±AB,

BF=2BE=2,

点。是AB边中点，

「•DF垂直平分AB,

AF=BF=2,

・•.ZBAF=ZB=30°,

ZACB=90°,ZB=30°,

...Z^4C=60°,

ZCAF=ABAC-ZBAF=60°-30°=30°,

CF=-AF=l

2f

AC=YIAF2-CF2=V22-12=V3，

故答案为：2,名；

(2)BE+AF=BC,证明如下：

选择图2,连接CD,

图2

.ZACB=90°,点。是AB边中点,

•.BD=CD=AD,

4B=ZBCD=a,

ZADC=ZB+ZBCD=2a,

由旋转可得：DE=DF,NEDF=2a,

：.NEDF=ZADC=2a,

ZEDF+Z.CDF=ZADC+NCDF,即ZEDC=ZFDA,

在和△AM中，

DE=DF

"ZEDC=ZFDA,

CD=AD

.CDE^AADF(SAS),

CE=AF,

BE+CE=BE+AF=BC,

即3E+A/=3C；

选择图3,连接CO,

A

图3

.ZACS=90°,点。是AB边中点，

BD=CD=AD，

NB=/BCD—CL,

ZADC=AB+ZBCD=2a,

由旋转可得：DE=DF,NEDF=2a,

・•./EDF=ZADC=2a,

../EDF-/CDF=ZADC—NCDF,即N£OC=/FDA,

在.CD£和△AD厂中，

DE=DF

</EDC=/FDA,

CD=AD

CDE^AADF(SAS),

，CE=AF,

BE+CE=BE+AF=BC,

即3E+AF=3C.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性

质，含30。角的直角三角形的性质，直角三角形的斜边中线定理，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握

相关知识.

1

13.(l)y=—/X9+5x,0<vt<10

(2)见解析

⑶5,y

【分析】本题主要考查了旋转的性质，二次函数的应用，等腰直角三角形的性质：

(1)由旋转的性质得到2C=CD=xcm,NBCD=NACD=90。，则AC=AB—BC=(10—x)cm,根据2CD

的面积为>=；ACCD即可解答；

(2)根据(1)所求列表，描点，连线画出对应的函数图象即可；

(3)根据二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：由旋转的性质得到8c=C£>=xcm,ZBCD=NACD=90。，

AS=10cm,

AC=AB—BC=(10-x)cm,

・•・AC。的面积为y=；ACCO=gx(10—*=—g/+5M0<x<10),自变量犬的取值范围是0<x<10；

2

(2)解：Vy=--x+5x(<0<x<10^f

列表得：

X34567

212521

y

~212~212T

・•・(1)中函数的图象为:

(3)解：Vy=——x2+5x=-—(x-5)2+—(0<x<10),

--<0,

2

25

•,.当x=5cm时，ACD的面积取得最大值是Jem?.

2

14.(1)CE=BF

Q)CE=BF,理由见解析

【分析】(1)根据SAS证明oDC咤ABP,得出/DPC=NARB,DP=AP,结合旋转的性质可得出

NCPE=NBPF,PE=PF,再根据SAS证明.CPE乌ABPE,根据全等三角形的性质即可得出结论；

(2)结合旋转的性质和SAS可证明,APEWDPF,得出AE=DF,ZAEP=ZFDP,结合三角形外角的性

质可得出ZDGK=4PE=90。，根据正方形的性质得出AC=BD,ZAOD=90°,结合三角形外角的性质可

得出广，根据SAS证明“C4E乡ABDF,根据全等三角形的性质即可得出结论.

【详解】(1)解：CE=BF,

理由如下：

•••四边形A5CD是正方形，

AAB=CD,ZDCB=ZABC=90°,

•••点尸为BC中点，

CP=BP,

：..DCP乌ABP(SAS),

:.NDPC=ZAPB,DP=AP,

:旋转,

:.DP=EP,ZDPE=ZAPF=90°,AP=PF,

：.ZDPE-ZDPC=ZAPF-ZAPB,即NCPE=ZBPF,PE=PF,

又CP=BP,

；._CPEWBPE(SAS),

：.CE=BF；

(2)解：CE=BF

理由如下：

连接AC,8。相交点。，连接AE,相交于点G,AE与30、ZJP相交点H、K,

E

•・•旋转，

:・DP=EP,ZDPE=ZAPF=90°,AP=PF,

AZDPE+ZDPA=ZAPF+ZAPD,BPZAPE=ZDPF,

：.APE咨ADPF(SAS),

:・AE=DF,ZAEP=ZFDP,

ZDKE=ZKDG+ZDGK=AKPE+ZPEK,

ZDGK=ZKPE=90°,

•/四边形ABCD是正方形，

AAC=BD,AC±BD,即NAC©=90。，

ZAOD=ZDGK,

又ZAHD=ZAOH+ZHAO=ZDGH+ZHDG,

：.ZHAO=ZGDH,即ZCAE=NBDF,

又AC=BD,AE=DF

：.^CAE^_BDF(SAS),

CE=BF.

【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适

辅助线，构造全等三角形是解题的关键.

15.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识点，掌握相关数学结论即

可.

(1)由旋转可知：DM=DE,ZMDE=2a,进而得=NOME；根据

ZMDE=ZDEC+ZC=2«,ZC=a,可得NDEC=NC；结合在,MFC中，

Z.DME+ZMED+/DEC+ZDCE=180°,即可求证；

(2)延长EE到点N,使EN=FE,连接CMAN,可推出E>E〃OV,DE=-CN,证

2

△ABF咨AACN(SAS),即可求证;

【详解】(1)证明：・・,线段DM绕点。顺时针旋转2a得到线段

ADM=DE,ZMDE=2a,

:./DEM=/DME,

ZMDE=ADEC+AC=la,NC=a,

Z.DEC=a,

：./DEC=/C,

在,MFC中，•；NDME+ZMED+ZDEC+NDCE=180。,

：.ZMED+ADEC=90°,

ZMEC=90°,

即Affi_LAC；

(2)证明：如图，延长正到点N,使EN=FE,连接CMAN,

*：DF=CD,

:,DE〃CN,DE=-CN,

2

JZDCN=180°-ZMDE=180°-2cr,

・•・ZACN=ZACB+ZDCN=180。—a,

ZABF=180°-ZABC=180°-a,

：.ZABF=ZACN,

VAB=AC,AM±BC,

：.CM=BM,

,:DF=DC,

:・BF+BD=DM+CM,

：.BF+BM-DM=DM+CM,

：.DM=-BF,

2

DE=-CN,

2

：・DM=DE,

：.BF=CN,

在Z^ABF和AAGV中,

AB=AC,

v]ZABF=/ACN,

BF=CN,

：.AABF^AACA^(SAS),

・•・AF=ANf

•:EF=EN,

:.AE±FE.

16.⑴/BFE=90。

⑵证明见解析

【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是：

(1)根据旋转的性质得出DCBWECA,则NDBC=NE4C,结合NCDB=Nm4可得出

ZACB=ZAFB,即可求解；

(2)根据全等三角形的性质得出NACE=NACB=90。，ZAEC=ZBDC=67.5°,则可求出

ZEAC=22.5°,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出NB4C=45。，贝！J

ZBAE=ZAEB=67.5°,根据等角对等边可得出AB=班，然后根据三线合一即可得证。

【详解】(1)解：•・•将△OC5绕点。旋转得到△EC4,

ADCB^ECA.

：.ZDBC=ZEAC.

•:ZCDB=ZFDA,

：.ZACB=ZAFB.

・.•ZACS=90°,

：.ZAFB=9Q°.

：.ZBFE=90°.

(2)证明：:△EC4g△OCB,

AZACE=ZACB=90°,ZAEC=ZBDC.

丁ZBDC=61.5°,

：.ZAEC=67.5°,

：.ZEAC=22.5°.

•・・AAC3中，ZACS=90°,AC=BC,

：.NBAC=45。，

/.ZBAE=ZAEB=67.5°,

:.AB=EB.

•・•ZBFE=90°,

：・BF上AE,

JAF=EF.

17.(1)A

(2)图见解析，(-2,3)

⑶/3M4'=90°

【分析】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，解题

的关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解.

(1)线段A'A，88'的垂直平分线的交点P即为所求；

(2)根据要求作出图形，根据图形可得C'坐标；

(3)根据旋转的性质，即可解决问题.

【详解】(1)解：如图，旋转中心尸的坐标为(一1,0),

故选：A.

(2)解：如图，A'3'C即为所求作，点C，坐标为(-2,3),

故答案为：(-2,3)；

(3)解：由旋转的性质可得，ZAPA=ZBPB'=90°,AP^AP,BP=B'P

,APB^,A'PB'(SAS)

ZABP=ZAB'P,又NBAP=NB'AM,

：.ZB'MA=NBPA=90°,

则ZBW=180°-ZB'MA=90°.

18.(1)60°

⑵2旧

【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及直

角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

(1)由旋转的性质可得AD=OE,NAZ)E=60。，再由等边三角形的性质可得AB=AC,/BAC=60。,再证明

.ABD^ACE(SAS),再由全等三角形的性质求解即可；

(2)过点E作E"LCD交C。的延长线于点H,由全等三角形的性质可得CE=30=8,再求得

NCEH=30°,由直角三角形的性质可得CH=4,EH=心最后由勾股定理求解即可.

【详解】(1)解：将线段AO绕点。顺时针旋转60。得到线段DE,

AD=DE,ZADE=60°,

即.ADE是等边三角形，

.-.ZZME=60o,AD=AE,

ABC是等边三角形，

AB=AC,ABAC=60°,

:.NBAC=/DAE,

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

/.NBAD=NCAE,

在△ABD于△ACE中，

AB=AC

<