2025年高考数学试题分类汇编：集合与常用逻辑用语解析版

集合与常用逻辑用语

......•11_____

.2025高考真题

一、单选题

1.（2025・天津•高考真题）已知集合"={1,2,3,4,5},/={1,3},8={2,3,5},则为（/23）=（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{4}

【答案】D

【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.

【详解】由/={1,3},8={2,3,5},则/。3={1,2,3,5},

集合U={1,2,3,4,5},

故务（4UB）={4}

故选：D.

2.（2025•北京・高考真题）已知集合M={x12x—1>5},N={1,2,3},则（）

A.{1,2,3}B.{2,3}C.{3}D.0

【答案】D

【分析】先求出集合再根据集合的交集运算即可解出.

【详解】因为M={x|2x-l>5}={x|x>3},所以AfcN=0,

故选：D.

3.（2025•全国二卷•高考真题）已知集合/={-4,0,1,2,8},2=卜|》3=4,则/门8=（）

A.{0,1,2}B.{1,2,8}

C.{2,8}D.{0,1}

【答案】D

1/27

【分析】求出集合8后结合交集的定义可求Zc8.

【详解】5={X|X3=X}={0,-1,1},故/口8={0,1},

故选：D.

4.（2025•全国一卷•高考真题）设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合/={1,3,5},则d/中元素个数为（）

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【分析】根据补集的定义即可求出.

【详解】因为U={L2,3,4,5,6,7,8},所以务/={2,4,6,7,8},2/中的元素个数为5,

故选：C.

5.（2025•天津•高考真题）设xeR,则“x=0”是“sin2x=0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.

【详解】由x=0=sin2x=sinO=0,贝!=0"是"sin2x=0”的充分条件；

又当x=兀时，sin2x=sin2it=0,可知sin2x=09x=0,

故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件，

综上可知，“龙=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.

故选：A.

6.（2025・北京•高考真题）已知函数〃x）的定义域为D,贝心的值域为R”是“对任意MeR,存在/e。，

使得|/（%）＞的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.

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【详解】若函数的值域为R,则对任意WwR,一定存在使得/=+

取无。=玉，则+充分性成立；

取〃x)=2',D=R,则对任意WeR,一定存在为©。，使得/'(须)=陷+1,

取无。=玉，则|/(X0)|=M+1>M,但此时函数〃X)的值域为(0,+“)，必要性不成立；

所以“/(x)的值域为R”是“对任意MeR,存在x°w。，使得|〃/)|>"，，的充分不必要条件.

故选：A.

二、填空题

7.(2025•上海•高考真题)已知全集U={x|2<x<5,xeR},集合/={x|24x<4,xeR},贝!］彳=.

【答案】34V尤V5,xeR)/(4,5)

【分析】根据补集的含义即可得到答案.

【详解】根据补集的含义知1={x|4VxV5,xeR}.

故答案为：{x14CeR}.

三、解答题

8.(2025・上海•高考真题)已知函数，=f(x)的定义域为R.对于正实数a,定义集合={x|/(x+«)=/(x)}.

⑴若/(x)=sinx,判断三是否是中的元素，请说明理由；

,、x+2,x<0

⑵若〃x)=厂，此W0,求a的取值范围；

7x,x>0

(3)若了=/(x)是偶函数，当xe(0,l］时，/(x)=l-x,且对任意ae(0,2),均有写出了=〃x),

xe(l,2)解析式，并证明：对任意实数c,函数y=〃x)-c在［-3,3］上至多有9个零点.

【答案】⑴不是；

⑵加；

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(3)证明见解析.

【分析】(1)直接代入计算和/[+“即可；

(2)法一：转化为在实数/使得〃。+.)=/(%),分析得/+2=再]，再计算得4=卜。+^]+:,

最后根据玉的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线了=，与该函数有两个交点，将。用，表

示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；

(3)利用函数奇偶性和集合新定义即可求出xe(1,2)时解析式，再分析出了(-3)色(0,1),最后对。的范围进

行分类讨论即可.

【详解】⑴(1)/g=si吟=q，/径+万)=一0吟=_手,则w不是心中的元素.

(2)法一：因为〃>0,则存在实数%使得〃/+0=/&0),且0>0,

当x<0时，〃x)=x+2,其在(-8,0)上严格单调递增，

当x»0时，/(x)=4,其在[0,+8)上也严格单调递增，

则Xo<OVXo+a,则x0+2="°+。,

令％+2=0,解得X=-29则-2W/<0,

则a=Qx()+a)_/=(%o+2『-x0+!)彳^,4^-

法二：作出该函数图象，则由题意知直线》=方与该函数有两个交点，

由图知0W2,假设交点分别为4(加/),B(n,t),

一、AAW=t.

联方程组｛«=|AB\=m-n=t4-川

n+2=t

/BQ八

/2O4x

(3)(3)对任意x°e(l,2),xo-2e(—l,0),因为其是偶函数，

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贝！l/(x()-2)=/(2-Xo),而2-x()-(Xo-2)=4-2尤0e(0,2),

所以x0-2e

■^^4-2xQuM,

所以/(XO)=/(%-2)=/(2-XJ,因为则2roe(0,1),

所以/(%)=/(2-x0)=l-(2-%)=%-1,所以/(x)=x-l,xe(l,2),

所以当se(0,l)时，l-se(0,l),l+se(l,2),则〃l-s)=1-(1-s)=s,

/(l+s)=(l+s)-l=s,则一s)=/(l+s),

而1+s-(1-s)=2s,(3-s)-(1-s)=2,

贝Ul-seAGsUM?，则〃l-s)=/(3-s),

所以当xe(2,3)时，f(X)=f(x-2)=l-(x-2)=3-x,而/(x)为偶函数，画出函数图象如下:

其中〃-3)=/(3)J(-2)=/()/?),但其对应的=值均未知.

首先说明/(-3)=”走(0,1),

若/(-3)=〃e(0,l),则一3+〃4一3,-2),易知此时/(x)=x+3,xe(-3,-2),

则/(-3+〃)=〃，所以/(一3)€心勺屈2,而xe[-l,0)时，f(x)=x+l,

所以〃-3)=〃-1)=0,与以-3)=〃矛盾,所以/(一3)任(0,1),即〃-3)=/(3"(0,1),

令y=/(x)-c=o,贝！Iy=/(x)=c,

当c=0时，即使让/(一3)=〃3)=〃-2)=3(2)=/))=0,此时最多7个零点,

当cWl时，若/(-2)=/(2)=/(0)=/(-3)=/0)=。，此时有5个零点,

故此时最多5个零点;

5/27

当c<0时,若/(-2)=/(2)=/(0)=/(-3)=/0)=。，此时有5个零点,

故此时最多5个零点；

当0<c<l时，若〃-2)=〃2)=/(0)=，，此时有3个零点，

若/(-3)=ce(0,l),贝卜3+ce(-3,-2),易知此时〃x)=x+3,

贝！|/(-3+c)=c,所以〃一此，而xe［T,O)时，〃无)=尤+1,

所以〃-3)=〃-1)=0,与/(一3)=。矛盾，所以八一3)e(0,1),

则最多在(-3，-2),(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)之间取得6个零点，

以及在x=-2,0,2处成为零点，故不超过9个零点.

综上，零点不超过9个.

9.(2025•北京•高考真题)已知集合/={1,2,3,4,5,6,7,8},屈={(》))1€//€/，从M中选取〃个不同的

元素组成一个序列：(尤"1),(X2,%)，…，(匕，”)，其中(X"J称为该序列的第，项［=1,2,若该序列的

相邻项满足：或［=1,2,…,〃-1),则称该序列为K列.

(1)对于第1项为(3,3)的K列，写出它的第2项.

⑵设r为K列，且r中的项(x/)(i=l,2,…⑼满足：当Z•为奇数时，x;e{l,2,7,8}：当i为偶数时，

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%e{3,4,5,6},判断(3,2)*(4,4)能否同时为「中的项，并说明理由;

(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列.

【答案】(1)(6,7)或(7,6)

(2)不能，理由见解析

(3)证明过程见解析

【分析】(1)根据新定义即可得解；

(2)假设(3,2)与(4,4)能同时在r中，导出矛盾，从而得出(3,2)与(4,4)不能同时在r中的结论；

(3)假设全体元素构成一个K歹U,通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.

3

【详解】(1)根据题目定义可知，[*+|="；1或[*”="：：,

1,+1=弘±4【％+1=%±3

若第一项为(3,3),显然％=0或一1不符合题意(不在集合A中)，所以下一项是(6,7)或(7,6)；

(2)假设二者同时出现在r中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设(3,2)在(4,4)之前.

显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从(3,2)到(4,4)必定要向下一项走

奇数次.

但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从(3,2)到(4,4)必定要向下一项走偶数次.

这导致矛盾，所以二者不能同时出现在r中.

(3)法1：若/中的所有元素构成K列，考虑K列中形如(七,乂)(%,入€{1,2,7,8})的项，

这样的项共有16个，由题知其下一项为(玉+1，%+]),%+1，%1©{3,4,5,6},共计16个，

而(％+1，%+>(3,3),(6,3),(3,6),(6,3),因为只能6由2来，3只能由7来，

横、纵坐标不能同时相差4,这样下一项只能有12个点，

即对于16个(4％),有12个(%"%])与之相对应，矛盾.

综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列.

法2：假设全体元素构成一个K列，贝！h=64.

设7；={(x,y)卜e{1,2,7,8},ye{1,2,3,4,5,6,7,8}},7；={(x,y)|xe{3,4,5,6}jeQ,2,3,4,5,6,7,8}}.

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则工和石都包含32个元素，且工中元素的相邻项必定在心中.

如果存在至少两对相邻的项属于4，那么属于心的项的数目一定多于属于十的项的数目，

所以至多存在一对相邻的项属于4.

如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2加和2加+1,

否则将导致属于T2的项的个数比属于工的项的个数多2,此时冽=1,2,3,…,31.

从而这个序列的前2加项中，第奇数项属于（，第偶数项属于石；

这个序列的后64-2%项中，第奇数项属于心，第偶数项属于

如果不存在相邻的属于。的项，那么也可以看作上述表示在加=0或加=32的特殊情况.

这意味着必定存在加e{0,1,2,…,32},使得卜力笔,14：

由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故工中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数

的点的数量一定分别是"，和32-机（不一定对应）.

但容易验证，工和刀都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点，所以

»?=32-7W=16,得m=16.

从而有（工2"1，%"1）e］,（x2k>y2JtMk<16

/，［，力）4,17<*<32,

这就得到4={国,力）『=1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64}.

再设刀={（x,〉）|xe{l,2,3,4,5,6,7,8},ye1,2,7,8}},T4=1（x,j）|xe{1,2,3,4,5,6,7,8},j^e§,4,5,6}}.

则同理有!（"，6月，（5,%）e&1VkV16

侣［（%1，%1）的,（知,九）司,174”32.

这意味着刀={（乙,力）,=1,3,5,...,29,31,34,36,…,62,64}.

从而得到但显然它们是不同的集合，矛盾.

所以由"的全部元素组成的序列都不是K列.

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.・HI—

2025高考模拟题

一、单选题

1.（2025・安徽蚌埠•三模）设集合U={0,1,2,3,4},尸={0,1,2,3},2={1,2,4},贝!|尸门0©）=

A.{0}B.{0,3}C.{3}D.{1,3}

【答案】B

【分析】求出电。可求尸

【详解】务。={0,3},故Pn（4Q）={0,3},

故选：B.

2.（2025・湖南岳阳•三模）已知集合/={T0,1,2},5={x|x（x-2）>0},则Nc&8）=（）

A.{1,2}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】C

【分析】由集合的运算代入计算，即可得到结果.

【详解】5={小（x-2》0}={x|x>2或x<0},

则1B={x|0W2},且/={-1,0,1,2},

所以“c&8）={0,1,2}.

故选：C

3.（2025•河南许昌三模）己知集合/={-1,0,1,2},8={y|y=f+l,x<0},则（）

A.一2eADBB.{-2,-1}c5C.{I}u/c5D.2eAC\B

【答案】D

【分析】先求出B,再根据交集并集概念计算判断..

【详解】B^{y\j=-x+1,x<0}={y>1},又；N={-1,0,1,2},

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Nc8={2},/u2={x|x〉l}u{T0,1},

贝「2eNUB,{-2,-1}不包含于/U8,但不包含于Nc8,2e^A5.

故选：D.

4.（2025•山东烟台三模）已知集合/=卜卜3Vx<1},5={X|X2<3）,则，UB=（）.

A.[-百』）B./右,6]C.卜0°,6]D.卜3,6]

【答案】D

【分析】先化简集合8,再利用并集的定义运算.

【详解】因3={尤k2W3}=卜卜&VxV。},/={x卜3<x<l},

贝！）/口3=卜-3〈尤4百）=卜3,行].

故选：D

5.（2025•四川•三模）已知“Vxw（O,兀），sinx<l；产xeR,x+|x|V0.下列结论正确的是（）

A.p是真命题，q是真命题B.p是真命题，是真命题

C.F是真命题，g是真命题D.F是真命题，rq是真命题

【答案】C

【分析】特殊值法x=5、x=0分别判断。应的真假，即可得.

【详解】当x=5时，sinx=l,则p是假命题，即F是真命题.

当x=0时，x+|x|=0,满足x+|x|WO,则夕是真命题，即-'0是假命题..

故选：C

22

6.（2025・湖南•三模）已知曲线°：工+工=1,设p:2<"3,q：曲线。是焦点在工轴上的椭圆，则夕

6-tt-2

是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

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【答案】A

【分析】首先得到曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是2</<4,再进一步判断即可.

6-t>0

【详解】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是“-2>0,即2<f<4.

6-t>t-2

所以当2y<3时，2</<4成立，所以p是q的充分条件，

反之当2<1<4时，2<f<3不一定成立.所以。是夕的充分不必要条件.

故选：A.

x+1

7.（2025・四川成都•三模）若集合4=,5=Iy=x2+1,则/口8=

2—x

A.[-1,2)B.[-1,+co)C.[1,2)

【答案】C

【分析】根据分式不等式及二次不等式、二次函数的性质化简集合4B,根据交集运算即可得解.

B=|y|y=/+1}={y[”1}=[l,+e）,

所以/口8=[1,2）.

故选：C

8.（2025・湖南长沙•三模）在四边形ABCD中，若/=益+而，则“太，丽”是“四边形/BCD是菱形”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充

要条件

【答案】D

【分析】由大前提衣=刀+而推得口/BCD,再利用菱形的几何性质即可判断.

【详解】在四边形/BCD中，由衣=在+石，可得四边形Z8C。为平行四边形,

若衣，丽，则平行四边形/BCD对角线垂直，所以口/BCD为菱形，反之也成立,

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故“太，丽”是“四边形ABCD是菱形”的充要条件.

故选：D.

9.（2025・江西•三模）已知集合/={0,。,/},B^{a-l,3a-2},aeR,则/U8中的元素个数至少为（

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由集合A可得。片0且再由+可得”一1与0,。,/均互异，结合特例可得正确的选

项.

【详解】由A中元素的互异性，得“WO,。//,即。力0且a4,

13

而。2-。+1=（。—）2+—>0,贝!］当。/0且aw1时，a-1与0,。,/均互异，

24

因此/U3中至少有4元素，取a=2,此时/={0,2,4},3={1,4},/UB有4个元素，

二NU3中的元素个数至少为4个.

故选：C

10.（2025・辽宁・三模）已知直线/：y=x+〃z和圆。：/+必=2,贝上=2”是“直线/与圆。相切”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】首先求出直线与圆相切时机的取值，再根据充分必要条件的定义判断.

【详解】由圆。:/+/=2,可得圆心0（0,0）,半径一亚，

若直线/：>=x+7"与圆相切。：，+）/=2,

则圆心。到直线/的距离1=厂=/，贝!|d=Ji=&,解得优=±2,

V1+1

所以=2”是“直线/与圆。相切”的充分不必要条件.

故选：C.

11.（2025・四川成都•三模）下列四个条件中，使a>b成立的充要条件是（）

]_£

A.\a\>bB・空>庐

12/27

11,,,

C.->—D.10gtz>\ogb

ba33

【答案】B

【分析】利用特值或者函数单调性，结合充要条件的判定可得答案.

【详解】对于A,当。=-2,6=1时，a>b不成立，故时>6是a>b成立的不充分条件，

反之，当。“时，同泊>。成立，故时>6是。>方成立的必要不充分条件，故A错误；

对于B,因为v.蓝在R上单调递增，所以是。>方的充要条件，故B正确；

对于C,当。=-3,6=1时，成立，但a>方不成立，所以是。>方成立的不充分条件，

baba

当a=l力=-2时，。>6成立，但:>!不成立，所以?>!是。>6成立的不必要条件，所以。>,是。>6的

bababa

既不充分也不必要条件，故c错误；

对于D,因为y=log3X在（O,+e）上单调递增，所以由logs。>logs。，得a>6>0,

所以logs。>log?。是a>b的充分不必要条件，故D错误.

故选：B

12.（2025•重庆九龙坡•三模）已知集合M={x|0<x<a],N=^x\x2-6x+5<0},若NUM=M,则实

数。的取值范围是（）

A.[5,+co）B.（5,+<»）C.[3,+a>）D.（3,+oo）

【答案】A

【分析】解不等式求得N,由已知可得NqM,进而可求实数a的取值范围.

【详解】由/_6X+5<0,可得（》一5）（了一1）<0,解得1<X<5,

所以N={x[l<x<5},由NU"=M,可得N=

又Af={x[0<x<〃},所以a25,

所以实数。的取值范围是[5,+s）.

故选：A.

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13.（2025•江西萍乡・三模）已知集合/=卜卜（》+机）40｝,5=^x|（3x+l）（x-m+1）=0j,C=A[｝B,若集

合。有3个真子集，则实数机的值可能为（）

A.--B.-C.-D.-

2342

【答案】C

【分析】由集合C有3个真子集可得8中有两个不同的元素，故求出机的范围后可得正确的选项.

【详解】因为C有3个真子集，所以C中有2个元素，故8中有两个元素，

——---Fm<0

3（3）

故3=且51/,贝!I,（加一1）（2加-1）（0,

I3

m-1^——

3

12

解得一《切且加w—.

23

故选：C.

14.（2025•江西萍乡♦三模）记％,V为实数，设甲：y>x>0；乙：x-cosj<y-cosx,则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】构造函数/（x）=X+COSX,求导，根据函数的单调性可得充分性，进而根据/（尤）</（了）可得必要

性.

【详解】令函数/（无）=X+COSX,求导得/'（x）=l-sinx'O,故/（x）在R上单调递增,

由y>x>0,得/⑺>/（x）,即X-cosy<y-cosx,即充分性成立；

由x-cosycy-co&x,得x+cosx<y+cosy,即力，可得y>x,故必要性不成立，

综上可知，甲是乙的充分不必要条件.

故选：A.

15.（2025•上海黄浦•三模）已知数列｛4｝各项为正，尸：｛4｝满足4+“=4/，，〃?、〃是正整数，。：｛%｝是

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等比数列，则尸是。的（）

A.充分必要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件.

【答案】B

【分析】设为=，>0,令加=1得。川=加“，充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到结论.

【详解】设％=/>0,4+“=。血中，令机=1得。用=4%=",，

即―=，，所以{%}是等比数列，充分性成立；

an

但必要性不成立，理由如下：

不妨设{4}的首项为1,公比为2,取〃z=〃=2得。4=吭

但%=8,%=2,不满足&=姆，从而必要性不成立，

综上，尸是。的充分非必要条件.

故选：B

二、填空题

16.（2025,河北石家庄•三模）若命题pVx>0,x2-7x+6<0,则命题p的否定为

【答案】3x>0,x2-7x+6>0

【分析】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案.

【详解】命题P：Vx>0,Y-7x+6V0的否定为：*>0,—-7彳+6>0,

故答案为：3x>0,X2-7X+6>0

17.（2025・四川巴中•二模）设集合M={x|Y-5X+6=0},N={1,2,3,4,6},则%W=.

【答案】{1,4,6}

【分析】首先求解集合"，再根据补集概念得到答案.

【详解】对于方程/-5x+6=0,根据十字相乘法可得（X-2）（X-3）=0.

贝!]x-2=0或x-3=0,解得x=2或x=3,所以M={2,3}.

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因为N={1,2,4,6},所以4M={1,4,6}.

故答案为：{1,4,6}.

18.（2025•天津一模）已知集合/={0,1,2,3,4,5,6},8={x|x=2〃,〃e/},则/口8=.（用列举法表

示）

【答案】{024,6}

【分析】由题意写出集合3,根据集合交集，可得答案.

【详解】由题意可得8={0,2,4,6,8,10,12},则={0,2,4可}.

故答案为：{0,2,4,6}.

19.（2025・上海•三模）已知集合/={x|lrw>l},2=卜.=:25一幺”zj,则/口3=.

【答案】{3,4,5}

【分析】先分别求出集合A与集合8,再根据交集的定义求出/c8.

【详解】因为集合/={尤|In尤>1},根据对数函数的单调性求解不等式lnx>l.

X>e,即集合4={x|x>e}.

又集合8={x|y=W?,xeZ}，要使根式有意义，则根号下的数须大于等于0,BP25-x2>0,可得

-5<x<5；

又因为xeZ,所以集合3={-5,-4,-3-2,-1,0,1,2,3,4,5）.

结合集合/={x|x>e}（e«2.718）和集合8={-5,-4,一3，-2,-1,0,1,2,3,4,5},可得/口2={3,4,5}.

故答案为：{3,4,5）.

20.（2025・湖南长沙•二模）已知集合/={T2},5={xg+l=0},^A^B=A,则%的可能取值组成的

集合为.

【答案】

【分析】由题意可得3口/,利用子意的意求解即可.

【详解】QAMB=A,：.BeA.

16/27

.".当8=0时，m=0；当-leB时，m=1；当2e3时，m=—,

2

.♦./n的值为0,1,的值为“J,-,1.

故答案为：

21.（2025•山西•二模）设集合/={x|x=34+2,4wZ},B={x\x=5k+4,k&Z},在集合NcB的所有元素

中，绝对值最小的元素是.

【答案】-1

【分析】由集合交集运算易得结果.

【详解】/={x|x=3笈+2MeZ}={i,-4,-l,2,5,8「-},5={x|x=5^+4JeZ）=,

显然集合Nc8的所有元素中，绝对值最小的元素是-1.

故答案为：-1.

三、解答题

22.（2025•广东广州•三模）对于数集/={-1,小外,其中0<%<出<"・<*，"'2,定义"伴随向量

集，，8=同行=（邑）5€4/€4.若对任意区eB,存在瓦eB,使得“R=0,则称/为“好集”.

⑴已知数集4请写出数集4的“伴随向量集”可，并判断4是否为“好集”（不需要证明）；

⑵若有限集”…为“好集”，求证：1&A,且当0<%<1时，。“=1；

⑶若有限集/={-1吗,。2,为"好集"，且%T=q,a“=l,求可.

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

（3）%=小

【分析】（1）根据“伴随向量集”的概念写出集合耳，再根据“好集”的概念判断集合A是否为“好集”.

（2）先取而=（%,%）e3,根据“好集”的概念，可证明le/;在利用反证法，证明%=L

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（3）根据“好集”的概念，探索集合A中元素的构成，得到数列｛《,｝的结构特点，再求％.

【详解】（1）根据“伴随向量集”的定义可得：

4=｛（T，T），O（T，1），

因为（T，T»（T,l）=0,-1)=0，

(-1,1)-(1,1)=0,

所以对任意Re%存在£eB,使得百石=0,故集合A为“好集”.

（2）取乙,因为集合A是“好集”，所以存在&=（sj）e2,使得而也=［s+印=0,即

。［（5+1）=0.

因为0<%<1,所以s+f=0.

因为=…吗｝,所以存在s=-l,彳=1或s=l,t=-l.

所以leZ.

假设%>1,取因为集合A是“好集”，所以存在％=（s,，）e8,使得斤五=qs+a/=0.

因为0<%<%<…<a.，所以s,/异号.

若s=-l,则％=加“，而0<qV/,0<al<an,所以％=q不可能成立;

若/=-1,则$%也,而0csi4,0<a1<1,所以叫=%不可能成立.

故假设错误，即%41.

又Ie/,且0<%<。2<…<%，所以4=1.

(3)有限集2={-1,%,出，…,应}为“好集”，且0<ax<a2<-'<an,an_x=q,a〃=T,所以0<0<1.

取4二（4应）£5,由“好集”定义，存在62=（S/）EB,使得&也=4s+/=0,所以取异号.

若s=—l,贝!1%=/，因为ax<t<\,所以，=幺®/；

q

若，二一1,贝！|。科=］，因为《<夕<1,5<1,所以该式不成立.

18/27

类似的：考虑向量,4国，…，可得序列小幺，乌，…，鼻都在集合A中.

NJ2Jqqq

由3=%=10%=尸.

q

23.(2025•湖北武汉三模)用符号|)|表示集合A中元素的个数.对于实数集合A和B,且|4户2,忸|02,

定义两个集合：①和集/+B={a+6|ae4be8}；

②邻差集。(/)="*+「%%=12…，同-1},其中可，出，…,，为集合A中元素按照从小到大排列.

(1)已知集合4={1,3,5},5={2,4},求忸+|。⑷口。⑻|的值；

⑵已知集合/={2"卜=1,2,…,100},8=卜"卜=1,2,…,100},求|/+用的值；

(3)若A与8都是由加(根23,加eN*)个实数构成的集合，证明：|/+同=2加-1的充要条件是

⑶|=1.

【答案】⑴忸(，+酬=1,⑶|=1

(2)|^+S|=8775

(3)证明见解析

【分析】(1)根据和集和邻差集定义直接求解即可；

(2)考虑2'+4'=2'+2,(*),分别讨论北51和t<50的情况，由集合中元素的性质与和集的定义可得结果;

(3)根据|/|与和集的定义易证得充分性；设集合/={%,/，••・，(}，8=但也，…也}，其中％</<•••<%,,

4<%―一<与，可确定/+B中所有的元素，可证得推广可得。2+4=%+砧1，由此可得

必要性.

【详解】(1)・.,/={1,3,5},8={2,4},.•2+8={3,5,7,9},

.•.1(/+8)={2},。(4)={2},。")={2},

.•.忸(/+8)|=1,忸(/)口。(成=1

(2)考虑2'+4，=2'+4'(*),不妨设/</,则i>s,

19/27

①当此51时，4,一(4,+2,"4'一4‘T一2'=3-4'一一2匕3x450-2100>0,此时(*)式不成立；

②当区50时，若，>2人则2,一(2'+4'"2'一2'T-4'=2'T-4、2"-2"=0,此时(*)式不成立；

若，<2/,贝!14,-(4,+2,)>4,-4,-1-2'=3.4/-'-2!>3-22,-2-22M=1-22^'-22^>0,此时(*)式也不成立；

若i=2t,则取s=2/,此时(*)式成立.

由上述分析知：和集中重复的元素个数共5三0x4竺Q=1225个，

.-.|^+5|=100x100-1225=8775.

(3)充分性的证明：

当忸⑷u。⑻|=1时,不妨设。(/)=。(0={4，

设集合”={%,。2,…438=抄］也，…也}，其中4<为<…<册，4<%<,•<〃，{。.}，{，}(力=1，2「一,〃7)

是公差为〃的等差数列，

N+8={%+配％+优+d,…,％+4+2(”?-l)d},A+B里面的元素也是公差为d的等差数列，

M+同=2m—1；

必要性的证明：

设集合/={%,。2,…，%}，8=但也,…4},其中q<为<…<册，<b2<---<bm,

贝！］%+4+bt<---<am+bx<am+b2<­•-<«„,+bm,这里共2加-1个不同元素，

又|/+理=2加-1,.•.上面为和集4+5中的所有元素，

又%+4<%+打+bm<a2+bm<---<am+bm,这里共2根一1个不同元素，也为和集/+5中的所有元

素，

/.a2+bx=ax+b29即a2-ax=b2-bx,

一般地，由4+4<4+4<.•.<%+瓦<?+为+为<册+4+i+超，

ai+bl<al+b2<--<ai+bk<al+bk+i<a2+bk+l<--<am+bk+i<--<am+bm9

可得出+d=%+4+i，即〃2一6=4+1一4。“左v加一1)，

20/27

同理可得：b2-bx=ak+i-ak[\<k<m-i),得证.

【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是能够充分理解和集与邻差集的定义，同

时结合集合中元素的性质进行推理证明.

24.(2025・北京•三模)已知整数数列｛&｝，｛4｝的项数均为〃？(加>2),且同时满足以下两个性质：

@0<«[<at<­­：!«0,0<br<b2bm<Q；

@al+a2+---+am=bl+b2+---+bm.

记S=Iax—6j+|a2—Z)2I+—1-|a”,一6J.

⑴若m=?>,且a[=1,%=7,4=3,8=4,4=6,与出出,S的值；

(2)记u=max[ak-bk\l<k<m,keZ｝,v=max[bk-at\l<k<m,keZ｝,其中maxA表示集合/中元素的最大值.

(i)若加=3,。=5,求M+V的最大值；

(ii)当机=10时，若5=100,求0的最小值.

【答案】⑴。2=5,5=4；

(2)(i)2；(ii)30.

【分析】(1)直接根据定义性质得1+&+7=3+4+6,解出电，再计算S即可；

(2)(i)取极端情况｛%｝为1,3,5；取数列也“｝为2,3,4,此时〃+v=2；方法一：利用反证法，假设

"+v23,最后分析得到与性质②矛盾的点；方法二：一般性证明，设v=%-%,,pje｛1,2,3,…,加｝,

通过引入。进行合理放缩即可；方法三：利用枚举法，枚举出所有情况即可；

(ii)考虑极端情况，显然。2加=10,分类讨论。为偶数和。为奇数即可.

【详解】(1)由题意可得，1+出+7=3+4+6=电=5,

所以S=|l-3|+|5-4|+|7-6|=4.

(2)(i)由②可得，两个数列均值相等，则要使S越大，则可考虑一组数据更集中，

一组数据更分散，作为极端情况来考虑，此时要使"+V取到最大值，对应极端情况，取数列｛%｝为1,3,

5；取数列低｝为2,3,4,

贝!]〃=2—1=1/=5-4=1,"+y=2,

21/27

下证：〃+v的最大值为2：

法1：（反证法）假设〃+v>3,则max｛%v｝22,不妨设〃=max｛诙v｝22,

若〃=《_乙22：

因为0<%<%<〃3工5,0<4<%<4W5,所以％=3,仇=<

则%+%+%=3+4+5=12,4+8+&〈1+4+5=10<12,与性质②矛盾，舍去；若〃=%—432：

因为0<%<出<的V5,0<4</<仇《5,所以b222M224,可得出=4,%=5力=1,4=2

贝!|%+4+“321+4+5=10,4+4+&«1+2+5=8<10,与性质（§）矛盾，舍去；

u-%—422：

因为0<%<%<生«5,0<4<仇«5,所以4=3=>%=5,4=1也=2,

则%+%+%21+2+5=8,6]+打+&=1+2+3=6<8,与性质②矛盾，舍去.

所以〃41,同理可得所以〃+v<2.

取数列｛4｝为1,3,5；取数列出｝为2,3,4,

则w=2-1=1/=5-4=1,0+旷=2成立，所以〃+v的最大值为2.

法2：（一般性证明）设"=4-4»=%-。〃,。,/€｛1,2,3「，5｝,不妨设P>f,

则u+v=a,-b,+3-cip=b“，-b”+%-b,+与-cip=bm-（bm-bp^-b,~（ap-at^,

所以”+vVQ_（机一0）=Q-m=5-3>=2,（7分）

取数列｛aJ为L3,5；取数列低｝为2,3,4,

则"=2-l=l,v=5-4=l,a+v=2成立,所以“+v的最大值为2.

法3：（枚举法）

取｛/｝为1,2,3,则｛"｝只能为1,2,3,此时〃+v=0；

取｛%｝为1,2,4,则｛4｝只能为1,2,4,此时"+v=0；

取｛%｝为1,2,5,则也｝可能为1,2,5,也可能为1,3,4,此时〃+v=0或2；