2025初升高数学专项提升：函数的奇偶性（预备知识）原卷版

专题12函数的奇偶性

1、了解函数奇偶性的定义

2、掌握函数奇偶性的判断和证明方法.

3、会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题

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（新知速通J

知识点一：函数的奇偶性

1、定义：

1.1偶函数：一般地，设函数〃尤)的定义域为/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—x)=/(x),那么函

数/(%)就叫做偶函数.

1.2奇函数：一般地，设函数“龙)的定义域为/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—%)=—/(x),那么

函数/(九)就叫做奇函数.

2、函数奇偶性的判断

2.1定义法：

(1)先求函数的定义域/,判断定义域是否关于原点对称.

(2)求/(-%),根据/(-x)与/(x)的关系，判断/(幻的奇偶性：

①若/(-x)+于(x)=0=/(-%)=-/(x)O/(%)是奇函数

②若/(-%)-于3=0o/(-%)=/(%)。/(%)是偶函数

③若匕X)匕肃—"O/⑴既是奇函数又是偶函数

f(-x)w-f(x)

④若、:、O/(X)既不是奇函数也不是偶函数

丰于(X)

2.2图象法：

(1)先求函数/(x)的定义域/,判断定义域是否关于原点对称.

(2)若“X)的图象关于V轴对称0/(%)是偶函数

（3）若/（幻的图象关于原点对称o/（x）是奇函数

2.3性质法：

/（x）,g（x）在它们的公共定义域上有下面的结论:

/(X)

于（X）g(x)y（x）+g（x）f(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

知识点二：奇函数，偶函数的性质

1、奇函数，偶函数的图象特征

设函数/（%）的定义域为/

（1）〃尤）是偶函数0/（%）的图象关于V轴对称；

（2）/（%）是奇函数07（尤）的图象关于原点对称；

（3）若“力是奇函数且Oe/,贝！）/（0）=0

2、函数的奇偶性与单调性的关系

（1）/（%）是偶函数O/（九）在关于原点对称区间上具有相反的单调性；

（2）/（%）是奇函数O/（九）在关于原点对称区间上具有相同的单调性；

3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系

设函数/（%）的定义域为［-4-a］［a,b］（其中/“）

（1）/（九）是偶函数，且在［a向上单调，则/（对在［-4-a］上有相反的单调性,

此时函数的最大（小）值相同；

（2）/（九）是奇函数，且/（力在口向上单调，则/（%）在［-4上有相同的单调性,

此时函数的最值互为相反数；

知识点三：对称性

1、轴对称：

设函数“X)的定义域为/,且X是/(力的对称轴，则有：

@f(^a+x]=f(a-x)；

@f(x)=f(2a-x)

@f(-x)=f(2a+x)

2、点对称

设函数/(x)的定义域为/,且(。,0)是/(x)的对称中心，则有:

@f(a+x)=-f(a-x);

®f(x)=-f(2a-x)

(3)/(-X)=-/(2«+X)

3、拓展：

①若/'(a+xh/g—x),则/(x)关于x=对称；

②若〃a+x)=—/(5—x),则/⑺关于(多,0)对称；

对点集训一：判断函数的奇偶性

典型例题

例题1.(24-25高一上•湖南邵阳•期中)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()

A.y=NB.y=r

C.y=-xD.j=—

X

例题2.(24-25高一上•内蒙古赤峰•期末)判断下列函数的奇偶性：

(1)/("=9+一；

(2)/(x)=^-+|x|;

(3)f(x)=|x|--r.

精练

1.(2024高二上•黑龙江•学业考试)下列函数为偶函数的是()

A./(x)=—B.f(x)=G

C.〃x)=x2D./(%)=x3

2.(24-25高一上•全国•课后作业)判断下列函数的奇偶性：

(l)/(x)=x3+X5;

⑵/'(%)=卜+1+；

⑶〃x)=L尤2±+9^Y.

对点集训二：根据函数的奇偶性求值

典型例题

例题1.(24-25高一上•云南昭通•期中)已知/(%)=ax?+Zz¥-1,其中为常数，若〃-3)=Y,则

〃3)=.

例题2.（24-25高一上•湖南益阳•期末）已知函数f{x）^ax3-bx,且"10）=2024,贝（］/（-10）=

精练

1.(2025•四川•一模)函数〃力=尤(/-2)+1,若/.)=一1.则"—4)=()

A.-3B.-1C.0D.3

2.(24-25高一上•山东潍坊•期末)已知函数/(%)=铲”+加+法+1,且/'(—2024)=10，则/(2024)=

对点集训三：根据函数的奇偶性求解析式

典型例题

例题1.（24-25高一上•陕西西安•阶段练习）已知y=是定义在R上的奇函数，当xNO时，〃X）=X2-2X,

则在R上〃尤）的表达式为（）

A.-x（x-2）B.|.x|（%-2）C.-2）D.|x|（|x|-2）

例题2.（24-25高一上•北京•期中）偶函数〃尤）在［。,”）上满足"xbr+Zx+Z,贝IJ当x<0时，

〃x）=-

精练

1.（24-25高一下•北京•开学考试）已知函数/Xx）为偶函数，且当x<0时，/（x）=x+l,则x>0时，/（》）=_.

2.（24-25高一上•江苏宿迁•阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，且当尤>0时，f（x）=x2-l,

则函数〃尤）在x<0时的解析式为〃尤）=.

3.（24-25高一上•内蒙古通辽•阶段练习）已知函数，（尤）是定义在（f,。）.（。,+⑹上的奇函数，当x<0时，

f（x）=-x2+x+l,贝！lx>0时的/'（X）的解析式是.

对点集训四：根据函数的奇偶性求参数

典型例题

例题1.（24-25高一上•贵州黔南期末）设〃x）=-炉+（。-2）f+3彳是定义在区间［26/+3］上的奇函数,

A.-26B.38C.26D.-38

例题2.（24-25高一上•云南玉溪•期末）设〃力=2炉—5"+3是定义在,,2］上的偶函数，则2a-36=（）

A.-7B.-6C.-4D.0

精练

1.（24-25高三下•上海•阶段练习）设/（x）=V+i+“且y=/（x）是奇函数，则实数。的值为.

2.（24-25高三上•辽宁丹东•期末）已知函数〃x）=（尤+。-2乂£+°-1）为奇函数，贝心=

3.（24-25高一上•云南昭通•期末）已知定义在R上的奇函数/。）=丁+》+2-机，则加=.

对点集训五：根据函数的奇偶性解不等式

典型例题

例题1.（24-25高一下•湖南永州•开学考试）定义在R上的偶函数〃x）满足：在［0,+◎上单调递减，则满

足"2尤-1）＞/⑴的x的取值范围是（）

A.（-oo,0）B.（1,+oo）u（-«,0）C.（0,1）D.（-1,0）

例题2.（23-24高一上•贵州贵阳•阶段练习）已知函数〃尤）=＜铝,是奇函数.

（1）求实数。的值；

（2）证明：函数〃x）在［-U］上是增函数；

⑶若实数/满足不等式“1）+/⑵）＜0,求f的取值范围.

精练

1.(24-25高一上•浙江杭州•期末)已知函数〃x)是R上单调递增的奇函数.若”1+吗)+〃2〃工-4)>0,

则机的取值范围为()

A.(-oo,0)B.(0,+s)C.D.(l,-+w)

2.(24-25高一上•云南昭通•期中)已知定义在R上的奇函数/'(x)在［。,+功上单调递增，且

/(2-«)+/(1-«)<0,则实数。的取值范围是()

A1|,2］B.(ITC.［i,|)D(…1)

3.(24-25高三上•山东•阶段练习)已知奇函数/■(*)在R上是减函数，+则。的

取值范围()

A.(-2,1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(3,2)

4.(24-25高一上•山东聊城•期中)已知函数“X)为［-U］上的偶函数，当尤e［T0］时，f(x)=^-ax,

13

且占)力

(1)求函数“X)的解析式；

(2)若实数f满足不等式/G-l)>〃-2r),求r的取值范围.

基础通关

一、单选题

1.(24-25高一下•云南红河开学考试)已知函数/(X)是定义在(-3,0)50,3)上的偶函数，当0<x<3时,

Ax)的图象如图所示，则不等式/(-尤)・无>。的解集是()

B.(-3,-1)1(1,3)

C.(-3-1)0(0,1)

D.(-1,0)1(1,3)

2.(24-25高一上•河南漂河期末)已知/(耳=加+桁是定义在［2。-3,甸上的偶函数，那么的值是

()

A.--B.-C.--D.士

3322

3.(24-25高一上•重庆长寿•期末)已知〃x)为奇函数，当x>0时，〃x)=e-1,则2)=()

A.e2-lB.-e2+lC.1-e2D.e2-l

4.(24-25高三上•福建泉州•期末)已知定义在R上的函数f(x)+l为奇函数，且〃-1)=-2,则〃1)=()

A.-2B.0C.1D.2

5.(24-25高一上•甘肃武威•期末)若函数〃"=加+及+1是定义在［-l-a,2a］上的偶函数，贝=

()

A.-1B.1C.2D.-2

6.(24-25高一上•福建泉州•期中)已知函数〃尤)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-l,则〃-2)=()

53

A.—B.—C.—3D.3

44

7.(24-25高一上•黑龙江佳木斯•期末)已知函数是定义域为R的奇函数，当xWO时，

f(x)=3x2+2x+2,则/g］的值为().

8.(24-25高一上•贵州•期中)已知函数〃%)=加-法+3,且“-7)=〃?，〃7)="，则()

A.m+n=QB.m—n=0C.m+n=6D.m-n=6

二、多选题

9.(24-25高一上•福建福州•期中)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)单调递增的是()

A.y=x2-1B.y=-|x|-2

c.>=胴D.y=x+：

10.(24-25高三上•福建期中)若与g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数,则函数Mx)=〃x)g(x)

的部分图象可能为()

11.(24-25高三上•河南周口•期中)已知函数〃力=笠£+1是奇函数，贝!|〃a+小=

12.(2025高二上•辽宁•学业考试)已知〃x)为定义域为R的奇函数，当x>0时，/(x)=2x-3;当x<0

时，f(x)=

四、解答题

3x

13.(24-25高一下•云南昭通•阶段练习)已知函数〃x)=xe(-l,l).

2/+2

(1)判断函数〃x)的奇偶性；

(2)判断并证明函数〃力在区间(-1,1)上的单调性；

(3)解关于f的不等式：+1

2x+7?

14.(24-25高一上•河南郑州•期末)已知函数了(无户与三是定义在切上的奇函数.

x+a

(1)求/(x)的表达式；

(2)判断/(*)在区间加上的单调性，并证明你的结论；

闭解关于，的不等式/（1-2产）+/（3，-2）＜0.

x（2+x）,x<0

15.（24-25高一上•上海宝山•阶段练习）已知函数的表达式为〃x）=

x（2—x^,x>0

（1）求/（2）JR）的值;

（2）作出该函数的图象，判断并证明其奇偶性.