2025年北师大版小升初数学专项提升：绝对值（解析版）

专题08绝对值

目录导航

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预习目标.......................................................................................1

新课轻松学.....................................................................................1

新知速通.......................................................................................2

题型探究.......................................................................................3

题型1、求已知数的绝对值..............................................................3

题型2、已知绝对值求数或未知数.......................................................6

题型3、已知绝对值求参数的范围.......................................................9

题型4、绝对值的概念及意义辨析.......................................................12

题型5、绝对值的非负性...............................................................15

题型6、绝对值的化简求值.............................................................19

题型7、利用绝对值比较有理数的大小..................................................27

题型8、绝对值的实际应用.............................................................30

题型9、利用绝对值的几何意义求最值..................................................36

基础通关......................................................................................46

拓展提优......................................................................................59

预习目标

\_____________________________________/

1.从数形两方面理解绝对值的意义（代数意义和几何意义）；

2.会求已知数的绝对值；会根据已知绝对值求未知数；体会分类讨论思想；

3.运用绝对值的非负性解决问题；

4.能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想。

新课轻松学

\；_________________/

【思考1】下图中点/与原点之间的距离是多少？点8与原点之间的距离是多少？

1/71

一3—2—1012

【思考2】在同一条数轴上画出表示以下几对数的点，从你所画的数轴中观察，这几对点到原点的距离是多

少？你发现了什么？

①5与-502.5和-2.5

【思考3］一个数的绝对值与这个数有什么关系？

【绝对值的历史起源】提起绝对值的起源，就需要从“现代分析学之父”的德国大数学家魏尔斯特拉斯

<iWeierstrass,1815-1897)说起，他于1841年提出绝对值的定义，距今不到200年的历史。当然，你可能

觉得这个时间已经够久远了吧，但是我可以告诉你，我们所崇拜的欧拉，生于1707年，逝于1783年，就

是说，那个把无穷级数玩得贼溜，写出了数学史上最多论文的大神，一辈子都没有接触过绝对值。比照这

些年份可以看出来，绝对值算是一个出现得非常晚的数学概念了。

新知速通

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L绝对值的概念

一般地，数轴上表示一个数〃的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作问。

2.绝对值的非负性

1)取绝对值的结果总是正数或0.即：|«|>0o

2)任何数的绝对值总是非负数，如果几个数的绝对值的和为0,则这几个数都等于0,BP|a|+|b|+|c|=0,则

a=b=c=0.

3.绝对值的几何意义

一个数。的绝对值就是数轴上表示数。的点与原点的距离。

离原点距离越远，则这个数的绝对值就越大.离原点距离越近，这个数的绝对值就越小。

注意：①|a|=|a-0|表示数轴上点a的到原点的距离;@|a+b|=|a-(-b)|表示数轴上点a到点(-b)的距离。

4.绝对值的代数意义

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

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即：（1）如果Q>0,那么同=。；（2）如果Q=0,那么同=0；（3）如果〃<0,那么同二—。.

q(q>0)

6Z(6Z>0)jq(q〉0)

可整理为：\a\=<0(a=0),或|。|或同

-a(q<0)[-6Z(6Z<0)

-a(Q<0)

注意：①若同=〃（或同-q=0）,则若同=-a（或|M+〃=0），则aW0.

②互为相反数的两个数的绝对值相等.如：若|a|=|b|,则&4或2=上.

5.归纳

①绝对值等于它本身的数是：非负数;②绝对值大于它本身的数是：负数；

③绝对值等于它的相反数的数是：非正数;④绝对值最小的有理数是：_0_；

⑤绝对值最小的正整数是：_L；⑥绝对值最小的负整数是：二L.

引入绝对值这个概念，是为以后的数学转化思想做准备，通过绝对值，将负数转化为正数，这样有理数加

法计算问题就可用小学时学的加法进行运算了

6.利用绝对值比较有理数大小的方法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下:

同为正号：绝对值大的数大

两数同号

同为负号：绝对值大的反而小

两数异号正数大于负数

正数与0：正数大于0

一数为0

负数与0：负数小于0

注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：

（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小.

4=1

题型探究

题型1、求已知数的绝对值

4(4>0)

【解题技巧】数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数。的绝对值，同=«0(Q=0)o

-a(a<0)

2023

例1.（2024七年级上•全国•专题练习）-部的绝对值是（）

2024

.2023c202320242024

A______B_____________D.-

2024,2024'20232023

3/71

【答案】B

【分析】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是熟练掌握绝对值的定义.

根据绝对值的定义进行判断即可.

【详解】解：一息的绝对值是嵋,

故选：B.

例2.（2025•江苏宿迁二模）下列说法正确的是（）

A.2025的绝对值是-2025B.2025的相反数是-2025

C.2025的倒数是D.2025的相反数的绝对值是-2025

【答案】B

【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值，熟练掌握这几个定义是解题的关键.

根据相反数、倒数、绝对值的定义判断即可.

【详解】解：A.2025的绝对值是2025,故该选项错误；

B.2025的相反数是-2025,故该选项正确；

C.2025的倒数是圭，故该选项错误；

D.2025的相反数的绝对值是2025,故该选项错误.

故选B.

例3.（2025湖南株洲•三模）下列四个数中，绝对值最小的数是（）

A.—2B.—C.0D.1

2

【答案】C

【分析】本题主要考查有理数的绝对值，有理数大小的比较，解题的关键是掌握有理数绝对值的求法.

先求出各数的绝对值，然后进行比较即可得答案.

【详解】解：•.•卜2|=2,-；=；,|0|=0,|1|=1,且2＞1＞（＞0,

绝对值最小的数是0.

故选：C.

例4.（24-25七年级上•福建漳州•期中）下列各组两个数互为相反数的是（）

A.—（―3）和卜3|B.—（―3）和—1+3|

C.3和;D.—（+3）和—卜3|

4/71

【答案】B

【分析】本题考查相反数概念，化简多重符号，化简绝对值，解题的关键在于熟练掌握相关概念.先化简

多重符号与绝对值，再结合相反数概念判断各项，即可解题.

【详解】解：A、-（-3）=3和卜3|=3,不互为相反数，不符合题意;

B、-（-3）=3和-|+3|=-3,互为相反数，符合题意;

C、3和!互为倒数，不符合题意；

D、-（+3）=-3和-卜3|=-3,不互为相反数，不符合题意；

故选：B.

变式1.（2025•江西抚州•二模）-/2025|的相反数是（）

B•/

A.-2025D.2025

【答案】D

【分析】本题考查了相反数与绝对值，掌握绝对值与相反数的意义是解题的关键；选求出绝对值，再求出

相反数即可.

【详解】解：-|-2025|=-2025,而-2025的相反数为2025,

故选：D.

变式2.（2025•河南平顶山•三模）下列数轴上各点表示的数中绝对值最大的是（）

ABCD

i.i]I11i.ii.i1A

-5-4-3-2-1012345

A.点AB.点8C.点CD.点Z）

【答案】A

【分析】本题考查了绝对值的性质，属于简单题，熟悉绝对值的概念是解题关键.

根据绝对值的性质，一个数的绝对值表示这个数到原点的距离，即可解题.

【详解】解：由图可知N到原点的距离最大，

，数轴上各点表示的数中绝对值最大的是点4

故选：A.

变式3.（24-25七年级上,贵州遵义•阶段练习）下列各式中，正确的是（）

A.|—5|=-15|B.|—5|=—5C.|—5|=|5|D.—卜5]=5

【答案】C

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【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质计算即可判断求解，掌握绝对值是性质是解题的关

键.

【详解】解：A、卜5卜凡该选项错误，不合题意；

B、|-5|=5,该选项错误，不合题意；

C、|-5|=|5|,该选项正确，符合题意；

D、-|-5|=-5,该选项错误，不合题意；

故选：C.

变式4.（24-25七年级上•江苏南通・阶段练习）下列各数中，互为相反数的是（）

A.-3）和/3|B.0.6和-

。.一-3和一（+^］D.-2和一卜2）

【答案】D

【分析】本题考查了多重符号的化简，绝对值的化简，相反数的概念，根据“奇负偶正”进行符号化简，再根

据相反数的概念“只有符号不同的两个数互为相反数”，由此即可求解.

【详解】M：A.（-）-3=3,|-3|=3,原选项的两个数不是相反数，不符合题意；

B、-（-|-0.6|）=0.6,原选项的两个数不是相反数，不符合题意；

c、一一；=一；，一［+；］=一；原选项的两个数不是相反数，不符合题意；

D、-（-2）=2,原选项的两个数是相反数，符合题意；

故选：D.

题型2、已知绝对值求数或未知数

【解题技巧】若国=。，当。＞0时，x=+a当。=0时，x=0。

根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。

例1.（24-25七年级上广东广州期中）若同=2025,贝lja=.

【答案】±2025

【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键.

根据绝对值的意义即可求解.

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【详解】解：•.•同=2025,

a=±2025,

故答案为：±2025.

例2.（2024七年级上•全国・专题练习）若同=5,且a<0,贝心=；若国=卜9|,贝卜=

【答案】-5±9

【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；

根据绝对值的意义进行化简计算即可求解；

【详解】解：•.•问=5,

.'.47—5或—5,

<2<0,

a=—5/

,小HT，

二.国=9,

/.x=±9；

故答案为：-5；±9

例3.（24-25七年级上•河北保定•期末）若卜时=-；，则机的值为（）

A.；或-1B.；C.2或一2D.-2

222

【答案】A

【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义成为解题的关键.

根据绝对值的意义即可解答.

【详解】解：

=,即冽的值为;或一;.

故选A.

例4.（23-24七年级上•河南郑州•阶段练习）已知|x-5|=|-3],则x的值为.

【答案】8或2/2或8

【分析】本题考查了绝对值方程，根据绝对值等于一个正数的数有2个求解即可.

【详解】解:•••|X-5H-3|,

7/71

|x—5|=3,

尤—5=3或x—5=-3,

，x=8或2.

故答案为：8或2.

变式1.（24-25七年级上山东济南•阶段练习）若同=6,贝1Jx=；|3-TT|=.

【答案］±6万-3

【分析】直接根据绝对值的意义进行求解即可.

【详解】解:••-|x|=6,.-.x=±6；

|3-司=万-3;

故答案为±6；乃-3.

【点睛】本题主要考查绝对值，熟练掌握求一个数的绝对值是解题的关键.

变式2.（23-24七年级上•江苏无锡•阶段练习）若同=-“，贝。是；若|-x|=|-8|,则x

【答案】负数或零x=±8

【分析】根据绝对值的性质即可解决问题.

【详解】若同=-口则a是负数或零；

若卜x月一8|,则尤=±8.

故答案为：负数或零；±8.

【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是记住：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数,

0的绝对值等于0.

变式3.（23-24六年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）若卜2尤贝ljx=.

【答案】3或-3

【分析】本题考查了绝对值的意义，正确熟练掌握知识点是解题的关键.

直接取绝对值即可.

【详解】B：|-2X|=|-6|

|2x|=6

|x|=3

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「•X=3或-3.

故答案为：3或-3.

变式4.（23-24七年级上•江苏无锡•期中）已知=贝心=.

【答案】2或0/0或2

【分析】本题考查绝对值方程，解题的关键是熟记绝对值的意义.

根据绝对值的意义即可求解.

【详解】|a-l|=l

•,a—1—1a—1——1

「♦a=2或0.

故答案为：2或0.

变式5.（24-25六年级下•黑龙江大庆期中）如果H=〃，则见〃的关系是（）

A.互为相反数B.m=±n,且〃>0

C.相等且都不小于0D.冽是〃的绝对值

【答案】B

【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的非负性，结合等式帆|=〃，分析加与几的关系.

【详解】M：■.■\m\=n,

/.m=±n,且〃20,

故选：B.

题型3、已知绝对值求参数的范围

【解题技巧】若间（或同-a=0）,则a，0,若|a|=-a（或同+a=0）,则aWO.

例1.（24-25七年级上•湖北十堰・期末）如果|a|=a,那么。是（）

A.正数B.非负数C.负数D.非正数

【答案】B

【分析】此题考查绝对值，解题关键在于掌握若。>0,则同=。；若a=0,则同=0；若a<0,则同直

接根据绝对值的意义求解即可.

【详解】解：•.[a]=a,

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二。是非负数，

故选：B.

例2.（24-25七年级上•四川南充•期中）已知数。满足|。-1卜1-贝心不可能为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】本题考查了绝对值的意义，根据非负数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，即可

解答，掌握绝对值的意义是解题的关键.

【详解】解：=1-a,

a<\,

由选项可知A,B,C符合，D不符合，

故选：D.

例3.（24-25七年级上讷蒙古乌兰察布期末）如|尤-5|+工-5=0,那么x的取值是.

【答案】x<5

【分析】本题考查了绝对值的化简，求不等式的解集，正确理解绝对值的概念是解答本题的关键，绝对值

化简方法为何.移项得卜-5|=5-X,根据绝对值的化简方法，即可得到答案.

11[~a（a<0）।1

【详解】v|x-5|+x-5=0

/.|x—5|=5—x

x-5<0

/.x<5.

故答案为：x<5.

例4.（24-25七年级上•北京•期中）若国-3=卜-3|成立，那么x的取值范围是.

【答案】x>3

【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出国学3,得至卜23或xV-3,然后分情况验证即可.

【详解】•.•忖-3邛-3已0成立，

|x|>3

x>3^X<-3

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.•.当x23时，国一3=x-3,上一3|=》一3,等式成立；

当xV-3时，国一3=一工一3,卜一3|=r+3,等式不成立；

综上所述，x的取值范围是x23.

故答案为：x>3.

变式1.（24-25八年级上•黑龙江绥化•期末）若x+|x|=O,贝卜一定是（）.

A.正数B.负数C,正数或零D.负数或零

【答案】D

【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解.

【详解】解：•.•x+W=O

|x|=-x>0,

••・X40,即无一定是负数或零

故选：D.

变式2.（23-24七年级上•陕西汉中,阶段练习）若卜司=-优，下列机的取值能使这个式子成立的是（）

A.-1B.1C.2D.m取任何数

【答案】A

【分析】根据绝对值的性质得到-加>0,即可判断.

【详解】解：•.[-同=-加，

-m>0,

'''m<0,选项中只有-1符合，

故选：A.

【点睛】此题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反

数，正确掌握绝对值的性质是解题的关键.

变式3.（24-25七年级上•浙江杭州•阶段练习）如果|2-x|=x-2,那么x的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C.x<2D.x<2

【答案】B

【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可.

【详解】解:•••|2-x|=x-2

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••x—220

••x>2.

故选：B.

变式4.（23-24七年级上,全国•单元测试）若|。-4|=回+卜4|,贝IJ°的值是（）

A.任意有理数B.任意一个非负数C.任意一个非正数D.任意一个负数

【答案】C

【分析】本题考查绝对值性质.根据题意分三种情况，当a24时，当0<。<4时，当a40时，结合绝对值

性质讨论求解，即可解题.

【详解】解:当aN4时,|a-4|=a-4,|a|+|-4|=«+4,此时卜-4国a|+|-4|;

当0<a<4时，|tz-4|=-a+4,|a|+|-4|=tz+4,此时|a-4国4+|-4|;

当aW0时，|«-4|=-a+4,|a|+|-4|=-a+4,此时|a-4|=问+|-4];

所以当|。-4|=同+卜4|则a的值是任意一个非正数；

故选：C.

题型4、绝对值的概念及意义辨析

【解题技巧】绝对值的几何意义：一个数。的绝对值就是数轴上表示数。的点与原点的距离。

绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；°的绝对值是°。

例1.（24-25七年级下•四川乐山•期中）下列表述中，正确的个数是（）

①任何数都有相反数；②0是最小的有理数；③存在绝对值最小的数；④绝对值是同一个正数的数有两个，

它们互为相反数；⑤绝对值等于它相反数的数只有负数.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本此题考查有理数，由相反数的定义、绝对值的定义和性质逐一分析，即可得出正确答案.相反

数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数；正数的绝对值是它本身，。的绝对值是0,负数的绝对

值是它的相反数.

【详解】解：①相反数：数值相同，符号相反的两个数，从而可知任何数都有相反数，故①正确；

②没有最小的有理数，故②错误；

③绝对值最小的数是0,故存在绝对值最小的数，故③正确；

12/71

④负数的绝对值是正数，正数的绝对值是它本身，所以绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数,

故④正确；

⑤绝对值等于它相反数的数是。或负数，故⑤错误；

所以正确说法有①③④，共3个.

故选：B.

例2.（24-25七年级上•江苏宿迁•期中）下列说法正确的是（）

A.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等

B.有理数a的倒数是工

a

C.一个数的绝对值一定大于或等于这个数

D.一个数的相反数一定小于或等于这个数

【答案】C

【分析】本题考查倒数，相反数，绝对值，根据倒数，相反数，绝对值的定义逐项判断即可，熟练掌握相关

定义是解题的关键.

【详解】解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，则A不符合题意；

当。=0时，。没有倒数，则B不符合题意；

一个数的绝对值一定大于或等于这个数，则C符合题意；

-2的相反数是2,而2>-2,则D不符合题意；

故选：C.

例3.（24-25七年级上•河北石家庄期末）下列说法：①。一定是非负数；②-卜。|一定是负数；③相反数

等于它本身的数是0；④绝对值大于它本身的数是负数.其中正确的序号为（）

A.（TX2）B.（2X3）C.①③D.③④

【答案】D

【分析】本题考查了正负数，相反数，绝对值等概念，根据正负数，相反数，绝对值等概念的意义和性质

求解即可.

【详解】解：①。不一定是非负数，例如。=-1时，a是负数，故说法错误；

②-卜,不一定是负数，例如0=0时，-卜。|是0,故说法错误；

③相反数等于它本身的数是0,正确；

④绝对值大于它本身的数是负数，正确.

13/71

故选：D.

例4.（23-24七年级上.山东青岛.期中）一个数的绝对值是它的倒数，这个数是（）

A.1B.-1C.0D.1^-1

【答案】A

【分析】根据绝对值和倒数的定义判断即可.

【详解】解：绝对值是它的倒数是L

故选A.

【点睛】本题考查了倒数和绝对值的定义，要注意乘积是1的两数互为倒数.

变式1.（24-25七年级上•辽宁丹东期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等,

那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大,

离原点越远.其中正确的有（）

A.2个B.1个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质进行判断即可，掌握绝对值的性质是解题的关键.

【详解】解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0,故①不符合题意；

②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意；

③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意；

④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意；

综上，符合题意的有②④，共2个，

故选：A.

变式2.（2024七年级上•全国•专题练习）给出下面四种说法：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数

可能不相等；②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数；③若阿|>加，则〃z<0；④如果|。|>同，那

么a>b.其中正确的是（）

A.①03）B.0X2）④C.①（M）D.②

【答案】A

【分析】本题考查了绝对值的意义和相反数的意义.根据相反数的性质，绝对值的意义逐项分析判断即可

求解.

【详解】解：①互为相反数的两个数绝对值相等，那么这两个数可能不相等，故①正确，符合题意；

②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数，故②正确，符合题意；

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③若|司>",则机<0,故③正确,符合题意;

④若a>0,6>0,\a\>\b\,则a>b,若a<0,6<0,料>1,则a<6,故④不正确，不符合题意；

故选A.

变式3.（24-25七年级上山东滨州期末）下列结论中正确的是（）

A,正数和负数互为相反数B.绝对值是它本身的数是正数

C.有绝对值最小的有理数D.在数-1和0之间没有负数

【答案】C

【分析】本题考查了正数和负数、相反数、绝对值和有理数的知识，掌握以上知识是解题的关键；

本题根据正数和负数、相反数、绝对值和有理数的知识，进行作答，即可求解.

【详解】解：A、正数和负数互为相反数，错误，相反数要求数值相等且符号相反，例如3和-3,但任意

正数和负数（如2和-5）不一定互为相反数；

B、绝对值是它本身的数是正数，错误，非负数（包括0和正数）的绝对值等于自身，因此0也符合条件,

但0不是正数；

C、有绝对值最小的有理数，正确，绝对值最小的有理数是0,因为任何非零有理数的绝对值都大于0；

D、在数-1和0之间没有负数，错误，-1和0之间的数（如-0.5）仍然是负数；

故选：C.

变式4.（23-24七年级上•江苏南京•阶段练习）已知小表示有理数，则网-机一定是（）

A,非正数B,非负数C.正数D.零

【答案】B

【分析】本题考查了绝对值.根据负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0,可得答案.

【详解】解：羽是有理数，则国|-机一定是。或正数，

故选：B.

题型5、绝对值的非负性

【解题技巧】（1）同20。（2）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0,则每一个非负数必为0”,

即若|a|+|b|=0,则|a|=0且|6|=0。

例1.（24-25七年级上•山东威海・期末）若。是有理数，则下列说法正确的是（）

A.一。一定是负数B.同一定是正数C.十一定是负数D.同+1一定是正数

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【答案】D

【分析】本题考查有理数的相关概念，绝对值的性质，关键是要牢记正负数的定义和绝对值的性质.根据

正负数的概念及绝对值的性质即可得出答案.

【详解】解：A.若。是有理数，当。=0时，-°=0,0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；

B.若。是有理数，则同20,故本选项不合题意；

C.若。是有理数，则-卜”归0,故本选项不合题意；

D.因为同“，所以同+1>0,即时+1一定是正数，故本选项符合题意.

故选：D.

例2.（24-25七年级上•湖南长沙期末）卜+1|+（6-3）2=0,则a和6各为（）

A.-1,-3B.1,3C.1,-3D.-1,3

【答案】D

【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据|。+1|+伍-3）2=0,得|a+l|=0,（6-3）2=0,则0=-1/=3,

即可作答.

【详解】解：小+1|+（6-3）2=0,

|a+l|=0,（Z>-3）2=0,

。+1=0,6—3=0,

/.a=-l,b=3,

故选：D.

例3.（24-25七年级下•北京期中）已知实数a,6满足（a+6-1丫+|2a-6-@=。则a+b=.

【答案】1

【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据（。+。-1）2+|2"。-©=。得〃+6=1,2"6=8,即可作答.

【详解】解：（a+b-X^+\la-b-^=0

（a+b-以=0,|2"6-8|=G

a+b=lf2a-b=8,

故答案为：1

例4.（23-24七年级上•浙江杭州期中）式子心-7|-3的值可能是（）

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A.-10B.-7C.-4D.0

【答案】D

【分析】本题考查了绝对值的实际意义，关键是要结合选项来判断结果.

根据绝对值的实际意义，非负数的性质，得到|X-7|-3±-3,结合四个选项，从而得到结果.

【详解】M：Q|x-7|>0,

/.|x—71—3N—3,

根据四个选项中，前三项-10,-7,一4均小于-3,只有D选项。大于-3,

故选：D.

例5.（24-25七年级上福建龙岩・期末）如果x为有理数，式子2025Tx+4|存在最大值，这个最大值是（）

A.2025B.2024C.2023D.2022

【答案】A

【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解卜+4上0是解本题的关键.

根据卜+4的最小值是0即可求解.

【详解】解：•••x为有理数，式子2025Tx+4|存在最大值，

，当归+4|=0时，式子2025-归+4|最大值为2025,

故选：A.

变式1.（23-24七年级上甘肃庆阳•阶段练习）如果x,y表示两个有理数，且忖+忖=0,则（）

/X.x,y互为非零的相反数B.x,y的符号相反

C.x,y的值有无数个D.x=y=0

【答案】D

【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握其性质是解题的关键.根据绝对值的非负性即可求得答案.

【详解】解：•.•国+3=0,|x|,0,3」0,

x=y=0,

故选：D.

变式2.（2024七年级上•全国•专题练习）已知|尤-2|+61|=0,则x+y的相反数的绝对值为.

【答案】3

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【分析】本题考查了利用绝对值的非负性求参数，代数式求值.首先根据绝对值的非负性，列出方程求出X、

y的值，代入所求代数式计算，再根据相反数和绝对值的定义即可求得.

【详解】解:■.■\x-2\+\y-l\=0,|x-2|>0,|y-l|>0,

x—2=0,y—1=0,

解得：x-2,y=1,

贝尤+y=2+1=3,

:3的相反数为-3,

的相反数为-3.

则x+y的相反数的绝对值为卜3|=3.

故答案为3.

变式3.（2024七年级上•全国•专题练习）已知|x-2|+|y-3|+|z-4|=0,则x,八z的值分别是.

【答案】x=2,y=3,z=4

【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解.

【详解】V|x-2|>0,|y-3|>0,|z-4|>0,且,_2|+卜_3|+归_4|=0,

|^-2|=0,|y-3|=0,|z-4|=0,

x=2,y=3,z=4.

故答案为：x=2,y=3,z=4.

变式4.（24-25七年级上,四川德阳期末）当日机+7卜5的值最小时，机=.

【答案】、7

【分析】此题主要考查了绝对值的非负性.根据绝对值的非负性可知|2机+7,0即可解答.

【详解】I?：•••|2m+7|>0,

|2/H+7|—5>—5,

7

此时倡刃+7|=0时，|2加+7卜5的值最小，贝

7

故答案为：一万.

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变式5.（2024七年级上•全国•专题练习）如果x为有理数，式子2026Tx-2026|存在最大值，这个最大值

是（）

A.2026B.4049C.20D.0

【答案】A

【分析】本题考查的是非负数的性质-绝对值，根据绝对值的非负性，可知卜-2026|20,得出式子

2026Tx-2026|存在最大值，即可选出答案.

【详解】解：因为绝对值具有非负性，

所以|x-2026,0,

所以2026Tx-2026区2026,

所以当卜-2026|=0时，式子有最大值，此时的值是2026.

故选：A.

题型6、绝对值的化简求值

【解题技巧】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，

绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是

“十”，去括号，括号内不变；括号前是“一”，去括号，括号内各项要变号；④化简。

注意：注意去绝对值符号时与去括号时是否需要变号，及变号的正确性。

例1.（23-24七年级下•湖北孝感•阶段练习）若0Va<l,贝力4+|。-1|=.

【答案】1

【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定1<0,然后化简绝对值即可求解.

【详解】解：

Q—1<0,

.,.阿+,—1|—+1—4=1,

故答案为：1.

例2.（23-24七年级上广东广州•阶段练习）若。<3,化简4-|2a-6|二

【答案】2a-2.

【分析】在解题中根据a<3,2a<6,2a-6<0,然后去掉绝对值符号，即可得出结果.

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【详解】-.-aO,2a<6,2a-6<0

■--4-|2a-6|=4-（6-2a）=2a-2

故答案为2a-2.

【点睛】此题考查绝对值，解题关键在于判断式子的大小.

例3.（2025・河北唐山・二模）若代数式卜-2|+|3-x|可以按照如下的方式化简，则x的值可以是（）

|x-2|+13-x|=x-2+3-x=1.

A.41B.V3C.45D.Ji

【答案】C

【分析】本题主要考查绝对值的化简规则以及无理数的估算.根据绝对值内式子的正负性来去掉绝对值符

号，是解题的关键.

先依据绝对值性质，分别分析匕-2|与|3-x|在何种情况下可化为给定化简式中的形式，确定尤的取值范围，

再据此判断选项中符合该范围的x值.

【详解】原式|x-2|+|3-x|的化简过程为：

|x—2|+13—x|=（x—2）+（3—x）=1

要使该化简成立，需满足以下两个条件：

x-220且3-xNO解得，24尤43

A：1<72<2,不满足条件.

B：1<V3<2,不满足条件.

C：2<V5<3,介于2和3之间，满足条件.

D：3<K<4,不满足条件.

故选：C

例4.（23-24七年级上,山西忻州•期末）数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，化简卜-c|的结

果为（）

A.—a+b—cB.—a—Z?+cC.a+6—cD.ci—b+c

【答案】B

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【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知

识进行变形、求解.运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算.

先确定Ac的符合以及大小，然后再取绝对值即可.

【详解】解：由题意得，a<0<b<c,-a>0,b—c<0,

+=-a-(b-c)=-a-b+c,

故选：B.

例5.(24-25七年级上•江苏泰州•期中)有理数〃、b、c在数轴上的位置如图所示.

ba0c

⑴用‘>”、"<"或‘'="填空：ab,ac；

(2)则,“-|c-N+卜-c|化简后=.

【答案】(1)><

(2)-2a

【分析】(1)根据点在数轴上的位置及有理数大小比较方法即可得到两个数的大小关系；

(2)由(1)的结论可确定绝对值符号里各式的符号，从而可脱去绝对值，最后化简即可.

【详解】(1)解：由数轴可知：b<a<O<c,

所以a>b,a<c,

故答案为：>,<；

(2)由(1)知，a+Z><0,c—b>0,a-c<0,

;Ja+Z>]一|c—母+|a—4

——(a+b)—(c—6)—(q—c)

二-a—b—c~\~h—Q+C

=—2a；

故答案为：—2a.

【点睛】本题考查了绝对值的化简，有理数大小的比较，有理数加减运算，整式的加减等知识，根据数轴

确定式子的符号是关键.

例6.(2025八年级下•全国•专题练习)如果x<"0,那么化简田+⑷的结果是()

xxy

A.0B.-2C.2D.3

【答案】A

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【分析】此题主要考查绝对值的化简和分式的运算，先根据绝对值的性质去掉绝对值，再约分化简即可.

【详解】解：,；x<y<0,

.,.盯>0,

...区+⑷=二+丑=_1+1=0

xxyxxy

故选：A.

abab

例7.（23-24七年级上•浙江绍兴•阶段练习）如果口30,那么向+网+同的值是（）

A.±l或3B.-1或3C.1或3D.±1或-3

【答案】B

【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值.根据曲片0,即°、6全为正数时，或0、6为一正一负

时，或.、6全负时分类讨论计算即可.

【详解】解：•.•油片0,

...设。>0,6>0时,

abab

---1----1----=1+1+1=3,

|a|\b\|ab\

Q>0,6<0或。<0,b>0时,

abab、<，<abab

——+——+=1-1-1=-1-1+1-1=-1

|a||b||ab\

Q<0,Z?<0时,

abab,

二.——+——+---=-14-14+1=-1

|a||b||ab\

abab^

综上可得:---1----1----=3或—1

\a\\b\\ab\

故选:B.

例8.（23-24七年级上•山东潍坊•期末）已知有理数Q,b,c满足〃+b+c=