2025年高中数学必修第一册第二章综合检测卷（拔尖C卷）解析版

高中数学人教A版必修第一册第二章综合检测卷(拔尖C卷)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1.对于实数a,b,c,下列命题中正确的是()

A.若贝！

B.若〃<2,2<a+〃工4,贝！J444a-26Vli

C.若Ovavb,贝心

ab

D.若a〉b〉c>0,贝

bb+c

【答案】D

【分析】由不等式性质判断各选项正误即可.

【详解】对于选项A,注意到若。=0,当时，=耐=o.故A错误.

对于选项B,设%一，)+几(a+1)=4a—2Z?,

，一fm+n=4，一，一fm=3一/、(\

得。，解得「又3<3a"V6,24a+944,

\n—m=-2[n=1'/

得5W4a-2bW10.故B错误.

对于C选项，因0<”6,则〃>片Q工>《Qg>故c错误.

ababab

对于D选项，三-产因贝产，故D正确.

bb+cb\b+c\bb+c

故选：D

2.已知x>0,y>0,且x+2y=孙，若不等式x+2”疗一2加恒成立，则实数机的取值范围是

()

A.[-2,4]B.(-2,4)C.(F,-2]u[4,y)D.(F,—2)_(4,E)

【答案】A

21

【分析】由条件可得；+;;=1,根据"1"的变形技巧，利用基本不等式求出x+2y的最小值，解

不等式即可得解.

21

【详解】*+2卜=肛可化为—+—=1,

%y

则x+2y=(x+2y)H+；]=4+?+：24+2杵彳=8,

当且仅当x=2y=4时等号成立，即无+2y的最小值为8,

因为x+2yN疗-2m恒成立,所以“-2〃心8,解得-2<秋《4,

则实数m的取值范围是[-2,4].

故选：A.

3.关于x的不等式尔2+23-1<0的解集为R的一个充分不必要条件是()

A.B.-l<m<0

2

C.-2<m<-lD.-3<m<--

2

【答案】A

【分析】先由二次不等式恒成立求得题设条件的等价条件，再利用充要条件与集合之间的关系

对选项逐一判断即可.

【详解】因为m^+Zmx—lvO解集为R,

所以当机=0时，不等式为-LvO,显然成立，满足题意；

[777<0fzTl<0

当7"0时，得|A-C，即L2工4“n，解得T<〃z<。，

[△<0[4%+4m<0

综上：-1K0,即mx?+2如_1<0的解集为R等价于,

对于A,因为是(T。]的真子集，所以-1<根<根<0,即-1<根•是

小2+2〃比一1<。的解集为R的充分不必要条件，故A正确；

对于B,易知-1<加<0是皿2+2如-1<0的解集为R的充要条件，故B错误；

对于C,因为(-2,-1)与(-1,0]互不包含，所以-2<-1是后+2〃a-1<0的解集为R的既不充分

也不必要条件，故C错误；

对于D,因为1-3,-；]与互不包含，所以-3<加<-1■是晟+2尔_]<0的解集为R的既不充

分也不必要条件，故D错误.

故选：A.

4.设机为实数，y=(m+l)x2-mx+m-l,若不等式V>。的解集为0,则机的取值范围是()

A2g2相2g

A.--------<m<---D.m<--------C.m>D.。

3333

【答案】B

【分析】当机+i=o时，不合题意；当机+1H0时，由此能求出加的取值范围.

【详解】当"7+1=0时，m=-l,

y=x-2>0,解得x>2,不合题意；

当zn+lwO时，

不等式y>0的解集为0,

m+1<0

A=（―m）2—+<0'

解得相4-马叵.

3

,机的取值范围是卜巩-

故选：B

5.某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角

而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两

个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价

为每平方米600元.在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（）.

A.36平方米B.48平方米

C.64平方米D.72平方米

【答案】C

【分析】设不靠墙的两个侧面的长度分别为％，V,由题有1600（x+y）+600孙<64000,利用基

本不等式可得答案.

【详解】设不靠墙的两个侧面的长度分别为X，匕由题有

64000>1600（x+y）+600孙23200y/xy+600孙.

令历=f>0,贝lj600/+3200/-64000<0

=200（3/+40）1一8）40n0<r48,即町^64,当且仅当x=y=8时取等号.

故选：C

6.已知x,y是正实数，则下列式子中能使彳>，恒成立的是（）

21112111

A.x+—>y+—B.x+丁>y+—c.x->y-D.——

yx2yxyx2yx

【答案】B

【分析】特殊化的方法，取x=y可判断A,取x-O,y=l可判断C,。可排除AC。，可得答

案B,也可利用不等式性质证明B正确.

【详解】对于A,取％=以该不等式成立，但不满足，>兀

12

对于C,该不等式等价于x+->y+二，取x-O,y=i,该不等式成立，但不满足彳>兀

对于。，该不等式等价于x+[>y+5，取xfO,y=i,该不等式成立，但不满足x>y；

下面证明B

法一

不等式等价于彳_工>，而x」>y_4>y_L

尤2yx2yy

函数f（x）=尤-,在（。,+8）上单增，故

X

法二

若xWy,则;<一,故x+}<y+L矛盾.

2yx2yx

故选：B

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，函数的单调性，反证法，属于中档题.

7.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把"="作为等号使用，后来英国

数学家哈利奥特首次使用">"和符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展

影响深远.若实数x+3y=3（x>l,y>:],则*+$的最大值为（）

1LJV十I

65

A.—B.-C.3D.4

52

【答案】A

【分析】根据分离常数法和均值不等式即可进一步求解.

.「x3yx+113y+111111、

r详解1因为---1------=----------1-----------=1-----i-i------=2-（z----1-----）

“朽‘+]3y+lx+1x+13y+l3y+lx+13y+lx+13y+l

又因为x+3y=3,

所以(x+l)+(3y+l)=5,

所以，二岛

1八3y+1x+l八、1八4

所以±十六=-(l+——+----+l)>-x2卫三+；

5x+l3y+l5I'x+l3y+l,5

3y+lx+l

当且仅当

x+13y+l

BP(3y+l)2=(x+l)2,

所以(x+l)=(3y+l)且当(x+l)+(3y+l)=5,

即(x+l)=(3y+l)=|>

31

即x=5，y=］时，

x+l3y+lmin于

故选：A.

8.已知x,yeR,x2+y2+xy=l,贝lj()

A.¥+,2的最大值为:且的最大值为芈

D3

B.x2+y1的最大值为I且％+y的最小值为0

C.f+尸的最小值为:且x+y的最大值为挛

J3

D.V+y2的最小值为:且y的最小值为0

【答案】C

【分析】利用/+个可求出f+y2的最小值，利用(尤+424孙可求出x+y的最大值.

【详解】禾烟1+/22个，贝次+/+孙=14/+/+兰1£,整理得一+八|,

当且仅当彳=九即无2=y2=：时取得等号，即的最小值为:；

利用(％+y)2之4肛,x2+y2+xy=l=(x+y)2-xy,即孙=(%+＞丁一1W('+，整理得(工+丁产工金,即

43

-空Mx+y(组,

33

当且仅当x=y=。时取得等号，故x+y的最大值为寺.

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.已知ahceR,则下列推理正确的是（）

ab>0111

A.a>bnac1>be1B.〉=一<V

a>b\ab

>Z?>01bb+ca>b]…

C.八—v---D.>^ac>bd

c>0Jaa+cc>aj

【答案】BC

【分析】根据不等式的基本性质证明BC成立，取特殊值说明AD错误.

【详解】对于A:当c=0时,。>6,。/=bc。,A选项错误；

对于B:时，。6>0,，">0则1<；,B选项正确；

abaD

hh+c人(a+c)-〃伍+c)c(b-a],.一八

对于C：a>b>0,c>0,贝！J------E<°'c选项正确;

aa+ca(q+c)

对于D：a=2,b=l,c=-l,4=-2,〃0=-2,4=-2,故口错误.

故选:BC.

10.已知“，b为正实数，且必+2a+b=6,则（）

A.必的最大值为2B.2〃+匕的最小值为5

C.+的最小值为：D.-4£（0,3）

a+1b+18

【答案】AC

【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可求解.

【详解】依题意，

对于A：因为必+2a+b=6,

6=ab+2a+b>ab+2J2ab,

当且仅当2〃=b时取等号，

令t=&＞Q,则有〃+2万-640,

解得-又因为"A/防＞0,

所以0＜区0,即0＜窥V忘，

必的最大值为2,故A选项正确；

对于B：因为而+2。+8=6,

所以6=aZ7+2a+Z7=Lx2ab+2a+b＜—x（2"+"）+2a+b，

224

当且仅当2a=6时取等号，

令t=2a+b＞0,则有r+8—4820,

解得也4或tW-12（舍去），

IP2a+b＞4,所以2a+6的最小值为4,

故B选项错误;

对于C：因为。6+2。+/?=6,

所以£=二”1+工

888

匕匚［、［12Z?+12177+1219

所以---+---=---+---+->2.------x---------p—二一

〃+1b+\8b+\88"188

当且仅当『=即八3时等式成立,

12Q

所以何的最小值为蓝故C选项正确;

17?

对于D：当a=：,b==时，|4-4=4.1540,3),

所以D选项错误;

故选：AC.

11.下列叙述不正确的是（）

A.，＜2的解是无＞彳

X2

B."0Km«4"是之0〃的充要条件

C.已知xeR,则“尤＞0"是"|无-1|＜1"的必要不充分条件

a

D.函数=的最小值是2宕-2

【答案】AD

【分析】利用分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、均值不等式判断各选项即可.

【详解】选项A：工<2的解是x><或x<0,故A不正确；

%2

（加〉0

选项B：由y=如？+曜+1得A=/-4根，如2+3+1之0恒成立则<或机=0,解得

\m-4m<0

0<m<4,所以“0（机《4"是"?nx?+mx+120”的充要条件，故B正确；

选项C：由1|<1得-1。-1<1,解得0<%<2,所以0>0〃是牛-1<1〃的必要不充分条件，故

C正确；

选项D：由均值不等式得了+2+—2、/（尤2+2卜之=,当且仅当炉+2=一=时等号成

X2+2V'x2+2尤2+2

立，此时x无实数解，所以/（司=/+£的最小值大于2右一2,故D不正确；

故选：AD

12.已知实数％,y满足/+,2+*=4,则（）

A。vvg4-\/34A/3

A.-2WyW2Bn.--------<x+y<------

33

C.-4<x-y<4D.|<x2+y2<8

【答案】BCD

【分析】将等式改写成关于x的一元二次方程，该方程必有根即可判断A；利用不等式

.4”正可判断B；根据不等式一孙4生三可判断c；再由不等式盯《二二以及

MG）厂的取值范围可判断D.

【详解】对于A,由题可知/+/+/_4=0,此时必有x满足等式，即该方程必有实数根;

j5ff^A=/-4（y2-4）>0,即可得_挈4丫<乎；所以A错误；

33

对于B,由于Y+y2+D=（x+y）2一孙=4,再根据不等式孙《生汉，

4

得返"44,所以一迪0+”速，

433

当且仅当尤=>=友时，不等式x+y4延的等号成立，

33

当且仅当x=y=-子时，不等式一半4苫+>的等号成立；

即B正确；

22

对于C,x+/+xy=（%-y）+3xy=4,再根据不等式_孙4g£,

4

得包二匕4,即可得-4Vx-”4,

4

当且仅当x=r=2时，不等式x-yV4的等号成立，

当且仅当天=7=-2时，不等式-44尤-y的等号成立；

所以C正确；

对于D,由孙可知力+用+孙=443，；,）,即|4d+y2；

当且仅当x=y=半或x=y=-半时，不等式1vd+y的等号成立,

DDJ

由/+丁+孙=4得/+)2_4=-xy,

222:

而_"r)；+y2,即Y+y2-4=一孙4(-x)+y_x+y

所以£±Mw4,即可得d+y2V8；

2

当且仅当x=7=2或x=-y=-2时，不等式V+y2V8的等号成立；

所以*2+y2«8；即D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1Q

13.已知/（无）=-+—（0<x<4）,则/（X）的最小值为.

x4-x

【答案】4

【分析】根据x+4-x=4可得〃尤）=；（彳+4-尤）（』+：-],再根据基本不等式求解即可.

qkX4Xj

【详解】因为x+4-x=4,故/5）=』+六=："+4-力[」+4]=；卜。+三+鲁]

x4—x44-x）4vx4-xJ

当且仅当匕=4,即尤=1时取等号•故/⑺的最小值为4.

x4-x

故答案为：4

14.若“叫eR,2*+2缶/-320”是假命题，则实数加的取值范围是.

【答案】（-3,0]

【分析】求出给定命题的否定，再由所得命题为真命题，求解作答.

【详解】命题,2叫+24咻—320”的否定是：VxeR,2荷+2回认—3<4,

依题意，命题“VxeR,27*+203-3<0”为真命题，

当〃z=0时，一3<0成立，贝1]m=0,

f/72<0

当切大0时，不等式2"V+2点"优-3<0恒成立，则《八°2»八，解得-3（机<0,

综上得：-3<m<0,

所以实数机的取值范围是（-3,0].

故答案为：（TO]

15.若不等式3+3乂尤―"wo对任意的x40,田）恒成立，则。仅+1）的最大值为.

【答案】-6

【分析】讨论后。、10,根据不等式恒成立，结合一次函数、二次函数的性质，再讨论。彳0、

。=0情况下参数。之间的数量关系，最后根据目标式并应用基本不等式求最大值，注意等

号成立条件.

【详解】1、当后。时，题设不等式恒成立，只需>="+340恒成立，

。力0时，由一次函数的性质易知：>=依+3<0不可能恒成立；

a=0时，丫=3>0不成立；

回6V0不合要求.

,、fav+3>0fax+3<0,,

2、当>>0时,由题设有喘-云。或1-匹。在（°'+?）上恒t成立,

当。=0时，炉-640在（。,+?）上不可能恒成立，不合要求；

当时，在（。,+?）上，=分+3、y=Y-）以零点为界两侧单调性相反，且零点相同,

33

0—=4b,BPa=,

a7b

回。仅+1）=-3（6+[）〈一3*2小历・[=一6,当且仅当a=-3,

8=1时等号成立.

综上，〃优+1）的最大值为-6.

故答案为：-6.

c1

16.已知a>0/>0,c>。，a2—aZ?+9b2—5c=0,当下最小时，f—3%之。+6一；。恒成立，则犬的取

ab3

值集合是.

【答案】3尤4-1或X"}

【分析】由壬=£+纥1,结合基本不等式可得W最小时为1,进而得6-9=-加+劭，利

abbaan3

用二次函数得最大值，进而得尤-3x24,,从而得解.

【详解】〃-向+9"5C=0可化为害=:+纥1N2、F^T=5,

abba\ba

当且仅当a=3b时，等号成立，

此时，-4=1,

ab

c=ab=3。2.

因为a+b-gc=-"+46=-(6-2y+4W4,

所以尤?-3xN4,

即{小《-1或xN4}.

故答案为：{小WT或无1}.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解答下列问题

⑴设X,y,zeR,比较5*+y2+z2与2孙+4元+2z-2的大小；

(2)已知lW2a+6W4,-l<a-2b<2,求10a—5b的取值范围.

【答案】⑴+或“孙+4X+2Z-2；(2)1,20].

【分析】(1)利用作差、配方法即可得出5x2+;/+z2与4+4x+2z-2的大小；

(2)根据条件可得出1。。—5,=3(2。+〃)+4(。—2〃),再由l42a+bW4,-lWa—2bW2即可得出10a—5b

的取值范围.

【详解】(1)解：因为Sd+V+z?-(2孙+4尤+2z-2)=5x?+y2+zz-2冲-4x-2z+2=

(x—y)~+(2x_1)-+(z—1)~20,

所以5—+y+z?22孙+4x+2z-2；

(2)解：l<2a+b<4,-l<a-2b<2,

令10。—56=彳(2。+6)+4(。—2/)=(22+〃)。+(2—2“)6,

2/1+//=102=3

所以，解得

A.—2〃=—5〃=4

所以3W3(2a+b)W12,-4<4(a-2Z?)<8,

所以-l43(2a+6)+4(a-26)420,

即-l<10a-5Z?<20.

18.(1)解不等式泞VI；

L-X

(2)已知0<x<2，求y=x(3-2%)的最大值.

【答案】(1)或1〉1｝；(2)|

8

【分析】(1)先化简分式不等式，然后利用一元二次不等式的解法求得不等式的解集;

(2)用基本不等式求得函数的最大值.

【详解】(1)因为尹41,所以产-”0,即产W0,所以]:1一:

1-x1-x1-x[1一无

所以尸；解得xVO或x>l,所以原不等式的解集为⑺无6或x>U.

(2)因为Os.,所以3-2x>0,

所以x(3-2x)=，.2尤.(3-2x)WJ12*+3-2x]=2,

2212J8

当且仅当2x=3-2x,即尤=；时等号成立，

9

所以y=x(3-2x)的最大值为厂

O

19.设a为实数，函数>=*+6+1.

⑴若方程y=。有实根，求a的取值范围；

⑵若不等式>>。的解集为R，求。的取值范围.

【答案】⑴或。<0;(2)0Wa<4

【分析】(1)根据一元二次函数与一元二次方程之间的关系，分类讨论a的取值并利用根的判

别式即可求得a的取值范围；(2)由一元二次函数与一元二次不等式之间的对应关系，利用数

形结合即可求得a的取值范围.

【详解】(1)方程、=。有实根，即依?+依+1=0有实根，

当a=。，方程无实根，不符合题意；

当时，A=a2-4a>0,则。24或a<0,

综上，实数。的取值范围为或a<0.

(2)不等式y>0的解集为R,即不等式以2+ax+l>0对于任意xeR恒成立,

当。=0时，1>0恒成立，满足题意;

〃>0

当。力0时，要使不等式恒成立，则需满足A=〃2—4Q<0'

a>0一，口

即0<a<4'解传°<"4.

综上，实数。的取值范围为04。<4.

23

20.若x>0,y>0,且--+--=1,求孙及x+y的最小值，何时取到？

x+1y+1

，I-

'一：时，孙有最小值；'一+'厂时，％+，的最小值为新

【答案】8+46<3+2

y=2+2v3y=2+，6

23

【分析】利用二+不=i,利用换"1"法，求出x+y的最小值;

化简得到2x+y=孙-4,利用基本不等式，得至u孙-4=2尤+y22/万，整理得孙-422或石，解

出该不等式，即可得到W的最小值.

2323

【详解】^7+7+7+T=1,得x+i+y+i=[(x+D+(y+i)],-----+------

x+1y+1

0,3(x+l),2(y+l)

+325+2指，化简得，x+y>3+246,当且仅当平手=乎子时，等号成

y+1x+1

f23

---+---=1

x+1y+1-,口x=1+^6

立，列方程，3(x+l)_2(y+l)'解倚'

y=2+

Ly+iX+1

x=1+>/6,|二那时成立;

故当厂时,尤+”3+2#,所以x+y的最小值为3+2«,当且仅当<

y=2+v6

23।

又由-T+Q=I,得2x+y=个-4,又%>0,y>0,

xy-A=2x+y>2^2xy,对于不等式砂-4>2j2^y,两边平方得,

(孙尸-16孙+1620,解得孙之8+46或0<孙工8-4石，故孙有最小值时，必有

23

-------1—--=1

xy>8+4s/3,当且仅当2x=y时成立，列方程x+1y+1得，x2-2x-2=0,又x>0,则解得

2x=y

力寸’.有最小值8+4否

%=6+1,所以，y=2+26,故当,

21.(1)已知b,C均为正实数，求证：+。2+。2+Jc'+々220(a+Z?+C).

(2)已知X,y,Z是互不相等的正数，且x+y+z=l,求证：

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【分析】(1)根据重要不等式，进行不等式的转换，可得答案；

(2)利用通分及基本不等式，可得答案.

【详解】(1