2025年人教A版新高二数学暑假专项提升：圆与圆的位置关系4种常见考法归类（学生版）

第18讲圆与圆的位置关系4种常见考法归类

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学习目标

------V-------

1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系.

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.

||雷基础知识：

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知识点1圆与圆的位置关系

1.种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.

2.判定方法

(1)几何法：若两圆的半径分别为厂1,⑵两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系的判断

方法如下：

位置关系外离外切相交内切内含

4

图示00

d与打，n\n-ro\<d

d>n+nd=n+nd—\r\—ro\d<\n-r?\

的关系<n+r2

⑵代数法：设两圆的一般方程为

Ci：X2+/+DW+EIJ+FI=0(D?+EI-4FI>0),

Ci：x2+y2+D2%+E，2y+F2=0(D^+E，2—4F2>0),

j^+^+Dix+Eiy+Fi=0,

联立方程得＜则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:

+V++By+g=0,

方程组解的个数2组1组0组

两圆的公共点个

2个1个0个

数

两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含

注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含;

(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；

(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切.

(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来

消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可

能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含.

知识点2圆与圆位置关系的应用

设圆Ci：x1-\-y2-\-Dix~\-Eiy-\-Fi=0,①

22

圆C2：x+y+D2x+E2y+F2=0,②

若两圆相交，则有一条公共弦，由①一②，得

(Di-D2)X+(EI-E2)y+Fi—仍=0.③

方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.

(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一

结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的

公共弦所在的直线方程.

(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.

(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求.

两圆公共弦长的求法

两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d,半弦长会半径厂所在线段构成直角三角

形，利用勾股定理求解.

知识点3圆与圆的公切线

1、公切线的条数

与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种.

两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内

■

有2条外公切线和2条内公有2条外公切线只有2条外公切只有1条外公无公切

切线，共4条和1条内公切线，线切线线

共3条；

2、公切线的方程

核心技巧：利用圆心到切线的距离。=「求解

知识点4圆系方程

22

(1)以36)为圆心的同心圆圆系方程:(X-a)+(y-b)=A(A>0)；

(2)与圆d+V+Dx+Ey+EH同心圆的圆系方程为x2+y2+Dx+切+%=o；

⑶过直线人工人工厂―。与圆必+/+瓜+6+/=0交点的圆系方程为

/IX十Dy十J-U

x2+y2+Dx+Ey+F+2(Ax+By+C)=0(2eR)

(4)过两圆G/+了2+。1%+4>+4=0，圆。2：f+V+Ax+EzV+B=0交点的圆系方程为

2222

x+y+D{x+E1y++A(x+y+D2x+E2y+F2)=0(Xw—1,止匕时圆系不含圆G：

f+V+Ax+4y+KnO)特别地，当;1=—1时，上述方程为一次方程.

两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.

।圈解题策略

---------------iiiiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiiiiiini----------------

1'判断两圆的位置关系的两种方法

(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判

断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.

(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两

圆位置关系.

2、圆系方程

一般地过圆Ci：f+y2+£)ix+Eiy+77i=o与圆。2：，+丁+力”+良>+乃二。交点的圆的

方程可设为：x2+j2+Dix+Eiy+Fi+A(x2+y2+D2x+E，2y+F2)=0(A^~1)>然后再由其他条

件求出九即可得圆的方程.

3、两圆相交时，公共弦所在的直线方程

若圆Cl：x2+y2+£)]x+E]y+B=o与圆。2：/+9+^4+及,+乃二。相交，则两圆公共

弦所在直线的方程为(D1—»)x+(Ei—改加十八一五2=0.

4、公共弦长的求法

(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.

(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三

角形，根据勾股定理求解.

5、求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程

l|Q考点剖析

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考点一：圆与圆位置关系的判断

(一)判断圆与圆的位置关系

例1.(2023秋•福建宁德•高二统考期中)圆(X-2)2+(—)2=1与圆(x+1)2+(y+2『=25的

位置关系是()

A.相切B.相交C.内含D.外离

变式1.(2023春・江西萍乡•高二校联考阶段练习)圆。：Y+y2=l与圆C:Y+y2+6y+5=0的

位置关系是()

A.相交B.相离C.外切D.内切

变式2.(2023•全国•高三专题练习)已知圆G的圆心在直线无+2，-1=。上，点(3,0)与(L-2)都

在圆G上，圆C2：(x-3『+(y+l)2=l,则G与孰的位置关系是.

变式3.【多选】(2023秋・江苏南通・高二统考期末)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,则()

A•点(5,5)在圆C内B.直线y=g(x-3)与圆C相切

C.圆/+丁=9与圆C相切D.圆/+9=49与圆C相切

变式4.(2023春・安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考专题练习)平面直角坐标系中，A(-2,0),

3(2,0),动点尸满足回=6陷，则使为等腰三角形的点尸个数为()

A.0B.2C.3D.4

2

变式5.【多选】（2023•湖南娄底•统考模拟预测）已知圆V：x+/-6y+5=0,圆N：

x2+y2+2y-8=0,直线/：3x-4y+m=0,则下列说法正确的是（）

A.圆N的圆心为（。,1）

B.圆M与圆N相交

C.当圆M与直线/相切时，贝1）利=2

D.当根=7时，圆M与直线/相交所得的弦长为

变式6.（2022.全国.高二专题练习）已知点P在圆。：苫2+丁=4上，点4-3,0）,5（0,4）,满足

的点P的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

（二）由圆的位置关系求参数

例2.（2023秋•浙江丽水•高二统考期末）若圆&:炉+/=4与圆6：/+/_2必+病-机=0

外切，则实数加=（）

A.-1B.1C.1或4D.4

变式1.（2023秋•高二课时练习）若两圆（x+iy+y'4和圆5_4+产=1相交，则。的取值范

围是（）

A.0<a<2B.0<a<2或T<a<-2

C.~4<a<—2D.2<G<4§5^—2<<7<0

变式2.（2023秋•高二课时练习）当〃为何值时，两圆/+/一2双+分+/一5=0和

x2+J+2尤—2ay+ci~-3=0.

（1）外切;

（2）相交;

（3）外离.

变式3.（2022秋.高二课时练习）若圆Y+y2=/与圆/+丁+2云-4>4=0有公共点，贝卜满足的

条件是（）

A.r<V5+lB.r>昌1

C.卜-阎41D.卜-闽<1

变式4.（2023秋•浙江嘉兴•高二统考期末）已知圆G：（＞1）2+（"2）2=尸（「＞0）与圆G：

（尤-4y+（y_2）2=16有公共点，则厂的取值范围为（）

A.（0,1]B.[1,5]C.[1,9]D.[5,9]

变式5.（2023春・安徽•高二校联考期末）已知圆C:（尤-3）?+（y-4y=/+25（reN*）,M（-l,0）,

N。,。），若以线段MN为直径的圆与圆C有公共点，则厂的值可能为.（写出一个即可）

变式6.（2022.湖南常德.常德市一中校考二模）已知圆C:（x-4）2+（y+3）2=4和两点

A（-G,0）,B（a,0）（a＞0）,若圆C上存在点P,使得ZAP3=90。，则a的最小值为（）

A.6B.5C.4D.3

变式7.（2023秋•高一单元测试）已知圆a：（x-w）2+（y+2）2=9与圆a：（x+4+（y+2）2=l内切，

则病+n2的最小值为

变式8.（2023•浙江•校联考模拟预测）已知圆C的方程为Y+y2=i,若直线，=左卜-3）上至少

存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相外切，则左的取值范围为.

考点二：与圆相交有关的问题

（-）求两圆的交点坐标

例3.（2022・高二课前预习）圆V+y2=l与圆V+V+2x+2y+l=0的交点坐标为（）

A.（1,0）和（0,1）B.（1,0）和（0,-1）

C.（-1,0）和（O,T）D.（TO）和（0,1）

变式1.（2022.高二课时练习）求圆/+/-2x-3=0与圆V+必-4x+2y+3=0的交点的坐标.

变式2.（2022秋.贵州遵义.高二遵义一中校考阶段练习）圆G：/+^+6彳_4y=0和圆C?：

/+y2-6y=o交于A,5两点，则线段A3的垂直平分线的方程是.

变式3.（2023秋•辽宁丹东•高二统考期末）已知圆。:/+9=16与圆c：d+y2+8x+6y+16=0交

于A,5两点，则四边形OACB的面积为（）

24

A.12B.6C.24D.y

（二）圆系方程的应用

|例4.（2023・全国•高三专题练习）经过点尸。,1）以及圆/+9-4=0与/+/一人+4>-12=0

交点的圆的方程为.

变式1.（2022秋•高二单元测试）求过两圆6：/+/-2丫-4=。和圆C2：/+y2-4x+2y=。的交

点，且圆心在直线/：2x+4y-l=0上的圆的方程.

（三）求两圆公共弦方程

在］例5.（2022秋.黑龙江大庆.高二大庆实验中学校考期末）圆。1：/+/-13=。与圆

2：尤2+丁-6x+5=0的公共弦所在直线方程为..

222

变式1.（2022秋•高二课时练习）已知圆G：x+y+2x-6y+l=0^^C2：x+/-4x+2y-ll=0,

求两圆的公共弦所在的直线方程（）

A.3%+4y+6=0B.3x+4y—6=0

C.3%-4〉一6=0D.3龙一4y+6=0

变式2.（2023春•全国•高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆G：（x+i）2+V=产过圆G：

（x-4/+（>一=4的圆心，则两圆相交弦的方程为.

变式3.（2022秋.高二课时练习）已知过圆尤2+丫?=4外一点/3,4）做圆的两条切线，切点为4,8

两点，求48所在的直线方程为（）

A.3x+4j-4=0B.3%+4y+4=0

C.3x-4y-4=0D.3%-4y+4=0

（四）求两圆公共弦长

Qf］例6.（2022・高二课时练习）已知圆弓：/+3-1）2=5,圆G：/+V一4x+2y=0.

⑴求圆G与圆G的公共弦长；

（2）求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=l上的圆的方程.

变式I（2023・河南・统考二模）若圆G：x?+y2=l与圆G：（x-a）2+（y-b）2=l的公共弦A3的长

为1,则直线A3的方程为（）

A.2ox+by—1=0B.2ox+0y-3=0

C.2ax+2by-1=0D.+2by-3=0

变式2.（2021秋.广东深圳.高二深圳中学校考期中）已知圆C的圆心为（2,-2）,且与直线

x+y+2VHi=0相切.

⑴求圆。的方程；

（2）求圆C与圆/+必=4的公共弦的长.

变式3.（2021秋•高二课时练习）若圆。：x2+y2=5与圆o：a—机）2+,2=20（机GR）相交于

A,3两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线A3的方程为；线段A3的长为

变式4.（2023•安徽滁州•安徽省定远中学校考模拟预测）已知圆a：Y+V=l与圆

生V+9一2x+2y+尸=。仍＜1）相交所得的公共弦长为0,则圆。2的半径r=（）

A.1B.百C.6或1D.亚

变式5.（2021秋•高二课时练习）圆勒：/+旷+2依+2皎+2a2一1=。与圆

C2：Y+y2+2法+2勿+2〃一2=0的公共弦长的最大值是（）

A.1B.1C.1D.2

考点三：两圆的公切线问题

（-）圆的公切线条数

例7.（2022秋.贵州遵义.高二习水县第五中学校联考期末）圆G：（x+2），（y+4）2=25与

圆G：（x+1）2+V=9的公切线的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

变式1.【多选】（2023秋•高一单元测试）已知圆G：/+y2=9与圆G：（x-3）2+（y-4）2=16,

下列说法正确的是（）

A.G与C?的公切线恰有4条

B.G与G相交弦的方程为3尤+4y-9=0

19

C.G与G相交弦的弦长为了

D.若尸，。分别是圆G，C2上的动点,则1尸。二=12

变式2.（2023•黑龙江大庆•统考三模）已知直线/是圆C：（x-2）2+（y-i）2=i的切线，并且点3（3,4）

到直线/的距离是2,这样的直线/有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

变式3.（2023•河北衡水•衡水市第二中学校考三模）若圆G：d+y2=i和

6：/+y_2若办-2砂-5a=0、>£|有且仅有一条公切线，贝"=；此公切线的方程为

222

变式4.（2022秋•高二课时练习）已知两圆G：/+丁=1,C2：（x-l）+（y-2）=r（r>0）,当圆G

与圆G有且仅有两条公切线时，贝心的取值范围_______.

变式5.（2023秋•陕西西安•高二长安一中校考期末）已知两圆/+；/+6依+9a2_4=0和

必+丁-2b+〃-9=0恰有三条公切线，若aeR,6eR,且必/0,则J+g的最小值为（）

A.B.C.9D.

252599

（二）圆的公切线方程

例8.（2023•湖北黄冈•淆水县第一中学校考模拟预测）写出与圆（A4『+（y+3）2=16和

圆/+丁=1都相切的一条直线的方程.

变式1.（2023•江西南昌•校联考模拟预测）已知圆C:（xT）2+y2=i与圆氏f+（y-石『=1,写

出圆C和圆E的一条公切线的方程.

变式2.（2023•湖南岳阳•统考三模）写出与圆9：/+廿=1和U：（x-3）2+y2=i都相切的一条直

线方程.

22

变式3.【多选】（2022秋•高二单元测试）已知圆£:（尤-2y+（y-l）2=1,圆C2:（x+2）+（j+l）=1,

则下列是圆G与圆C?的公切线的直线方程为（）

A.y=°B.4%一3>=0

C.x—2y+y/s=0D.x+2y-石=0

（二）圆的公切线长

例9.【多选】（2023春•山东青岛•高二统考开学考试）已知圆弓:炉+9=1圆

22

C2:x-2x+y-2y+l=O,则()

A.圆G与圆勒相切

B.圆G与圆G公切线的长度为加

C.圆G与圆G公共弦所在直线的方程为x+y=i

D.圆G与圆勒公共部分的面积为

变式1.【多选】（2022秋.广东惠州.高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）圆

G：/十/+2%一6丁+6=0与圆G：一+/一2工一2,+1=。相交于人，5两点，贝!J（）

A.AB的直线方程为4x-4y+5=0B.公共弦人?的长为巫

8

C.圆G与圆G的公切线长为"D.线段的中垂线方程为x+y-2=o

变式2.【多选】（2022秋.山东青岛.高二青岛二中校考期中）已知eG：Y+y2_2x-4y+l=0与

eC2：Y+y2+2x-3=0相交于A,3两点，则下列结论正确的是（）.

A.直线A3的方程为x+k1=0

B.过A,3两点，且过点。,1）的圆的方程为/+/一天+尸2=0

C.0G与。G的公切线的长度为2石

D.以线段A3为直径的圆的方程为Y+（y_i）2=2

变式3.（2022秋.广东云浮.高二校考期中）已知圆A的方程为/+/-2户2丫-7=0,圆3的方

程为尤2+y2+2x+2y-2=o.

⑴判断圆A与圆8是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交,

请说明理由.

⑵求两圆的公切线长.

考点四：圆与圆的最值问题

［、1例10.【多选】（2023秋•高一单元测试）点P在圆G：/+丁=1上，点。在圆C?：

炉+y2_6%+4y+9=0上，贝!j()

A.|尸。|的最小值为旧-3

B.|尸。|的最大值为旧

C.两个圆心所在的直线斜率为

D.两个圆公共弦所在直线的方程为6x-4y-10=0

变式1.【多选】(2023・湖南•校联考二模)已知点尸在圆G：(x-2)?+y2=4上，点Q在圆

G:尤2+y2+2x—8.y+]3=0上，贝|()

A.两圆外离B.忸。|的最大值为9

C.|尸。|的最小值为1D.两个圆的一条公切线方程为3x-4y+4=。

变式2.【多选】(2022秋・山东威海•高二校考阶段练习)已知点A(0,2),B(l,l),且点P在圆

C：(x-2y+丁=4上，C为圆心，则下列结论正确的是()

A.IPAI-IMI的最大值为20

B.以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：犬-'=。

C.当最大时，一PAB的面积为应

D.一上旬的面积的最大值为近

变式3.(2023•江西赣州•统考模拟预测)已知圆。：(彳-1)2+(丁-2)2=5,圆C，是以圆/+丁=1

上任意一点为圆心,半径为1的圆.圆C与圆C交于两点，则当/AC8最大时，|CC[=()

A.1B.V2C.73D.2

l］域真题演练

-------------------lllllllllllilllllllllllllllllllllllllllll------------------------

1.圆(x+2>+y2=4与圆(x-2)2+(y-l)2=9的位置关系为

A.内切B.相交C.外切D.相离

2.已知圆+2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2夜，则圆M与圆

N:(xT)2+(yT)2=l的位置关系是

A.内切B.相交C.外切D.相离

3.若。尤?+/=5与。2：（无-附2+y2=20（meR）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线

互相垂直，则线段AB的长度是.

4.（2022•全国•统考高考真题）写出与圆二+y=1和a-3）2+"-4）2=16都相切的一条直线的方

程.

I［圉过关检测'

----------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII------------------------

一、单选题

1.（2023春•江苏扬州•高二统考开学考试）圆一：/十/=4与圆C2：/+y2+6x+8y-24=0的位

置关系为（）.

A.相交B.内切C.外切D.外离

2.（2023春•江苏盐城•高二统考期末）在坐标平面内，与点4（1,2）距离为3,且与点川3,2）距

离为1的直线共有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

3.（2023春•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末）已知点尸为直线/：尤+>-2=。上的动点，过

点P作圆C：/+2工+/=。的切线%，PB,切点为A,8,当最小时，直线A3的方程为

（）

A.3x+3y+l=0B.3%+3,-1=0

C.2%+2y+l=0D.2x+2y-l=0

4.（2023春•河南洛阳•高二统考期末）已知点尸为直线>=》+1上的一点，M,N分别为圆G：

。一4）2+（y—l）2=l与圆C2：1+（>-4）2=1上的点,则1PMi+|即的最小值为（）

A.5B.3C.2D.1

*123452

5.（2023•河南南阳•南阳中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，圆C的方程为（X-2）+T=1,

若直线丫=履+1上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数上

的取值范围为（）

八（3]（21

A.B.

6.（2023•全国•高三专题练习）已知圆M:J+y2-4x+3=0,则下列说法正确的是（）

A.点（4,0）在圆“内

B.若圆“与圆£+/-4-6尹0=0恰有三条公切线，贝h=9

C.直线x-4y=0与圆“相离

D,圆A/关于4x+3y-2=0对称

二、多选题

7.（2023春・湖南•高二校联考期末）已知圆0:尤2+产=4和圆（7：5-3）2+3-3）2=4,P,。分别是

圆。，圆C上的动点，则下列说法正确的是（）

A.圆。与圆C有四条公切线

B.|尸。|的取值范围是[3石-4,3行+4]

C.》->=2是圆。与圆C的一条公切线

D.过点。作圆。的两条切线，切点分别为M，N,则存在点Q,使得NMQV=9。

2

8.（2023春・广东揭阳•高二统考期末）已知直线/：3x+2y+m=0,圆C：x-+y+4x-y+^0,

则下列说法错误的是（）

A.若〃=5+屈或5-相，则直线/与圆C相切

B.若加=5,则圆C关于直线/对称

C.若圆E：尤2+9+：..2y7=0与圆C相交，且两个交点所在直线恰为/,则根=2

Zo

D.若机>5,圆C上有且仅有两个点到/的距离为1,则5+而<%<5+3而

9.（2023秋•高一单元测试）如图所示，该曲线W是由4个圆：（x-l）2+y2=l,（x+l）2+y2=l,

Y+（y+l）2=l,/+（匕1）2=1的一部分所构成，则下列叙述正确的是（）

A.曲线W围成的封闭图形面积为4+2兀

B.若圆好+）；2=/上>0）与曲线卬有&个交点，则

C.BD与DE的公切线方程为彳+丁-1-逝=0

D.曲线W上的点到直线x+y+5五+1=0的距离的最小值为4

10.（2023•辽宁沈阳•沈阳二中校考模拟预测）已知。E:（无一2）2+（1一1）2=4,过点尸（5,5）作圆E的

切线，切点分别为M，N,则下列命题中真命题是（）

A.|PM|=V21

B.直线MN的方程为3%+分-14=0

C.圆/+丁=1与E共有4条公切线

D.若过点尸的直线与一因交于G,“两点，则当,.EHG面积最大时，\GH\=2-j2.

三、填空题

11.（2023•陕西西安•陕西师大附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，圆M：/+（y+%）2=〃2

和N:尤2+（y_i）2=i外切形成一个8字形状，若尸（0,-2）,A（L-l）为圆M上两点，5为两圆圆周

上任一点（不同于点A,P）,则PAPB的最大值为