【《多模干涉原理分析概述》5100字】

多模干涉原理分析概述目录TOC\o"1-3"\h\u12789多模干涉原理分析概述 1230561.1均匀光纤内的波动理论 1268921.1.1光纤内圆柱坐标系下的波动方程 1287701.1.2阶跃型光纤下的波动理论分析 479231.2SMS光纤结构的理论分析 8248851.2.1SMS光纤结构中多模光纤的光场分布 875491.2.2SMS光纤结构中多模耦合系数 101.1均匀光纤内的波动理论1.1.1光纤内圆柱坐标系下的波动方程光纤是一种截面为圆形的光波导。人们为了更好地分析光波在光纤中的传输时以及受到外场作用时的变化，提出了多种用来研究光纤波导的理论，其中光线理论和波动理论是最基本的理论。本节从电磁场问题的角度来求解光纤内的光场分布问题。因为光纤为透明介质，而且没有磁导性，没有自由电荷，因而也不存在传导电流，所以麦克斯韦方程组形式为：.（2-1）上式中，为梯度运算符。物质方程的形式为：.（2-2）上式中为电位移矢量，为磁感应强度，ε为光波导材料的介电常数，μ为光波导材料的磁导率。因为光纤没有磁性，那么我们可认为μ≈μ0。根据麦克斯韦方程组（2-1）和物质方程（2-2），以及矢量关系式，（ξ为常数），可以得到,（2-3）.（2-4）将上述两式合并后，得到.（2-5）同理可得到.（2-6）上式中为拉普拉斯算符，拉普拉斯算子在圆柱坐标系下的表示法为.（2-7）（2-5）式和（2-6）式即为矢量波动方程。矢量波动方程是一个普遍适用的精确方程，但是求解过程非常困难。因为本文中所使用的光纤为均匀光纤，所以=0，此时可将矢量波动方程简化为如下形式：,（2-8）.（2-9）将上述两式变换，传导介质的折射率n和真空中光的传播速度c分别为：,（2-10）.（2-11）对于光纤来说μ≈μ0，光在折射率为n的介质中相速度为v=c/n，光波的波数为k=nk0=ω/v=nω/c，真空中光波的波数为k0=2π/λ0，由此，可将（2-8）式和（2-9）式两个矢量波动方程进一步简化：,（2-12）.（2-13）（2-12）式与（2-13）式可以被称为简化矢量波动方程，要使得上述简化矢量波动方程成立需要满足以下两个条件：一是介电常数随空间缓慢变化，并且在μ≈μ0时满足关系式≈0n2，二是均匀各项同性介质精确成立。在实验中以及实际应用中，简化矢量波动方程对于介电常数或者是折射率变化非常缓慢的光纤是非常有效的，因此，下文原理部分将使用简化矢量波动方程来代替最初精确的矢量波动方程，以此来大幅度减小计算难度，并保证其计算精准度。当光纤中传输的是单色波时，可以假设电磁场（ω为角频率）为,（2-14）.（2-15）将（2-14）式、（2-15）式代入（2-12）式、（2-13）式的简化矢量波动方程中，可以得到：,（2-16）.（2-17）上式中k2=ω2μ0ε。（2-16）式、（2-17）式称为矢量亥姆霍兹方程。矢量亥姆霍兹方程适用于各种电磁波的传输，根据上述两方程以及光纤内外边界条件就可以求解介电常数和折射率变化非常缓慢的场分布。设或在某一方向上的分量为场函数，带入上述（2-16）式、（2-17）式中则可得到亥姆霍兹方程的标量形式为.（2-18）（2-18）式是一个本征方程，本征值是常数因子k。在圆柱坐标系中，只有场函数沿z轴方向分量满足（2-18）式，将其带入（2-7）式中可得到.（2-19）在圆柱坐标系中，可以令.（2-20）式中β是纵向，即z轴方向的传播常数，且满足关系式，为波矢K与z轴的夹角。将（2-20）式代入（2-19）式中.（2-21）将（2-21）式记作.（2-22）其中是横向拉普拉斯算符，kc为横向传播常数，表达式分别为,（2-23）.（2-24）（2-22）式为场波导方程，是一个以β和kc为本征值的本征方程，通过光纤内光场的边界条件即可算出β和kc两个本征值。圆柱坐标系下的纵向分量和的波导场方程为.（2-25）通过（2-25）式先求出纵向分量和，然后可根据横向场和纵向场分量之间的关系式[1]，即可求得波导场的横向分量的场解。.（2-26）1.1.2阶跃型光纤下的波动理论分析本论文采用阶跃型光纤，这种光纤的纤芯和包层折射率分布均匀，但不相同，可以表达为.（2-27）由于光纤在横截面上的折射率为圆对称形态的，所以其场解也是圆对称的，由此假设纵向分量的解为.（2-28）其中A0和B0为系数，代入（2-25）式中计算可以得到,（2-29）.（2-30）式中m取整数，j=1时表示纤芯，j=2时表示包层，纤芯和包层内的本征解kcj分别为.（2-31）由（2-30）式可解得.（2-32）式中N0为常数。式（2-31）为m阶贝塞尔方程，其解为圆柱函数，应当根据纤芯与包层内场的不同特点选取不同的解。导模场主要在纤芯内振荡传播，并且导模场在纤芯内衰减缓慢，而在包层区中消逝场的衰减速度很快，因此将第一类贝赛尔函数Jm形式选作在纤芯内的场解，将第二类虚宗量贝赛尔函数Km形式选作包层内的场解。由此假设纤芯中的光场为.（2-33）假设包层中的光场为.（2-34）其中A、B、C、D为待定常数，可根据边界条件来确定。以下两式分别给出p和q：,（2-35）.（2-36）将（2-33）式与（2-34）式代入（2-26）中，可以得到波导场的横向分量、、、，即得到了波场分布情况。,（2-37）,（2-38）,（2-39）,（2-40）,（2-41）.（2-42）其中是Jm的导数，是Km的导数。ε1为纤芯的介电常数，ε2为包层的介电常数。以下为通过边界条件来求解常数A、B、C、D，考虑到场在边界上是连续的，即在r=a的内外两侧是相同的，便可以得到,（2-43）.（2-44）（2-44）是关于A与B为未知数的齐次方程组，需获得A与B不全为零的解，那么方程组系数必须满足下列条件.（2-45）由（2-45）式可以得到.（2-46）（2-46）式是关于β的一个特征方程，由于第一类贝塞尔函数Jm具有周期振荡性质，那么这个特征方程可以有多个不相同的特征值βl。由式（2-43）和（2-44）可以得到对应于每个βl下的A与B、C、D的关系如下：.（2-47）由此可以得到（2-37）式至（2-42）式中的常数。1.2SMS光纤结构的理论分析在了解多模干涉原理的基础上对SMS光纤结构进行研究，多模干涉效应使SMS光纤结构具有独特的性质，例如光谱响应特性、自聚焦现象等。许多实用的光学元件都是基于SMS光纤结构制备而成。当入射光入射到多模光纤中时，会激励起在多模光纤中传播的多个互相独立的本征模式。各种模式在多模光纤中传播时会发生干涉现象并形成光场的周期形式分布，即多模光纤内的模式干涉效应。当传输光入射到多模光纤的输出端时会再次发生模式耦合，这使得经过SMS光纤结构的输入光与输出光具有不同的性质。SMS光纤结构的光谱响应特性就是当入射的宽谱光源能量均匀时，输出光的特性为不同的波长对应不同的光能量。1.2.1SMS光纤结构中多模光纤的光场分布利用不同模式之间的传播常数的公式，可以进一步得到光在光纤结构内部的传播特性和光场能量的分布情况。为确定能量分布形式，首先要明确，光在进行耦合的过程中会有哪些模式被激励起来。在两种光纤的交界面处，光以基模形式从单模进入到无芯中，我们可以将来自入射光纤中的发射光近似为高斯光束[59]：.（2-48）（2-48）式中，β0代表单模光传播方向上的传播常数，r代表单模光纤的半径。我们假设两段单模光纤与多模光纤是理想对齐的，不存在任何错位，那么当单模光纤中的基模光耦合到多模光纤时，只有线性偏振模式被激发。高斯公式半宽高度由公式得出[60]：,（2-49）.（2-50）（2-50）式中，ncore代表纤芯折射率，nclad代表包层折射率。当在多模光纤中激励起众多传输模式后，光纤内传播的模式与泄漏到光纤外的辐射模会组成一个正交系。在没有外界扰动的情况下，模式之间相互独立互不交换。忽略传输过程中因辐射所损耗的能量，多模光纤在任意一点的光场都可以看作是所有模式集合而成，那么多模光纤内部的传输光场可以表示为：.（2-51）（2-51）式中，υ代表径向分量系数，N为径向分量模式的总数，μ代表角向分量系数，2M+1为角向分量模式的总数，代表各导模的场矢量。对多模光纤中的线性偏振模式应用分离变量法解麦克斯韦方程组，即可得到的表达式[61]：.（2-52）式中，u为归一化后各模式所对应的纤芯中横向传播系数，ω为包层中横向传播系数，β为纵向传播系数。场激励系数cυ,μ和dυ,μ可用下式解得：,（2-53）,（2-54）.（2-55）（2-52）式为我们提供了研究内部光场形式的方向。由此我们就可以推算出多模光纤内任意位置的光场分布情况。但是公式中的光场所表达的是多个导模的总和，进行计算时极其繁琐。因此通常情况下，我们只对其中起决定性作用的部分模式进行研究分析，既简化了过程又不会产生过大的误差。从公式（2-52）中可以得到，激励系数cv，dv决定了导模所能拥有的能量大小。计算结构的各导模激励系数，是找到结构主能量模式的有效方法。利用能量耦合系数对不同模式的激励系数进行确定的方法是目前较为常见的做法。构建SMS光纤结构三维模型并进行仿真模拟，将一单波长入射光由单模光纤输入，此时是以基模形式传输，当入射光传输进多模光纤时会发生多模耦合现象，并且在多模光纤内发生干涉现象，得到如图1.1所示的光场分布示意图。从图1.1中可知，当光在单模光纤中传输时，光场的能量一直处于在较高位置；但当光沿着单模光纤进入到多模光纤时，光的能量不再是集中分布于多模光纤的纤芯所在直线，而是分布在多模光纤内部各处，由于多模耦合现象导致在多模光纤中能量强弱分布不均匀，但整体又遵循一定的规律，这使得在多模光纤的轴向传输方向上的光场分布呈现出周期性分布，能量的聚集或扩散位置总会按照一定周期出现，这种现象就是自成像效应。图1.1SMS光纤结构内部光场及光功率分布图1.2.2SMS光纤结构中多模耦合系数我们已经知道，当光沿着单模光纤进入到多模光纤时，会激励出众多的高阶本征模。在无外界干扰的条件下，各本征模独立传播。当SMS光纤结构的收到来自外界的作用时，不同本征模式之间的独立性被破坏，振幅或相位之间会相互扰动，各个模式在此时的能量会发生交换，还可能出现之前不存在的传导模式，这种现象就是模式耦合。在本文研究的SMS光纤结构中，当光从单模光纤入射到多模光纤时，传导介质发生突变，这使得光纤中单一模式的传输光被激发成多个传导模式[61]。在忽略单模光纤传输到无芯外界的模场的情况下，柱坐标系下，能量耦合系数表示为：.（2-56）表示径向导模中第υ阶段的分布场。渐近线近似情况下横向传播系数可表示为：（2-57）.（2-58）式中，V表示为，根据（2-57）式及（2-58）式以及Hankel函数特性[62]，耦合效率可以写为：.（2-59）通过（2-59）式，便可计算出多模光纤中被激励的各阶模式功率，可以由判断哪些被激励模式拥有最大的能量值。根据公式可知，计算出多模光纤中被激发出的各阶模式的功率后，就可以找出其中起决定性作用的几个模式。而能量耦合系数会受到很多因素的影响，诸如单模光纤纤芯直径、折射率，包层折射率和多模光纤的直径、折射率等因素。1.1.3SMS光纤结构的传感原理当光从单模光纤的输入端输入之后就会在多模光纤中激发出其它多个高阶模，在这之中，满足相位匹配条件的模式就会发生干涉，但是在经过输出端的单模光纤时，外界环境参量的变化会影响多模光纤中这些高阶模之间存在的耦合和传输。假设单模光纤和多模光纤的轴心是理想化对齐的，那么由于输入场具有对称性，当光从单模光纤传输至多模光纤时只有LP0m被激发。假设进入单模光纤的入射光是基模，设其场分布为，当其进入多模光纤后就会被分解为多个LP0m的本征模式。若定义LP0m的场域为，那么进入多模光纤的场可以写作：.（2-60）其中，是多模光纤中的本征模，主要是由多模光纤的直径以及包层和纤芯的折射率决定的。其中bm是每个模式的激发常数，可以写作：.（2-61）那么传输至多模光纤中任意位置z的场分布就可以通过（2-62）式计算得到。.（2-62）其中，βm是多模光纤中本征模式的传播常数。传播能量在不同位置的场分布可以通过重叠积分的方法获得，输出单模光纤的场分布可以表示为.（2-63）随着外界参量的变化，多模光纤中激发出来的本征模ψm（r）就会随之变化，从而使得公式（2-61）中传播常数bm的改变和公式（2-62）中多模光纤中模式耦合的改变。从公式（2-63）中可以看出，多模光纤的直径和长度都对本征模的耦合起着一定影响。由于多模光纤中的模式耦合效应，光波的能量在光的传播过程中被重新分配，最后以固定能量分布从单模光纤的输出端输出。在适当的光纤参数条件下，大多数输出光谱的波峰或波谷具有不同的灵敏度特性，并且每个波峰和波谷都具有唯一的特征波长。随着外界参数的变化，模式耦合会发生变化，这使得输出光谱会发生变化，并且对应的波峰或波谷的特征波长也会发生变化。确定了特征波长的变化和外界参量变化之间的拟合关系之后，可以通过检测特征波长的变化来得知外部环境相对应的参数的变化。基于这种测量原理，用于测量弯曲、温度、应力等物理参数的SMS光纤结构的传感器陆续出现。选取多模长度为40