15.3等腰三角形课堂讲义人教版数学八年级上册

15.3等腰三角形讲解目录讲解目录TOC\o"13"\h\u【知识点1】等腰三角形的性质 1【知识点2】等腰三角形的判定 3【知识点3】等边三角形的性质 5【知识点4】等边三角形的判定 8【知识点5】直角三角形的性质 9【知识点6】含30度角的直角三角形 11【知识点7】直角三角形斜边上的中线 13【题型1】等腰三角形的概念应用问题 15【题型2】等边对等角的应用问题 17【题型3】三线合一的应用问题 20【题型4】等腰三角形性质与折叠问题 21【题型5】等腰三角形的性质与尺规作图 24【题型6】等腰三角形性质的实际应用 25【题型7】用定义判定等腰三角形 27【题型8】用等角对等边求边长、周长或面积问题 30【题型9】等边三角形的性质应用 32【题型10】等边三角形的判定问题 35【题型11】含30°角的直角三角形的性质问题 37【题型12】等腰直角三角形的性质与判定问题 41知识讲解知识讲解【知识点1】等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．即学即练1.（2025春•灵璧县期末）△ABC为等腰三角形，其中顶角为40°，则该三角形的底角为（）A．75°B．70°C．65°D．60°【答案】B【分析】由等腰三角形的两个底角相等，即可计算．【解答】解：∵等腰△ABC的顶角是40°，∴等腰△ABC的底角=12×（180°故选：B．2.（2024秋•姜堰区期末）如果等腰三角形的两边长为2cm,4cm,那么它的周长为（）A．8cmB．10cmC．11cmD．8cm或10cm【答案】B【分析】分两种情况：①底为2cm,腰为4cm时，求出三角形的周长即可；②底为4cm,腰为2cm时；2+2=4，由三角形的三边关系得出不能构成三角形．【解答】解：分两种情况：①底为2cm,腰为4cm时，等腰三角形的周长=2+4+4=10（cm）；②底为4cm,腰为2cm时，∵2+2=4，∴不能构成三角形；∴等腰三角形的周长为10cm；故选：B．3.（2025•城关区校级模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（）A．60°B．45°C．40°D．30°【答案】B【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC∠CBD计算即可得解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=12（180°∠A）=12∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，∴BC=BD，∴∠CBD=180°2∠ACB=180°2×75°=30°，∴∠ABD=∠ABC∠CBD=75°30°=45°．故选：B．【知识点2】等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．即学即练1.（2025春•萍乡期末）下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（）A．2，3，4B．3，7，7C．2，2，6D．5，6，7【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质，看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【解答】解：A、不是等腰三角形；B、3+7＞7，能构成三角形；C、2+2＜6，不能构成等腰三角形；D、不是等腰三角形．故选：B．2.（2024秋•蔡甸区校级月考）已知O为原点，A（2，2）为坐标平面内一点，B是坐标轴上一点，且△AOB为等腰三角形，那么符合条件的点B的个数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】D【分析】分三种情况：当AO=AB，此时B即为以A为圆心、AO为半径的圆与坐标轴的交点处；当OA=OB时，B即为以O为圆心、OA为半径的圆与坐标轴的交点处，当BA=BO时，B在AO的中垂线与坐标轴的交点处，进而得出答案．【解答】解：分三种情况：当AO=AB，此时B即为以A为圆心、AO为半径的圆与坐标轴的交点处，得B的坐标为（4，0）或（0，4）；当OA=OB时，B即为以O为圆心、OA为半径的圆与坐标轴的交点处，即为（22，0），（22，0），（0，22），（0，22）；当BA=BO时，B在AO的中垂线与坐标轴的交点处，即为（2，0），（0，2）．故符合题意的点有8个．故选：D．3.（2024春•宝安区期中）若长度分别为a,2，5的三条线段能组成一个等腰三角形，则a=______．【答案】见试题解答内容【分析】分两种情况讨论如下：①当a,2为腰，5为底边时，则a=2，此时由于2+2＜5，不符合构成三角形的条件，②当a,5为腰，2为底边时，则a=5，此时由于2+5＞5，符合构成三角形的条件，据此即可得出答案．【解答】解：当长度分别为a,2，5的三条线段组成一个等腰三角形时，有以下两种情况：①当a,2为腰，5为底边时，则a=2，此时由于2+2＜5，不符合构成三角形的条件，∴这种情况不存在，②当a,5为腰，2为底边时，则a=5，此时由于2+5＞5，符合构成三角形的条件，∴a=5，故答案为：5．4.（2023•东海县三模）在△ABC中，∠A=80°，当∠B=______时，△ABC是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【分析】此题要分三种情况进行讨论①∠B、∠A为底角；②∠A为顶角，∠B为底角；③∠B为顶角，∠A为底角．【解答】解：∵∠A=80°，∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；②当∠B=（180°80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；③当∠B=180°80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；故答案为：80°、50°、20°．【知识点3】等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．即学即练1.（2024秋•旬阳市期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，若△ABC的周长为12，则BC的长为​（）A．3B．4C．8D．9【答案】B【分析】由∠A=60°，AB=AC，判定△ABC是等边三角形，由△ABC的周长为12，即可求出BC长．【解答】解：∵∠A=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∵△ABC的周长为12，∴BC=13故选：B．2.（2024•泰安）如图，直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l,m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（）A．45°B．39°C．29°D．21°【答案】B【分析】过点A作AF∥l,由平行公理的推论得出AF∥m,根据平行线的性质得出∠BAF=∠ABE，∠ACD=∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC=60°，即可求出∠ACD的度数．【解答】解：如图，过点A作AF∥l,∵直线l∥m,∴AF∥m,∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AF∥l,∴∠BAF=∠ABE，∵∠ABE=21°，∴∠BAF=21°，∴∠CAF=∠BAC∠BAF=60°21°=39°，∵AF∥m,∴∠ACD=∠CAF=39°，故选：B．3.（2024•青山湖区模拟）如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠BDE=（）A．120°B．110°C．100°D．140°【答案】A【分析】根据等边三角形的性质可得BA=BC，∠ABC=60°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠DBC=30°，再利用等腰三角形的性质可得∠DBE=∠E=30°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC=60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∵BD=ED，∴∠DEC=∠CBD=30°，∴∠BDE=180°∠DBE∠E=120°，故选：A．【知识点4】等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．即学即练1.（2024秋•琼海校级期末）已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（）A．等腰直角三角形B．一般的等腰三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和外角的关系解答．【解答】解：①120°的角为顶角的外角，则顶角为180°120°=60°，底角为（180°60°）÷2=60°，三角形为等边三角形；②120°的角为底角的外角，则底角为180°120°=60°，顶角为180°60°×2=60°，三角形为等边三角形．故选：C．2.（2024秋•荔湾区校级期中）已知a,b,c为△ABC的三边长，且a−b+|b−c|=0A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据绝对值的性质及算术平方根的性质求出a、b,c的关系，即可得解．【解答】解：根据非负性得，ab=0，bc=0，解得：a=b,b=c,∴△ABC的形状是等边三角形．故选：B．3.（2024秋•溧阳市期中）在△ABC中，∠A=60°，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC为等边三角形的是（）A．AB=ACB．∠A=∠BC．AD⊥BCD．∠B=∠C【答案】C【分析】根据等边三角形的判定定理，对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案．【解答】解：在△ABC中，∠A=60°，如果添加条件AB=AC，可判定△ABC为等边三角形．理由是：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故添加A可判定△ABC为等边三角形；如果添加条件∠A=∠B，可判定△ABC为等边三角形．理由是：有两个角等于60°的三角形是等边三角形，故添加B可判定△ABC为等边三角形；如果添加条件AD⊥BC，不能判定△ABC为等边三角形．例如：∠B=70°，∠C=50°时，仍然可以作出AD⊥BC，此时△ABC就不是等边三角形．故故添加C不能判定△ABC为等边三角形；如果添加条件∠B=∠C，可判定△ABC为等边三角形．理由是：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．故添加D可判定△ABC为等边三角形．故选：C．【知识点5】直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．即学即练1.（2025春•象州县期中）在一个直角三角形中，一个锐角是40°，另一个锐角是（）A．70°B．50°C．30°D．10°【答案】B【分析】由直角三角形的两个锐角互余，即可得到答案．【解答】解：直角三角形的一个锐角是40°，另一个锐角是90°40°=50°．故选：B．2.（2025春•于都县期中）将两把相同的直尺如图放置．若∠1=164°，则∠2的度数等于（）A．103°B．104°C．105°D．106°【答案】D【分析】互补关系求出∠3，互余关系求出∠4，再用互补关系即可得出结果．【解答】解：如图，∵∠3=180°∠1=16°，∴∠4=90°∠3=74°，∴∠2=180°∠4=106°；故选：D．3.（2025•雷州市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，若∠A=24°，则∠BCD的度数是（）A．66°B．22°C．26°D．24°【答案】D【分析】由∠ACB=90°，∠A=24°得到∠B=66°，由高得到∠BDC=90°，再根据直角三角形两个锐角互余即可求出∠BCD．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠B=90°24°=66°，∵CD是高，∴CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=90°66°=24°，故选：D．【知识点6】含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．即学即练1.（2025春•法库县期末）如图，AC=BC=6cm,∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm【答案】B【分析】根据等边对等角的性质可得∠B=∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．【解答】解：∵AC=BC，∠B=15°，∴∠B=∠BAC=15°，∴∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°，∵AD⊥BC，AC=BC=6cm,∴AD=12AC=1故选：B．2.（2025春•三水区校级期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直（OC⊥AC于点C），跷跷板的一头A着地时∠OAC=30°，点A、C、B′在同一水平线上，若OC=1m时，则OA的长度为（）A．0.5mB．1mC．1.5mD．2m【答案】D【分析】根据在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，求解即可．【解答】解：∵OC⊥AC，点A，C，B′在同一水平线上，∴△OAC是直角三角形，∵∠OAC=30°，∠OCA=90°，∴OC=1∵OC=1m,∴OA=2m,故选：D．3.（2025春•碑林区校级月考）如图，在△ABC中，∠B=15°，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，若BE=6cm,则AC的长是（）A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm【答案】D【分析】先根据垂直平分线的性质得到BE=AE=6cm,推出∠BAE=∠B=15°，由三角形外角的性质得到∠AEC=30°，然后利用含30°角的直角三角形的性质求解即可．【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BE=AE=6cm,∴∠BAE=∠B=15°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=1故选：D．【知识点7】直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．即学即练1.（2025春•增城区期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，若AB=10，则CD的长为（）A．5B．4.8C．2.4D．无法确定【答案】A【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可计算．【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=12AB=1故选：A．2.（2025•安徽三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作AE⊥BD于点E，若DE=2BE，AB=6A．2B．5C．30D．4【答案】C【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出AD=BD=12【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，∴AD=BD=12∵DE=2BE，BE+DE=BD，∴BD=AD=3BE，∵AE⊥BD，∴AE=AB2−BE2，AE=A∵AB=6，∴（6）2∴BE=1（负值已舍），∴AD=3BE=3，∴AC=2AD=6，∴BC=AC2−AB2故选：C．二．填空题（共1小题）3.（2025春•海淀区校级期中）如图，在直角三角形ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE=BE，连接DE，若CD=3，AE=4，则DE的长为______．【答案】7．【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=BD=3，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得ED⊥AD，从而在Rt△ADE中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，CD=3，∴CD=AD=BD=12∵AE=BE，∴ED⊥AD，在Rt△ADE中，DE=AE2−AD2故选：7．题型专练题型专练【题型1】等腰三角形的概念【典型例题】如图，AB=AD，AC=BC=CD，则BD图中等腰三角形（）的底边.A.△ABCB.△ADCC.△ABDD.△ABD和△CBD【答案】D【解析】解：在等腰三角形，相等的两边叫做它的腰，第三边叫它的底边，所以在等腰△ABD中，AB=AD，所以线段AB和AD是腰，则第三边BD是底边；在等腰△CBD中，BC=DC，所以线段BC和DC是腰，则第三边BD是底边.所以选D.【举一反三1】如图，AB=AC，DE=DC，则等腰△DEC的底角是（）.A.∠BB.∠CC.∠B和∠CD.∠DEC和∠C【答案】D【解析】解：在等腰三角形中，腰与底边的夹角叫底角∵DE=DC∴DE与DC是等腰△DEC的两腰，CE是底边∴∠DEC和∠C是等腰△DEC的底角.故选D.【举一反三2】如图，△ABC中，AB=AC，AC⊥BD于E，则图中等腰△ABC腰上的高是线段（）A.BEB.BDC.AED.CE【答案】A【解析】解：在等腰三角形，由底边的端点向腰所作的垂线段叫等腰三角形腰上的高，所以在等腰△ABC中，腰上的高是线段BE.所以选A.【举一反三3】如图，在△ABC中，BD=BC，则等腰△BDC的顶角是（）.A.∠AB.∠ABCC.∠DBCD.∠EBC【答案】C【解析】解：在等腰三角形中，两腰的夹角叫顶角∵BD=BC且BD与BC的夹角是∠DBC∴∠DBC是等腰△形BDC的顶角.故选C.【举一反三4】如图，AE=BE，EC=BC，则等腰△ABE的底边是

，等腰△BCE的底边是

.【答案】AB；EB.【解析】解：∵AE=BE，∴等腰△ABE的底边是线段AB.∵EC=BC，∴等腰△BCE的底边是线段EB.故答案为AB；EB.【题型2】等边对等角【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，AD平分∠BAC，则∠C的度数是（）A.28°B.36°C.54°D.72°【答案】D【解析】解：设∠B＝x°，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝x°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAB＝2∠DAB＝2x°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠CAB＝2x°，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得：x＝36，∴∠C＝2x°＝72°，故选：D．【举一反三1】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂直平分线上，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACE的度数为（）A.48°B.50°C.55°D.60°【答案】A【解析】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝24°，∴∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠CBD＝∠ABD＝24°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣48°＝72°，∵点E在BC的垂直平分线上，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠CBD＝24°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝72°﹣24°＝48°，故选：A．【举一反三2】如图，∠B=50°，∠ANC=120°，AM=AN，则∠MAB的度数等于（）A.10°B.70°C.60°D.50°【答案】A【解析】解：∵∠ANC=120°，∴∠ANB=180°﹣120°=60°，∵AM=AN，∴∠AMN=∠ANM=60°，∵∠B=50°，∴∠MAB=∠AMC﹣∠B=10°．故选：A．【举一反三3】点M是△ABC三边垂直平分线的交点，连接MA、MB、MC，若∠MBC+∠ACM＝75°，则∠BAM的值是（）A.45°B.30°C.25°D.15°【答案】D【解析】解：∵点M为△ABC三边垂直平分线的交点，∴MA＝MB＝MC，∴∠MCA＝∠MAC，∠MBC＝∠MCB，∠MAB＝∠MBA，∵∠MBC+∠ACM＝75°，∴∠MAC+∠MCA+∠MCB+∠MBC＝150°，∴∠MAB=∠MBA=12故选：D．【举一反三4】如图，AB=AC，∠BAC=110°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=（）A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】C【解析】解：根据题意，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，∴∠B=35°，又AB的垂直平分线交BC于点D，∴∠BAD=∠B=35°，在△BAD中，∠ADC=∠B+∠BAD=70°，∴∠ADC=70°．故答案选C．【题型3】三线合一【典型例题】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A.35°B.45°C.55°D.60°【答案】C【解析】解：由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．【举一反三1】如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是（）A.AD⊥BCB.∠EBC=∠ECBC.∠ABE=∠ACED.AE=BE【答案】D【解析】解：∵AB=AC，点D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，故A选项正确；∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，故B选项正确；又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC﹣∠EBC=∠ACB﹣∠ECB，即∠ABE=∠ACE，故C选项正确；根据题目条件无法得到∠ABE=∠BAE，所以，AE=BE不一定正确，故D选项错误．因为本题选择不正确的，故选：D．【举一反三2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，则∠B等于（）A.70°B.50°C.20°D.40°【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的角平分线和中线，∵∠BAC=80°，∴∠BAD=40°，∴∠B=90°﹣∠BAD=50°故选B.【举一反三3】如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD的度数是____________．【答案】60°【解析】解：AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=12∠BAC=12×120°=60°．故答案为：60°．【举一反三4】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BD=5，则CD=__________．【答案】5【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACD，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴CD=BD=5．故填5．【题型4】等腰三角形性质与折叠【典型例题】如图，纸片△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将纸片对折，使点A与点B重合，折痕为DE，连结BE．则∠EBC的度数为（

）A.30°B.40°C.60°D.80°【答案】A【解析】解：由题可得，∠ABC=(180°40°)÷2=70°，由翻折的性质可得：∠A=∠DBE=40°，∴∠EBC=∠ABC∠DBE=70°40°=30°，故选：A．【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线BD交AC于D，把直角三角形ABC沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上的点E处，并且△ABD是等腰三角形，那么∠AA.60°B.45°C.30°D.22.5°【答案】C【解析】解：因为△ABD是等腰三角形，所以∠DBA=∠A．由折叠的性质可得：△CDB≌△EDB，所以∠CBD=∠DBA=∠A．又因为∠C=90°，所以∠CBD+∠DBA+∠A=90°，所以∠A=1故选：C．【举一反三2】如图将一张长方形纸的一角折叠过去，使顶点A落在A'处，BC为折痕，若AB=AC且BD为∠CBE的平分线，则∠A.45B.67.5C.22.5D.89.5【答案】C【解析】解：∵∠A=90°，AC=AB，∴∠ABC=45°，∵将顶点A折叠落在A’处，∴∠ABC=∠A’BC=45°，∵BD为∠CBE的平分线，∴∠CBD=∠DBE=12×(180°∴∠A’BD=67.5°45°=22.5°．故选：C．【举一反三3】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．则∠BEC的度数是

．【答案】72°【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB==72°，∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，∴∠ECD=∠A=36°，∴∠ECB=∠BCD∠ECD=72°36°=36°，∴∠BEC=180°36°72°=72°故答案为：72°．【题型5】等腰三角形的性质与尺规作图【典型例题】如图所示，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的大小为（

）A.44°B.40°C.36°D.34°【答案】D【解析】解：∵∠B=40°，∠C=36°，∴∠BAC=180°∠B∠C=104°∵AB=BD，∴∠BAD=∠ADB=（180°∠B）÷2=70°，∴∠DAC=∠BAC∠BAD=34°.故选D．【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=32°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（）A.42°B.45°C.40°D.35°【答案】A【解析】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=74°，∴∠DBC=32°，∴∠ABD=∠ABC∠DBC=74°32°=42°，故选：A．【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=52°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（）A.142°B.132°C.119°D.109°【答案】D【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=52°，∴∠B=38°，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC=（180°38°）=71°，∴∠ACD=90°71°=19°，∴∠ADC=180°∠A∠ACD=180°52°19°=109°，故选：D．【题型6】等腰三角形性质的实际应用【典型例题】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（）A.等边对等角B.等角对等边C.垂线段最短D.等腰三角形“三线合一”【答案】D【解析】解：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：D．【举一反三1】在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若底角∠B＝50°，则顶角∠A的度数为（）A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】D【解析】解：∵△ABC是等腰三角形，且底角∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°×2＝80°，故选：D．【举一反三2】玉树地震后，青海省某乡镇中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：如下图，在等腰直角三角尺斜边中点栓一条细绳，细绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果绳子经过三角尺的直角顶点，于是同学们确信放量是水平的，其理由是（）A.等腰三角形两腰等分B.等腰三角形两底角相等C.三角形具有稳定性D.等腰三角形的底边中线和底边上的高重合【答案】D【解析】解：∵△ABC是个等腰三角形，∴AC=BC，∵点O是AB的中点，∴AO=BO，∴OC⊥AB．等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合，故选D．【举一反三3】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（）A.60°B.69°C.76°D.88°【答案】D【解析】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝69°，∴∠ODC＝23°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝111°，∴∠CDE＝111°﹣∠ODC＝88°，故选：D．【题型7】用定义判定等腰三角形【典型例题】三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【答案】C【解析】解：如图：∵AD是BC边上的高，AD是中线，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，即这个三角形一定是等腰三角形．故选C．【举一反三1】下列各组线段中，能构成等腰三角形的是（）A.1，1，2B.2，2，4C.3，3，5D.3，4，5【答案】C【解析】解：对于选项A，∵1+1＝2，∴长度为1，1，2的三条线段不能构成三角形，故选项A不符合题意；对于选项B，∵2+2＝4，∴长度为2，2，4的三条线段不能构成三角形，故选项B不符合题意；对于选项C，∵3+3＞5，∴长度为3，3，5的三条线段能构成等腰三角形，故选项C符合题意；对于选项D，∵3+4＞5，3≠4≠5，∴长度为3，4，5的三条线段不能构成等腰三角形，故选项D不符合题意．故选：C．【举一反三2】如图，在△ABC，BC=BA，点D在AB上，且AC=CD=DB，则图中共（）个等腰三角形．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】解：∵BC=BA，∴△BCA是等腰三角形，∵AC=CD，∴△ACD是等腰三角形，∵BD=CD，∴△BDC是等腰三角形．故选C．【举一反三3】如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是

三角形．【答案】等腰【解析】解：∵∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴BD=CD，∴AD垂直平分BC∴AB=AC，即这个三角形是等腰三角形.故答案为：等腰．【举一反三4】如图，在△ABC中，已知边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，连接PA、PB、PC，则图中有

个等腰三角形．【答案】3．【解析】解：∵边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，∴AP＝PB，PB＝PC，∴AP＝PC，∴△ABP，△BPC，△APC都是等腰三角形；故答案为：3．【题型8】用等角对等边求边长、周长或面积【典型例题】如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4cm，则CD等于()A.3cmB.4cmC.1.5cmD.2cm【答案】B【解析】解：∵OC平分∠A0B，∴∠AOC＝∠BOC，∵CD∥OB∴∠BOC＝∠C，∴∠AOC＝∠C∴CD＝OD=4(cm)故选B.【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于点E，F，则△AEF的周长是()A.12B.13C.14D.18【答案】B【解析】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF∥BC∴∠EBD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠EBD∴ED＝EB同理DF=CF∵AB=AE+BE，AC=AF+CF∴AB=AE+DE，AC=AF+DF△AEF的周长=AE+DE+DF+AF=AB+AC=5+8=13故选B.【举一反三2】如图，E为AC上一点，连接BE，CD平分∠ACB交BE于点D，且BE⊥CD，∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为（）A.1.2B.1.5C.2D.3【答案】C【解析】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴∠BCD=∠ECD，∠BDC=∠EDC=90°在△BCD和△ECD中∴△BCD≌△ECD（AAS）∴CE＝BC＝6，BD＝DE，∴AE＝AC﹣CE＝10﹣6＝4，∵∠A＝∠ABE，∴BE＝AE＝4，∴，故选：C．【举一反三3】如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________.【答案】3【解析】解：∠ACB=180°∠BAC∠B=40°，∠CAD=∠ACB∠D=20°，所以∠ACB=∠B=40°，∠CAD=∠D=20°，所以CD=AC，AC=AB，故CD=AB=3.【举一反三4】如图，在△ABC中，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．当AE＝2，BF＝4时，EF的长为

．【答案】6．【解析】解：∵AD，BD平分∠BAC，∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABD＝∠CBD，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∠ABD＝∠BDF，∴∠CAD＝∠ADE，∠CBD＝∠BDF，∴DE＝AE＝2，DF＝BF＝4，∴EF＝DE+DF＝2+4＝6，故答案为：6．【题型9】等边三角形的性质【典型例题】如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A.100°B.90°C.80°D.60°【答案】C【解析】解：设AC与直线a交于D，AB与直线a交于E，如下图所示：∵直线a∥b，∠1＝40°，∴∠ADE＝∠1＝40°，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠2＝180°﹣（∠A+∠ADE）＝180°﹣（60°+40°）＝80°．故选：C．【举一反三1】如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则BD＝（）A.2B.4C.D.【答案】B【解析】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，∴∠ACB＝60°，BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E．∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，∴∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠E＝30°＝∠DBE，∴DE＝BD＝4，故选：B．【举一反三2】如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的度数为（）A.120°B.110°C.108°D.106°【答案】A【解析】解：∵△EMN为等边三角形，∴∠NEM＝60°，∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠NEM＝60°，∴∠CFE＝180°﹣∠EFD＝120°．故选：A．【举一反三3】如图，直线l∥m，等边△ABC的两个顶点A，B分别在直线l和m上，若∠CAD＝27°，则∠CBE的度数是（）A.27°B.33°C.63°D.73°【答案】B【解析】解：∵l∥m，∴∠DAB+∠ABE＝180°，即∠CAD+∠CAB+∠ABC+∠CBE＝180°，∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝60°，又∵∠CAD＝27°，∴∠CBE＝180°﹣27°﹣60°﹣60°＝33°，故选：B．【题型10】等边三角形的判定【典型例题】一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】D【解析】解：∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，即三角形任意一边上的高与中线重合，∴这个三角形的三边都相等，∴这个三角形必为等边三角形．故选D．【举一反三1】P为∠AOB内一点，∠AOB=30°，P关于OA、OB的对称点分别为M、N，则△MON定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】解：根据题意画出草图：∵P关于OA、OB的对称点分别为M、N，∴AO⊥MP，PO=OMBO⊥PN，OP=ON，∴△POM为等腰三角形△PON为等腰三角形，∴∠MOE=∠POE，∠POF=∠FON，OM=OP=ON，又∵∠AOB=30°∴∠POE+∠POF=30°，∴∠MOE+∠FON=30°，∴∠MON=60°，又∵MO=ON∴△MON为等边三角形．故选A．【举一反三2】将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若∠1＝60°，则△ABC是（）A.不等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【答案】D【解析】解：∵BC∥NM，∴∠ACB＝∠1＝60°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形．故选：D．【举一反三3】如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是

．【答案】等边三角形【解析】解：∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形；又∵∠BAC=∠CAD=30°，∴∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形；故答案是：等边三角形．【举一反三4】已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是

三角形【答案】等边【解析】解：如图，连接OP，∵P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，∴OP1=OP，OP=OP2，∠BOP=∠BOP1，∠AOP=∠AOP2，∴OP1=OP2，∠P1OP2=∠BOP+∠BOP1+∠AOP+∠AOP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB，∵∠AOB=30°，∴∠P1OP2=60°，∴△P1OP2是等边三角形．故答案为：等边．【题型11】含30°角的直角三角形的性质【典型例题】如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的直角边的长为（）A.3cmB.6cmC.8cmD.9cm【答案】B【解析】解：过点C作CD⊥AD，CD＝3cm，在直角三角形ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6cm．故选：B．【举一反三1】如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E是AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，且CE＝CD，若EF＝2，则DF的长为（）A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】解：∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，DE⊥AC，DE平分∠ABC，∴，∵CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE，∵∠ACB＝60°，且是△CDE的外角，∴∠CED+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠C