2025年天津市中考数学试题 （解析版）

2025年天津市中考数学试题

本试卷分为第I卷（选择题）、第n卷（非选择题）两部分.第I卷为第1页至第3页，第II

卷为第4页至第8页.试卷满分120分.考试时间100分钟.

答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并

在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上

无效.考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回.

祝你考试顺利！

第I卷

注意事项：

1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点.

2.本卷共12题，共36分.

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.计算（-21）+（-7）的结果等于（）

C11

A.—3B.3C.—D.一

33

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可.

【详解】解：（—21）+（—7）=3；

故选B.

2.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要查了简单组合体的三视图.根据从前面看到的图形是主视图，即可求解.

【详解】解：根据题意得：它的主视图是

故选：D

3.估计1+指的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可.

【详解】解：•••"<«（囱，

，2<指<3，

，3<1+痴<4，

，1+指的值在3和4之间;

故选C.

4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

能B工巧匠

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要查了轴对称图形.根据轴对称图形得定义，逐项判断，即可求解.

【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选：B

5.据2025年5月7日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到31492000人

次.将数据31492000用科学记数法表示应为（）

A.0.31492xlO8B.3.1492xlO7C.31.492xlO6D.314.92xl05

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成ax10"的形式，其

中1<忖<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与

小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等于10时，〃是正整数；当原数的绝对值小于1时，〃是负

整数.

【详解】解：将数据31492000用科学记数法表示应为3.1492x107.

故选：B.

6.tan45。-夜cos45。的值等于（）

6L

A.0B.1C.1--D.1-V2

2

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解.

【详解】解：tan45°—0cos45°=1—啦x—=0

2

故选：A.

7.若点/（—3,乂）,5（1/2）,。（3,%）都在反比例函数》=—2的图象上，贝1]%,%，%的大小关系是（）

X

A.%<%</B.%<%<%c.%<%<%D.y2<y3<yx

【答案】D

【解析】

9

【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数y=—-的增减性，进行判断即可.

x

9

【详解】解：♦•:=--,

x

反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，了随着％的增大而增大，

•.•点/（—3,乃）,8（1,%）,。（3,%）都在反比例函数^=—2的图象上，且—3<0<1<3,

­1•%〉0〉为〉巴；

故选D.

8.《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，鸳马日行一百五十

里.弩马先行一十二日，问良马几何日追及之."意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走

150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（）

A.240x=150(x+12)B.240%=150(%-12)

C.150x=240(x+12)D.150x=240(x-12)

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题.解题的关键是找到两马路程相等的

等量关系.

设快马用无天追上慢马，快马的总路程为240x里，慢马的总路程为150（x+12）里，根据题意，列出方程

即可.

【详解】解：设快马用x天追上慢马，快马的总路程为240x里，慢马的总路程为150（x+12）里，根据题

意得:

240x=150(x+12).

故选：A

21

9.计算一—+——的结果等于（）

a—1a+1

D.1

a-1Q+1

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查分式的加法运算,先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可.

——21

【详解】解:原式=77T-1

7\7+a+71

2।a-1

(Q_°(Q+1)(Q_+

2+(Q-1)

a+1

1

a—1

故选A.

10.如图，CD是V48C的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边48相

交于点E,与边ZC相交于点E；②以点3为圆心，ZE长为半径画弧，与边8C相交于点G；③以点G

为圆心，EE长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点〃；④作射线AFZ，与CD相交于点M，与边

ZC相交于点N.则下列结论一定正确的是（）

A.NABN=NAB.BNLACC.CM=ADD.BM=BD

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质.由作法可得：ZCBN=ZA,

再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可.

【详解】解：由作法得：/CBN=ZA,

根据题意无法得到ZABN与ZCBN的大小关系，

所以无法确定NA8N与//的大小关系，故A选项错误；

是V/8C的角平分线，

ZBCD=ZACD,

•/ZBMD=/BCD+ZCBN,ZBDM=ZA+ZACD,

ZBMD=ZBDM,

:.BD=BM，故D选项正确；

题干中没有说明NZC民44的大小关系，

无法判断N4CB,ZCBN的大小关系，则无法得到/8NC的度数，故B选项错误；

根据题意无法得到ZD,CM的大小关系，故C选项错误；

故选：D

11.如图，在VZBC中，NZC8=90°,将V/BC绕点A顺时针旋转得到△/B'C,点HC的对应点分

别为5',C',8'。'的延长线与边BC相交于点。，连接CC.若/C=4,CD=3,则线段CC'的长为（）

24

C.4D.—

5

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，

熟练掌握旋转的性质是解题关键.连接Z。，交CC于点O,先证出RtA/CZ）@RtA/CD,根据全等三

角形的性质可得CZ>=CD=3,再证出2。垂直平分CC',则可得CC'=20C,AD±CC'.然后利用

勾股定理和三角形的面积公式求出0C的长，由此即可得.

【详解】解：如图，连接Z。，交CC'于点O,

由旋转的性质得：AC=AC=4,ZAC'B'=ZACB=90°,

ZAC'D=90°,

在RtZk/C'D和RtA^CD中,

AD=AD

<AC'=AC'

：.RtA/C7）&RtA/Cr>（HL）,

CD=CD=3,

：./£（垂直平分CC',

CC'=20C,AD±CC'-

•：ZACB=90°,AC=4,CD=3,

AD=4AC1+CD2=5，

又：S=-ADOC=-ACCD,

△ALCDn22

.“ACCD4x312

AD55

故选：D.

12.四边形中，AD//BC,Z5=90°,AB=8cm,AD=10cm,BC=16cm.动点M从点B出发,

以2cm/s的速度沿边氏4、边4D向终点。运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边C8向

终点8运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为/s.当/=2s时,

点、M,N的位置如图所示.有下列结论：

①当/=6s时，CN=DM；

②当1</«2时，△AWN的最大面积为26cm2；

③才有两个不同的值满足△隰W的面积为39cm2.其中，正确结论的个数是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用.当/=6s时，点M在2。上，求出DM,CN,

可判断①；当1<2时，点M在上，利用三角形面积公式求出1W的面积，利用二次函数的性质,

可判断②；分两种情况：当点M在N8上时，点M在2。上，结合W的面积为39cm2,列出方程，

可判断③.

Q10

【详解】解：根据题意得：点河在48上的运动时间为一=4s,点”在上的运动时间为一=5s,点

N在C5上的运动时间为16s,

①当/=6s时，点又在40上，

止匕时AM=2x6-8=4cm,CN=6cm,

DM=AD—AM=6cm,

CN=DM,故①正确；

②当1</«2时，点M在45上，

此时BM=2/cm,CN=tcm,

BN=(16-^)cm,

ii,

2

：.S^BMN=-BMXBN=-x2t(16-t)=-t+16t=-(t-8)'+64,

•/-l<0,

，当/<8时，S.awv随，的增大而增大，

...当f=2时，取得最大值，最大值为-(2-8『+64=28,

即当1</<2时，△瓦的最大面积为28cm2,故②错误；

③当点〃在45上时，

•••ABJW的面积为39cm之，

：.S=-BMxBN=-x2t(16-t]=-t2+16t=39,

4tnsMMNN22、/

解得：4=3/2=13(舍去),

...当/=3时，AaW的面积为39cm2；

当点〃■在40上时，

•/AD//BC,28=90°,

二44=180°-/8=90°,即

此时

S△DRlMVLNly=2-ABxBN=-2x8('16-t)J=64-At=39,

25

解得：t——,

4

25

，当，二一时，△BMN的面积为39cm2；

4

工，有两个不同的值满足的面积为39cm2,故③正确.

故选：C

第II卷

注意事项：

1.用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）.

2.本卷共13题，共84分.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋

子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为.

【答案】H

【解析】

【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概

率公式.

用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案.

【详解】解：袋子中绿球的个数为6,

球的总数为13,

所以抽到绿球的概率为2，

故答案为：—.

14.计算3x-x-5x的结果为.

【答案】-3%

【解析】

【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可.

【详解】解：3x-x-5x=（3-1-5）x=-3x；

故答案为：-3x.

15.计算（府+1）（炳—1）的结果为.

【答案】60

【解析】

【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式.

利用平方差公式进行计算即可.

【详解】解：（裕+1）（府一1）

=61-1

=60,

故答案为：60.

16.将直线y=3x-1向上平移加个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则他的值可以

是（写出一个即可）.

【答案】2（答案不唯一，满足冽>1即可）

【解析】

【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解

析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到左〉0,6〉0,进行求解即可.

【详解】解：由题意，平移后的解析式为：y=3x-l+m,

..•平移后的直线经过第三、第二、第一象限，

m-1>0,

m>1；

.•.加的值可以是2；

故答案为：2（答案不唯一，满足m>1即可）

17.如图，在矩形/BCD中，48=2,5。=3,点E在边上，且EC=2BE.

（1）线段ZE的长为；

（2）E为CD的中点，M为/尸的中点，N为EF上一点,若/FMN=75。,则线段W的长为

【解析】

【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩

形的性质与勾股定理是解题的关键.

（1）求出8E=1,再利用勾股定理即可求出答案；

（2）过点“作J_EF于H,由矩形的性质得到CD=AB=2,AD=BC=3,NB=ND=NC=90。，

证明△48£@A£CE（SAS）,得到EE=EZ,ZBAE=ZCEF,则可证明N/EP=90°,可得

ZEAF=ZEFA=45°,则/MNF=180°-ZNFM-ZNMF=60°；由勾股定理得4F=而，则

FM="=眄，解直角三角形求出的长，进而可求出"N的长.

22

【详解】解：(1)VBC=3,EC=2BE,

：.BC=BE+CE=BE+2BE=3,

BE=1,

:四边形NBCD是矩形，

NABE=90°,

•**AE=JAB2+BE?—V22+I2=Vs-，

故答案为：45；

(2)如图所示，过点M作尸于”，

・・•四边形是矩形，

CD=AB=2,AD=BC=3,/B=ND=Z.C—90°,

・・•尸为CO的中点，

DF=CF=-CD=1,

2

CF=BE,

又,：CE=2BE=2=AB,

:."BE也AECF(SAS),

：.EF=EA,ZBAE=ZCEF,

...ZBEA+ZCEF=ZBEA+ZBAE=90°,

NAEF=90°,

ZEAF=NEFA=45°,

ZMNF=180°-ZNFM-ZNMF=60°；

在RtA4D9中，由勾股定理得//=，4D2+£)，2=-32+]2=厢,

,:M为AF的中点,

Vio

：.FM=—

2F

JioJ5

•••MH=MF-sinZMFH=--sin45°=—

22

V5

•••srMH三河,

A/7V-----------------------

sinZMNHsin6003

故答案为：叵.

3

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点尸，/均在格点上.

（1）线段P4的长为；

（2）直线P4与V4BC的外接圆相切于点44B=BC.点M在射线8C上，点N在线段A4的延长线

上，满足CW=2ZN,且"N与射线氏4垂直.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点跖N,

并简要说明点N的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】①.行②.见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰二角形的性质，正方形的性质，二角形中位

线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用.

（1）利用勾股定理进行求解即可；

（2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线

段ZC的中点G,利用网格确定点J为线段血的中点，则GJ为三角形的中位线，利用一组平行线确定点N

为线段的中点，证明△48//24跳7和“强丝ACHM,得出NQ=CM,即CN=2ZN,最后利

用切线的性质和等腰三角形的性质，得出△ZM0为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出MNA.AQ.

【详解】解：（1）由勾股定理得24="71=血，

故答案为：、回；

(2)如图所示，点M,N即为所求,

作法：直线与射线8C的交点为M；取圆与网格线的交点。和E,连接。E；取格点/，连接/尸，

与Z>E相交于点。；连接5。并延长，与ZC相交于点G,与直线尸/相交于点H；连接S并延长，与

网格线相交于点/,连接力，与网格线相交于点J；连接GJ,与线段A4的延长线相交于点N,则点

N即为所求.

理由：•/ZDAE=9Q°,

为圆的直径，

VAF为正方形的对角线，

：.ZDAF=ZEAF=45°,

AF垂直平分线段DE,

.,.点。为圆的圆心，

/.OA=OC,

又AB=BC,OB=OB,

:."OB学ACOB(SSS),

NABO=ZCBO,

:.BG平分/4BC,

...点G为线段ZC的中点，

由网格可知点J为线段4的中点，

二GJ为人4。/的中位线，

：.GJ\\CI,

••.点N为线段的中点，

\AQ=2AN

'：AB=BC,BH=BH,BABH=DCBH,

:AABH%CBH(SAS),

\AH=CH,BBAH=DBCH,

：.^)QAH=BMCH,

又£AHQ=DCHM,

：.^AHQ^CHM(AS.A),

:.AQ=CM,

即CA/=2AN,

延长BH交QM于苣T,

•：AB=BC,AQ=CM,

：.BQ=BM,

*:»QBH=»MBH,

BT±QM

为圆的切线，

ZOAH=90°,

\DOAB+DQAM=90°,

•••OA=OB,

：./OBA=/OAB,

即D0ZM+D082=90°,

•：BOBA+BAQM=90°,

\BQAM=BAQM,

为等腰三角形,

：.MN1AQ,

.•.点M,N即为所求.

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

3x<2x+1①

19.解不等式组＜

2,x-32x-5(2)

请结合题意填空，完成本题的解答.

(1)解不等式①，得;

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

I11AA1

-3-2-I0I23

(4)原不等式组的解集为.

【答案】(1)X<1

(2)x>-2

(3)作图见解析(4)-2<x<1

【解析】

【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，

(1)根据移项，合并同类项即可得解；

(2)根据移项，合并同类项即可得解；

(3)根据不等式的解集在数轴上表示的方法：空心圆点向右画折线，“2”实心圆点向右画折线，

“<”空心圆点向左画折线，“V”实心圆点向左画折线，据此画出图形；

(4)根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到,

据此确定不等式组的解集；

解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则.

【小问1详解】

解：移项，得：3x—2x<1,

合并同类项，得：x<L

•••解不等式①，得：x<l,

故答案为：%<1；

【小问2详解】

移项，得：2x-x>-5+3,

合并同类项，得：x>-2,

，解不等式②，得:x>-2,

故答案为：x>-2；

【小问3详解】

把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：

一__________._,____一［小问4详解］

-3-2-1023

原不等式组的解集为：-24x41,

故答案为：—24x41.

20.为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h）,随机调查了该校。名学生，根据统计的结果，绘

制出如下的统计图①和图②.

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）填空：。的值为,图①中根的值为,统计的这组学生每月参加志愿服务的

时间数据的众数和中位数分别为和;

（2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数；

（3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多

少？

【答案】（1）40,25,4,3

（2）这组数据的平均数是3.2

（3）估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350

【解析】

【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求总数，部分的百分比，众数，中位数，加权

平均数，利用样本频数预估总体频数等内容，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式，并灵活应用.

（1）利用求总数，部分的百分比，众数，中位数的公式和定义进行求解即可；

（2）利用加权平均数公式进行求解即可；

（3）利用样本频数预估总体频数即可.

【小问1详解】

解：（2=5+6+10+14+5=40；

3小时人数所占的百分比为"’100=25%,

40

m=25；

:在该组数据中4出现的次数最多,

，众数为4；

中位数为排序后的第20位和21位的平均数,

3+3

...中位数为==3；

2

故答案为：40,25,4,3；

【小问2详解】

解：该组数据的平均数为元=1'上+2'―+^—+4'—+5'—=3.2,

4040404040

...这组数据的平均数是3.2；

【小问3详解】

解：•.•在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占35%,

...根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占35%,有

1000x35%=350.

估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350.

21.已知A8与。。相切于点C,=80。,08与。。相交于点。，E为。。上一点.

(1)如图①，求NC即的大小;

(2)如图②，当时，EC与08相交于点延长8。与。。相交于点G,若。。的半径为3,

求ED和EG的长.

【答案】(1)ZCED=20°

⑵373

【解析】

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键:

(1)连接OC,切线的性质得到OC，48,三线合一，求出N80C的度数，圆周角定理求出NCED的度

数即可；

（2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得至UNEDF=NEFG—NFED=6。°,直径得到

AGED=90°,解RtAGED,进行求解即可.

【小问1详解】

解：连接。C.

•.•N8与。。相切于点C,

0C1AB.又OA=OB,

ZCOB=-ZAOB.

2

ZAOB=80°,

ZCOB=40°.

在。。中，ZCED=-ZCOD,

2

ZCED=20°.

【小问2详解】

由（1）知：ZCED=20°.

EC//OA,

ZEFG=ZAOB=80°.

•••ZEFG为力EF的一个外角，

ZEDF=ZEFG-/FED=60°.

由题意，DG为。。的直径，

AGED=90°.

又。。的半径为3,贝1］：DG=6.

EDEG

在Rt^G£Z）中，cos/EDG=----,sin/EDG-........,

DGDG

ED=6cos60°=3,EG=6sin60°=3K.

22.综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑48的高度（如图①）.

某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A,E,C依次在同一条水平直线上，CDLAC,EFVAC,

且CD=EE=1.7m.在。处测得世纪钟建筑顶部3的仰角为22。，在E处测得世纪钟建筑顶部3的仰角

为31。，CE=32m.根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑48的高度（结果取整数）.

参考数据：tan22°«0.4,tan31°~0.6.

【答案】世纪钟建筑45的高度约为40m

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用.延长与48相交于点G,在Rt△厂和RtZ\Z>G8中，分

别求得G/=GB和G£>=GB,再根据G/+=GO,列式计算求解即可.

tan31°tan22°

【详解】解：如图，延长。R与48相交于点G,

根据题意，可得。G〃C4,

有/GDB=22。，NGFB=31°,ZDGB=90°,AG=EF=CD=L7,DF=CE=32,

在RtAFGB中，tanNGFB=----

GF

GB

在RtZkQGB中，tanZGDB=——

GD

GD=GB

tan22°

GF+DF=GD,

J^-+32=^-

tan31°tan22°

32xtan22°tan31°32x0,4x0.6.

GB=-------------------------®----------------=38.4.

tan310-tan22°0.6-0.4

AB=AG+GB+38.4工40.

答：世纪钟建筑48的高度约为40m.

23.已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km,公园离家1.8km.小华从家出发,

先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min,之后匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后,

再用15min匀速跑步返回家.下面图中x表示时间，了表示离家的距离.图象反映了这个过程中小华离家

(1)①填表:

小华离开家的时间/min161850

小华离家的距离/km0.6

②填空：小华从公园返回家的速度为km/min；

③当0Wx<30时，请直接写出小华离家的距离V关于时间x的函数解析式;

⑵若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05km/min的速度散步直接到公园.在从家到公

园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为必，小华的妈妈离家的距离为外，当见<为时，求x

的取值范围(直接写出结果即可).

0.1x(0<x<6)

【答案】(1)①0』,0.6,1.8②0.12③y=<0.6(6<x<18)

0.1x-1.2(18<x<30)

(2)12<x<24

【解析】

【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相

结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息.

(1)①理解题意，从图形中获取准确信息即可；

②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可；

③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可;

(2)求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集.

【小问1详解】

解：①小华去书店的速度为0.6,6=0.1km/min,

1分钟时小华离家的距离为0.1km；

由图可知18分钟时，小华离家的距离为0.6km；

50分钟时，小华离家的距离为1.8km；

故答案为：0.1,0.6,1.8；

②小华返回家的速度为1.8+(70-55)=0.12km/min

故答案为：0.12；

③由①得小华去书店的速度为O.lkm/min,

...当0WxW6时，J=O.lx；

由图可知，当6<x<18时，v=0.6；

当18<x<30时，假设直线解析式为^=丘+6,

0.6=18—+6

将(18,0.6),(30,1.8)代入解析式得<

1.8=30・左+//

k=0.1

解得《

b=-1.2

：.y=O.lx-1.2；

0.1x（0<x<6）

综上，y=<0.6（6<x<18）

0.1x-1.2（18<x<30）

【小问2详解】

解：如图所示，外为妈妈的图形,

O618305570x/min

根据题意可知，小华妈妈的速度为0.05km/min,

所以其直线解析式为为=0.05x,

当必=必时，

令0.05x=0.6,

解得x=12,经验证6<12<18,符合题意；

令0.05x=O.lxT.2,

解得x=24,经验证18<24〈30,符合题意；

结合图形，当必<%时，12<x<24.

24.在平面直角坐标系中，。为原点，等边V48C的顶点/（0,2）,8（0,—1）,点C在第一象限，等边厂

的顶点£卜百,0），顶点R在第二象限.

（1）填空：如图①，点尸的坐标为，点C的坐标为；

（2）将等边AEO尸沿水平方向向右平移，得到等边△E'0’/，点瓦。,少的对应点分别为E',。,尸.设

OO'^t.

①如图②，若边E户'与边48相交于点G,当AE'。'/与V4BC重叠部分为四边形。。'尸G时，试用含

有方的式子表示线段G4的长，并直接写出/的取值范围；

②设平移后重叠部分的面积为S,当述时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.

42

373]

【答案】（1）

7

（2）①6-1，

小会②*s与

【解析】

【分析】（1）作尸G，OE于点G,作C〃_LAS于点77,根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求

解即可；

（2）平移的性质，得到/尸£'。=/。£9=60°,0'£'=0£=有，求出。£'的长，解直角三角形求出0G

的长，线段的和差表示出ZG的长，当点尸落在了轴上之后，直至点E'与点。重合之前，重叠部分为四边

形，求出/的范围即可；

（3）分巫,f=0和迪三种情况进行讨论求解即可.

42

【小问1详解】

解：作尸G_LOE于点G,作于点

VAOEF,"BC均为等边三角形,

：.0G=-0E,0F=0E,AH=-AB,AC=AB,

22

VJ（0,2）,5（0,-1）,E（-A/3,0）,

：.0F=0E=也,AC=AB=2+1=3,0A=2,

3

OG=—,AH

22

FG=^OF2-OG2=-,OH=OA-AH=­,CH=^AC2-AH2=—，

222

【小问2详解】

①：平移，

ZF'E'O'=ZOEF=60°,O'E'=OE=43,

■：OO'^t,

：・OE'=O'E—OO'=舁t，

OG=OE'-tan600=也—t）=3—y/3t,

**•AG=OA—OG=2-3+\f3t=y/3t-1，

当点尸'落在y轴上时，此时，点。为O'E'的中点，贝限t=%

当点£'与点。重合时，t=也,

••・当-OF,与V48c重叠部分为四边形OO'F'G时，—<r<V3；

2

②当迪</<有时，则重叠的部分为四边形。ORG，如图，作厂加Lx轴,

4

3

由（1）和（2）①可知：FfM=-,OG=3—后，OE，=6-t，

S=S-OEF_S-O£G=g6乂+T）g-6）=一与卜-6、+~~,

.•.当/=述时，S的值最小，为_@x[短—0]+—=—；

4214J416

.96八3G

・・-----<d<------;

164

设5c交x轴于点N,贝!I：ON=OB-tan60°=73=O'E'，

当，=百时，此时点E'于O重合，。'与N点重合，重叠的部分恰为△O'E'尸，

当拒＜t〈巫,S随着/的增大而减小，

2

.•.当「=£!时，s有最小值，此时点CO'Lx轴，如图:

此时重叠部分为五边形，O'N=^-43=—，

22

VZCNO'=ZBNO=90°-NABC=30°，AE'O'F'=60°,

/.NN。。'=90°,

O'Q=-O'N=—，QN=43O'Q=-,

244

.01V33373

•,、qnC=-XX—=--------，

°24432

•/ZACB=60°,ZCQP=ZNO'Q=90°,

二ZF"PG=ZCPQ=30°,

ZF"GP=180°—30。一60°=90°，

由平移可得：F'F"=NO'=—，F'F"//NO'=

22

，ZF'F"G=ZO'E'F"=60°,

ZFF'G=30°=NF"PG，

:.F〃p=FF=^

2

1G33G

同法可得:。

-FGP24432

.G_0°G_3V33733V3_9V3

,,3―、AOEF"_3.OW。一、MGP~~]6，

综上：逋<s<述.

164

【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等

知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.

25.已知抛物线y=ax?+bx+c(a,b,c为常数，a<0,b>0).

(1)当a=—1,b=2,c=3时，求该抛物线顶点尸的坐标；

(2)点2(-1,0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与V轴的交点.

①当a=—2时，若点。在抛物线上，ZCAD=90°,AC=AD,求点。的坐标；

②若点ZCAB=2ZABC,以AC为边的uACEF的顶点F在抛物线的对称轴/上，当C