2025年苏科版新九年级数学暑假专项讲义：平行四边形（暑假分层作业）原卷版+解析

第05练平行四边形

&警［1积累5运_用

1.平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。

3.平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。

4.平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。

5.平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。

6.平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

7.平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

8.平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

9.平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相

等或两条直线互相平行的重要方法。

（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。

1.如图，在四边形ABC。中，对角线AC、8。相交于点。，下列条件不能判定四边形ABC。为平行四边形

的是（）

A.AB//CD,AD//BC

C.AD=BC,AB//CDD.AB=CD,AD=BC

2.下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（）

A.一组对角相等，一组邻角互补

B.一组对边平行，另一组对边相等

C.两组对边相等

D.一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线

3.已知四边形A8CD中，AB//CD,添加下列条件仍不能判断四边形ABC。是平行四边形的是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.AD//BCD.NC+ND=180。

4.如图，下列条件中不能判定四边形ABC。是平行四边形的是（）

DC

AZZB7

A.AB//CD,AB=CDB.AB//CD,AD//BC

C.AB=CD,AD=BCD.AB//CD,AD=BC

5.用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为直角”时，应先作出的假设是（）

A.一个三角形中不能有两个角为锐角B.一个三角形中不能有两个角为钝角

C.一个三角形中能有两个角为直角D.一个三角形中能有两个角为锐角

6.如图，点E为口ABC。的边BC上的一点，连接AE,满足AE=EC,若NB=72。,贝

的度数为（）

A.80°B.81°C.82°D.83°

7.如图，口ABCD的对角线AC与5。相交于点O,AB1AC,若AB=4,AC=6,则8。的长为（）

A.5B.8C.10D.11

8.如图，四边形ABCD的对角线AC,8。交于点O,则不能判断四边形A8CQ是平行四边形的是（

AD

ZABD=ZBDC,OA=OCB.ZABC=ZADC,AD//BC

ZABC=ZADC,AB=CDD./ABD=/BDC,ZBAD=ZDCB

9.在面积为15的平行四边形ABC。中，过点A作4E垂直于直线BC于点E,作AF垂直于直线C。于点

F,若A8=5,BC=6,则CE+CT的值为.

10.在DABCD中，周长为20cm,对角线AC交于点O,«。钻比AOBC的周长多4,则边.

11.已知△ABC中，AB=AC=5,BC=6,若△ABC沿射线8c方向平移x个单位得到△OEF,顶点A,B,

C分别与。，E,尸对应，若以点A,D,£为顶点的三角形是等腰三角形，则尤的值是.

12.如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE,ZD=108°,则Zfi4c的度

数是_____________

能力提升练

13.如图，已知在口ABC。中，ZB=60°,AE±BC,AFLCD,垂足分别为点E、F.

⑴求NEAF的度数；

(2)如果AB=6,求线段AE的长.

14.如图，点、B、F、C、E在一条直线上，FB=CE,AB〃ED,AC〃FD,AD交BE于点、O.

(1)求证：AD与m互相平分；

(2)若43，4。,4。=3尸,班=8,尸。=2,求AB的长.

A

15.如图，在nABCZ)中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与QC的延长线交于点孔

⑴求证：CF=CD；

⑵若">=13,AF=10,AD=2AB,连接。E,求QE的长.

(1汝口图1,对角线AC、BD交于点O,若3C=4,求8。的长；

⑵点E是直线8上的一个动点，直线BE交直线AC于点过点A作交直线8于点E垂足

为点连接FH.

①如图2,当点E是边C。上一点（点E不与点C、。重合）时，判断线段8H、ARFH的数量关系，并

证明.

②当点E在边。C的延长线上时，若NBEC>45。，判断线段2反、AF,9之间的数量关系，在图3中画

出图形并直接写出结论，不需证明.

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第05练平行四边形

积累运用

1.平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。

3.平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。

4.平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。

5.平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分。

6.平行四边形判定定理1一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

7.平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

8.平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形。

9.平行四边形判定定理4两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相

等或两条直线互相平行的重要方法。

（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。

基础过关练

1.如图，在四边形ABC。中，对角线AC、8。相交于点。，下列条件不能判定四边形为平行四边形

的是（

A.AB//CD,AD//BC

C.AD=BC,AB//CD

【答案】C

【解析】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABC。为平行四边形，故此选

项不合题意；B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCO为平行四边形，故此选项

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不合题意；C、不能判定四边形ABC。是平行四边形，故此选项符合题意；D、根据两组对边分别相等的四

边形是平行四边形可判定四边形ABC。为平行四边形，故此选项不合题意；故选：C.

2.下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（）

A.一组对角相等，一组邻角互补

B.一组对边平行，另一组对边相等

C.两组对边相等

D.一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线

【答案】B

【解析】解：A、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；B、不能判定平行四边形，如

等腰梯形；C、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；D、能用两组对边分别平行的四

边形是平行四边形判定平行四边形；故选：B.

3.已知四边形A3。中，AB//CD,添加下列条件仍不能判断四边形ABC。是平行四边形的是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.AD//BCD.ZC+Z£>=180°

【答案】B

【解析】解：A>-：AB=CD,ABI/CD,四边形ABC。是平行四边形，不符合题意；B>AD=BC,AB//CD,

一组对边平行，另一组对边相等不能推出四边形ABC。是平行四边形，符合题意；C>ABI/CD,ADIIBC,

两组对边平行，四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；D、•.・"+”=180。，得出AD//BC,根据AB//CD,

四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；故选：B.

4.如图，下列条件中不能判定四边形48。是平行四边形的是（）

A.AB//CD,AB=CDB.AB//CD,AD//BC

C.AB=CD,AD=BCD.AB//CD,AD=BC

【答案】D

【解析】解：A,,JAB//CD,AB=CD,

四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B,,：AB//CD,AD//BC,

四边形是平行四边形，故此选项不合题意；C、-：AB=CD,AD=BC,

四边形是平行四边形，故此选项不合题意；D、•.•ABaC。，AD=BC,不能得出四边形ABC。是平

行四边形，故此选项符合题意；故选：D.

5.用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为直角”时，应先作出的假设是（）

A.一个三角形中不能有两个角为锐角B.一个三角形中不能有两个角为钝角

C.一个三角形中能有两个角为直角D.一个三角形中能有两个角为锐角

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【答案】C

【解析】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中能有两个角

为直角.故选：C.

6.如图，点E为口ABC。的边BC上的一点，连接AE,满足AE=EC,若/B=72°,则NACO

的度数为（）

A.80°B.81°C.82°D.83°

【答案】B

【解析】解：；四边形ABC。是平行四边形，

.,.ZBC£>=180°-ZB=180o-72°=108o,

,:AB=BE,

ZACE=-ZAEB=2T,

2

oo

ZACD=ZJBCD-ZACE=108-27=81°,

故选：B.

7.如图，DABCD的对角线AC与80相交于点O,ABVAC,若A3=4,AC=6,则8£）的长为（）

【答案】C

【解析】解：：nABCD,AB=4,AC=6,

\OB=OD,OA=OC=3,

•••ABLAC,

\BO=yjAB2+AO2=5,

\80=203=10,

故选C

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8.如图，四边形ABC。的对角线AC,BD交于点、0,则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是()

A.NABD=/BDC,OA=OCB.ZABC=ZADCfAD//BC

C.ZABC=ZADC,AB=CDD.ZABD=ZBDC,ZBAD=ZDCB

【答案】C

【解析】解：vZABD=ZBDCfOA=OC,

又/AOB=/COD,

：.AAOB^/\COD(AAS),

：.DO=BO,

・•・四边形A5CO是平行四边形，故A选项不合题意；,・工。〃3。，

,ZABC+ZBA£)=180°,

•IZABC=ZADC,

：.ZADC+ZBAD=1SO°,

：.AB//CD,

・・・四边形ABC。是平行四边形，故B选项不合题意；VZABD=ZBDCfZBAD=ZDCB,

：./ADB=/CBD,

J.AD//CB,

ZABD=ZBDCf

：.AB//CDf

・•・四边形A5co是平行四边形，故D选项不合题意；C、ZABC=ZADCfA3=CD不能判断四边形A5CD

是平行四边形，故此选项符合题意；故选：C.

9.在面积为15的平行四边形ABC。中，过点A作AE垂直于直线3C于点区作Ab垂直于直线C0于点

F,若AB=5,BC=6,贝UCE+Cb的值为.

【答案】11+M或1+走

22

【解析】解：；四边形ABC。是平行四边形，

：.AB=CD=5,BC=AD=6f

①如图：

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求出AE=2,AF=3,

2

在RtAABE和RtAA。/中，由勾股定理得：AB^A^+BE2,

把A8=5,代入求出3£=拽，

22

同理。尸=3若，

；.CE=6+乎，CF=36+5,

即CE+CF=11+11^,

2

②如图:

同理。F=36,由①知：CE=6-当,5=36-5,

：.CE+CF=l+^~,

2

故答案为：ii+U且或i+@.

22

10.在DABCD中，周长为20cm,对角线AC交于点O,白。钻比AOBC的周长多4,则边AB=

【答案】7cm

【解析】解：:△OAB比AOBC的周长多4,

{OA+AB+OB)-(OC+OB+BC)=4,

又平行四边形的对角线互相平分，

：.OA=OC,

：.AB-BC=4,即BC=AB-4,

又口ABCD的周长为20CMJ,

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：.1(AB+BC)=20,

即AB+AB-4=IO,

'.AB=1cm,

故答案为7aw.

11.已知△ABC中，AB=AC=5,BC=6,若△ABC沿射线8C方向平移x个单位得到△OEF,顶点A,B,

C分别与。，E,尸对应，若以点A,D,E为顶点的三角形是等腰三角形，则尤的值是.

【答案】6或§25或5

O

【解析】解：分3种情况讨论：

①当£>E=AE时，

作垂足为M,ANLBC于N,则四边形ANEM是平行四边形，

：.AM=NE,AM=^AD^^x,CN=』BC=3,

.,.齐+呆=6-(3--|-x),

x=6；②当AD=AE=x时,

:将△ABC沿射线BC方向平移x个单位得到△DEF,

，四边形ABED是平行四边形，

.'.BE=AD=xf

:・NE=x-3,

VAA^+^VE^AE2,

/.42+(X-3)2=%2,

・25

・・X二一.

6

③。E=D4时，AE=AB=5

故答案为：6或二或5.

6

12.如图，AC是平行四边形ABC。的对角线，点石在AC上，AD=AE=BE,ZD=108°,则ZBAC的度

数是_____________

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DtC

£

【答案】24。

【解析】解：・・•四边形A5C。是平行四边形，

ZABC=Z£>=108°,AD=BCf

'：AD=AE=BEf

:・BC=AE=BE,

:・/EAB=/EBA,/BEC=/ECB,

丁ZBEC=ZEAB+ZEBA=2ZEAB,

：.ZACB=2ZCAB,

O

：.ZCAB+ZACB=3ZCAB=\S0-ZABC=1S00-10S°9

：.ZBAC=24°,

故答案为：24°.

13.如图，已知在口ABC。中，ZB=60°,AELBC,AFXCD,垂足分别为点E、F.

(1)求NEA尸的度数；

(2)如果A8=6,求线段AE的长.

【答案】(1)60°；(2)373

【分析】(1)解：：四边形ABC。是平行四边形，

：.AB//CD,

AZB+ZC=180°,

VZB=60°,

.\ZC=120°,

VAEXBC,AFLCD,

：.ZAEC=ZAFC=90°,

在四边形AECF中，ZEAF+ZAEC+ZC+ZAFC=360°，

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：.ZEAF=60°.

⑵解:在放2kA5E中，ZAEB=90°,AB=6f

VZB=60°,

：.ZBAE=30°,

：.BE=-AB=3,

2

由勾股定理，得

AE=4AB2-BE2=^-32=3^

AE=3^♦

14.如图，点3、尸、a后在一条直线上，FB=CE,AB〃ED,AC〃FD,AD交BE于点、O.

(1)求证：A。与班1互相平分；

(2)若A5，AC,AC=5尸,3£=8,尸。=2,求的长.

【分析】（1）证明：如图，连接AE,5O,

:.BC=EFf

AB\\DE,AC\\DF,

ZABC=NDEF,ZACB=NDFE,

ZABC=/DEF

在与△£)£尸中，＜BC=斯

ZACB=ZDFE

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:.^ABC^^DEF(ASA)9

:.AB=DE，

又・.・AB[[DE,

，四边形AB。石是平行四边形，

二.AD与3月互相平分.

(2)解：・.・5石=8,产C=2,

:.BF+CE=BE-FC=6,

・；BF=CE,

：.BF=CE=3,

，BC=BF+FC=3+2=5,

・.・AC=BF,

AC=3,

•/AB±AC,

:.AB=^BC2-AC2=V52-32=4-

15.如图，在DABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与OC的延长线交于点?

⑴求证：CF=CD；

⑵若AD=13,AF=10,AD=2AB,连接QE,求。E的长.

【答案】⑴见解析；(2)12

【分析】(1)证明：：四边形ABC。是平行四边形,

C.AB//CD,AB=CD,

,:点、F为DC的延长线上的一点，

J.AB//DF,

：.ZBAE=ZCFE,ZECF=ZEBA,

为8C中点，

：.BE=CE,

则在△84后和4CFE中，

'NBAE=NCFE

<NECF=NEBA,

BE=CE

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AABAEVACFE(AAS),

：.AB=CFf

：.CF=CD；(2)由(1)得：CF=CD,△BAE^ACFE,

：.AE=EFfDF=2CD,

9

：AB=CD9

：.DF=2AB,

9：AD=2AB,

：.AD=DFf

U：AE=EF,

：.DE±AF

在RtAADR中AD=13,AE^-AF^105,

22

...DE=A/A02-AE2=A/132-52=12

墟」______

等|拓展练

(1)如图1,对角线AC、2D交于点。，若3C=4,求8。的长；

(2)点E是直线C£)上的一个动点，直线8E交直线AC于点”，过点A作AFL3E交直线C£)于点F,垂足

为点M,连接PH.

①如图2,当点E是边C。上一点(点E不与点C、。重合)时，判断线段8H、ARFH的数量关系，并

证明.

②当点E在边。C的延长线上时，若NBEC>45。,判断线段8反、AF,FH之间的数量关系，在图3中画

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出图形并直接写出结论，不需证明.

【答案】(1)3。=46

(2)@BH=AF+FH,证明见解析；②画图见解析；当90°vZBEC＜180°时，有AF=BH+FH；当

45。＜/88。＜90。时，有/H=3H+AE当ZBEC=90°时，点尸不存在

【分析】⑴解：・・・5处

：.0C=-AC,BD=2BO,

2

'：AC±BCfAC=BC,3c=4,

OC=-BC=-x4=2,

22

在肋△BCO中，

BO=^BC1+OC1=V42+22=2A/5，

:・BD=48(2)®BH=AF+FHf

证明：延长Ab和5C交于点G,

VACXBC,AFLBE,

：.ZHBC+ZBHC=ZAHM+/HAF=90°,

■:/BHC=ZAHM,

：./HBC=/HAF,

在△BCH和AACG中，

ZHBC=ZCAG

<BC=AC,

/BCA=/ACG

：.△8CH2△ACG(ASA),

:.BH=AG,HC=CG,

在4^CH和△尸CG中，

HC=CG

<ZHCF=ZGCF,

CF=CF

：.△尸CH2AFCG(SAS),

：.HF=FG,

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：.BH=AG=AF+FG=AF+FH,

②当90°vZBECvl80°时，有AF=BH+FH,如图，

理由：延长尸“、5。相交于G,连接AG,设A尸交5c于N,

•.*AC±BC,

・•・ZHBC+ZBHC=90°f

•:AM±BH,

：.ZHAM+ZBHC=90°f

；.NHBC=NHAM,即NHBC二NCAN,

在45cH和△ACN中，

ZHBC=ZCAN

<BC=AC,

ZBCH=ZACN

：.△5CH之AACMASA),

:.CH=CN,ZBHC=ZANC,

VAC±BC,AC=BC,

：.ZABC=ZBAC=45°f

'：uABC