2026人教A版高考数学一轮复习专练：二项分布、超几何分布与正态分布

第8节二项分布、超几何分布与正态分布

考试要求1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.

2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.

■知识诊断自测

【知识梳理】

1.伯努利试验与二项分布

⑴伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行

n次所组成的随机试验称为〃重伯努利试验.

(2)二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(O<p<l),

用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=&(l-pY-k,k=0,1,

2,,,,,n,称随机变量X服从二项分布，记作X〜B(n,〃).

2.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)=g,D(X)=p(l-pY

(2)若X〜B(〃，p),则6(为=迎，D(X)=np(l-pY

3.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不

放回)，用X表示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=Z)=^^,

k=m,m+1,m+2,…，r,其中，n,N,MGN*,M&N,nWN,m=max{0>

n—N+M1,r=min{n,M},称随机变量X服从超几何分布.

4.正态分布

⑴定义

-52

若随机变量X的概率分布密度函数为火力=西方.e2c2,XGR,其中，〃CR,

。>0为参数，则称随机变量X服从正态分布,记为X〜N@,冷.

⑵正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线x=a对称.

②曲线在处达到峰值g屋.

③当国无限增大时，曲线无限接近x轴.

(3)3。原则

①trWXW〃+心0.6827；

②尸(//—2(TWXW〃+2。)亡0.9545；

③尸(//—3«WXW〃+3。)心0.9973.

(4)正态分布的均值与方差

若X〜N〃，/)，则E(X)=w，D(X)=2

［常用结论与微点提醒］

1.两点分布是二项分布当”=1时的特殊情形.

2.超几何分布有时也记为X〜85,M,N)，其均值E(X)=R,

nM(—Nn—-1Jj

N,

3.若X服从正态分布，即X〜叫，/)，要充分利用正态曲线关于直线对称

和曲线与x轴之间的面积为“1”解题.

4.利用〃重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率

模型是否满足公式P(X=A)=a/(l-p)〃r的三个条件：(1)在一次试验中某事件A

发生的概率是一个常数p-,(2)〃次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试

验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示〃次试验中事件A恰好发

生了上次的概率.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“♦”或“X”)

(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是2的倍数的次数，则X服从二项分

布.()

⑵从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分

布.()

(3)〃重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.()

(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.()

答案(1)J(2)V(3)V(4)V

2.(选修三P76练习1改编)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝

上”出现的次数，则随机变量X的均值E(X)=()

A.2B.lC.gD.1

答案A

解析由题意可知，X〜3(4,目，

E(X)=4x1=2.

3.(选修三P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到

的次品数，则P(X=2)=.

3

答案10

解析由题意，X服从超几何分布，其中N=10,M=3,n=4,

C支彳3

故P(X=2)=G7=而.

4.(必修三P87T2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X>2c—1)=

P(X<c+3),则,=.

4

答案3

解析随机变量X服从正态分布N(3,1),

VP(X>2c-l)=P(X<c+3),

.2c—l+c+3._4

1•03,•*c3*

■考点

考点一二项分布

例1(2024.常德模拟)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，

其中有A,B,C三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一

四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：

班级—、二三四

人数3234

⑴从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；

(2)从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人

选择一款软件，其中选A,3两款软件学习的概率都是尢且他们选择A,B,C

任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件。的人数为蜃

求《的分布列和数学期望.

解(1)从这12人中随机抽取2人，共有C12=66种可能情况，

记“这2人恰好来自同一班级”为事件A,

则事件A包含的可能情况有

CHCHCHC?=3+1+3+6=13种，

13

所以P(A)=而

(2)由题意知，《的可能取值为0,1,2,3,

因为选A,5两款软件学习的概率都是去且他们选择A,B,C任一款软件都是

相互独立的，

所以他们选择C款软件学习的概率是

11

---2

66手

所以这三名学生中下午自习时间选软件C的人数服从二项分布3(3,|

1

所以p(0=o)=c9

27'

P（口）=C（|）停）君=|,

124

---

PC=2）=C3-27-9

P(一)=C切团=药

所以^的分布列为

e0123

1248

P

279927

2

所以E(^)=3X-=2.

感悟提升判断某随机变量服从二项分布的关键点

(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.

(2)各次试验中的事件是相互独立的.

(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.

训练1(2024.烟台模拟)为了了解观众对某电视剧的评价，某机构随机抽取了10

位观众对其打分(满分为10分)，得到如下表格：

观众序号12345678910

评分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1

(1)求这组数据的第75百分位数；

(2)将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对该电视剧进行评价，记抽取的3

人中评分超过9.0的人数为X,求X的分布列、数学期望与方差.

解(1)将这组数据从小到大进行排列，

7.4,7.8,8.3,8.5,8.5,8.6,8.9,9.1,9.5,9.9,

因为75%X10=7.5,

所以第8个数据为所求，

所以这组数据的第75百分位数为9.1.

(2)样本中评分超过9.0的有3个，

所以评分超过9.0的概率(频率)为0.3,

依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,

且X〜3(3,0.3),

则P(X=O)=C2XO.73=0.343,

P(X=1)=C^X0.3X0.72=0.441,

P(X=2)=C3义0.32*0.7=0.189,

P(X=3)=dX0.33=0.027,

所以X的分布列为

X0123

P0.3430.4410.1890.027

所以E(X)=3X0.3=0.9,

D(X)=3X0.3X0.7=0.63.

考点二超几何分布

例2(2024.宿州模拟)宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、

CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通

信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中

随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为去

(1)求〃的值；

(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X,求X的分布列和数学

期望.

解(1)由题知，共有几十6个机房，抽取2个机房有C/+6种方法，其中全是小机

房有CM种方法，因此全是小机房的概率为〃=意=木

解得〃=4.即n的值为4.

(2)X的可能取值为0,1,2,3.

CgC?41

P(X=O)=_CT=12O=3O,

pry=n=C^=.3£=A

i'—C?o—120—10，

P(X=3)=-CT=12O=6-

则随机变量X的分布列为

X0123

1311

P

301026

13119

则X的数学期望E(X)=0X—+1X—+2X-+3X-=-

感悟提升L超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体

的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数;

(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.

2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典

概型.

训练2(2024.郑州调研)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中有10个粽子,

其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选

取3个.

⑴求三种粽子各取到1个的概率;

（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求E（X）.

解（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，

则由古典概型的概率计算公式有

尸⑷一C5o—4，

（2）X的所有可能值为0,1,2,且

「阳。）=品=看P（X=D=詈=看，

"=2）=胃』

例3（1）（多选）（2024.哈尔滨模拟）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件,

零件的尺寸分别记为X,Y,已知X,Y均服从正态分布，X〜N@i,谕,Y〜Ng

囱），其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（）

A.甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值

B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值

C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性

D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性

答案AC

解析X,V均服从正态分布，X〜tr?）,Y〜Ng,cn）,

结合正态密度函数的图象可知，W=〃2,OT<O2,

故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确,

B错误；

甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D

错误.

(2)(多选)(2024.泉州部分学校联考)已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试

(满分为150分)，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(90,/)9>0),则下列

说法正确的是()

(参考数据：①P〃一aWXW〃+㈤弋0.6827；②尸(//一〃+2R心0.9545；

③尸〃一3oWXW〃+3。)Q0.9973)

A.根据以上数据无法估计本次数学考试的平均分

Bo的值越大，成绩不低于100分的人数越多

C.若(7=15,则这次考试分数高于120的约有46人

D.从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为:

答案BD

解析对于A,由题意知，数学考试成绩X的平均值为90,故A错误；

对于B,根据N(90,(J2)。〉。)中标准差的意义，a的值越大则高于90分低于100

分的人数越少，

所以成绩不低于100分的人数越多，故B正确；

对于C,当(7=15时，

P(X>120)=1[1—P(60WXW120)]

^X(l-0.9545)=0.02275,

故这次考试分数高于120的约有

20000X0.02275=455(人)，故C错误;

对于D,由数学考试成绩X近似服从正态分布N(90,〃)g0)知P(X>90)=|,

由〃重伯努利试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过

23

90的概率为Cgg)&+C§G)=|+|=|，故D正确.

感悟提升解决正态分布问题的三个关键点

(1)对称轴为x=〃.

（2）标准差为o.

（3）分布区间.

由〃，。利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3a特殊区间，

从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.

训练3（1）（2024•枣庄模拟）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经

过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N（72,82）,则数学成绩位于［80,88］

的人数约为（）

参考数据：Pa—«WXW〃+<7）勺0.6827,

Pa一2（TWXW〃+2（7）Q0.9545,3<7WXW〃+3（T）心0.9973.

A.455B.2718C.6346D.9545

答案B

解析由题意可知，林=72,<7=8,P（8OWXW88）=Pa+（rWXW〃+2Q=；［Pa—

2t7WXW〃+2（7）—P〃一（7WXW〃+（0.9545—0.6827）=0.1359,

则数学成绩位于［80,88］的人数约为0.1359X20000=2718.

（2）（多选）（2024.常州调研）已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N（U0,

81）,其中90分为及格线，则下列结论中正确的有（附：若随机变量^服从正态分

布N"『），蚓」P〃一2t7W/W〃+2（7）=0.9545）（）

A.该校学生成绩的期望为no

B.该校学生成绩的标准差为9

C.该校学生成绩的标准差为81

D.该校学生成绩及格率超过95%

答案ABD

解析因为该校学生的成绩服从正态分布N（H0,81）,则〃=no,方差〃=81,

标准差（7=9,

因为〃一2（7=110—2X9=92,

。（片90）>2092）=P（<>〃一2Q

=W+2（7）

0.9545=0.97725>0.95,

所以该校学生成绩的期望为110,标准差为9,该校学生成绩及格率超过95%.

所以A,B,D正确，C错误.

r■■二项分布与超几何分布的区别与联系微点突破

1.教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很

好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，事实上，超几

何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别.

2.超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是有放回

抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作

二项分布.

例1写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服

从超几何分布的是哪些？

⑴Xi表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数.

(2)有一批产品共有N件，其中次品有“件(M>M>0),采用有放回抽取方法抽取

〃次抽出的次品件数为X2.

⑶有一批产品共有N件，其中〃件为次品，采用不放回抽取方法抽〃件，出现

次品的件数为X3(N—且般三叫

解(1)X1的分布列为

Xi012・・・n

・・・

P«2

Xi服从二项分布，即Xi〜3",3

(2)X2的分布列为

X20i2・・・n

2〃一2

p嘤“T・・・

X2服从二项分布，即X2〜个，讨

(3)X3的分布列为

X301・・・k・・・n

C为_Mc-c俱犯。

p・・・cfec・・・

c的CWoCJV

X3服从超几何分布.

例2为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层

筛选，还有最后一个参赛名额要在A,B两名学生中产生，该班委设计了一个选

拔方案：A,3两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问

题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生3能正确回答每个问题的概率

2

均为B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.

(1)分别求A,3两名学生恰好答对2个问题的概率；

(2)设A答对的题数为X,3答对的题数为匕若让你投票决定参赛选手，你会选

择哪名学生？请说明理由.

解(1)由题意，知A恰好答对2个问题的概率为8=普=|,

B恰好答对2个问题的概率为

1

P2=C3=9-

(2)X的可能取值为1,2,3,

则P(X=1)=^=|；

dc33

P(X=2)=~CT~5;

eld1

P(X=3)="cF"?

131

所以E(X)=lX-+2X-+3X-=2,

1312

D(X)=(l-2)12X-+(2-2)2X-+(3-2)2X^=-

易知y〜5(3,|),

2212

所以E(r)=3Xg=2,D(Y)=3X^X-=~.

因为E(X)=E(F)，D(X)<D(Y),

所以A与5答题的平均水平相当，但A比3更稳定.所以选择学生A

训练某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的

40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克)，质量的分组区间为[490,495],(495,

500],…，（510,515].由此得到样本的频率分布直方图（如下图）.

（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；

⑵在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求

X的分布列；

（3）从该流水线上任取2件产品，设y为质量超过505克的产品数量，求y的分布

列.

解（1）质量超过505克的产品的频率为

5X0.05+5X0.01=0.3,

所以质量超过505克的产品数量为40X0.3=12（件）.

⑵质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件,

X的取值为0,1,2,

X服从超几何分布.

__C12Ci8_28

尸(X—0)—C%-130,Pp(rXy—nD—Go—65,

,,C?211

r(X-2)-c^-130,

••.X的分布列为

X012

632811

p

13065130

12

（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为常

_3_

-To-

从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505

3

克的件数丫的可能取值为0,1,2,且¥一闻2

10/

2-kk

k=0,1,2.

所以P（y=O）=C*阖=需,

3721

。尸1）=@而正=力

2

p（y=2）=c［御=高

.•.y的分布列为

Y012

49219

P

loo50Too

■课时分层精练

【A级基础巩固】

L若随机变量X〜553则P（X=3）等于（）

140

ABCD

-3-243-27t

答案B

解析随机变量X〜3（5,1

40

则尸

(X=3)=Cg243,

2.(2024・湖州质检)设随机变量X〜N〃，/)，且P(XNa)=0.5,P(X<")=3P(XN0),

贝UP(XW2a—。)=()

A.0.25B.0.3C.0.5D.0.75

答案A

解析由已知得。=〃，P(X<b)=l—P(X》b),P(XN0)=0.25,

故由正态曲线的对称性可得

P(XW2a—0)=P(XN0)=0.25.

3.(2024・长沙调研)已知随机变量X,¥分别满足X〜3(8,p),Y〜N@,/)，且E(X)

=E⑺，若P(y»3)=g,则2=()

答案c

解析由y〜N@,/)和P(YN3)=W得〃=3,

所以E(X)=E(Y)=3,

又X〜3(8,p),所以E(X)=8p=3,

3

所以？=和

4.(多选)(2024.张家口模拟)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随

机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X,贝!!()

A.X〜3(4,§B.P(X=2)=普

88

C.E(X)=2D.Z)(X)=g

答案ACD

解析从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的

黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，

所以随机变量X服从二项分布，

即X〜8(4,故A正确；

22

P(X=2)=C直=捺故B错误;

因为X〜3(4,|),所以及X)=4x|=|,故C正确；

218

D(X)=4X-X-=-,故D正确.

5.若随机变量X〜N(l,『)，且正态分布NQ,接)的正态密度曲线如图所示，则

下列选项中不可以表示图中阴影部分面积的是()

A.；一尸(XW0)

B.|-P(X^2)

C.；P(XW2)一%(XW0)

Dq—PQWXW2)

答案D

解析根据正态分布的性质可知，正态密度曲线关于直线x=l对称，所以题图中

阴影部分的面积为义一P（XWO）,A正确；

根据对称性，P（XW0）=P（XN2）,B正确;

阴影部分的面积也可以表示为

P(XW2)-P(XWO)

正确;

2,C

阴影部分的面积也可以表示为尸（0WXW1）,

而尸(OWXW1)=P(1WXW2),D不正确.

6.（多选）（2024.成都段测）袋中有6个大小相同的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,

6,还有4个同样大小的白球，编号分别为7,8,9,10.现从中任取4个球，则下

列结论中正确的是（）

A.取出的最大号码X服从超几何分布

B.取出的黑球个数¥服从超几何分布

C.取出2个白球的概率为上

D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为七

答案BD

解析对于A,根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取,

由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学

模型计算概率，故A错误；

对于B,取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视

作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确；

对于C,取出2个白球的概率为窗=*故C错误；

对于D,若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，

则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为部==，故D正确.

7.（多选）（2024.厦门模拟）李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时

骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：

坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36,骑自行车平均用时34分钟，样本方

差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时V都服从正态分布，则()

A.P(X>32)>P(Y>32)

B.P(XW36)=P(yW36)

C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车

D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车

答案BCD

解析对于A,由条件可知X〜N(30,62),y〜N(34,22),根据正态曲线的对称

性可知P(y>32)>0.5>P(X>32),故A错误；

对于B,尸(XW36)=P(XW30+6),P(yW36)=P(YW34+2),所以P(XW36)=

产(YW36),故B正确；

对于C,尸(XW34)>0.5=P(YW34),

所以P(XW34)>P(y<34),故C正确；

对于D,P(XW40)<P(X<42)=P(X<30+12),

P(yW40)=P(YW34+6),

所以P(XW40)<P(YW40),故D正确.

8.小赵计划购买某种理财产品，设该产品每年的收益率为X,若尸(X>0)=3P(XW0),

则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为.

小心27

口水128

3

解析由题可知该产品每年为正收益的概率为本则小赵购买该产品4年，恰好有

22

2年是正收益的概率为=蕊.

9.(2024•苏北四市调研)某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”.测试后统

计分析，学生的平均成绩1=80,方差§2=25.学校要对成绩高于90分的学生进行

表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布N@,/)(其中〃近似为平均数口

，近似为方差』)，则估计获表彰的学生人数为•(四舍五入，保留整数)

参考数据：随机变量X服从正态分布N(〃，片)，则尸(//—oWXW/z+o)仁0.6827,

P〃一2oWXW〃+2㈤勺0.9545,P〃一3(7WXW〃+3㈤弋0.9973.

答案27

解析由题意得〃=80,cr=5,〃+2cr=90,

故P(X>90)=P(X>/u+2(7)X0.9545=0.02275,所以1200X0.02275=

27.3心27.

10.一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任

意取出3个球，有黄球的概率是,若］表示取到黄球的个数，则£(0=

解析从中任意取出3个球，样本点总数九=色=10,

其中有黄球包含的样本点个数

m=©&+©△=9.

所以有黄球的概率是P=々=总

^表示取到黄球的个数，

则《的所有可能取值为0,1,2,

…c、e1…，、Cic?6

PC=o)=『正P(1)=w，

所以E(^)=OX^+1X^+2X^=1.

n.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空

发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等io个相互独立的程序题目组成.

规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从io个不同的题目中

随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确

即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个

程序的概率均为热每位选手每次编程都互不影响.

(1)求乙闯关成功的概率；

(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能

性更大.

解（1）乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A,

则P(A)=C(|)x|+[l)*

（2）由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

「阳。）=肝=白，P（X=D=普得，

产区=2）=詈M，P（X=3）=悬",

小工812

因为但,

所以甲闯关成功的可能性更大.

12.（2024.九江模拟）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康

发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的

通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定.某中学研究型学习调查研究

“中学生每日使用手机的时间”，从该校中随机调查了100名学生，得到如下统

计表:

时间//min[0,12)[12,24)[24,36)[36,48)[48,60)[60,72]

人数1038321073

⑴估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值

作代表）；

（2）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时

间在［48,72］的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望E（X）.

解（1）由题意得，该校100名学生每日使用手机的时间的平均数为

1Q383210732700

;v=6XToo+18XToo+3OXToo+42XToo+54Xioo+66XToo=^oo-=27^min^

所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为27min.

101

（2）由题意知该校学生每日使用手机的时间在［48,72］内的概率估计为

100-10,

1

则X〜33

10/

3

所以P(X=0)=C(l—春I_729

I—1000,

P(x=i)=Cx*x(i—高243

1000'

P(X=2)=dx|j^)x(l-总=1000'

1

P(X=3)=

w)1000'

所以X的分布列为

X0123

729243271

p

1000100010001000

7292432713

+3X=

所以E(X)=0X1oog+lXi000+2XJoool00010

(或E(X)=3X杼粉

【B级能力提升】

13.（多选）（2024.武汉调研）已知离散型随机变量X服从二项分布3（九,2）,其中〃6N*,

0<p<l.记X为奇数的概率为a,