2026人教A版高考数学一轮复习专练：导数与函数的单调性（一）

第2节导数与函数的单调性（一）

考试要求1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函

数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

■知识

【知识梳理】

1.函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

rw>o力在（a,力上单调递增

函数y=/（x）在区

rw<o人x）在（a,力上单调递减

间（a,。）上可导

rw=o次冷在（a,加上是常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域;

第2步，求出导函数片x）的零点;

第3步，用了（X）的零点将人》）的定义域划分为若干个区间，列表给出/（x）在各区间

上的正负，由此得出函数y=/（x）在定义域内的单调性.

［常用结论与微点提醒］

1.若函数兀c）在（a,。）上单调递增，则b）时，了（无）20恒成立;若函数人x）

在（a,。）上单调递减，则份时，/（x）WO恒成立.

2.若函数人x）在（a,。）上存在单调递增区间，则。）时，/（x）＞0有解；若函

数人x）在（a,。）上存在单调递减区间，则6）时，了（x）V0有解.

【诊断自测】

1.思考辨析（在括号内打“♦”或“X”）

（1）函数人x）在（a,切内单调递增，那么一定有了（x）＞0.（）

（2）在（a,0）内/（x）W0且/（x）=0的根为有限个，则於）在（a,0）内单调递减.（）

（3）若函数兀0在定义域上都有/（x）＞0,则加0在定义域上一定单调递增.（）

（4）函数兀v）=无一sin尤在R上是增函数.（）

答案(1)X(2)V(3)X(4)V

解析（1）人防在（a,6）内单调递增，则有/（x）NO.

（3）反例，＜%）=一：,虽然/（x）=E＞0,但兀0=一土在其定义域（一8,0）U（0,

+8）上不具有单调性.

2.（多选）已知定义在R上的函数人劝，其导函数/（X）的大致图象如图所示，则下列

叙述正确的是（）

C./(c)>»>»D爪c)>大d)>f(e)

答案CD

解析由题意得，当X@（—8,c）时，/（x）＞0,

所以函数人X）在（一8,C）上单调递增，

因为a＜b＜c,所以y（c）：＞ys）＞y（a）.

当%e（c,e）时,f（x）＜0,

所以函数兀0在（c,e）上单调递减，

因为c〈d＜e,所以y（c）＞y（d）＞y（e）.

3.（选修二P97T2改编）函数汽4x的单调递增区间是.

答案（—8,-2）,停,+°°J

2

解析由/（%）=3炉+4%—4=（3x—2）（x+2）＞0,得x＜—2或

故加）的单调递增区间为（一8,—2）,修，+8）.

4.（选修二P89练习T2改编）若函数人防二R+奴2—ax在R上单调递增，则实数a

的取值范围是.

答案L3,0]

解析f(x)=3x1-\-2ax—a^0在R上恒成立,

所以4Q2+12QW0,解得一3WaW0.

■考点聚焦突破

考点一利用导函数的图象研究函数的单调性

例1⑴设函数兀0在定义域内可导，y=«¥)的图象如图所示，则其导函数y=/(x)

的图象可能是()

答案D

解析由於)的图象可知，危)在(一8,0)上为单调递减函数，故X©(—8,0)时，

r(x)<0,故排除A,C；

当%e(0,+8)时，函数五》)的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以/(x)

的值是先正，再负，最后是正，因此排除B,故选D.

(2)/(x)是1x)的导函数，若函数y=/(x)的图象如图所示，则y=/(x)的图象可能是

()

答案C

解析由y=/(x)的图象可得：在(一8,Z，)±f(x)>0,在(。，+°°)±/(x)<0,

根据原函数图象与导函数图象的关系可得：y=/(x)在(—8,份上单调递增，在(6,

+8)上单调递减，可排除A,D,且在关=0处，/(x)=0,即在x=0处，y=f(x)

的切线的斜率为0,可排除B,故选C.

感悟提升由原函数图象识别导函数图象的依据：若40单调递增，则/(X)的图象

一定在X轴的上方；若加0单调递减，则/(X)的图象一定在X轴的下方；若汽X)是

常函数，则/(x)=0;由导函数图象识别原函数图象的依据：根据/(x)>0,则Hx)

单调递增，r(x)<o,则次0单调递减.

训练1(1)设函数火X)的图象如图所示，则导函数/(X)的图象可能为()

答案c

解析由1x)的图象知：当X©(—8,I)时，“X)单调递减，/(x)<0,当x©(l,

4)时，应口单调递增，7(x)>0,当x©(4,+8)时，1力单调递减，/(x)<0,由选

项各图知：选项C符合题意，故选C.

(2)已知1x)的导函数/(x)的图象如图所示，那么火用的图象最有可能是图中的

()

答案D

解析由题意可知，当x©(—8,0)U(2,+8)时，导函数人外<0,函数八工)单

调递减；

当x©(0,2)时，导函数/(x)>0,函数兀0单调递增，由选项可知图象D符合.

考点二不含参函数的单调性

例2(1)下列函数在(0,+8)上单调递增的是()

A.«x)=sin2xB<%)=xex

3

C:/(x)=x—xD{x)=­x+lnx

答案B

解析对于A,/(x)=2cos2x,/传)=—1<0,不符合题意；

对于B,了(无)=(%+1)旧>0,符合题意;

对于C,/COMBX2—1,/@■)=—1<0,不符合题意；

对于D,/(x)=-1+J,/(2)=—J<0,不符合题意.

Ji乙

(2)若函数人功=电沪，则函数人功的单调递减区间为.

答案(1,+8)

qTn—

解析《¥)的定义域为(0,+°°),/(%)=7?,

令夕(x)=：—lnx—l(x>0),(p'(x)=—A—^<0,

0(x)在(0,+8)上单调递减，且0(1)=0,

.•.当xG(O,1)时，夕(x)>0,

当x@(l,+8)时，夕Q)<0,

••优X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

感悟提升确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应

注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗

号”或“和”隔开.

训练2已知定义在区间[0,兀]上的函数次x)=x+2cosx,判断函数Hx)的单调性.

解了(x)=1—2sinx,xG[0,7r],

令/(x)=0,得》=5或%=知，

jrSir7TSTT

当0<X<《，~^~<X<Tl时，/(x)>0,当■时，/(x)<0,

.,①)在(o,和玲兀)上单调递增，在电，裔上单调递减.

考点三含参函数的单调性

例3已知函数火x)=2x—9—(a+2)lnx(qGR),讨论兀¥)的单调性.

解V/x)=2x-£-(tz+2)lnx,x>0,

ri,a〃+22x2—(〃+2)x~\~a(2x—a)(x—1)

则rw=2+?--=-------?---------=--------?---------

①当?W0,即aWO时，

由/(x)<0,得由/(x)>0,得x>l,

此时函数兀0的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8);

②当尹1时，。=2时，对任意的x>0,/(x)20,此时函数於)在(0,+8)上单调

递增；

③当槌<1时，即0<。<2时，

由/(x)>0,得0<x%或x>l,由/(x)<0,得

此时，函数人x)的单调递增区间为(0,守，(1,+8),单调递减区间为1)；

④当即〃>2时，

由/(x)>0,得0<x<l或x>^9由f(x)<09得

此时，函数人X)的单调递增区间为(0,1),修，+8),单调递减区间为11,覆.

综上所述，当aWO时，函数五X)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,

+°0);

当0<。<2时，函数於)的单调递增区间为(0,,,(1,+8),单调递减区间为俘，1)；

当。=2时，函数1x)的单调递增区间为(0,+°°)；

当a>2时，函数於)的单调递增区间为(0,1),&+8),单调递减区间为11,

感悟提升若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的

正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式/的正负，二次项系数的

正负，两根的大小及根是否在定义域内.

训练3(2021•全国乙卷节选)讨论函数1x)=》3—/+以+1的单调性.

解由题意知/(%)的定义域为R,/(x)=3x2-2x+a,

对于了(%)=0,/=(—2/—4义3〃=4(1—3〃).

①当a制时,/(x)>0,危)在R上单调递增；

②当•时，令/(x)=0,

即3A2—2x+〃=0,

解得3:1一尸,X2二生产,

令/(X)>O'贝1JX<X1或X>X2；令/(X)<O,贝［X1<X<X2.

所以在(一8,Xl),(X2,+8)上单调递增，在(XI,X2)上单调递减.

综上，当时，_/(%)在R上单调递增；

当a<|时，“X)在1―8,-~3a］,(1+q；3、+8)上单调递增,

在［上亭9，1+f］上单调递减.

■课时分层精练

【A级基础巩固】

1.函数y(x)=2x—sinx在(一8,十8)上是()

A.增函数B.减函数

C.先增后减D.不确定

答案A

解析V/(x)=2x—sinx,

•••/(x)=2—cosx>0在(-8,+8)上恒成立,

二於)在(―8,+8)上是增函数.

2.函数y=/(x)的导函数y=/(x)的图象如图所示，则函数y=/(x)的图象可能是

()

答案D

解析/(%)>0的解集对应y=/(x)的单调递增区间，/(x)<0的解集对应y=/(x)的单

调递减区间，验证只有D符合.

3.函数人x)=x—ln(2x+l)的单调递增区间是()

A(T°)B[TI)

c[T+0°)D.g+8

答案D

解析危)的定义域是G，+8),/(X)=l—喜=||M

令了(%)>0,得x>；,

故人X)的单调递增区间是g，+8).

4.已知函数人x)与/(x)的图象如图所示，则函数g(x)=三丁的单调递增区间为

()

A.(0,4)3'

c[o,I)

D.(—8,0),(1,4)

答案D

解析易知/(x)过点(0,0)与停，0),

当x<0或l<x<4时，f(x)>f(x),

口Hf(x)—f(x)

即g'(x)二6>0,

则函数g(x)=q=的单调递增区间为(一8,0),(1,4).

Inf

5.函数Hx)=[一的图象大致为()

ABCD

答案C

Inf

解析函数人功=吁的定义域为(-8,0)U(0,+8),关于原点对称，且

In(—%)2/

x)=—咛=—Hx)，所以函数Hx)为奇函数，排除A,B；

X尤

.,_...21nxI12(1—Inx)

当X>0时，函数火X)=1一,则/(%)=-----2-------,

当OVxVe时。(x)>0,函数人x)单调递增，

当x>e时，/(x)<0,函数人x)单调递减，排除D.

6.函数人均=2%3—以+6的一个单调递增区间为［1,+8),则减区间是()

A.(—8,0)B.(-l,1)

C.(0,1)D.(—8,1),(0,1)

答案B

解析函数兀0=27一ax+6,则/(RMGX2—a,

当aWO时，/(x)NO恒成立，函数Hx)在其定义域内单调递增.

当a>0时，令/(x)=0,解得x=±^J|,

当+sj时，八>)>0,函数人工)递增.

•.•函数/U)的一个单调递增区间为［1,+8),故得、色=1,解得a=6,

.•.x©(—1,1)时，f(x)<0,函数人期单调递减.

7.已知定义在(0,3］上的函数人助的图象如图，则不等式/(x)<0的解集为()

A.(0,1)B.(b2)

C.(2,3)D(0,加(I，1J

答案B

解析观察图象可得函数人x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，

在区间(2,3］上单调递增，所以不等式〃x)<0的解集为(1,2),故选B.

8.已知函数人x)满足下列条件：①*x)的导函数了(x)为偶函数；②*x)在区间(一8,

-2),(2,+8)上单调递增，则人为的一个解析式为人为=.(答案不唯一)

答案/好―4式答案不唯一)

解析因为Cx)在区间(一8,-2),(2,+8)上单调递增，

所以当X©(—8,-2)U(2,+8)时，了(尤)>0.

又人X)的导函数/(X)为偶函数，

所以令/(x)=f—4,满足题意，

所以«¥)=!?一4x答案不唯一.

9.函数人x)=(x—l)ex——的单调递增区间为,单调递减区间为.

答案(一8,0),(In2,+8)(0,In2)

解析/(x)=xex—2x=x(ex—2),

令/(x)=0,得x=0或x=ln2,

当x@(—8,0)U(ln2,+8)时，了(%)>0,

当x©(0,In2)时，f(x)<0.

二於)的单调递增区间为(一8,0),(In2,+°°),单调递减区间为(0,In2).

10.(2024・丽水模拟)已知函数於)=*+肛2+依+1的单调递减区间是(一3,1),

则m+n的值为.

答案一2

解析/(X)=X2+2/7U+H,

由於)的单调递减区间是(一3,1)，

得了(x)V0的解集为(一3,1),

则一3,1是/(x)=0的解,

二.一2m——3+1=-2,n=1X(-3)=一3,

可得用=1,〃=-3,故加+〃=-2.

InI-k

11.已知函数Hx)=［「(左为常数)，曲线y=Ax)在点(1,火1))处的切线与x轴平

行.

(1)求实数k的值；

(2)求函数»的单调区间.

A”X

角翠(i)r(x)=一/一(%>o).

i—k

又由题意知了(=所以女

1)=―-C-0,=1.

-xInx—1

(2)由(1)知，/(%)=—最一(x>0).

设h(x)=--Inx—l(x>0),

则"(x)=一《一：<(),

所以/z(x)在(0,+8)上单调递减.

由A(l)=0知，当0<%<1时，A(x)>0,

所以/(x)>0；

当X>1时，h(x)<0,所以/(x)<0.

综上，汽x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间为(1,+-).

12.(2024.吉安质检节选)已知函数外)=3血1%—52—(<7—3)》,x©R,试讨论加)

的单调性.

解由题意，1x)的定义域为(0,+8),

3af+(。-3)x—3a(x-3)(x+a)

f(.x)=--x-(a-3)=~------------------------=--------------------------，

①若。三0,则当0<x<3时，/(x)>0,

当x>3时，/(x)<0,

.,次0在(0,3)上单调递增,在(3,+8)上单调递减;

②若一3<。<0,由/(x)<0,得0<x<—a或x>3,由/(x)>0,得一.<%<3,

.•优x)在(0,—a),(3,+8)上单调递减，在(一处3)上单调递增；

③若a=—3,则/(x)W0恒成立，

.•优x)在(0，+8)上单调递减;

④若。<一3,由/(x)<0,得0<x<3或x>—a,

由/(x)>0,得3<x<一a,

.•优x)在(0,3),(—a,+8)上单调递减，在(3,—0上单调递增.

【B级能力提升】

13.(多选)(2024.青岛模拟)如果函数尸危)在区间/上是增函数，且匕乎在区间I

是减函数，那么称函数y=Xx)是区间/上的“缓增函数”，区间/叫做“缓增区

间”.则下列函数是区间［1,小］上的“缓增函数”的是()

A.«x)=exB<=lnx

<2<%)=/一2无+3D.»=-X2+2V3X+3

答案CD

解析Hx)=ex在口，4］上单调递增，

设g(x)=-；—=T，g'(x)=-2，x£［l,小］,g'(x)=-2>0,g(x)

为增函数，故A错误;<x)=lnx在［1,小］上单调递增，设/z(x)=£『=竽，"(x)

人Ji

［—］njc

=9，x©［l，小1，"(x)>0,力。)为增函数，故B错误；

人

f(无)3r2一3

,/(x)=x2—2x+3在［1,小］上单调递增，设k(x)=---=x—2+~,做x)=.，

%e［i,小］,k'(x)<0,网x)为减函数，故C正确;

於)=—N+2小x+3在［1,5］上单调递增，设q(x)=—-=—x+25+幺q'(x)

JiJi

Q

=-1—~2,xG［l,木］,q'(x)<0,q(x)为减函数，故D