2025年新高考数学一轮复习讲义：第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（学生版）

集合，常用逻辑用语、不等式t

§1.1集合

【课标要求】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义2理解元素与集合的属于关系，理解

集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、

集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：、、.

(2)元素与集合的关系是或,用符号或表示.

(3)集合的表示法：、、.

(4)常见数集的记法

非负整数

正整有理

集合集(或自整数集实数集

数集数集

然数集)

符号N*（或N+）

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中都是集合B中的元

素，就称集合A为集合B的子集，记作(或B2A).

(2)真子集：如果集合4=8,但存在元素xGB,且________,就称集合A是集合8的真子集,

记作(或8A).

(3)相等：若AC8,且________,则A=8.

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为。.空集是的子集，是

的真子集.

3.集合的基本运算

表示

集合语言图形语言记法

运

并集00

交集

补集匕

【常用结论】

1.若集合A有力(〃21)个元素，则集合A有2"个子集，2"—1个真子集.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

4.Ct/(AnB)=(Et/A)U(Ci/B),

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

⑴集合{xeNl^nx},用列举法表示为{-1,0,1}.()

(2){x|y=x2+1}={y\y=xl+1}={(x,y)\y=x^+l].()

(3)若16{/,x},则x=-l或x=l.()

(4)对任意集合A,B,都有(AC8)。(AU2).()

2.(必修第一册Pl4T4改编)设集合A={尤|3Wx<7},2={x[2<x<10},则([RA)C8等于()

A.{x[2<xW3}

B.{尤17a<10}

C.{尤12a<3或7Wx<10}

D.{R2"3或7<x<10}

3.(必修第一册P35T9改编)已知集合人={1,3,a2},B=[1,a+2],若AUB=A,则实数a

4.(必修第一册P9T5改编)已知集合A={x[0<r<a},B={x|0<x<2},若BGA,则实数a的取

值范围为.

■探究核心题型

题型一集合的含义与表示

例1(1)(2023・长春模拟)已知集合4={(》，>)|炉+产=4},B={(x,y)|x+y=0},则AC8的

子集个数为（）

A.1B.2C.3D.4

（2）已知集合4={0,m,/t72-3m+2},且2CA,则实数机的值为（）

A.2B.3C.0D.-2

跟踪训练1⑴（2023•苏州模拟）设集合A={1,2,3},8={4,5},C=[x+y\x^A,y^B）,则C

中元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

（2）若含有3个实数的集合既可表示成卜，p1},又可表示成{层，a+b,Q],则,024+/024

题型二集合间的基本关系

例2（1）（2023•海口质检）已知集合4={小>5},B={x|l-log2^<0},则（）

A.A^BB.B^A

C.ACIB=0D.AUB=R

（2）已知集合A={x|x<-1或xN3},3={x|ax+lW0},若BUA,则实数。的取值范围是（）

C.（—8,-l）U[0,+8）

D.-1,0）U（0,l）

思维升华（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则

易造成漏解.

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转

化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

跟踪训练2（1）已知集合M={尤|y=[l—%2,尤GR},N^[x\x^m2,m^M],则集合M,N

的关系是（）

X.MNB.NM

C.D.NN〈RM

⑵设集合4=国一1WX+1W6},B={x\m-l<x<2m+l],当xGZ时，集合A的非空真子集

的个数为;当8CA时，实数机的取值范围是.

题型三集合的基本运算

命题点1集合的运算

例3（1）（2022・新高考全国I）若集合M={xg<4},N={x|3x21},则MCN等于（）

A.{x|0Wx<2}B.jx||<x<2j

C.{尤|34<16}D.1x||^x<16j

(2)(多选)已知M,N均为实数集R的子集，且NC([RM)=0,则下列结论中正确的是()

A.A/n(CRN)=0

B.MU([R2V)=R

C.(CRM)U(CRAO=ERM

D.(CRM)n(CRAO=CRM

命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)

例4(1)(多选)已知A={x|f+x—6=0},B={x\mx+1=0],且AUB=A,则根的值可能为

()

A.—1B.gC.0D.一义

⑵(2024•本溪模拟)设集合&=国尤<*，B={x\x>a},若AC([R8)=A,则实数a的取值范围

为()

A.[0,1]B.[0,1)

C.(0,1)D.(—8,0]U[l,+8)

跟踪训练3(1)(多选)已知集合4=国/—2x>0},B={x|l<x<3),贝i」()

A.(CRA)UB={X|0^X<3}

B.(CRA)nB={x|l<x<2}

C.ACB={x[2<x<3}

D.AAB是{R2<x<5}的真子集

⑵已知集合A,B满足A={x|x>l},2={x[x<a—1},若AC2=0,则实数a的取值范围为()

A.(一8,1]B.(一8,2]

C.[1,+8)D.[2,+8)

题型四集合的新定义问题

例5(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对

抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识

证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，是

G上的一个代数运算，即对所有的a,bGG,有a-bGG,如果G的运算还满足：①X/a,b,

cGG,有Ob>c=0("c)；@Be^G,使得X/a6G,有e-a=a-e=a；③Wa©G,Bb^G,使

a-b=ba=e,则称G关于“•”构成一个群.则下列说法正确的有()

A.G={-1,0,1}关于数的乘法构成群

B.G=jx|x=pk^Z,k^Oju｛x\x=m,meZ,根WO｝关于数的乘法构成群

C.实数集关于数的加法构成群

D.G=｛m+y[2n\m,〃GZ｝关于数的加法构成群

跟踪训练4（多选）设A为非空实数集，若对任意尤,yGA,都有x+yGA,x—yGA,且孙GA,

则称A为封闭集.下列叙述中，正确的为（）

A.集合A=｛-2,—1,0,1,2｝为封闭集

B.集合A=｛川”=2左，左GZ｝为封闭集

C.封闭集一定是无限集

D.若A为封闭集，则一定有0GA

§1.2常用逻辑用语

【课标要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质

定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对

两种命题进行否定.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q,贝!Jp是q的______—__条__件，q是p的____________条件

p是q的___________一条件p0q且q#p

p是q的___________一条件p*q且q0P

p是q的___________一条件poq

p是q的_______—____条__件p令q且q令p

2.全称量词与存在量词

⑴全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号

“”表示.

⑵存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号

“”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素无，p(x)成立

简记

否定㈱p(x)

【常用结论】

1.充分、必要条件与对应集合之间的关系

设4={无血尤)},B—{x\q(x)].

(1)若p是q的充分条件，则AG3

(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；

(3)若p是q的必要不充分条件，则8A；

(4)若p是q的充要条件，则A=B.

2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.

3.命题p与p的否定的真假性相反.

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“或“X”）

（1）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（）

（2）“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.（）

（3）“x>l”是“x>0”的充分不必要条件.（）

（4）命题“三无GR,sin^+cos5V”是真命题.（）

2.（必修第一册P30例4⑴改编）（多选）己知命题p：VxGR,%+2W0,则下列说法正确的是

（）

A.p是真命题

B.p：\/xGR,x+2>0

C.p是真命题

D.㈱p：尤+2>0

3.（必修第一册P22T2（5）改编）设x>0,y>0,贝1|“正刀”是“无>丫”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知A=（—8,a],8=（—8,3）,且xGA是xGB的充分不必要条件，则a的取值范围

为.

■探究核心题型

题型一充分、必要条件的判定

例1（1）（2023•葫芦岛模拟）已知向量〃为平面a的一个法向量，向量帆为直线/的一个方向

向量，则是/_1_0£的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

（2）在等比数列｛必｝中，“m>0,且公比q>l”是“｛跖｝为递增数列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

思维升华充分、必要条件的三种判定方法

(1)定义法：根据是否成立进行判断.

(2)集合法：根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.

(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要

条件是否成立为止.

7T

跟踪训练1(1)(2024・贵阳模拟)已知函数y(x)=cos(2x+p),则"夕=]"是"%)是奇函数”的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)当命题“若0,则/'为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是

q成立的充分条件.也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要

的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远,

而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的

()

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

题型二充分、必要条件的应用

例2在①“xea”是“xRB”的充分条件；②“尤e(RA”是“XG}B”的必要条件这两个

条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题.

问题：已知集合4={布(；1/4+2},B={x|(x+l)(x-3)<0}.

(1)当a=2时，求ACB；

(2)若，求实数a的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

■微拓展

充分不必要条件的等价形式

p是q的充分不必要条件，等价于㈱q是㈱p的充分不必要条件.

典例已知命题p：|x|Wl,q：x<a,若㈱9是㈱p的充分不必要条件，则实数〃的取值范

围为•

跟踪训练2从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补

充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合1,B={X|X2-4X

+4—/"WO,比GR}.

⑴若加=3,求AU8；

(2)若存在正实数如使得“xGA”是“xGB”成立的,求正实数机的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

题型三全称量词与存在量词

命题点1含量词的命题的否定

例3(1)(多选)下列说法正确的是()

A.“正方形是菱形”是全称量词命题

B.3xGR,eA<ex+1

C.命题x2—2x+3=0"的否定为"\/xGR,x2—2x+3W0”

D.命题都有2x+l>5”的否定为“mxWl,使得2x+lW5”

(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：

命题点2含量词的命题的真假判断

例4(多选)下列命题中的真命题是()

A.0

B.V尤GN*,(x—1)2>0

C.3x^R,lgx<\

D.tan尤=2

命题点3含量词的命题的应用

例5（1）若命题"VxG[—1,2],r+l2机”是真命题，则实数机的取值范围是（）

A.（一8,0]B.（-8,1]

C.（一8,2]D.（-8,5]

⑵（多选）命题0：BxGR,$+2x+2—%<0为假命题，则实数m的取值可以是（）

A.-1B.0C.1D.2

跟踪训练3（1）下列命题为真命题的是（）

A.任意两个等腰三角形都相似

B.所有的梯形都是等腰梯形

C.VxeR,x+\x\^0

D.三尤GR,%2—尤+1=0

⑵（多选）已知命题p：Vx£[0,1],不等式2无一2》加2—3:w恒成立，命题q：HxG[1,3]^不等

式x2—ax+4W0,则下列说法正确的是（）

A.命题p的否定是“不等式2x—2<稼—3优”

B.命题q的否定是“X/xS",3],不等式％2—办+420”

C.当命题p为真命题时，lWznW2

D.当命题g为假命题时，a<4

§1.3等式性质与不等式性质

【课标要求】1.掌握等式性质2会比较两个数的大小3理解不等式的性质，并能简单应用.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.两个实数比较大小的方法

a—人>0=。b，

作差法<Q—6=0=〃b,（〃，b£R）.

a-b<0<^>ab

2.等式的性质

性质1对称性：如果a=6,那么;

性质2传递性：如果a=6,b=c,那么；

性质3可加（减）性：如果a=b,那么研c=b土c；

性质4可乘性：如果a=b,那么ac=6c；

性质5可除性：如果a=6,cWO,那么

3.不等式的性质

性质1对称性：a>bo;

性质2传递性：a>b,b>c=>；

性质3可加性：a>b^>a+c>b+c；

性质4可乘性：a>b,c>0=>;

a>b,<?<0=>；

性质5同向可加性：a>b,c>d=>；

性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0=；

性质7同正可乘方性：a>b>0=a">6"（"WN,〃22）.

【常用结论】

不等式的两类常用性质

⑴倒数性质

@a>b,ab>0金</；

②a<b<0=»；

ab

③Q>0>O,Ovcvd=z〉/；

@0<a<x<b或

（2）有关分数的性质

若a>b>0,m>0,则

①真分数的性质

b方+加bb—m

->------(Z?-m>0)；

aa-\~maa-m

②假分数的性质

aq+口aa—m

(Z7—m>0).

bb^vYYibb-m

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“义”）

（1）两个实数〃，之间，有且只有〃泌，a=b,三种关系中的一种.（）

b

⑵若/I,则6>4（）

（3）同向不等式具有可加性和可乘性.（）

（4）若J>，则b<a.（）

2.（必修第一册P43T8改编）已知非零实数a,b满足a<b,则下列不等式中一定成立的是（）

A.Ina<lnbB.">7

ab

C.a2<b2D.

3.（必修第一册P43T10改编）已知b克糖水中含有。克糖（b>a>0）,再添加小克糖（祖>0）（假设

全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示成一个不等式为.

4.（必修第一册P42T5改编）已知2<cz<3,一2<*—1,则a+2b的取值范围为.

■探究核心题型

题型一数(式)的大小比较

例1(1)(多选)下列不等式中正确的是()

A.%2—2元>—3(xCR)

B.a3+£>3a2b+ab2(a,|GR)

C.a2+i>2>2(o——1)

D.若a>6>0,则a?一房弓―(

(2)若正实数a,b,c满足CCACY,贝。()

A.aa<ab<baB.aa<ba<ab

C.ab<aa<baD.ab<ba<aa

思维升华比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

⑵作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.

跟踪训练1⑴若Ina>inb,则()

11bb——2023

B.f=南

C.新Da-b>--T

.ab

e2023_p|e2024_|_1

(2)已知M=e2024+］，N=e2025十1，则Af,N的大小关系为.

题型二不等式的基本性质

例2⑴若实数4,b满足〃<b<0,贝U()

A.a~\~b>QB.a—b<Q

11

C.\a\<\b\D.->^

(2)(多选)已知“，b,c为实数，则下列说法正确的是()

A.若a>b,贝！Jad>bQ

B.若a>b,则〃+c>b+c

„.aa-\-c

C.右则/>7_L

bb-x-c

,,bc

D.右。>6>c>0,贝！|r>

a—ba-c

跟踪训练2⑴设a,b,c,d为实数,且c<d,则“a<6”是S—d”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

⑵(多选诺a>b>0,则下列不等式中正确的是()

b

B.一a2<—ab

C.ln|«-l|>ln|Z?-l|

D.2fl

题型三不等式性质的综合应用

例3(1)已知0<x<5,—1勺<1,则％—2y的取值范围是()

A.2<x—2y<3B.—2<x—2y<3

C.2<x—2y<7D.—2<x—2y<7

延伸探究若将条件改为"-1W尤+yW2,-2W尤一yWl”,求无一2y的范围.

(2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群.已知该群中男

学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的

两倍多于男学生人数.则该微信群人数的最小值为()

A.20B.22C.26D.28

跟踪训练3(1)(多选)已知々后2,3・6・5,贝1()

A.。+匕的取值范围为[4,7]

B.》一。的取值范围为[2,3]

C.成的取值范围为[3,10]

D.领取值范围为|

X

(2)已知2a<4,—3勺<—1,则三『勺取值范围是()

§1.4基本不等式

【课标要求】1.了解基本不等式的推导过程2会用基本不等式解决简单的最值问题.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.基本不等式：^W审

(1)基本不等式成立的条件：.

⑵等号成立的条件：当且仅当____________时，等号成立.

(3)其中叫做正数a,b的算术平均数，叫做正数a,b的几何平

均数.

2.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正数，如果积犯等于定值尸，那么当％=y时，和x+y有最小值_________.

(2)已知x,y者R是正数，如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积肛有最大值_________.

注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.

【常用结论】

几个重要的不等式

(1)472+Z?22ab(a,b£R).

(2)1+f^2(«,b同号).

CW’”").,Z?eR).

片+及、(a+M

(4)—2~bGR).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(1)不等式"忘(皇)2与砺・皇等号成立的条件是相同的.()

(2)y=%+$勺最小值是2.()

(3)若x>0,y>0且无+>=孙，则孙的最小值为4.()

(4)函数尸sinx+1-，%］。，限的最小值为4.()

sinx\乙)

2.(必修第一册P48习题Tl(l)改编)若函数五x)=x+占(x>2)在尤=<?处取最小值，则a等于

()

A.1+^/2B.1+^3

C.3D.4

3.已知则x(l—x)的最大值为()

A.TB.JC.-77D.1

4olo

4.(2023・重庆模拟)已知x>0,y>0,x+y=l,贝卜+，的最小值为_______.

xy

■探究核心题型

题型一基本不等式的理解及常见变形

例1⑴若0<。<①则下列不等式一定成立的是()

FbI—

A.b>~2~>^>y]ab

i—ci~\~b

B.b>yjab>>a

aIbI—

C.b>2>7ab>a

Q+bI-

D.b>a>~~2~>\lab

(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依

据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现

有图形如图所示，C为线段A3上的点，且AC=〃，BC=b,。为A5的中点，以为直径

作半圆，过点C作A3的垂线交半圆于点。，连接0。，AZ),BD,过点。作0。的垂线，垂

足为点E,则该图形可以完成的无字证明为()

aIbi—

ab(a>0,/?>0)

B.a?+廿22Q优〃>0,Z?>0)

__2

C.y[ab^~^—#?>0,Z?>0)

一+工

ab

D.-2-三23>0,匕>°)

思维升华基本不等式的常见变形

c^+b2

(l)abW'2'

27I—ci~\~b/iV+b2

⑵3~~^y]ab^—2~^yl-(〃>0,b>0).

2

a~+bTN

跟踪训练1（1）已知p：a>b>0,q：—~>D，则p是q成立的（)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

（2）（多选）已知。，b£R,则下列不等式成立的是（）

ciIb1—a~\~b

A.——27abB.R

laba+bcfi+b2

D.abW-2

题型二利用基本不等式求最值

命题点1直接法

例2（1）（多选）下列代数式中最小值为2的是（）

1,_

A.x二B,2、+2/

C.f+《D.^/?+2+^=^

（2）已知x,y为正实数，且满足4x+3y=12,则孙的最大值为

命题点2配凑法

例3（1）（2023・许昌模拟）已知a,b为正数，4o2+^=7,则昕彳的最大值为（）

A中B.小C.2^2D.2

/+3

⑵已知X>1,则』的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

-微拓展

与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型

k

如图，对于函数k>0,x^[a9b],[a,Z?]^（0,+°°）.

(1)当也G[a,切时，应劝=尤+(\2#,«r)min=A#)=#+a=2#;

_kk

(2)当班V。时，犬x)=x+j在区间[a,6]上单调递增，fl,x)min=f(a)=a+-;

_kk

(3)当#〉6时，«x)=x+:在区间伍，可上单调递减，人r)min=/(b)=b+1.

因此，只有当#C[a,切时，才能使用基本不等式求最值，而当m[a,切时只能利用对勾函

数的单调性求最值.

典例函数加)=f+f+2的最小值是-

命题点3代换法

84

例4⑴已知正数〃，匕满足1+/=，则8a+Z?的最小值为()

A.54B.56C.72D.81

延伸探究已知正数〃，匕满足8〃+4。="，则8〃+匕的最小值为.

2

B

(2)已知正数4,Z?满足]+2。=3恒成立，则不日

39

A，2B'C.2D.3

命题点4消元法

例5已知正数〃，。满足层一2次7+4=0,贝！J。一^的最小值为()

A.1B.^2C.2D.2加

命题点5构造不等式法

例6若°>0,b>0,且ab=a+b+3,则的最小值为()

A.9B.6C.3D.12

跟踪训练2(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是()

A.y=sinx+/

4

B.y=2—x—~(x<0)

f+6

D.>=4'+4]

（2）（多选）已知正实数〃，/?满足次?+〃+/?=8,下列说法正确的是（）

A.次?的最大值为2

B.。+人的最小值为4

C.。+2b的最小值为6也一3

D•舟H的最小值吗

§1.5基本不等式的综合应用

【课标要求】1.会求与基本不等式有关的恒成立问题2理解基本不等式在实际问题中的应用.3.

掌握基本不等式在其他知识中的应用.

题型一与基本不等式有关的恒(能)成立问题

21

例1⑴己知x>0,y>0,且；+;=1,若2x+y<«?_即九有解，则实数机的取值范围为()

xy

A.(—8,-l)u(9,+°°)

B.(-8,-1]U[9,+°°)

C.(-9,-1)

D.[-9,1]

—I—3无+1

(2)若对于任意的x>0,不等式厂丁:丁2。恒成立,则实数。的取值范围为()

A.[5,+°°)B.(5,+8)

C.(一8,5]D.(一8,5)

思维升华Bx^M,使得凡等价于/(x)max》a;Bx^M,使得等价于元)minWa

跟踪训练1(1)对任意的xG(—8,0),X2—MU+1>0恒成立，则机的取值范围为()

A.{m\—2<m<2}B.{m\m>2}

C.{m\m>—2}D.—2)

49

(2)(2023•忻州模拟)已知H+62=左，若”+庐恒成立，则上的最大值为()

A.4B.5C.24D.25

题型二基本不等式的实际应用

例2第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销

会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个

吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15—O.lx)万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂

家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价

格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套

纪念品的利润=售价一供货价格.

*

19thAsianGames

Hangzhou2022

(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？

(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元?

跟踪训练2第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行,

某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件

售价为25元，年销售8万件.

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于

原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全

面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入/x2-600)万元作为技改费用，

投入50万元作为固定宣传费用，投入1万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销

售量。至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并

求出此时商品的每件定价.

题型三基本不等式与其他知识交汇的最值问题

「

例3(1)若“三彳6仁1，21],使得3/—入+1<0成立”是假命题，则实数2的最大值是()

A.2小B.2^3C.4D.5

(2)在△ABC中，点。在线段上，且满足|应)|=3诙|,点E为线段上任意一点，若实

数尤，y满足寿=无函+y病，则=+:的最小值为()

%y

A.2^2B.4^3

C.4+2-V3D.9+46

/«jr片+e

跟踪训练3双曲线%—5=l(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为全离心率为e,则一厂的

最小值为()

B坐C.2^6D.y[6

§1.6一元二次方程、不等式

【课标要求】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式2结合二次函数图象，会判断一元二次

方程的根的个数，以及解一元二次不等式3了解简单的分式、绝对值不等式的解法.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.二次函数yuaf+bx+cS〉。)与一元二次方程ax2++c=0(a>0),不等式ax2+bx+

00m>0)的解的对应关系

方程的判别式/

J>0J=0/<0

=b*1—^ac

JiK

二次函数

的图象

O\x}=x2x

有两个相等的实数根

有两个不相等的实数

方程的根b没有实数根

根X2(X1<X2)Xl=&=一五

不等式[xR号}

R

的解集

2.分式不等式与整式不等式

>0(<0)o___________________________________________________________;

欠(X)

⑵般》0(W0)O

g(x)

3.简单的绝对值不等式

|x|>a(q>0)的解集为,

|x|<a(o>0)的解集为.

【常用结论】

1.一元二次不等式恒成立问题

(1)不等式cu^-\-bx-\-c>0(a^0),%£R恒成立=〃>0且/<0；

(2)不等式«X2+Z?X+C<0(6Z7^0),X£R恒成立=〃<0且/<0；

⑶若〃可以为0,需要分类讨论，一般优先考虑4=0的情形.

2.对于不等式ar+Zzx+c〉。，求解时不要忘记〃=0时的情形.

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若方程加+6x+c=0无实数根，则不等式a?+bx+c>0的解集为R.()

(2)若不等式加+61+。>0的解集为(xi,尤2),则。<0.()

(3)若办2+bx+c>0恒成立，贝Ia>Q且zf<0.()

x—a

(4)不等式丁/NO等价于(x-a)(x—6)与0.()

2.(必修第一册P55T5改编)已知A={x*—16<0},8={x|尤2—4x+3>0},则AUB=.

3

3.(必修第一册P58T6改编)若不等式Zfc^+fcc—g<0对一切实数次都成立，则人的取值范围

为.

4.已知不等式必一办一/?<0的解集为(2,3),则〃+/?=.

■探究

题型一求解一元二次不等式

命题点1不含参的不等式

例1(多选)下列选项中，正确的是()

A.不等式/+彳-2>0的解集为{x|无<-2或x>l}

2r+l

B.不等式；TWI的解集为{x|-3Wx<2}

C.不等式仅一2|N1的解集为{x|lWxW3}

x+4

D.设尤GR,则是“不不<0”的充分不必要条件

命题点2含参的不等式

例2已知函数式防二加+出一2)无+3.

⑴若不等式1x)>0的解集为{尤|—14<3},求a,6的值；

(2)若6=—a,求不等式的解集.

思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有

(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.

(2)根据判别式/与0的关系判断根的个数.

(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.

跟踪训练1设函数人无，二办2—(1+a)尤+1.

(1)若。=—2,解不等式加)>0；

⑵若a>0,解关于x的不等式人元)<0.

题型二三个二次之间的关系

例3(1)(多选)已知关于尤的一元二次不等式ax^+bx+c^O的解集为{小《一4或x》5},则下

列说法正确的是()

A.a>Q

B.不等式法+c>0的解集为{尤|x<—5}

C.不等式ex2—bx+a<0的解集为卜卜〈一段或j

D.a+b+c>0

(2)若方程x2—4x+a=0的两根都在区间(1,+8)内，则实数。的取值范围是.

微拓展

一元二次方程根的分布

解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个

方面建立关于系数的不等式(组)进行求解.

(1)判别式/的符号.

b

(2)对称轴x=—或与所给区间的位置关系.

(3)区间端点处函数值的符号.

典例已知关于尤的一元二次方程/+2〃觊+2根+1=0.

(1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(一1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求实数

山的取值范围；

(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内，求实数机的取值范围.

跟踪训练2⑴(多选)已知关于尤的不等式。(尤+1)。-3)+l>0(aH0)的解集是(尤1,尤2)(尤1々2),

则下列结论正确的是()

A.羽+尤2=2B.无逮2<一3

C.—1<XI<%2<3D.xi-xi>4

(2)已知二次函数且式x)<0恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析

式为近尤)=.

题型三一元二次不等式恒成立问题

例4已知函数八尤)=»?/—(根一l)x+“z—1.

(1)若不等式式x)<l的解集为R