北师大版八年级数学上册 第一章-勾股定理-学情评估卷（学生版+答案版）

第一章学情评估卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1在AaBC中，ZC=90。的对边分别为a,b,c。若a2=5,/=12,则c2

的值为（）

A.13B.17C.7D.169

2如图，在Rtz\2BC中，乙4cB=90。，分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个

正方形，其面积分别用£,$2,S3表示。若$=7,S3=2,则52的值是（）

（第2题）

A.3B.5C.7D.9

3如果将直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到

原来的（）

A.2倍B.3倍C.4倍D.以上都不对

4直角三角形的两条直角边的长分别为6,8,则其斜边上的高为（）

A.6B.8C.12D.—24

5

5满足下列条件时，aaBC不是直角三角形的为（）

A.AB=5,BC=13,AC=12B.NANB:ZC=3:4:5

C.AB-.BC\AC=3:4:5D.（BC+AC）（BC-AC）=AB2

6如图，这是一块铁皮,测得AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,AB1

BC,则铁皮的面积为（）

A

B

CD

（第6题）

A.24B.36C.48D.12

7如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔4位于P的北偏东30。方向上，且

相距40海里。客轮以60海里/时的速度沿北偏西60。方向航行0.5小时到达B

处，那么4B相距（）

（第7题）

A.40海里B.30海里C.50海里D.60海里

8面考向数学文化）“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的。以直角三角形的斜边长为

边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方

形组成，在一次活动中，数学小组制作了一幅“赵爽弦图”，如图，其中

乙4BC=90。，AC=13cm,AB=5cm,则阴影部分的面积是（）

（第8题）

A.169cm2B.25cm2C.49cm2D.64cm2

9如图，圆柱的底面直径为E高BC=12,动点P从点a出发，沿着圆柱的侧面

1T

移动到BC的中点S的最短路程为（）

（第9题）

A.10B.12C.20D.14

10如图，正方形ZBCD的边长为4,点E在AB边上，且BE=1,F为对角线2C

上一动点，连接FE,FB,则ABFE周长的最小值为（）

（第10题）

A.5B.6C.7D.8

二、填空题（每题3分，共24分）

11厩视角结论开放题］写出一组勾股数:。

12若等腰三角形中两个腰的长为10cm,底边长为16cm,则底边上的高为

13已知a,b,c是△2BC的三边长，且满足关系式（a?-c?一+m一切=

0,则△ABC的形状为o

14［［2025淮安月考］］如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地

毯，则红地毯的长至少为米。

5米

（第14题）

15［［2025成都期末］］适境题生活应用如图,一天傍晚，小方去小区遛狗，小

方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度为=13分米，小狗的

高CD=3分米，小狗与小方的手的水平距离2C=24分米（绳子一直是直

的），则牵狗绳BD=分米。

（第15题）

16对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四

2

边形ZBCD,对角线交于点。。若4。=1,BC=4,则AB?+CD=o

D

（第16题）

17如图，在长方形ABC。中，AB=8,2。=10,点E为BC上一点，WAABE

沿ZE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为.

（第17题）

18“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的

两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数

次后的形状好似一棵树而得名。假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股

树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的

个数为_。

第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树

（第18题）

三、解答题（共66分）

19（9分）在AZBC中，乙4/B/C的对边分别为a,b,c,NC=90。。

（1）若a=5,b=12,求c的值；

(2)若a=16,c—20,求b的值;

(3)若a：b=3：4,c=40,求a,b的值。

20（9分）如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，△ABC是格点

图形（各顶点都在小正方形的顶点上），求AZBC中边上的高。

21[[2025西安模拟]](10分)如图，在△ABC中，AB=17,AC=15,

BC=8o

（1）判断△ABC的形状，并说明理由;

（2）若点。为线段2C上一点，连接BD,且BD—4。=1,求的面积。

22（12分）匾视角新定义题定义:如图，点M,N把线段2B分割成4W,MN,NB,若

以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段的勾股分

割点。

IIII

AMNB

（1）已知点M,N把线段分割成若AM=5,MN=13,BN=12,则

点M,N是线段ZB的勾股分割点吗？请说明理由。

（2）已知点M,N是线段的勾股分割点，且为直角边，若ZB=12,2M=

5,求BN的长。

23（12分）如图，一工厂位于点C,河边原有两个取水点4B,其中4B=

AC,由于某种原因从工厂c到取水点a的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一

个取水点“（点4H,B在一条直线上），并新修一条路CH,测得CB=

2.5km,CH—2km,BH—1.5km。

(1)CH是不是从工厂C到河边最近的一条路(即C”与是否互相垂直)?请

说明理由。

(2)求2C的长。

24[[2025重庆期末]](14分)古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原

理图，图②是它的示意图。把桥面看成是均匀杆4B,可以绕转轴B点在竖直平

面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C,绳子通过定滑轮与杆的另一端4相

连，且2B=BC。人站在点E处，拉绳子的手的位置。与地面BE的距离为1.5m

(绳子一直是直的)。

(1)若ZB=7.5m,ZE=15.5m,求从定滑轮C到。点的绳长;

(2)若BE的长为12m,CD比BC长6.5m,求桥面的宽ZB。

第一章学情评估卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1在△ABC中，=90°,乙4/B/C的对边分别为a,b,c。若a2=5,/=12,则c?

的值为（）

A.13B.17C.7D.169

【答案】B

2如图，在中，乙4cB=90。，分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个

正方形，其面积分别用Si，52,S3表示。若Si=7,53=2,则S2的值是（）

（第2题）

A.3B.5C.7D.9

【答案】B

3如果将直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到

原来的（）

A.2倍B.3倍C.4倍D.以上都不对

【答案】A

4直角三角形的两条直角边的长分别为6,8,则其斜边上的高为（）

24

A.6B.8C.12D.—

5

【答案】D

5满足下列条件时，AaBC不是直角三角形的为（）

A.AB=5,BC=13,AC=12B.ZB:ZC=3:4:5

C.AB:BC:AC=3:4:5D.（BC+AC）（BC-AC}=AB2

【答案】B

6如图，这是一块铁皮，测得ZB=3,BC=4,CD=12,AD=13,AB1

BC,则铁皮的面积为（）

A、

CD

（第6题）

A.24B.36C.48D.12

【答案】A

7如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔a位于P的北偏东30。方向上，且

相距40海里。客轮以60海里/时的速度沿北偏西60。方向航行0.5小时到达B

处，那么4B相距（）

北4

:

（第7题）

A.40海里B.30海里C.50海里D.60海里

【答案】C

8厩考向数学文例“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的。以直角三角形的斜边长为

边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方

形组成，在一次活动中，数学小组制作了一幅“赵爽弦图”，如图，其中

^ABC=90°,AC=13cm,AB=5cm,则阴影部分的面积是（）

（第8题）

A.169cm2B.25cm2C.49cm2D.64cm2

【答案】C

9如图，圆柱的底面直径为二高BC=12,动点P从点a出发，沿着圆柱的侧面

1T

移动到BC的中点S的最短路程为（）

（第9题）

A.10B.12C.20D.14

【答案】A

10如图，正方形ZBCD的边长为4,点E在ZB边上，且BE=1,F为对角线AC

上一动点，连接FE,FB,则ABFE周长的最小值为（）

（第10题）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】点拨：如图，连接ED交2C于点F,因为四边形2BCD是正方形，所以点

B与点。关于2C对称，所以BF=DF。易知此时ABFE的周长最小，最小值为

DE+BE,因为BE=1,所以ZE=3,根据勾股定理易知DE=5,所以△BFE周长

的最小值为DE+BE=5+1=6。

二、填空题J每题3分，共24分）

11厩视角结论开放题J写出一组勾股数:O

【答案】3,4,5（答案不唯一）

12若等腰三角形中两个腰的长为10cm,底边长为16cm,则底边上的高为

【答案】6cm

13已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足关系式（a?-c?一匕2）2+忙一切=

0,则AZBC的形状为o

【答案】等腰直角三角形

14[[2025淮安月考]]如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地

毯，则红地毯的长至少为米。

13米

5米

（第14题）

【答案】17

15[[2025成都期末]]演曦生活应用）如图,一天傍晚，小方去小区遛狗，小

方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度为=13分米，小狗的

高CD=3分米，小狗与小方的手的水平距离2C=24分米（绳子一直是直

的），则牵狗绳BD二分米。

【答案】26

16对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四

边形4BCD,对角线交于点。。若4。=1,BC=4,贝UZB?+CD2=0

【答案】17

17如图，在长方形4BCD中，AB=8,4。=10,点E为BC上一点，WAABE

沿ZE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为。

（第17题）

【答案】4

18''勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的

两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数

次后的形状好似一棵树而得名。假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股

树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的

个数为

第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树

（第18题）

【答案】127

三、解答题（共66分）

19（9分）在AZBC中，N2/B/C的对边分别为a,b,c,ZC=90。。

（1）若a=5,b=12,求c的值；

（2）若a=16,c=20,求5的值；

（3）若a:5=3:4,c=40,求a,b的值。

【答案】（1）解：因为ZC=9O。，所以02=。2+62=52+122=169,所以

c=13o

2222

（2）因为ZC=90°,所以匕2=c-a=20-16=144,所以b=12。

（3）因为ZC=90°,a-.b=3:4,

所以a：b:c=3：4：5,

因为c=40,所以a=24,b-32。

20（9分）如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，AZBC是格点

图形（各顶点都在小正方形的顶点上），求△4BC中边上的高。

4A

///

//

/

BC

解：设边上的高为九,

因为AB?=32+42=52,所以ZB=5,

所以gx5/i=jx3x3,

解得九=£即边上的高是,

21[[2025西安模拟]](10分)如图，在△ABC中，AB=17,AC=15,

BC=80

(1)判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)若点。为线段2C上一点，连接BD,且BD—2。=1,求△4BD的面积。

【答案】

(1)解：△ABC是直角三角形，理由如下：

因为=17,AC=15,BC=8,82+152=172,^\^XBC2+AC2=AB2,

所以△4BC是直角三角形。

(2)因为B0-2D=l,AB=17,AC=15,BC=8,所以设ZD=a,则

BD=a+1,CD=15—a,

由(1)知，AaBC是直角三角形，且ZC=9O。，

所以C£)2+BC2=B£)2,即(i5—a)2+82=(a+l)2,解得a=9,所以二

9,

11

所以S"BD="D•BC=；X9x8=36。

22(12分)囱视角新定义」定义:如图，点M,N把线段2B分割成若

以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段的勾股分

割点。

IIII

AMNB

(1)已知点M,N把线段分割成若AM=5,MN=13,BN=12,则

点M,N是线段ZB的勾股分割点吗？请说明理由。

(2)已知点M,N是线段的勾股分割点，且为直角边，若ZB=12,2M=

5,求BN的长。

【答案】

(1)解：是。理由如下：因为ZM2+BN2=52+122=169,MN2=132=

22

169,所以AM?+BN=MNO

所以以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形。

故点M,N是线段的勾股分割点。

(2)设BN=%，则MN=2B-aM-BN=7—%,

①当MN为最长线段时，MN2=BN2+AM2,

即(7-x)2=X2+25,解得%=y;

22

②当BN为最长线段时，BN=AM+MW,即％2=25+(7-%产解得％=yo

综上所述，BN的长为节或三

77

23(12分)如图，一工厂位于点C,河边原有两个取水点4B,其中4B=

AC,由于某种原因从工厂c到取水点a的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一

个取水点“(点4H,B在一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB=

2.5km,CH-2km,BH—1.5km。

(1)C”是不是从工厂C到河边最近的一条路(即CH与是否互相垂直)？请

说明理由。

(2)求ac的长。

【答案】

(1)解：C”是从工厂C到河边最近的一条路。

理由如下：在△CHB中，

222

因为C42+BH2=22+1.5=6