不等式与不等式组章末培优测试卷（分类集训）解析版-2024-2025学年七年级数学下册（人教版）

不等式与不等式组章末必考点培优测试卷

（考试时间：90分钟试卷满分：120分）

考前须知：

1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。

2.测试范围：不等式与不等式组（人教版2024）。

第倦

一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。）

1.（3分）用适当的符号表示。的3倍加上5不大于x的2倍减去4"，下列表示正确的是（）

A.3（x+5）W2（x-4）B.3（x+5）<2（x-4）

C.3x+5W2x-4D.3x+5V2x-4

【分析】根据“x的3倍加上5不大于x的2倍减去4”列不等式即可.

【解答】解：用不等式表示为3x+5W2x-4,

故选：C.

2.（3分）已知（m+4）4加卜3+6>0是关于X的一元一次不等式，则用的值为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据一元一次不等式的定义可得用+4/0且|训-3=1,由此即可得解.

【解答】解：・・•（加+4）x附-3+6〉。是关于x的一元一次不等式，

/.m+4^0且阿-3=1,

，加/-4且加=±4,

・••加=4,

故选：B.

A.0123B.0123

C.0123D.0123

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数

轴上即可.

【解答】解：不等式组整理得：

解得：x23,

数轴上表示，如图所示：

0123

故选：C.

4.(3分)已知关于x的不等式(w-1)x>2-2n的解集为-2,则n的取值范围是()

A.n>\B.n<\C.心1D.

【分析】先整理一元一次不等式，再根据其解集xV-2即可确定〃的取值范围.

【解答】解：(〃-1)x>2-2n,

(w-1)x>2(1-w),

•关于x的不等式(w-1)x>2-2n的解集为-2,

：.n-l<0,

解得n<1,

故选：B.

5.(3分)某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克.已知

购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克.如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买

这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为()

(x+(3%—4)>40[%+(3%—4)>40

A・115%+8(3%-4)<500(15%+8(3%-4)<500

(x4-(3%-4)<40(x+(3%—4)<40

115%+8(3%-4)>500(15%+8(3%-4)<500

【分析】根据购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，可以列出

相应的不等式组，从而可以解答本题.

【解答】解：由题意可得，｛葭¥屹2与之00，

故选：A.

6.(3分)对6定义一种新运算“软'，规定：a®b=a-2b,若关于x的不等式组《城,f老一7

有且只有一个整数解，则m的取值范围是（）

A.m220B.20<m^23C.20<m<23D.20W加〈23

【分析】已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出加的范围即可.

【解答】解：根据题意，原不等式组化为"］，代言］袈），

.771—17

解①得：X</一~,

2

解②得：X石，

:关于X的不等式组有且只有一个整数解，

解得：20cmW23.

故选：B.

7.（3分）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作，如果程序操

作运行了两次就停止，那么尤的取值范围是（）

A.23cxW47B.11cxW23C.7cxWilD.3cxW7

【分析】根据程序操作运行了两次就停止，可列出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围.

【解答】解：根据题意得：｛1甚;自）%〉95，

解得：23cx《47,

二元的取值范围为23cxW47.

故选：A.

8.（3分）已知三个实数a,b,。满足a+3b+c=0,5。-3b+c〈0,则以下结论错误的是（）

A.2a<3bB.3tz+c<0C.9b+2c<0D.9b+2c>0

【分析】由a+36+c=0可得-36=a+c,将其代入5a-3b+cV0中计算判断3a+c与0的大小关系；再由

a+36+c=0可得c=-a-3b,将其代入5a-3b+cV0中计算即可判断2a与3b的大小关系；再由a+3b+c=

0可得a=-3b-c,将其代入5a-36+cVO中计算判断9b+2c与0的大小关系；从而得出答案.

【解答】角轧,.,。+36+。=0,

-3b=a+c,

u：5a-36+cVO,

5a+a+c+c<0,

整理得：6a+2c<0,

即3a+c<0,则B不符合题意,

'."a+3£>+c=0,

.*.c=-a-3b,

V5a-3b+c<Q,

5a-3b-a-3b<0,

整理得：4a<6b,

即2a<3，,则/不符合题意，

■；a+36+c=0,

/.a--3b-c,

,：5a-3Z>+c<0,

.\5（-36-c）-36+c<0,

整理得：-186-4c<0,

即96+2c>0,则C符合题意，。不符合题意，

故选：C.

9.（3分）为丰富复学复课后学生的课间生活，某校筹集资金6000元，投资建设1500元一个的乒乓球场地、

1200元一个的羽毛球场地和1000元一个的跳绳场地，已知建乒乓球场地不超过2个，则学校的建设方案

有（）种.

A.4B.5C.6D.7

【分析】当建设1个乒乓球场地时，设建设。个羽毛球场地，b个跳绳场地，利用总价=单价X数量，结

合总价不超过6000元，可列出关于a,6的二元一次不等式，结合a,6均为正整数，可得出此时学校有5

种建设方案；当建设2个乒乓球场地时，设建设c个羽毛球场地，d个跳绳场地，利用总价=单价X数量,

结合总价不超过6000元，可列出关于c,d的二元一次不等式，结合c,4均为正整数，可得出此时学校有

1种建设方案，再将两种情况下的建设方案相加，即可得出结论.

【解答】解：当建设1个乒乓球场地时，设建设。个羽毛球场地，6个跳绳场地，

根据题意得：1500Xl+1200a+1000ft^6000,

6W6-1.2a,

又；a,，均为正整数，

••（b=1或tb=2或ib=3或tb=1或tb=2'

此时学校有5种建设方案;

当建设2个乒乓球场地时，设建设c个羽毛球场地，d个跳绳场地，

根据题意得：1500X2+1200c+1000（7^6000,

/.d—3-1.2c,

又,：c,4均为正整数，

.[c=1

W=1'

此时学校有1种建设方案.

综上所述，学校共有5+1=6（种）建设方案.

故选：C.

10.（3分）已知关于x的不等式组产—一有下列四个结论：

（2%—a4一1

①若不等式组的解集是1<XW3,则a=7；

②当a=3时，不等式组无解；

③若不等式组的整数解仅有3个，则a的取值范围是llWa<13；

④若不等式组有解，则。>3.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含。的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解,

根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出«的范围，

【解答】解：卜—与=

{.2x-a<-1（2）

解不等式①，得x>l,

解不等式②，得XW等，

不等式组的解集为：l<rW等,

__CL—1

①若它的解集是1<XW3,则”-=3,

解得:a=7,故①符合题意；

②当a=3时，=—^―=1,不等式无解，故②符合题意；

③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4,

CL—1

.*.4<<5,

解得：9Wa<ll,故③不符合题意；

④若它有解，则

解得：。>3,故④符合题意；

综上所述，符合题意的有①②④，共3个，

故选：C.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11

11.（3分）用不等号填空，若则—弓a+1<-3b+1（填或）,

【分析】根据不等式的性质进行计算，即可解答.

【解答】解：-：a>b,

11

・•・一”―/

11

-v-W'+i，

故答案为：<.

12.（3分）若关于x,y的方程组｛：话;口江9的解满足不等式什2了>0,则k的取值范围是k<3.

【分析】直接把两等式相减，得到无+2y=-3k+9,再由无+2y>0得出关于左的不等式，解不等式即可.

【解答】解：｛售3涔数93,

=

（1）-（2）,得：x+2y-3左+9,

•・5+2》>0,

-3左+9>0,

解得k<3,

故答案为：k<3.

13.（3分）若关于x的不等式组｛养士片受的解集为则（a-2）（6+1）=12.

【分析】先用。、。表示出每个不等式的解集，然后根据-2<x<l即可得到关于。和6的方程，求得。和

6的值，代入即可求解.

【解答】解:｛1汇

解不等式①得，万―矣，

_.b+1

解不等式②得，x>^~,

:不等式｛1：=々言的解集为-2cx<1,

解得a=-1,b=-5,

/.(a-2)(6+1)

=(-1-2)X(-5+1)

=-3X(-4)

=12,

由上可得，(a-2)(6+1)=12,

故答案为：12.

14.(3分)某商品进价为180元，标价为360元，商场要求以利润不低于20%的售价打折出售，则售货员出

售该商品时，最低可以打6折.

【分析】设售货员最低可以打x折出售此商品，由题意得360x元-1802180x20%,解不等式即可求

解.

【解答】解：进价为180元，标价为360元，商场要求以利润不低于20%的售价打折出售，设最低可以打

x折，

X

由题意得，360x元-1802180x20%,

解得x，6,

二最低可以打6折，

故答案为：6.

15.(3分)对于任意有理数a,用㈤表示不超过a的最大整数，则下列说法正确的是①②⑷.(写

出所有正确结论的序号)

①[-3.6]=-4；

②若。为整数，则[a]=a；

③⑷+[-0=0；

129

④若0<a<l,且[a+云]+[a+而]+…+[a+五]=6,则[5a]=3.

【分析】根据定义逐项判断即可.

【解答】解：根据定义，[-3.6]表示不超过-3.6的最大整数，即-4,则①正确，

若。为整数，不超过。的最大整数就是。本身，即⑷=。，则②正确，

当q=1.5时，[1.5]=1,[-1.5]=-2,那么1.5]=1-2=-1W0,则③错误，

12912

由0<。<1得a+石，a+~,…，a+«这九个数都在0.1〜1.9之间，由于[a+京+[a+记

9

]+-+[a+—]=6,那么这9个数中有6个数得整数部分是1,3个数的整数部分是0,因此

（a+-^-<1

<孑，解得0.6Wa<0.7,那么3W5a<3.5,因此[50=3,则④正确，

r+io-1

综上，说法正确的是①②④，

故答案为：①②④.

16.（3分）已知关于x、y的方程组｛二犷「藐①当左=。时，方程组的解也是3x-尸上+5的解；

②若2x+y28,则人》-1；③若则x>3；④无论后取何值，x、y的值都不可能互为相反数.以上

结论正确的是①⑷.（只填序号）

【分析】将左=0代入原方程组得｛二斤」藐解得｛：：；，经检验得是3尸产叶5的解，故①正确;

方程组｛:片藐%*两方程相加得益+尸5-3左，根据2x+y=8,得到5-3左=8,解得左=7,故②

错误；再解方程组｛：[3皂藐毕4,可得》=2-3A，y=3k+l,再结合不等式与相反数的定义可判断③，

④.

【解答】解：将后=0代入原方程组得《’27」藐毕4，

.（x—y=1

•,l%+2y=4'

解得此,

将｛:::与左=0代入方程3x-y=k+5左右两边，

左边=6-1=5,右边=0+5=5,

・•・当左=0时，方程组的解也是3%->=k+5的解，故①符合题意；

方程组｛:+2y--=3k黑猿

①+②得2x+y=5-3k,

若2》»=8,贝IJ5-3左=8,解得左=7,

所以若2x+y28,则左2-1.

故②不符合题意；

方程组｛:+2y-==3般%'

②-①得：3y=9上+3,

：.y=3k+l,

\x=3k+l+l-6k=2-3k,

•)20,

・・・3左+120,

:.-3左Wl,

A2-3kM3,

...xW3；

故③不符合题意；

•：x=2-3k,y=3上+1,

^.x+y=3,

...无论左取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故④符合题意.

故答案为：①④.

三.解答题(共8小题，满分72分)

17.(8分)解不等式(组)，并把解集表示在数轴上.

f3(x-1)<2x+7

(2)I^x-6>2x.

【分析】(1)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示

出不等式的解集即可；

(2)先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无

解)”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可.

■X+13x—1

【解答】解：(1)-^--^—<2,

2(x+1)-3(3x-1)W12,

2x+2-9x+3W12,

2x-9xW12-2-3,

-7xWl,

-L

数轴表示如下所示：

-5-4-3-2-1012345；

f3(x-1)<2x+7①

(2)13^-6>2xg),

由①得：x<10,

由②得：x<-6,

二不等式组的解集为x<-6,

数轴表示如下所示：

IJ111111111A

-7-6-5-4-3-2-10123.

18.(8分)根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：

(1)①若4-5>0,则A>B：

②若/-8=0,则A=B；

③若2-8<0,则4<B.

(2)请比较4+3*-26+庐与2层-26+1的大小.

【分析】(1)由不等式和等式的性质，即可得到答案；

(2)由(1)的结论，即可比较大小.

【解答】解：(1)①若/-8>0,则/>8,

故答案为>;

②若/-B=0,则N=8,

故答案为：—;

③若4-8<0,则/<8,

故答案为：<.

(2)4+3於-2b+P-(.2d2-26+1)

=4+3片-2b+b2-2a2+26-1

=a2+b2+3>0,

4+3a2-2b+b2>2a2-26+1.

3x>x—6i

{x+10〉2x的最小整数解是关于X的方程—根尤=5的解，求代数式加2-2加+2025的

值.

【分析】先按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得x>-4,从而可得：该不等式的最小整数解为:

1

-3,然后根据题意可得：把尤=-3代人"一小x=5中求出加的值，最后把根的值代入式子中，进行计

算即可解答.

f3x>x—6①

【解答】解：性券

解不等式①，得x2-3,

解不等式②，得x<2,

・,•该不等式组的最小整数解为：-3,

1

由题意得：把工=-3代入铲一=5得：

1

§x(-3)+3加=5,

解得加=2,

当m=2时，m2-2加+2025=22-2X2+2025=2025,

：.m2-2加+2025的值为2025.

20.(8分)已知方程组《士工；23%36的解满足x为正数，V为非负数.

(1)求加的取值范围；

(2)若不等式(2加-1)]-2冽<-1的解为x>l.求m的整数值.

【分析】(1)利用加减消元法解方程组《士工；23f3小，再解关于加的不等式组《士累*0即可;

(2)根据不等式的性质可知，2m-1<0,然后求解作答即可.

【解答】解：⑴｛汇仁”曹^②，

由①+②得：2x=4+2加，

则工=2+加，

将x=2+加代入①得：2+加+y=6-加，

则y=4-2m,

・・“为正数，y为非负数，

.(24-m>0

,•14-2m>O'

故不等式组的解集为：-2〈加W2；

(2)*/(2m-1)x-2m<-1

(2m-1)x<.2m-1,

・・,不等式的解为x>l,

：.2m-KO,

1

:.m<^,

1

—2<m<^,

，加的整数值为-1,0.

21.(8分)【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等

式组的“子方程”.例如：2x+4=2的解为x=-L,您五羽的解集为-3WX<4,不难发现x=-

1在-3Wx<4的范围内，所以"+4=2是言1上4的“子方程”.

11

【问题解决】(1)在方程①4x-5=x+7,②五%-§=0,③2x+3(x+2)=21中，不等式组

二>15］的“子方程”是①②(填序号)；

(2)者关于x的方程2x-左=4是不等式组CjgZU2—”的“子方程”，求后的取值范围；

(3)若方程4x+4=0是关于x的不等式组［工％<工*+3的“子方程”，直接写出机的取值范围.

【分析】(1)先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答；

(2)先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于上的不等式组，然后解不等式组即可求解；

(3)先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可.

【解答】解：(1)解方程4x-5=x+7得：x=4,

1111

解方程五X-§=。得：%=—y

解方程2x+3(x+2)=21得：x=3,

解不等式组｛第二方二；裁得：3<xW5,

所以不等式组｛案二"方匕七4的“子方程”是①②.

故答案为：①②；

(2)解不等式5x—7>11—X,得：x>3,

解不等式2x23x-6,得：％W6,

则不等式组｛合>%的解集为3<xW6,

Zc+4

解方程2x-左=4,得％=一^一，

k+4

由题思，得3<^一<6,

.\6<H4^12,

解得：2〈左W8；

(3)解方程4x+4=0,得：x=-1,

2%+8>m］、m—8

解不等式组•一得：尸"F'，

23lx<18

不等式组得解集为M<x<18,

m—8

；.x=-1在一万一MxV18范围内，

解得：mW6.

22.（10分）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝

时期.我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙

两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是

50元.

（1）学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购

进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？

（2）甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按90%

收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按80%收费.若学校按（1）中的方案去购买，

应该如何选择商场才合算？

【分析】（1）设购买x套甲型号“文房四宝”，则购买（100-x）套乙型号“文房四宝”，根据总费用不

超过5870元且购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，可列出关于x的

一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案；

（2）分别求出选择各方案所需费用（优惠前），求出优惠后的费用，比较后即可得出结论.

【解答】解：（1）设购买x套甲型号“文房四宝”，则购买（100-x）套乙型号“文房四宝”，

<5870

根据题意得:100—x<3x

解得：25cxW29,

又为正整数,

可以为26,27,28,29,

,共有4种购买方案,

方案1：购买26套甲型号“文房四宝”,74套乙型号“文房四宝”

方案2：购买27套甲型号“文房四宝”,73套乙型号“文房四宝”

方案3：购买28套甲型号“文房四宝”,72套乙型号“文房四宝”

方案4：购买29套甲型号“文房四宝”,71套乙型号“文房四宝”

（2）选择方案1按原价购买所需费用为80X26+50X74=5780（元），

V3000+（5780-3000）X90%=5502（元），4420+（5780-4420）X80%=5508（元），5502<5508,

•••按方案1购买时选择甲商场合算；

选择方案2按原价购买所需费用为80X27+50X73=5810（元），

V3000+（5810-3000）X90%=5529（元），4420+（5810-4420）X80%=5532（元），5529<5532,

按方案2购买时选择甲商场合算；

选择方案3按原价购买所需费用为80X28+50X72=5840（元），

V3000+（5840-3000）X90%=5556（元），4420+（5840-4420）义80%=5556（元），5556=5556,

二按方案3购买时选择甲、乙两商场所需费用相同；

选择方案4按原价购买所需费用为80X29+50X71=5870（元），

V3000+（5870-3000）X90%=5583（元）,4420+（5870-4420）X80%=5580（元），5580<5583,

.••按方案4购买时选择乙商场合算.

答：当按方案1、2购买时，选择甲商场合算；当按方案3购买时，选择甲、乙两商场所需费用相同；当按

方案4购买时，选择乙商场合算.

23.（10分）教室护眼灯是目前性价比较高的灯，不仅节能，而且寿命长，同时也更加环保，更有效的

保护学生的视力.某校计划从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共200只，这两种护眼灯商场的进价、售价

如表所示：

进价（元/只）售价（元/只）

甲型号护眼灯6080

乙型号护眼灯75100

（1）若学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共用去17000元，求学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯

各多少只？

（2）若学校准备用不多于16800元从商场购进这两种型号护眼灯，问学校从商场购进甲种型号护眼灯至少

多少只？

（3）在（2）的条件下，该商场销售给学校这200只护眼灯后能否实现盈利不低于4250元的目标？若能，

请你给出相应的采购方案；若不能，说明理由.

【分析】（1）设学校从商场购进甲种型号护眼灯x只，根据学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共用去

17000元得：80x+100（200-x）=17000,即可解得答案；

（2）设甲型号护眼灯进用只，根据学校准备用不多于16800元从商场购进这两种型号护眼灯得80加+100

（200-加）W16800,解出m的范围即可知学校从商场购进甲种型号护眼灯至少160只；

（3）设甲型号护眼灯进.只，由盈利不低于4250元有（80-60）m+（100-75）（200-m）24250,解

得：加W150,由（2）知学校从商场购进甲种型号护眼灯至少160只，故该商场销售给学校这200只护眼

灯后不能实现盈利不低于4250元的目标.

【解答】解：（1）设学校从商场购进甲种型号护眼灯x只，则乙种型号护眼灯购进（200-x）只，

根据题意得：80x4-100(200-x)=17000,

解得：x=150,

，200-x=200-150=50,

答：学校从商场购进甲种型号护眼灯150只，乙种型号护眼灯50只；

(2)设甲型号护眼灯进/只，则