第2章 实数（培优篇）2024-2025学年八年级数学上册阶段性复习（北师大版）

第2章实数（培优篇）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.化简、国!的结果为（）

V56

A.姮B.307330„^/330

L.-------D.30而

3030

2.下列运算正确的是（）

A.sfx+y/2x=y/3xB.372-272=1

C.2+6=2行D.a-b«=(a-b)yJx

3.化简正确的是（)

C.-D.-y[x

果是()

C.Ja-2D.—Ja-2

5.若a、b、c为有理数，且等式a+b&+c6=，5+2#成立,则2a+9996+1001c

的值是（）

A.1999B.2000C.2001D,不能确定

6.已知a满足|2018-a|+Ja-2019=a,则。-20182=()

A.0B.1C.2018D.2019

7.如图，数轴上点A,8分别对应实数1,2,过点B作尸AB,以点B为圆心，AB

长为半径画弧，交PQ于点C,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点则点M

对应的实数的平方是（）

A.2B.5C.2V2+3D.2石+6

8.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若|z+y|<|x+y|,则A,B,C,D

四个点中可能是原点的为（）

ABC

・・・・・・D—•--------

XyZ

A.A点B.B点、C.C点D.。点

9.若整数x满足5+MWXW4档+2,贝Ux的值是（）

A.8B.9C.10D.11

10.用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1,七，十，…,•如

果从中选出若干个数，使它们的和<工，那么选取的数的个数最多是（）

A.4个B.5■个C.6个D.7个

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.比较实数的大小：（1）-7?___Y；（2）1

12.也话的立方根是.

13.化简的结果为—.

14.把“，J根号外的因式移入根号内，得

15.已知。+方==3,且则J2―7=.

16.19-后的整数部分为，，小数部分为〃，贝.

17.已知32x+l-2x-l=0,贝Ux=.

18.已知y=J（x—2>-x+3,当％分别取1,2,3,……,2021时，所对应的y值的

总和是

三、解答题（本大题共6小题，共60分）

19.（8分）计算：

（1）748-5/3+J|x>/i2-V24

(2)(7+4拘(7-4A/3)-(3A/5-I)2

20.（8分）已知G一64+|。3-27|=0,求（〃-。）人+’的算术平方根.

21.（10分）若a,b为实数，且6=1三五11上£,求一而直的值.

〃+1

22.（10分）实数a,b在数轴上的"位置如图所示，请化简："娉-后-后.

a0h*

23.（10分）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目:

先化简，再求值：|x-l|+J（x-10）2,其中x=9.

小明同学是这样计算的：

解：|x—l|+^（x-10）-=x—1+x—10=2x~11.

当x=9时，原式=2x9—11=7.

小荣同学是这样计算的：

解：|%-1|+^（^-10）2=x—1+10—x=9.

聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？

24.(12分)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一

个式子的平方，如3+2及=(1+后产，善于思考的小明进行了以下探索：

若设a+=(机+"夜＞=〃/+2/2+2〃?"后(其中a、b、m、〃均为整数)，则有

a=nr+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+)立的式子化为平方式的方法，请

你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)若〃+以/7=("z+"a)2,当。、b、m、”均为整数时，用含形、w的式子分别表示。、

b,得：a=，b=；

(2)若a+6百=(加+〃百)2,且〃、m、〃均为正整数，求〃的值；

(3)化简：,4一710+275+,4+J10+2遂•

参考答案

1.C

解：先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得喟，

故选C.

【点拨】此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其

分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题.

2.D

解：利用二次根式的加减法计算，可知：

A、«+后不能合并，此选项错误；

B、30-2及=6，止匕选项错误；

C、2+6不能合并，此选项错误；

D、a«-b«=(a-b)石，此选项正确.

故选D.

3.C

解：根据二次根式有意义的条件可知-工>0,求得x<0,然后根据二次根式的化简,

X

可得x=--

故选C.

4.B

【分析】

首先根据二次根式有意义的条件求得b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进

行化简即可

Q+2<0

〃<—2

故选B

【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件

判断字母的取值范围.本题需要重点注意字母和式子的符号.

5.B

解：因加+2"=J(0)2+2X@6+(")2=J(&+6)2=&+G=a+by[i+c>j3,

所以a=0,b=l,c=l,即可得2a+9996+1001c=999+1001=2000,故选B.

【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并

比较系数是解题的关键.

6.D

【分析】

根据二次根式的被开数的非负性，求的a的范围，然后再化简绝对值，最后，依据二次

根式的定义进行变形即可.

解：等式|2018-4+夜-2019=a成立,则论2019,

；.a-2018+Ja-2019=a,

Va-2019=2018,

."2019=20182,

.\a-20182=2019.

故选D.

【点拨】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，求得a的取值范围是解题的关键.

7.C

【分析】

先求出AC的长，然后确定点M对应的实数，最后求得结果.

解：如下图，连接AC

■:A、B分别对应1、2

；.AB=BC=1

VPQXAB

.•.在RtAABC中，AC=V2

.\AM=AC=V2

•••点M对应的点为：V2+1

（应+1）一=2>/2+3

故选：C

【点拨】本题考查勾股定理和数轴上点表示的数，解题关键是确定点M在数轴上对应

的数，然后求平方即可.

8.D

【分析】

分①若原点的位置为A点时，②若原点的位置为B点或C点时，③若原点的位置为D

点时，结合有理数的加法法则和点在数轴上的位置分析即可得出正确选项.

解：根据数轴可知x<y<z,

①若原点的位置为A点时，x>0,则|z+y|=z+_y,\x+y\=x+y,x+y<z+y,

|z+y|>|x+y|,舍去；

②若原点的位置为B点或C点时，x<O,y>O,z>O,|z|>|x|,|z|>|y|,

贝1||%+>|<及|或|苫+丫|<|划，|z+y[=|z|+|y|,

/.|z+y|>|x+y|,舍去；

③若原点的位置为D点时,x<O,y<O,z>O,|y|>|z|

典）|x+y|<|y|+|x||z+j|<|y|,

A\z+y\<\x+^,符合条件，

，最有可能是原点的是D点，

故选：D.

【点拨】本题考查实数与数轴，有理数的加法法则，化简绝对值.熟记有理数的加法法

则是解题关键.

9.C

W：■.'4<V19<5,.,.9<5+V19<10；475=780,8<7§0<9,A10<V80+2<11,

，整数户10.故选C.

【点拨】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小

进行估算.也考查了算术平方根.

10.A

解：用计算器对上述各数进行计算，部分计算结果列于下表中.（计算值精确到0.001）

11111

原数1

正忑WV20

计算值1.0000.7070.5770.2360.2290.224

由计算结果可知，这2。个数按题目中给出的顺序依次减小.由于选出的数的和应

小于1,所以应该从最小的数开始依次选取若干个数才能满足选取的数的个数最多的要求.

因为~~r=+~i——+~（=+/——X0931<1,

V20719V18#7

工11111……

而；^+柄+强+而+萌’

所以选取的数最多是4个.

故本题应选A.

【点拨】

本题综合考查了计算器的使用和规律的分析与探索.本题解题的关键在于结合各个数

的计算值总结出这一系列数的变化规律.在解决这一类型题目的时候，要注意先分析规律再

利用所得的规律和题意寻找突破口.盲目尝试不仅费时费力而且容易出错.

11.<<

【分析】

（1）根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；（2）先求出两数的差，再根据

差的正负比较即可.

解：⑴-A-6

y[5—11A/5—3

⑷--------=------

424

,**3=百

・布vJ_

2

故答案为<，<.

【点拨】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关

键.

12.逐

解：因为师=6,所以6的立方根是狗.故答案为探.

13.向1

【分析】

先把6-2石化为平方的形式，再根据必="a20）化简即可求解.

解：原式=,6-2石

=J（后-2石+诉

=7（^5-D2

=#-1.

故答案为：A/5-I.

【点拨】本题考查了双重二次根式的化简，把6-2退化为平方的形式是解题关键.

a

【分析】

根据被开方数大于等于零，可得出"<0,再根据二次根式的性质进行计算即可.

解：**---T2°，

a

・・czv0,

故答案为：巨.

a

【点拨】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此

题的关键.

[54+]

.2,

【分析】

利用题目给的«+《求出再把它们相乘得到再对原式进行变形凑

_A/5+1

2•

故答案是：必土1

2

【点拨】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式

对式子进行巧妙运算.

16.20+735

【分析】

先确定-6(-后＜-5,由此得到13＜19-屈＜14,求得。=13,6=6-屈，再代入

计算即可.

解：•.•后〈卮＜A，

5<底<6,

-6<—<—5，

/.13<19-735<14,

•••19-后的整数部分为13,

小数部分为19-屈-13=6-庖，

tz=13,b=6-A/35,

2a-6=2x13-（6-屈）

=26-6+735

=20+屈.

故答案为：20+^5.

【点拨】此题考查实数的大小比较，已知字母的值求代数式的值，实数的混合运算，确

定-6〈-屈<-5是解此题的关键.

17.0或-1或-g

【分析】

将原方程变形得到^2771=2x+l,根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或

1或-1,由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.

解：：附2彳+1-2x-1=0,

V2x+1=2x+l,

2x+l=1或2x+l=-1或2x+l=0,

解得*=0或*=-1或x=-

故答案为：0或-1或-

【点拨】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的

关键.

18.2023.

【分析】

依据二次根式的性质化简，即可得至l]y=|x-2|-x+3,再根据绝对值的性质化简，即可

得到对应的y值的总和.

解：:y=Jx2-4x+4-x+3="(x-2)2-x+3=|x-2|-x+3,

/.当尤<2时，y=2-x-尤+3=5-lx,

即当x=l时，y=5-2=3；

当x>2时，y=x-2-x+3=1,

即当x分别取2,3,...»2021时，y的值均为1,

综上所述，当x分别取1,2,3,2021时，所对应的y值的总和是3+2020x1

=2023,

故答案为：2023.

【点拨】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质

以及二次根式的性质.

19.(1)4-A/6(2)6^5-45

【分析】

(1)利用二次根式的乘除法则运算即可得；

(2)利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得.

(1)解：原式=j48+3+J；xl2一2"

—J16+>/6-2-^6

=4--\/6

⑵解：原式=49-48-(45-6君+1)

=1-46+6A/5

=6A/5-45

【点拨】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握

这些知识点.

20.25或121.

【分析】

根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a、b的值，然后代入代数式求解即可.

解：行+1投-27|=0

3

,-.a2-64=0,b-27=0

解得：a=+8,b=3

；.(a-b)b+/=(8-3)3+i=54或(a-b)b+/=(-8-3)3+/=(-11)4=114

3f)尹，的算术平方根为52或1口,即25或121.

【点拨】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，初中阶段涉及的非负性有偶次方、

绝对值和算术平方根，需引起关注.

21.-3

【分析】

根据二次根式的被开方数为非负数，得到相应的关系式求出a、b的值，然后代入求解.

解：因为a,b为实数，且a?—GO,1—a2K),所以a2—1=1—a2=0.

所以a=±l.又因为a+l，0,所以a=l.代入原式，得b=；.

所以-/z+L=-3.

【点拨】此题主要考查了二次根式的性质和意义，关键是利用被开方数为非负数的性质

求出a、b的值.

22.0

【分析】

根据a、b在数轴上的位置，判断a、b、a-b的符号，然后根据二次根式的性质值=时

求解即可.

解：•・•〃〈()㈤

=卜-4-阿-同

=b—a+a—b

=0.

【点拨】此题主要考查了二次根式的性质，关键是利用数轴判断a、b、a-b的符号.

23.小荣同学的计算结果是正确的；小明同学错在对J(x-10)2的化简.

试题分析：根据二次根式的性质"