等可能条件下的概率-苏科版新九年级数学暑假自学提升讲义

专题04等可能条件下的概率

&考点归纳

【考点1概率的意义理解】

【考点2根据概率公式计算】

【考点3已知概率求数量】

【考点4几何概率】

【考点5列表法或树状图法求概率】

【考点6游戏的公平性】

识梳理

知识点1：概率

1.定义：一般地，对于一个随机事件A,把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A

发生的概率，记为P（A）.

（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生

的概率。

（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性

都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=-.

（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。

（2）在一次实验中，可能出现的结果有限多个.

（3）在一次实验中，各种结果发生的可能性相等.

（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则

它的概率越接近1;反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。

（5）一个事件的概率取值：OWP（A）W1

当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1,即P（必然事件）=1

不可能事件的概率为0,即P（不可能事件）=0

随机事件的概率：如果A为随机事件，则0<P（A）<1

（6）可能性与概率的关系

事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1,事件发生的可能性越小，则它的概率越接近

0.

°事件发生的可能性越来越小।

,*一I概率的值

不可能发生必然发生

事件发生的可能性越来越大

2.求概率方法：

（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结

果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举

法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。

（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目

较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列

表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

HL真题训练........................

【考点1概率的意义理解】

1.（2025・贵州・模拟预测）已知某种彩票的中奖概率为1%,则下列说法正确的是（）

A.买1张这种彩票，不可能中奖

B.买200张这种彩票，可能有2张中奖

C.买100张这种彩票，一定有1张中奖

D.若100人每人买1张这种彩票，一定会有1人中奖

【答案】B

【分析】本题考查了概率的意义，游戏公平性，掌握概率的意义是解题的关键.

根据概率的意义，反映了事件发生的机会的大小，不一定会发生，据此分析即可.

【详解】解：A、买1张这种彩票，也可能中奖，故此选项不符合题意；

B、买200张这种彩票，可能有2张中奖，可能会发生，故此选项符合题意；

C、买100张这种彩票，不一定有1张中奖，故此选项不符合题意；

D、100人每人买1张这种彩票，不一定会有一人中奖，故此选项不符合题意；

故选：B.

2.（24-25九年级上,湖北荆州•期末）下列说法正确的是（）

A."明天下雨的概率为80%”,意味着明天有80%的时间下雨

B.若抛掷图钉钉尖向上的概率为|,则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数为40次

C.经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件

D.汽车累积行驶100000km没有出现故障，是必然事件

【答案】C

【分析】本题主要考查概率的意义、事件的分类等知识点，掌握概率的意义是解题的关

键.

根据概率的意义、事件的分类逐项判断即可解答.

【详解】解：A、"明天下雨的概率为80%”是说明天大约有80%可能下雨，原说法错误,

不符合题意；

B、抛掷图钉钉尖向上的概率为|,则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数可能为40次，原

说法错误，不符合题意；

C、经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件，原说法正确，符合题意；

D、汽车累积行驶100000km没有出现故障，是随机事件，原说法错误，不符合题意.

故选：C.

3.（2025八年级下•全国・专题练习）下列短语所反映的事件中，发生概率最小的是（）

A.水滴石穿B.旭日东升C.守株待兔D.水中捞月

【答案】D

【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待.一般

地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0,随机事件发生的可能

性大小在0至1之间.根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案.

【详解】解：A.水滴石穿，是随机事件，发生的可能性大小在0至1之间；

B.旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1;

C.守株待兔，是随机事件，发生的可能性大小在0至1之间；

D.水中捞月，是不可能事件，发生的可能性为0.

国发生概率最小的是水中捞月，

故选：D.

4.（23-24八年级上•全国•单元测试）气象预报员报道："本市明天降雨的概率是90%."这

句话的意思是（）

A.明天90%的时间要下雨

B.明天一定会下雨

C.明天10%的时间不下雨

D.明天下雨的可能性是90%,但也有可能不下雨

【答案】D

【分析】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的

事件.概率表示随机事件发生的可能性的大小.

由题意根据概率表示某事情发生的可能性的大小可得答案.

【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得：

本市明天降雨的概率是90%,这句话的意思是明天下雨的可能性是90%,但也有可能不

下雨.

故选：D.

【考点2根据概率公式计算】

1.（2025•福建厦门•模拟预测）不透明的袋子中有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无

其他差别，从袋子中随机取出一个球，这个球是红球的概率是（）

A.-5B.-5C.-3D.-7

【答案】A

【分析】本题考查了概率公式，根据不透明的袋子中有2个红球，3个黑球，得出总球

数为5,结合概率公式进行计算，即可作答.

【详解】解：团不透明的袋子中有2个红球，3个黑球，

回从袋子中随机取出一个红球的概率是全=|,

故选：A

2.（2025•湖北•模拟预测）有四张背面完全相同的贺卡，正面分别画了幻方，弦图，漏壶，

筒车，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，恰好是弦图卡片的概率是

【答案】i

4

【分析】本题主要考查概率公式和轴对称图形.将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取

一张共有4种等可能结果，其中恰好是弦图卡片的有1种结果，再根据概率公式求解即

可.

【详解】解：将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张共有4种等可能结果，其中恰

好是弦图卡片的有1种结果，

团恰好是弦图卡片的概率是"

故答案为：

4

3.（2025•青海西宁•二模）从-1、0.2、/、2、03、IT这6个数中任意选取一个数，那么取

到的数是分数的概率是.

【答案】|

【分析】本题主要考查了概率的计算，实数的分类.先找出分数的个数，再根据概率公

式即可得出答案.

【详解】解：团在一1、0.2、9、0.3、n这6中，分数有0.2、,0.3共3个，

回取到的数是分数的概率是：=i

62

故答案为：|.

4.（2025・湖南•模拟预测）从1,2,3中随机抽取一个数，抽到偶数的概率是.

【答案】］

【分析】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键；

概率等于所求情况数与总情况数之比，由此计算即可得解.

【详解】解：因为这三个数中只有2是偶数，

所以抽到偶数的概率为%

故答案为：|.

5.（2025•江苏徐州•三模）在一个不透明的袋子中装有7个除颜色外均相同的小球，其中1

个红球，2个黄球，4个白球，从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率.

【答案】I

【分析】根据简单概率公式计算概率即可.

本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键.

【详解】解：一共有7种等可能性，其中摸到黄球的可能性有2种，

故摸到黄球的概率是永

故答案为：

6.（2025・安徽•模拟预测）班级书柜上放了2本《三国演义》、3本《西游记》和1本《水浒

传》，明明随机抽取一本书是《西游记》的概率是.

【答案】|

【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键.

利用概率公式解答即可.

【详解】解：由题意，共有6种等可能结果，其中符合题意的情况有3种，

明明随机抽取一本书是《西游记》的概率是：=

62

故答案为：

7.（24-25九年级下•湖北黄石,阶段练习）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小

球，这些球除颜色外都相同，其中有5个红球，4个蓝球.若随机摸出一个蓝球的概率

为点则随机摸出一个黄球的概率为.

【答案】

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，设黄球的个数为X个，根

据概率计算公式结合篮球的概率建立方程求出X的值，进而求出摸出黄球的概率即可.

【详解】解：设黄球的个数为尤个，

解得工=3（经检验，是原方程的根且符合题意），

回黄球的个数为3个，

团随机摸出一个黄球的概率为£=p

3+5+44

故答案为：i

4

【考点3已知概率求数量】

1.（2025,湖南长沙•模拟预测）在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除

颜色外其他完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则

口袋中白球最可能为（）

A.15个B.20个C.28个D.32个

【答案】B

【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是

解题关键.由摸到白球的频率稳定在0.4左右，估计摸到白球的概率为04,设袋中白球

的个数为x,通过列方程进而求出白球个数即可.

【详解】解：设袋中白球的个数为x,根据题意，得：

=0.4,

30+%

解得x=20,

经检验久=20是分式方程的解，

所以口袋中白球可能有20个，

故选：B.

2.（2025•贵州贵阳•一模）已知一个不透明的箱子里有红球、黑球共六个，且小球除颜色外

其余完全相同，若小明摸到红球的概率为|,则黑球的数量为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查根据概率求数量，根据概率=所求情况数与总情况数之比求解即可.

【详解】解：红球数量为6x|=4个，

回黑球的数量为6—4=2个.

故选：B.

3.（2025•四川资阳•二模）在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外

其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定

在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能有个.

【答案】90

【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的

稳定值即为概率值，则摸到黑球的概率在06左右，设布袋中黑球的个数为小个，则

*=0.6,解方程即可得到答案.

60+m

【详解】解：回通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，

团摸到黑球的概率在0.6左右，

设布袋中黑球的个数为机个，则。=0.6,

60+m

解得m=90,

经检验，爪=90是原方程的解，且符合题意，

团布袋中黑球的个数可能有90个，

故答案为：90.

4.（2025・天津南开•二模）在一个不透明的袋子中，装有8个红球和一些白球，这些球除颜

色外无其他差别.从袋中随机摸出一个球，取出红球的概率为右则袋中白球的个数

是.

【答案】8

【分析】此题考查了概率公式的应用.设有白球x个，根据概率公式得：件=；,解得

8+x2

尤的值即可.

【详解】解：设有白球X个，

根据题意得：件=3

8+x2

解得：%=8,

经检验x=8是原方程的解，

故答案为：8.

5.（2025•河南平顶山•三模）在一个不透明的箱子中装有除颜色外其他都相同的6个白球和

一些红球，现搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中.在200次摸球

后统计发现，摸到白球的次数是60次，那么袋中的红球约有个.

【答案】14

【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，先根据白球的信息求出总球数，再减去白

球数即可得到红球的数量.

【详解】解：由题意可得，袋中约有红球：

6+（60+200）-6=20-6=14（个），

故答案为：14.

6.（2025・江苏无锡•二模）某兴趣小组对二维码开展数学实验.如图，二维码区域的大正方

形边长为2,通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现“掷点落在黑色区域的频率"在

0.65附近摆动，由此可以估计黑色部分的面积约为

【答案】2.6

【分析】本题考查了频率估算概率，掌握概率的计算是关键.

根据题意得到正方形的面积为4,由频率估算概率的计算方法即可求解.

【详解】解：二维码区域的大正方形边长为2,

回正方形的面积为4,

团"掷点落在黑色区域的频率”在0.65附近摆动，

回黑色区域的面积为0.65X4=2.6,

故答案为：2.6.

【考点4几何概率】

1.（2025•广东深圳•三模）如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随

意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴影部分的概率是（）

【答案】B

【分析】设阴影部分的面积是5x,得出整个图形的面积是9%,再根据几何概率的求法即

可得出答案.

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域

表示所求事件（4）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（4）发

生的概率.

【详解】解：设阴影部分的面积是5久，则整个图形的面积是9支，

则这个点取在阴影部分的概率是乎=

9%9

故选：B.

2.（2025•广东东莞•模拟预测）如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意

投一枚飞镖，则飞镖落在阴影三角形内的概率是（）

【答案】D

【分析】本题考查几何概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.

求出阴影部分的面积与整个网格的面积之比，即可得出结果.

【详解】解：设小正方形的边长为1,则：p=^—=l,

4XZo

故选D.

3.（2025•贵州铜仁•模拟预测）如图是一种少数民族刺绣"双正方形"图案，里面小正方形的

四个顶点分别在外面大正方形各边的中点上，如果一个小球在该图案上自由滚动，停留

在图案上每一个位置是随机的，那么小球停留在四个角上的三角形区域的概率约为（）

A-3B-；C-1D-1

【答案】D

【分析】本题主要考查了几何概率，只需要求出三角形区域的面积占外面大正方形面积

的比值即可得到答案.

【详解】解：设外面大正方形的边长为2a,则四个等腰直角三角形的边长为a,

4x^a-ai

回-----=-

2a-2a2

回小球停留在四个角上的三角形区域的概率约为也

故选：D.

4.（24-25九年级下•黑龙江哈尔滨•期中）如图，一个均匀的转盘被等分成4个相同的扇形,

自由转动这个转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部分区域的概率是

【答案】

24

【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率公式是关键.

根据题意，运用概率公式计算即可.

【详解】解：一个均匀的转盘被等分成4个相同的扇形，阴影部分区域有一份，

的旨针落在阴影部分区域的概率是:，

故答案为：•

5.（2025•江苏•一模）如图，在3X3的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外

都相同.假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没

有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是.

【答案】［

【分析】本题主要考查了几何概率的求法，飞镖击中阴影部分的概率等于阴影部分面积

与正方形总面积之比，掌握几何概率的求法是解题的关键.

【详解】解：s阴影=2xlxl+4x-xlxl=4,S正方形=3x3=9,

团飞镖击中阴影部分的概率是支

故答案为：

【考点5列表法或树状图法求概率】

1.（24-25九年级下•河北廊坊・期中）如图，有三张硬纸片，背面相同，正面分别涂成两红

一绿，现把三张硬纸片背面朝上，放在一起，洗匀后，从中任意抽取两张，其中一张是

红牌和一张是绿牌的概率是（）

回囱国

A“.-1B-.1--C.一1

632

【答案】D

【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及

抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果数，再利用概率公式可得出答案.

【详解】解：列表如下：

红红绿

红（红，红）（红，绿）

红（红，红）（红，绿）

绿（绿，红）（绿，红）

共有6种等可能的结果，其中抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果有4种,

・•・一张是红牌和一张是绿牌的概率是:=

63

故选：D.

2.（2025•安徽合肥•三模）安徽省新高考"3+1+2”选科模式是指：语文、数学、外语3门

学科为必选；历史和物理2门学科中选择1科；思想政治、地理、化学、生物学4门学

科中选择2科.若某同学已选"历史”学科，再从思想政治、地理、化学、生物学4门学

科中随机选择2科，则恰好选有“地理”学科的概率为（）

AB.'C.|D.|

【答案】D

【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画树状图求出所有出现等可能的结果有

12种，所选中2门学科恰好有“地理〃的结果有6种，根据概率公式即可求解.

【详解】解：把思想政治、化学、地理、生物分别记为A,B,C,D,画树状图如图所

示：

开始

ABCD

BCDACDABDABC

由上图可知，所有出现等可能的结果有12种,所选中2门学科恰好有"地理"的结果有6种,

团选中2门学科恰好有"地理"的概率为5=

故答案为：D.

3.（2025,安徽合肥•三模）如图，五一期间某景区有4B,C三个入口，D,E两个出口，

小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从a或2入口进入，

从D出口离开的概率是（）

___________AQ________________________

CI

D出口

I

8入口

___AE|

1cl-1r1

AA.-B."C."D."

2345

【答案】B

【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的

结果数，再找到她选择从4或B入口进入，从。出口离开的结果数，最后根据概率计算公

式求解即可.

【详解】解：画树形图如图得：

开始

DEDEDE

由树形图可知所有可能的结果有6种，其中她选择从4或B入口进入，从。出口离开的

结果数有2种，

国她选择从a或B入口进入，从D出口离开的概率为;=：,

63

故选：B.

4.（2025•浙江台州・二模）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行

生肖邮票表达对中国新年的祝福.甲同学把"龙"、"蛇"、"虎"3张邮票背面朝上放在桌

面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学随机抽到的2张邮票

恰好是"龙"和"蛇"的概率是（）

A“.—1B„.-1C—.—2D.—

2334

【答案】B

【分析】本题考查了用树状图求概率，由树状图可知，共有6种等可能的情况，其中抽

到的2张邮票恰好是"龙"和"蛇"的有2种情况，所以抽到的2张邮票恰好是“龙"和"蛇"

的概率是:=1

63

【详解】解：如下图所示，

由树状图可知，共有6种等可能的情况，其中抽到的2张邮票恰好是"龙"和"蛇"的有2种

情况，

.••抽到的2张邮票恰好是"龙"和"蛇"的概率是：=

63

故选：B.

5.（2025・辽宁•模拟预测）如图，有4张分别印有《西游记》人物图案的卡片：A.唐僧，B.孙

悟空，C.猪八戒，D.沙僧.现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在

不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出

1张卡片，则两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“儿唐僧"的概率是.

【分析】本题考查了画树状图求概率，画出树状图，通过图可知一共有16种等可能结

果，两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“4唐僧”有7种，然后用概率公式即可求

解，掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键.

【详解】解：画树状图如图，

开始

第一次ABC

第二次ABCDABCDABCDABCD

一共有16种等可能结果，两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“4唐僧”有7种,

团两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“4唐僧”的概率是白，

16

6.（2025•江西南昌•模拟预测）为落实"立德树人""健康第一”的教育理念，某校积极开展“阳

光大课间”活动，并开设了击剑、足球、篮球、跳绳4种运动项目.甲、乙两名同学准

备从这4种项目中，只选择其中的1种项目进行课间活动.

（1）事件"甲、乙两名同学选择的运动项目都是足球"是事件；（填"必然"或"不

可能"或"随机"）

（2）请用画树状图法或列表法求甲、乙两名同学选择的运动项目是同一种的概率.

【答案】⑴随机

【分析】本题主要考查了随机事件的判断以及古典概型概率的计算.熟练掌握随机事件

的定义和古典概型概率公式是解题的关键.在判断事件类型时，要依据事件发生的可能

性大小；在计算概率时，要准确列举出所有可能的情况和事件发生的情况.

（1）根据必然事件、不可能事件和随机事件的定义来判断"甲、乙两名同学选择的运动

项目都是足球"这一事件的类型.必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不

会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件.

（2）采用列表法或画树状图法来列举出甲、乙两名同学选择运动项目的所有可能情况，

然后找出甲、乙两名同学选择同一种运动项目的情况数，最后根据古典概型概率公式

P（4）=-（其中九是所有可能的情况数，m是事件4发生的情况数）计算甲、乙两名同

n

学选择的运动项目是同一种的概率.

【详解】（1）解：回甲、乙两名同学各自独立地从击剑、足球、篮球、跳绳4种运动项

目中选1种，甲选足球的概率是:，乙选足球的概率也是;，他们同时选足球是有可能发

44

生但不是一定会发生的，

团事件"甲、乙两名同学选择的运动项目都是足球"是随机事件.

故答案为：随机；

（2）解：列表如下:

乙'

击剑足球篮球跳绳

甲

击剑（击剑，击剑）（足球，击剑）（篮球，击剑）（跳绳，击剑）

足球（击剑，足球）（足球，足球）（篮球，足球）（跳绳，足球）

篮球（击剑，篮球）（足球，篮球）（篮球，篮球）（跳绳，篮球）

跳绳（击剑，跳绳）（足球,跳绳）（篮球,跳绳）（跳绳，跳绳）

由上表可知，共有16种等可能情况，其中甲、乙两名同学选择同种运动项目的情况有4

种，

0P（甲、乙两名同学选择的运动项目是同一种）=尚="

164

7.（2025•陕西西安・模拟预测）旅客在铁路12306软件上购买车票时，系统是随机分配座

位的，高铁同一排座位分布如图所示，同一排中的座位编号分别为45王涛和

李明计划利用周末时间去延安革命圣地参观学习，需购买从西安北到延安的高铁车

票.假设系统已将两人的位置分配到同一排，并且同一排分配到各个座位的机会是均等

的.

窗过道回回窗

（1）王涛分配到靠窗座位的概率是」

（2）请利用列表或画树状图的方法，求出系统分配给王涛和李明是相邻座位（过道两侧

座位C,。不算相邻）的概率.

【答案】⑴|

⑵而

【分析】本题主要考查了概率公式、列表法与树状图法等知识点，熟练掌握树状图或列

表法求概率是解题的关键.

（1）一排中的座位编号为A,B,C,D,F,然后根据概率的定义即可解答；

(2)先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据

概率计算公式求解即可.

【详解】⑴解:回同一排中的座位编号分别为4B,C,D,F,

团王涛分配到靠窗座位F的概率是|,

故答案为：|;

(2)解：根据题意画树状图如下:

开始

ABCDF

BCDFACDFABDFABCFABCD

由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种，

则系统分配给王某和李某相邻座位(过道两侧座位C,。不算相邻)的概率是£=

【考点6游戏的公平性】

1.(2025•吉林白山•模拟预测)如图是一副扑克牌中的3张牌，将它们正面朝下洗匀后放在

桌上.爸爸先从中抽出一张，榕榕从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面

上的数字，数字大者获胜.如果两个人的获胜概率相同，我们说游戏是公平的.请借助

树状图或列表法来判断这个游戏是否公平.

【答案】公平

【分析】本题考查树状图法求概率，利用概率解决游戏公平性，根据题意，画出树状图,

求出两人获胜的概率，进行判断即可.

【详解】解：由题意，画出树状图如下：

开始

爸爸368

/X

榕榕683836

获胜者榕榕榕榕爸爸榕榕爸爸爸爸

共6种等可能的结果，其中榕榕获胜的情况有3种，爸爸获胜的情况有3种；

BP（榕榕获胜）=P（爸爸获）=：=；.

62

回这个游戏是公平的.

2.（2025•陕西西安•模拟预测）小希和小辰做转盘游戏，规则如下：如图，有甲、乙两个标

有数字的转盘，同时转动甲、乙两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之

和为正数时，小希胜；否则小辰胜（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向

某一区域为止）.

⑴小希转动一次甲转盘，指针指向的数字是偶数的概率是.

（2）请用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平.

【答案】（1）|

（2）这个游戏规则对双方不公平，理由见解析

【分析】此题考查了游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率，判断游戏公平性

就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和为正数的

结果有7种，两个指针所指区域的数字之和不为正数的结果有5种，再由概率公式求出

小希胜的概率。小辰胜的概率，即可得出结论.

【详解】（1）解：小希转动一次甲转盘，指针指向的数字是偶数的概率是%

故答案为：!?

(2)解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下:

画树状图如下：

开始

入/K木木

-1-2-2-I-2-2-I-2-2-1-2-2

和0-1-1I002I1322

共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和为正数的结果有7种，两

个指针所指区域的数字之和不为正数的结果有5种，

回小希胜的概率=/小辰胜的概率=*

国小希胜的概率力小辰胜的概率，

回这个游戏对双方不公平.

3.(2025•贵州铜仁•模拟预测)行酒令是汉族民间风俗之一，是一种有中国特色的酒文化,

大家轮流说诗词、联语或其他游戏，明朝唐之淳在《忆吴越风景》中写道"旋折藕花行

酒令，细书蕉叶送诗筒”.行酒令中有一种游戏称为“虎棒鸡虫令二人相对，以筷子

相声，同时口喊虎、喊棒、喊鸡、减虫、以棒打虎、虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负，

负者饮.若棒与鸡，虎与虫同时被喊出或两人喊出同一物，则不分胜负，继续喊."依

据上述规则，张三和李四同时随机喊出其中一物，两人只喊一次.(提示：可以用

4、B、C、。分别表示"老虎""棒子""鸡""虫")

(1)若张三已经决定喊"虎"，那么李四获胜的概率为

⑵判断这个游戏是否公平，并说明理由.

【答案】(1)；

4

⑵游戏公平，理由见解析

【分析】本题考查利用概率公式求概率，利用树状图或列表求概率，熟练掌握根据题意

画出树状图或列表是解题的关键.

(1)张三喊出"虎"，李四可能喊出"虎"、"棒"、"鸡"、"虫〃四种情况，其中"虎棒"，李

四胜，利用概率公式求概率即可；

(2)用4B,C,。分别表示老虎，棒子，鸡，虫，画出树状图，分别计算出张三和

李四获胜的概率，即可解答.

【详解】(1)解:张三喊出"虎"，李四可能喊出"虎"、"棒"、"鸡"、"虫"四种情况，

其中"虎棒"，李四胜，

回张三喊出"虎〃，李四取胜的概率为右

故答案为：

4

(2)解：游戏公平，理由如下：

用A,B,C,。分别表示老虎，棒子，鸡，虫，

画树状图如下：

开始

张三ABCD

李四ABCDABCDABCDABCD

共16种等可能的情况，其中张三获胜的有4C、BA.CD、DB,共4种，

则张三获胜的概率是白=p

164

其中李四获胜的有