抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性（对称）、周期性的应用（复习讲义）-2026届高考数学一轮复习解析版

重难点培优02抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、

奇偶性（对称）、周期性的应用

目录

01知识重构•重难梳理固根基....................................................1

02题型精研•技巧通法提能力....................................................3

题型一抽象函数的定义域（★★★）....................................................3

题型二抽象函数的求值问题（★★★★）...................................................5

题型三抽象函数的解析式（★★★★）...................................................7

题型四抽象函数的奇偶性（★★★）....................................................14

题型五抽象函数的单调性（定义法）（★★★）.............................................12

题型六抽象函数的周期性（★★★★★）..................................................19

题型七抽象函数的对称性（★★★★★）..................................................23

03实战检测•分层突破验成效...................................................27

检测I组重难知识巩固.................................................................27

检测II组创新能力提升.................................................................40

01

知识重构•重难梳理固根基

【注意：本专题以赋值法为主干去破解相关难题，掌握模型可以快速解题】

1、常见的抽象函数模型

【反比例函数模型】

反比例函数：小+1焉贵，则小）=一，r,）均不堀

【一次函数模型】

模型1：若/（X士y）=/（x）±/（y）,则/（%）=/⑴%；

模型2：若/（%土y）=/（x）±/（y）,则/（%）为奇函数;

模型3：若f(x+y)=/(x)+/(y)+)n,则/(x)=[/(1)+m\x-m；

模型4：若/(%-y)=/U)-/(y)+贝!|/(x)=[/(l)-/n]x+m；

【指数函数模型】

模型1:若/(x+月=，则/(X)=[fdW；/(X)>0

模型2：若/(x—y)=04,则/(x)="(l)r；f(x)>0

f(y)

模型3：若/(x+y)=/(x)/(y)m,则/⑴」，⑴相]；

m

模型4：若/(x-y)=m~~，则/(x)=m,⑴；

/(y)Lm

【对数函数模型】

模型1：若/(x")=W(x),则/(x)=〃a)logaX(a>(klLwLx>0)

模型2：若/(盯)=/(%)+/(y),则/(x)=/(a)logaX(a>(lS.wLx,y>0)

模型3：若/(二)=/(%)—/(>),则/(x)=/(a)k)gaX(a>CLi.wl,x,y>0)

模型4：若/(盯)=/(x)+/(y)+m,则/(%)=[/(。)+同电X-机伍>0且片1,了,》>0)

模型5：若/(：)=/(》)一/(30+机，则/(%)=[/⑷一向log”x+加>0且wl,x,y>0)

【塞函数模型】

模型1：若/(孙)=/(%)/("则/(%)=/(。产，(。>0且wl)

模型2：若/申则/(x)=〃a产"(。>0且#1,"0"3m0)

代入/(a)则可化简为塞函数；

【正弦函数模型】

对于正弦函数/(x)=sin近，与其对应的抽象函数为/(x+y)/(x—)0=/(%)—尸(田

注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin26Z-sin2(3=sin(a+/7)sin(6z-/7)

【余弦函数模型】

对于余弦型函数/。)=cos区,涉及2种余弦的和差化积公式

八一八八a+Ba-B

1、公式一：COS6lf+cosp=2cos-----cos-----

22

其抽象函数模型是：+=

.门cos(cr+S')+cos(cr-B)

2、公式二：cos(zcos/?=--——匕彳~-———

其抽象函数模型是：2/(x)/(y)=/(x+y)+f(x-y)

3、若/0+丁)+/。:一y)=40)/(以/。)不值为0),贝Ij/(x)=xcoswx

K

【正切函数模型】

模型：若/(x±y)=[(；；)；；(/W(y)w1),则/⑴=tanwx

2、其他技巧

(1)观察不等式两端的特点，化为同类函数；

(2)借助函数的单调性，脱掉“/”；

(3)注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.

02

题型精研•技巧通法提能力

♦题型一抽象函数的定义域.

【技巧通法•提分快招】

抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数/(x)的定义域为[a,b],则复合函数/(g(x))的定义域由agg(x)砂求出.

⑵若已知函数/(g(x))的定义域为[a,b],则/(x)的定义域为g(x)在加时的值域.

注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用

集合或区间来表示.

1.已知函数f(x)的定义域为(3,5),则函数/(2x+l)的定义域为()

A.(1,2)B.(7,11)C.(4,16)D.(3,5)

【答案】A

【分析】根据3<2x+l<5求解即可

【详解】••"（x）的定义域为（3,5）,.一〈x3,由3<2x+l<5,得l<x<2,则函数〃2x+l）的定义域为

（L2）

故选：A.

2.已知函数/（2x-l）的定义域为[1,4],则函数/'（X）的定义域为（）

A.[1,4]B.（1,4）C.[1,7]D.（1.7）

【答案】C

【分析】已知抽象复合函数定义域求原函数定义域.

【详解】令7=2尤-1,则彳=山且1,4],故14^7,

2

所以〃力的定义域为[1,7].

故选：C

3.（24-25高三下•湖南长沙・月考）已知函数丫=/（同的定义域和值域分别为[-1」和[5,9],则函数

y=/（x+l）的定义域和值域分别为（）

A.[0,2]和[6,10]B.卜2,0]和[6,10]

C.[0,2]和[5,9]口.[一2,0]和[5,9]

【答案】D

【分析】令—1VX+1W1,求得—2Vx«0,得到y=〃x+l）的定义域为[—2,0],再结合函数图象变换，得到

y=〃x+l）与函数y=的值域相同，即可得到答案.

【详解】由函数y=/（x）的定义域和值域分别为[T1]和[5,9],可得xe[-1,1]和f（x）e[5,9],

令-L<x+141,m-2<x<0,所以函数y=/（x+l）的定义域为[―2,0],

又由函数y=/（x）的图象向左平移1个单位，得到y=/（x+i）的图象，

所以函数y=/（x+i）与函数y=〃x）的值域相同，即/■（尤+1）45,9].

故选：D.

4.若函数〃x）的定义域为[T3],则函数的定义域为（）

A.[-2,2]B.[0,8]

C.[-1,8]D.[0,2]

【答案】A

【分析】由f（x）的定义域得到-14炉_"3,即可求出函数/（/-I）的定义域.

【详解】因为函数〃彳）的定义域为

所以

即0V/44,解得-2W2,

即的定义域是[-22].

故选：A.

5.（2024•湖北武汉•二模）已知函数/（2x+l）的定义域为则函数-x）的定义域为.

【答案】（-2,2]

【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.

【详解】由函数[（2x+l）的定义域为则有2x+l«-l,3）,

令TVl—x<3,解得-2<x42.

故答案为：（-2,2].

6.（24-25高三上•湖南邵阳・月考）己知函数》=/&犬+1）的定义域是[2,4],则函数g（x）=/^'的定

义域为.

【答案】（2,3）.

【分析】由条件求出函数、=/&尤+1）解析式中;x+i的范围，列出使得g（尤）=肃为有意义的不等式,

解不等式可得结论.

【详解】因为函数、=/（；尤+1）的定义域是[2,4],

所以2WxW4,故24L+143,

2

因为g（x）=|有意义,

ln（x-2）

2<x<3

所以〈无一2>0,所以2〈犬<3,

In（%-2）w0

所以函数8（》）=京4的定义域为（2,3）.

故答案为：（2,3）.

♦题型二抽象函数的求值问题♦

【技巧通法•提分快招】

一般采用赋值法，0,1,x,-x是常见的赋值手段，或者是代入……，……等特殊值求解;

1.若对任意的x,yeR,函数"X)满足+则〃1)=()

A.6B.4C.2D.0

【答案】D

【分析】利用赋值法即可求解.

【详解】令x=y=o,则#=〃0)+〃0)，解得〃0)=。，

令x=l,y=0,则乎=故/(1)=0,

故选：D

2.函数/(X)定义域为(0,+8),对任意X,y«0,M)都有〃孙)=/(x)+〃y),又/(8)=3,则”2)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【详解】由已知得3=/(8)="2x4)=/(2)+/(4)=/(2)+/(2)+/(2)=3/⑵,故/(2)=1.

3.(2025•黑龙江大庆•模拟预测)己知定义在R上函数〃x)满足/&+%)=/(%)/(々)，若/(」)=；，

则/(4)=()

A.1B.16C.128D.256

【答案】D

【分析】由题设可得/(0)=。或/(0)=1,结合已知排除/(0)=0,再由/(0)=/(1-1)=得/(I)=4,

结合〃4)="(2)产=[/(1)]4即可得.

【详解】由题设10)=/(0+0)="(0)]2,则"0)=0或"0)=1,

若/(0)=。，令再=x,%=0,则对于任意X有/(尤)=f(x)f(0)=0,而/(」)=：,不符；

所以/(。)=1,则f(0)=/(l-1)=门1)〃-1)=1,故/⑴=^;=4,

/(一1)

由〃4)=/(2+2)="(2)『="⑴]4=44=256.

故选：D

4.(2025・重庆・三模)已知定义在R上的函数满足对任意的a,6eRJ(a+/0))-6=f(/(q))J(O)=L

则/⑴=()

A.-2B.0C.2D.1

【答案】C

【分析】赋值分别令0=0,6=x、o=x,6=0可得/(x+l)=x+〃l),再令x=-l即可得解.

【详解】因为对任意的“,6eR,f(a+/0))-6=f(/g)),/(0)=1,

令“=0,6=无，则/(〃初一尤=/(〃0))=〃1),即/(f(x))=x+f⑴；

令o=x,6=0,则/(尤+/(。))=/(/(尤))，即/(x+l)=f(f(x))；

可得f(x+l)=x+"l),

令x=—l,则〃0)=-1+/(1)=1,解得"1)=2.

故选：C.

5.(2025・广东深圳•模拟预测)已知函数〃x)满足：VxeR,f(x-l)+6>/(x+5),/(^+l)-3>/(x-2),

若f(3)=2,则/(2025)=()

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】C

【分析】根据已知条件结合赋值法计算得出/(x)>/(x-3)+3,再赋值法结合应用不等关系计算求解即可.

【详解】依题意，因为/'(X-1)+62/(X+5),则/(X)+62/(X+6),

令x=—3,则〃—3)+62/⑶，因为/(3)=2,所以〃一3"-4,

又因为/(X+1)-3。(十一2),则/⑺-3N/(x-3),gp/(x)>/(x-3)+3,

令x=0,贝iJ/(O)2/(-3)+3,BP/(O)>-1,

令x=3,则〃3)-3之〃0),所以/(0卜一1,故得〃0)=-1,

X/(2025)=/(2019+6)</(2019)+6</(2013)+6+6<---</(3)+337X6=2024:

X/(2025)>/(2025-3)+3=/(2022)+3>/(2019)+3+3>--->/(0)+675X3=-1+2025=2024,

所以2024</(2025)W2024,即/(2025)=2024.

故选：C.

♦题型三求抽象函数的解析式♦

1.(2025•江西萍乡•三模)已知定义在R上的函数“X)满足对于任意实数x,y均有〃孙)=W(x),且

2f(2)=/(l)+6,则“2025)=()

A.675B.1350C.2025D.4050

【答案】D

【分析】根据赋值法，用X替换y,y替换X得至！］出=/8,故/区是常函数，设〃x)=s,再结合

XyX

2〃2)=/⑴+6可解“X)即可求/(2025).

【详解】用X替换y,y替换X可得〃孙)=w(x)=w(y),当XHO,y*。时，，故可知工区是常函数，

X

于是知当xwo时，/(x)=cx,其中C为常数，故4c=c+6,解得c=2,于是“2025)=2x2025=4050.

故选：D.

2.(2025•安徽・模拟预测)已知函数/(x)满足/'(x+y)=y(x)+/(y)-l,则以下结论第氓的是()

A./(0)=1B./(%)+/(-x)=2C.f(x+1)+f(x-1)=f(2x)+1D./(l+x)+/(l-x)=0

【答案】D

【分析】令y=x=O、y=-x,代入已知关系式判断A、B；用x+l,x-l代换％y判断C；利用特殊函数

/(x)=x+l判断D.

【详解】令V=x=O,有〃0)=2/(0)-1,从而"0)=1,A正确；

令。=一,得f(0)=f(x)+f(r)-l,故〃X)+/(T)=2,B正确；

由题意得，/(x+l)+/(x-D-l=/(x+l+x-l),即/(x+l)+f(x-l)=/(2尤)+1,c正确；

令/(x)=x+l,则f(x+y)=x+y+l,f(y)=y+l,满足/0+丫)=/0)+/0)-1,

{B/(l+x)+/(l-x)=l+x+l+l-x+l=4^0,即不满足/'(1+尤)+/(l-x)=O,D错误.

故选：D.

3.(24-25高三上•广东・开学考试)已知函数满足=-=则下列结论中正

确的是()

A.=B."2)=0C."4)=1D.f(8)=2

【答案】A

【分析】利用赋值法对羽丁进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论.

【详解】【构造模型可以速解】

令y=i得"1)=0；

令尤=l,y=2得/1口=/(1)一〃2)=-1,所以/(2)=1；

令x=2,y=4得/2)=/(2)-〃4)=一1,所以"4)=2；

令x=4,y=8得d；］=〃4)_〃8)=-l,所以"8)=3；

令x=l,y=4得巾=〃1)_〃4)=_2.

综上只有A正确.

故选：A

4.已知函数“X)的定义域为R,对于任意实数x,y满足/(x+y)=〃x)/(y),且〃1)=2,则

/(2),/(4)7(2024)=

/(I)/(3)/(2023)

A.1012B.2023C.2024D.4046

【答案】C

【分析】根据抽象函数的性质，化简即可得解.

【详解】【构造模型可以速解】

对于任意实数x,3满足/(x+y)=〃x)/(y),

所以当>=1时，/(x+l)=/(x)f(l)=2/(x),

err；।।/2024)2/⑴2〃3)2/(2023)

/(I)/(3)/(2023)/(I)43)/(2023)

=2+2++2=2x1012=2024.

故选：C

5.(2025・福建泉州•模拟预测)已知定义在Z上的函数/(x)满足/(x+y)=/(x)++2孙-1,且/(2)=7,

则()

A./(D=4B.方程/。)=。有解

C.=/(-%)D./(x+l)=f(%)

【答案】C

【分析】根据抽象函数式，一般考虑赋值法，利用函数的单调性，奇偶性，累加法、累乘法推理计算即可.

【详解】【构造模型可以速解】

因f(x+y)=〃x)+f(y)+2^-1和”2)=7,

对于A,令尤=y=l,贝|/(2)=/(1)+/⑴+2-1=7,即/(1)=3,故A错误；

对于B,令x=y=0,贝1]/(0+0)=/(0)+/(0)+0-1,可得/(0)=1,

令y=l,当xN2时，则/(x+l)=/(x)+/(l)+2x-l=/(x)+2x+2,

即/(x+l)_f(x)=2元+2,f(x)-f(x-l)^x-l)+2,L,/(2)-/(l)=2xl+2,

则f(x)=f(x)~/(x-l)+/(x-l)-/(x-2)+...+f(2)-/(1)+/(I)

=3+2[l+2++(X-1)]+2(X-1)=2X+1+2X(-Y-1)(1+X-1)=X2+.X+1,

2

i3

其中/(1)=3,/(0)=1也符合，因无2+》+1=(尤+>+=>0,故方程/(x)=0无实数解，即B错误；

24

对于C,令丁=一了，贝U/(0)=l=/(x-x)=/(x)+/(-x)-2x2-l,得到/(-w)=x2-x+l,

由/(x—1)=(x—I)2+(x—1)+1=x2—X+1=/(―x),则C正确；

对于D,/(x+l)=(x+l)2+(x+l)+l=x2+3x+3/(工)=工2+%+1不能恒相等，故D错误.

故选：C.

6.(2025・辽宁・一模)对任意％,,都有C(%+y)〃x-y)=r(%)-/2(y),且不恒为0,函数

g(x)="震型+〃X)，则g(2)+g(—2)=()

A.0B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】利用赋值法可得〃-y)=-/(y),进而可求g(2)+g(-2)的值.

【详解】【构造模型可以速解】

令尤=y=0,可得〃0)〃0)=尸(0)-/(0)=0,所以/'(0)=0,

令x=。，可得〃y)/(_y)=f(O)-/2(y)=-/2(y),

因为〃y)不恒为o所以/(-y)=-〃y)，所以是奇函数，

(1-x)2+sinx

因为g(x)=+"x),

1+x2

(1-2)2+sin2+f(2)+(1+2)~+sin(-2)+八-2)弋=2

所以g(2)+g(-2)=U25-+"卢~l+(-2)2

故选：B.

7.己知函数的定义域为R,且〃x)"(y)"(x+y)+/(x-y),〃l)=l,则下列选项不正确的是()

A.〃。)=2B.〃x)为偶函数

C./(x)=/(x+6)D.在区间［0,4］上单调递减

【答案】D

【分析】利用赋值法逐一分析判断即可.

【详解】【构造模型可以速解】

对于选项A：令x=l,y=O,得/⑴〃0)=2〃1)=〃0)=2,故A正确；

对于选项B：令尤=0,得〃O)〃y)=/(y)+/(—y),

即〃y)=〃—y)，且yeR,所以/⑺为偶函数，故B正确;

对于选项C：令y=l,得〃x)=〃x+l)+〃x—l),

X用x+1代入即/(x+l)=/(x+2)+/(x),

消去"力得:f(x+2)=—f(x—l),x用工—3代入得f(x—1)=—"x—4),

所以有/(x+2)=〃x-4),即〃％)=/(无+6),故C正确;

对于选项D：令x=y=l,则有〃2)=〃1)〃1)-〃0)=-1,

令尤=2,y=l,则有〃3)=〃1)〃2)_〃1)=_2,

令x=3,y=l,则有〃4)=〃3)〃1)一〃2)=-1,

所以/(x)在区间［0,4］上不是单调递减，故D错误.

故选：D.

【点睛】思路点睛：解决跟抽象函数有关的问题，通常利用赋值法.

8.已知函数八”的定义域为R,且满足：/(力+/3=2(3总(宁)，/(1)=-1,"2)=1,则

A."3)=1B.=1

C."X)为偶函数D.“X)为奇函数

【答案】C

【分析】利用赋值法令x=3,y=1,求得"3)=-1,判断A；令无=y=1,可求得/(0)=1,继而求出/^=0,

判断B;令'=一”,可推得=判断C；举特例说明〃-1H-了(1),可判断D.

【详解】【构造模型可以速解】

令x=3,y=l,则/⑶+/⑴=2〃2)〃1),即有"3)-1=-2,

贝lJ/(3)=-l,A错误；

令元=y=1,则2/(1)=2/(1)/(0),二/(0)=1,

令x=l,y=0,贝厅⑴+/(0)=2/(£|(：,Bp2/2^=-l+l=0,

则/]£|=。，B错误；

令尸一,则J(x)+f(—x)=240)/(x),即〃X)+〃T)=2〃X),

故〃T)=〃X),"X)为偶函数,C正确；

令x=l,y=-l,则/⑴+/(-1)=2/(0)/■⑴，gp-l+/(-l)=-2,.-.y(-l)=-l,

由于/(T)H—/(1)，故/(x)不是奇函数，D错误，

故选：C.

题型四抽象函数的奇偶性

【技巧通法•提分快招】

令式子中出现“X)及/(-X)判定抽象函数的奇偶性

1.已知函数y=对任意实数X,y都满足2〃x)/(y)=/(x+y)+〃x—y),且=/(0)^0,

则函数“X)是()

A.奇函数B.偶函数

C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数

【答案】B

【分析】用赋值法，先令x=y=o求得/(0),再令x=0求解后即可判断.

【详解】在2〃x)〃y)=/a+y)+/(x-y)中,

令x=y=O,则2/2(O)=/(O)+/(O),又/(0)/0,所以f(O)=l,

令x=0得2/(0)f(y)=/(y)+f(-y),所以f(y)=f(-y),

所以〃尤)是偶函数，

故选：B.

2.(24-25高三上•山东济宁•期中)已知函数/(X)的定义域为R,满足〃x+y)-[〃x)+〃y)]=2024,

则下列说法正确的是()

A.〃x)是偶函数B.〃x)是奇函数

C./(x)+2024是奇函数D./(x)+2024是偶函数

【答案】C

【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.

【详解】因为〃尤+y)-[〃尤)+〃y)]=2024,

所以令x=y=O,可得八0)=_2024,

令〉=-*，贝i]/(O)-/(x)-/(-x)=2O24,

所以〃—x)=—y(x)-4048,

则既不是奇函数又不是偶函数，

且/(-%)+2024=-[/(%)+2024],

所以/(x)+2024是奇函数.

故选：C

3.已知函数〃x)满足/(x+y)=/(x)+/(y),/(1)=1,则〃-2)=()

A.0B.1

C.-2D.2

【答案】C

【分析】令无=y=0可求得/(o)=o；令〉=一天可证得了(X)为奇函数，令龙=y=l可求得〃2),根据

”-2)=-"2)可得结果.

【详解】令尤=y=0,则/(0)=〃0)+〃0)，解得：/(0)=0；

令y=_x,则”O)=/(X_X)=/(X)+/(T)=O,\/(X)为奇函数，

/(2)=/(1)+/(1)=2,/(-2)=-/(2)=-2.

故选：C.

4.(23-24高三上•江苏扬州•期中)已知/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),且〃x)wO,则〃》)是(

A.偶函数B.奇函数

C.非奇非偶函数D.不能确定

【答案】A

【分析】由赋值法得出/(。)=1,再由x=0,结合定义判断即可.

【详解】取尤=y=0,则2/(0)=2[/(0)1，因为/(x)wo,所以"0)=1.

取x=0,则/(')+/(—y)=2〃0)/(y)=2〃y),B|Jf(-y)=f(y).

即函数/(x)是偶函数.

故选：A

5.(2024•山西•一模)已知函数〃x)是定义在｛x|XH0｝上不恒为零的函数，若"◎)=4?+乌，则

()

A./(1)=1B./(-1)=1

C.“X)为偶函数D.7(尤)为奇函数

【答案】C

【分析】根据题意，令x、y取特殊值逐一验证四个选项即可.

【详解】令尤=y=i,则/(i)=2〃i),故/⑴=。，A选项错误；

令x=y=T,则/(1)=2/(-1),故/(-1)=0,B选项错误；

令y=T，则/(-X)=73+牛8=/(耳，故"X)为偶函数，C选项正确；

因为f(x)为偶函数，又函数f(x)是定义在但xwO｝上不恒为零的函数，D选项错误.

故选：C

♦题型五抽象函数的单调性(定义法)♦

【技巧通法•提分快招】

1、令式子中出现/(%)-/(%)的变换判定单调性;

2、单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题

①/'(x)在R上是奇函数，且/(X)单调递增n若解不等式/(XJ+/(%2)>0,则有

再+%>°；

y(x)在R上是奇函数，且/'(X)单调递减n若解不等式/(%1)+/(%2)>0,则有

$+%<°；

②;'(X)在R上是偶函数，且y(x)在(0,•小)单调递增n若解不等式/(%1)>则有同>同(不

变号加绝对值)；

/(X)在R上是偶函数，且/>(X)在(0,内)单调递减n若解不等式/(%1)>/(x2),则有㈤<冈(变号

加绝对值)；

③7'3关于(。，0)对称，且/(x)单调递增n若解不等式/(x1)+/(x2)>2&,则有

国+12>2。；

/(X)关于(a,。)对称，且/(X)单调递减n若解不等式f(xj+/'(%)>2b,则有

Xi+々<2a；

④/"(%)关于x=。对称，且/(x)在(a,+°。)单调递增n若解不等式了(再)>则有,一《>,一。|

(不变号加绝对值)；

心)关于x=a对称,且/⑴在单调递减n若解不等式人)〉小2)'则有卜小2-4

(不变号加绝对值)；

1.已知函数/⑴的定义域为R,对任意实数羽y满足〃x+y)=/(x)+/(y)+g.且/][=0,当x>；时,

/«>0,则下列结论不正确的是()

131

A./(0)=--B./(-l)=jC./(x)为增函数D.+]为奇函数

【答案】B

【分析】先利用赋值值法可求解A、B选项，再利用抽象函数的关系是结合函数的奇偶性和单调性的定义

可求解C、D.

【详解】函数/(x)的定义域为R,对任意实数为y满足/(x+y)=/(x)+/(y)+g,

令无=y=0,可得/(0)=2/(0)+1，即有/(0)=-；，故A正确；由/=可得/⑴+,

乙乙、乙)、乙)乙乙

/(1-1)=/(1)+/(-1)+1,即一;=；+/(T)+；,可得/(-1)=-9，故B错误；令'=-工，贝IJ

/(x-x)=/(x)+/(-x)+：=-；,即7(x)+J+/(-x)+；=0,则函数f(x)+；为奇函数，故D正确；

乙乙乙乙乙

令尤=另"，可得/⑼卜扑；=一；即j当这时，

/(无)>0,

lpx4>0,/r4j=/w+/H)+r/w4>4

设玉<龙2，即/一玉>。，即有/(无2)=/(无2-Xl)+/(W)+g>-g+/(xJ+1=/(%)，

则f(x)在R上递增，故C正确.

故选：B.

2.已知函数/(x)的定义域为R,且/⑴=一2,若/(x>/(y)=f(x+y)+f(x-y),则()

A./(0)=0B./⑵=1

C./(x)为偶函数D.7(x)为增函数

【答案】C

【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解.

【详解】令x=Ly=0,则/'⑴/⑼=/■⑴+41),

则-2"0)=Tn〃0)=2,故A错误；

令x=l,y=l,则〃1)〃1)=〃2)+〃0),

则4=/(2)+2=八2)=2,故B错误；

令x=0,

则/(。)/(y)=+/(-y)n2〃y)=+〃—y)n=〃-y),

所以〃x)为偶函数，故C正确；

由/(0)=2,/(1)=-2,可知不是增函数，D错误.

故选：C

3.已知定义域为R的函数满足/(x)/(y)=〃x+y),/(x)>0,当x>0时，/(%)>1.

(1)用定义法证明：/(x)在定义域内单调递增;

⑵记函数g(x)=/(x)-焉,

判断g(x)的奇偶性，并证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析

⑵g(x)是奇函数，证明见解析

【分析】(1)根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明；

(2)根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明.

f(兀)

【详解】(1)设玉>々，则天-々)=/(演)=>^^=『(芭-々)

/\/(X.)/\

因为玉-%>。，所以务)>1,故-"而〃x)>0,

J\X2)

故〃占)>/(%)，所以“X)是单调递增函数.

(2)g(x)是奇函数.

证明如下:由g(x)=/(尤)-冗汗,

1

所以g(-X)=〃T)-

由"尤)〃y)=/(x+y)，令丫=一乙

则〃x)/(T)=〃。),再令X=0,解得"0)=1,

所以〃一“=意，

所以

g（x）+g（T）="y^+〃_x）_7^J

故g(x)是奇函数.

4.设定义在R上的函数满足：①对Vx,yeR,都有〃x+y)=；②当尤>0时，/(%)>0；

1+〃尤）〃y）

③不存在xeR,使得|/（x）|=L

(1)求证:/(%)为奇函数;

⑵求证：/(x)在R上单调递增；

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用赋值法先计算/(o)=o,再利用赋值法令'=-乙结合奇函数的定义计算即可;

(2)先令x>0得出。结合“X)为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明.

【详解】(1)因为/(%)的定义域为R,关于原点对称，

不妨令X=y=。，得/（（））=寻去,

解得〃0)=0或〃0)=±1，

又不存在xeR,使得|/(x)|=l,故"0)=0,

令Y=­x，得〃x—x)=勺+((T)=〃0)=0,

故/（x）+/（f）=。，即〃-力=-/（力，

因此/（X）为奇函数；

（2）%＞o时，

当且仅当等号成立，

又不存在xeR,使得|/（力|=1,则*卜,

于是x＞0时，0＜〃x）＜l,

又/（x）为奇函数，则x＜0时，/（X）=-/（T）«T0）,

于是对DXER,—1＜/（芯）＜1,

任取王＜X2，则马一番＞。,/（%2-%）＞。，

而fix—尤）一r「xH'（尤2）+/（-斗）_/（%）-/（%）0

而"2'TH（'」一1+仆2）〃-）一1-"巧）小）’

又/（%），/（%）«-!,1）,则，

于是1-/（苦）/（电）＞0,故/（工2）-/（西）＞。，/（%）＞/（西），

因此/（X）在R上单调递增；

【点睛】思路点睛：先赋值*=0及、=-x结合奇函数定义可证明奇偶性；通过/（x）=/]]+]]wi（x＞。）判

定。再根据单调性的定义作差证明即可.

5.已知定义在（-U）上的函数〃尤）满足：对Vx,ye（-M）,都有〃x）+〃y）="谓），且当xe（T,0）

时，/（尤）＞。.

⑴判断函数〃尤)的奇偶性并用定义证明；

⑵判断函数“X)在(-1,1)上的单调性，并用单调性定义证明；

⑶解关于/的不等式/-1+/0口＜°.

【答案】(1)函数/■(%)是奇函数，证明见解析

⑵函数”X)在(-1,1)上单调递减，证明见解析

(3)(0,1)

【分析】(1)利用赋值法先求出"0)=0,再得到/(x),/(-x)的关系，进而可证奇偶性；

(2)先取值-1(玉＜三＜1,然后还是利用赋值法得到了(8)-/(%)的正负，继而证明单调性;

(3)结合前两问所得奇偶性与单调性，利用单调性的逆用即可求解抽象函数不等式.

【详解】(1)函数是奇函数，

证明：因为对Vx,ye(—1,1),都有〃+=

令尤=y=0,可得/(0)+/(0)=/(0),解得"0)=0；

令xe(-Ll),则-x

令'=-X,则/'(x)+/(-x)=/(言］=/(。)=。，

所以“X)为定义在上的奇函数.

(2)函数〃x)在(-U)上单调递减，

证明：取一1＜石＜九2＜1,则一々4—I』)，

可得=

11-士龙2)

因为一1＜玉＜々＜I所以1一%%2＞°，一2＜玉一/＜。

所以下三＜。，

I-%/2

又%_Z_1\-VW+lf%=(1+1)。-％)＞0

1一%%21~X1X21一玉％2

所以-1〈干区〈。，

1一中2

又当xe(TO)时，/(x)＞0,,

所以小产幺］＞0,

所以"％)+/(_%2)>0，即

所以〃x)在(T1)上单调递减.

(3)因为了£0,且函数“力是奇函数,

又〃x)的定义域为(-1,1)且在上是单调递减的,

所以一1<一[£|<[]-1<1

dT'解得°<‘<L

所以不等式的解集为(。,1).

♦题型六抽象函数的周期性♦

【技巧通法•提分快招】

1、换x为x+T确定周期性.

2、f(x+a)=/(%)^>T=a；/(%+")=—/(x)nT=2〃；

/、k

f(x+a)=/(X)nT=2a；(%为常数)；f(x+a)=f(x+b)^T=|«-/?|

1.(2024・四川.模拟预测)已知函数/⑺满足〃l)=g,2/(尤)/(y)=〃x+y)+/(x-y),(x,yeR),则

“2024)=()

A.士B.-C.--D.--

2442

【答案】D

【分析】依据题意先赋值x=i，y=。代入等量关系式求出/(0)=1,再赋值y=i得/(x)=/(x+i)+/(xT),

进而依据此计算规则逐步求出/'(x+6)=y(x),即求出/(X)是周期为6的周期函数，再依据此计算规则结

合〃0)=1和/⑴=；求出f(2),进而结合周期即可求解/(2024).

【详解】取x=l，y=。代入2/(x)/(y)=/(x+y)+/(x—y),

得2/(1)/(O)=f(l)+f(l)=If⑴即2〃1)[〃0)-1]=0,由题解得/(0)=1,

令9=1代入2〃x)/(y)=〃x+y)+/(Ay“./(x)=/(x+l)+/(x—l),

故/(x+6)=/(x+5)-/(x+4)=-/(x+3)=-/(x+2)+/(x+l)=/(x),

所以是周期为6的周期函数，

又"0)=1./(1)=|,所以〃2)=〃1)一〃0)=_；,

所以/(2024)=/(337x6+2)=/(2)=-1,

故选：D.

【点睛】思路点睛：依次赋值X=1，V=。和y=1代入2/(x)/(y)=/(x+y)+/(x-y)分别得到/(0)=1和

/⑺=/(x+l)+/(x-l),再依据所得条件推出〃x+6)=/⑺即函数周期为6和〃2)=-1,进而根据周

期性和/⑵即可求解/(2024).

2.(2024.福建厦门.一模)已知函数/(*)的定义域为R,Vx,yeR,/(x+l)/(y+l)=/(x+y)-f(x-y),

若/(0)*0,则/(2024)=()

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】A

【分析】利用赋值法对x，>进行赋值结合函数的周期可得答案.

【详解】令x=y=0,^/(l)-/(l)=/(O)-/(O)=O,即/⑴=0,

令x=0,^f(l)-f(y+l)=f(y)-f(-y)=0,得/(—y)=/(y),所以函数〃封为偶函数，

令x=y=l,得/⑵=〃2)-〃0),

令